Weekend Mathematics／コロキウム室／1998.1〜6／NO.14


コロキウム室


NO.95　　　　 5/1 　　ヴァ−　　　　硬貨の問題（２）

硬貨の問題(NO.90 by水の流れ さん) をやってみます。

何の公式も思いつかないので、 普通じゃない解き方をしてみます。

まず、100円玉3枚、10円玉4枚、1円玉5枚を使って 支払うことのできる金額の総パターン数を求めます。
すると、100円玉だけを考えると、

100円玉を0枚使う
         1枚使う
         2枚使う
         3枚使う
という4パターンがでてきます。
同じようにすると、10円玉だけだと5パターン、 1円玉だけだと6パターンできます。
ここから、すべてのパターン数は、
4×5×6＝120パターンになります。

次に、支払うことのできる金額の平均を求めます。
これについても、それぞれの硬貨についての平均を求めて 足し合わせればOKです。
つまり、

求める平均＝(0＋100＋200＋300）/4
          ＋(0＋10＋20＋30＋40）/5
          ＋(0＋1＋2＋3＋4＋5）/6
          ＝172.5(円)
ここで、
求める合計金額＝さっきの平均×総パターン数
              ＝172.5×120
              ＝20700(円)
ということで、答えは20700円ということになりました!!




NO.96　　　　 5/1 　　水の流れ　　　　百科事典の問題（１）

先日、百科事典を見ていたら、 どのページにもページ数を表す数字がありました。 そこで、１からはじめてすべての自然数を、横に１列に つづけて並べるとき、１９９８番目の数字は何ですか。
また、百科事典のページ数を示すために６８８５の数字が必要でした。 この辞典は何ページですか。




NO.97　　　　 5/3 　　Junko　　　　硬貨の問題（３）

実は私も、この問題は１２０通りと答えたのですが、 この手の問題では、支払う金額が０というのはないだろう、 だから
１２０−１＝１１９とやるようです。
合計金額については、私も同じ答えにたどり着きましたが、 アプロ−チが違います。
私のやり方は、基本的には数えていくというやり方ですので、 そこでちょっと小細工するにしても、 あまりかっこよくはないです。

(0+1+2+3+4+5)×20+(0+10+20+30+40)×24+(0+100+200+300)×30
=15×20+100×24+600×30
=300+2400+18000
=20700
100の位と10の位を固定すると、それは２０通りあり、 1の位は、0,1,2,3,4,5と変化するので、
総合計は、(0+1+2+3+4+5)×20=15×20=300
・・・という風に合計していきました。




NO.98　　　　 5/3 　　水の流れ　　　　硬貨の問題（４）

解答その１
百・十・一の位にでで来る数字に気をつけて見ると、
100(1+2+3)×5×6＋10(1+2+3+4)×4×6＋(1+2+3+4+5)×4×5
＝２０７００（円）

　　　

解答その２
支払う方法は０円も含めて、４×５×６＝１２０（通り）
そこで、必ず０と３４５，１と３４４、・・・対に考えます。
すると、常に一定な数３４５になります。
だから、（０＋３４５）×１２０÷２＝２０７００（円）




NO.99　　　　 5/6 　　Junko　　　　百科事典の問題（２）

１桁の数は、１〜９ですから、９番目まではこれらの数字が並びます。
次に２桁の数は、１０〜９９までの９０個です。
ですから、９＋９０×２＝１８９となり、先程の続き、つまり１０番目から１８９番目までは、 ２桁の数が並ぶことになります。
次は３桁ですが、当然１つの数を表すのに数字を３つ使いますから、
（１９９８−１８９）÷３＝１８０９÷３＝６０３
このわり算は割り切れていますので、６０３番目に登場する３桁の数の １の位の数が答えとなります。
それは、１００＋６０３−１＝７０２より、「２」です。

３桁を超えて、４桁に突入するだろうと予想をたてて・・・。
３桁の数は、１００〜９９９の９００個あります。
１８９＋９００×３＝２８８９となります。
２８８９＜６８８５ですから、やはり４桁です。
４桁は１つの数を表すのに４つの数字を使いますから、
（６８８５−２８８９）÷４＝３９９６÷４＝９９９ となります。
４桁の９９９番目の数がラストです。
それは、１０００＋９９９−１＝１９９８




NO.100　　　　 5/9 　　水の流れ　 プレゼントの問題（１４）

集合｛1,2,3,・・・,n}(n≧1)上の置換を考えます。 ちょうどｋ（ｋ＝0,1,2,・・・,ｎ）個の不動点をもつものの 個数をｇ(ｎ，ｋ)で表すことにする。
（注：集合｛1,2,3,・・・,n}上の置換を （ａ１，ａ２，・・・，ａｎ）とするとき、 ａｉ＝ｉを満たす要素ｉをその置換の不動点と言う。）
このとき、Σ（k=0...k=n)ｋ２× ｇ(ｎ，k) ＝２ｎ！　　をまず証明します。

　Σ（k=0...k=n)ｋ２× ｇ(ｎ，k)  
＝Σ（k=1...k=n)ｋ２× ｇ(ｎ，k)
＝Σ（k=1...k=n)ｋ×ｋ× ｎＣｋ×ｆ(ｎ−k)
　　　　　　　　　　　　注１　
＝Σ（k=1...k=n)ｋ×ｋ× ｎ！／｛ｋ！×(ｎ−ｋ)！｝×ｆ(ｎ−k)
＝Σ（k=1...k=n)ｋ×ｎ×( ｎ−１)！／｛(ｋ−１)！×(ｎ−ｋ)！｝×ｆ(ｎ−k)
＝Σ（k=1...k=n)ｋ×ｎ× ｎ−１Ｃｋ−１×ｆ(ｎ−k)　　　　　　　　　　
＝Σ（k=1...k=n)ｋ×ｎ× ｇ(ｎ−１，k−１)
＝ｎΣ（k=1...k=n)ｋ× ｇ(ｎ−１，k−１)　
＝ｎ｛Σ（k=1...k=n)（ｋ−１）×ｇ(n−1，k−1)＋ Σ（k=1...k=n)ｇ(n−1，k−1)}
＝ｎ｛Σ（k=0...k=n-1)ｋ×ｇ(n−1，k)＋ Σ（k=0...k=n-1)ｇ(n−1，k)}
　　注２　　　　　　　　　　　　　　　　　　注３
＝ｎ｛(ｎ−１)！＋(ｎ−１)！｝
＝２ｎ！

注１：NO.78のｇ(ｎ，ｋ)＝ｎＣｋｆ(ｎ−ｋ)より)

注２：NO.94のΣ（k=0...k=n)ｋ×ｇ(n，k)＝ｎ！より

注３：不動点の総数Σ（k=0...k=n)×ｇ(n，k)＝ｎ！より

そして、不動点の個数をＸ（Ｘ＝０，１，２，・・・，ｎ）とし、 Ｘを確率変数とみると、 期待値Ｅ（Ｘ）＝１・・・＜NO.94ですでに証明済み ＞
さらに、 標準偏差σ（Ｘ），分散Ｖ（Ｘ）とすると
Ｖ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）−｛Ｅ（Ｘ）｝２ で　
σ（Ｘ）＝√ V(X)　の公式から

 Ｅ（Ｘ２）＝ Σ（k=0...k=n)ｋ２× ｇ(ｎ，k)／ｎ！
　　＝２ｎ！／ｎ！＝２
よって、 
 Ｖ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）−｛Ｅ（Ｘ）｝２ 
　　　　 ＝２−１２＝１ 

 σ（Ｘ）＝√ V(X) ＝１

感想：この確率変数Ｘは 期待値と標準偏差がともに１となった。 これには何か意味があるのだろうか。 他にまだ、調査研究することがあるのだろうか。 解明していない。

更に、
Σ（k=0...k=n)ｋ３× ｇ(ｎ，k)＝５ｎ！
Σ（k=0...k=n)ｋ４× ｇ(ｎ，k)＝１５ｎ！
と、予想できます。証明はまだやっていません。
この証明は時間があれば、挑戦したいです。 これは何を意味するか分かりませんが。



NO.101　　　　 5/11 　　水の流れ　 ボ−リング配列の問題（３）

先日のボーリング配列問題で、 私の友人ですが、 最後がBでなく、一般の場合を考えたと言われました。 コンピュータでプログラムをくんで探すと、 ４通りでてきたとのこと。 早速、生徒と一緒に探したら、前の２通りのほかに２通りでてきました。 最後はCでした。

H　I　B　G　　　G　I　B　H　　
　@　F　D　　　　  A　F　E　　　
　　E　A　　　　　　　D　@　　　　
　　　C　　　　　　　　　C　　　　




NO.102　　　　 5/13 　　水の流れ　 カ−ドの問題

歴史的には確率を勉強していくと、 期待値として超越数ｅがでてくる問題があります。
「１からｎまでの自然数をそれぞれ書いたｎ枚のカードあります。 １枚引いて数をみて、それをもとに戻します。 引いたカードに書かれた数の和がｎを越えるまで繰り返す。
このとき、その引いた枚数をＸとする 確率変数の期待値を求めよ。」 というものです。
＜ｎ→∞のとき、期待値の極限はｅです。＞



NO.103　　　　 5/15 　　水の流れ　 １９９８和の問題（１）

「１からの自然数の列があって、ある項から順に和を取ったら、 ちょうど１９９８になりました。 どこの自然数からと何個の和でしょうか。ただし、 ２個以上とることにします。」
　答えは１とおりでないです。
「１からの奇数の列の場合は、途中から順に和をとって、 １９９８になるのでしょうか？」
　答えはないのですが？



NO.104　　　　 5/18 　　Junko 　 １９９８和の問題（２）

初項をａ、項数をｎとすると、

a+(a+1)+(a+2)+･･･+(a+n-1)=1998
　　　　　 
　　na+(1/2)･n･(n-1)=1998･･･@

　　2na+n･(n-1)=1998×2

　　　2a+n-1=3996/n･･･A
つまり、ｎは3996の約数でなければならないことになります。
そこで、3996を素因数分解してみました。
3996=22×33×37
これより、3996の約数は、
1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,37,54,74･･･となります。
順次、確認しました。
  1. n=2のとき
    @より、2a+1=1998
　　　　　2a=1997　
    となり、ａが自然数であることに反するのでだめ。
  2. n=3のとき
    @より、3a+3=1998
　　　　　3a=1995
　　　　　 a=665
    確認・・・665+666+667=1998　　ＯＫ
  3. n=4のとき
    @より、4a+6=1998
　　　　　4a=1992
　　　　　 a=498
    確認・・・498+499+500+501=1998　　ＯＫ
  4. n=6のとき
    @より、6a+15=1998
　　　　　 6a=1983　
    となり、ａが自然数であることに反するのでだめ。
  5. n=9のとき
    @より、9a+36=1998
　　　　　 9a=1962
　　　　　  a=218
    確認・・・218+219+220+221+222+223+224+225+226=1998　　ＯＫ
  6. n=12のとき
    @より、12a+66=1998
　　　　　 12a=1932
　　　　　   a=161
    確認・・・161+162+163+164+165+166+167+168+169+170+171+172=1998　　ＯＫ
  7. n=18のとき
    @より、18a+153=1998
　　　　　  18a=1845　
    となり、ａが自然数であることに反するのでだめ。
  8. n=27のとき
    Aより、2a+26=148
　　　　　 2a=122
　　　　　  a=61
    確認 
    　61+62+63+･･･87
 =(1/2)･27･(61+87)
 =(1/2)･27･148
 =74･27
 =1998　　ＯＫ
  9. n=36のとき
    Aより、2a+35=111
　　　　　 2a=76
　　　　　  a=38
    確認 
    　38+39+40+･･･73
 =(1/2)･36･(38+73)
 =(1/2)･36･111
 =18･111
 =1998　　ＯＫ
  10. n=37のとき
    Aより、2a+36=108
　　　　　 2a=72
　　　　　  a=36
    確認 
    　36+37+38+･･･72
 =(1/2)･37･(36+72)
 =(1/2)･37･108
 =54･37
 =1998　　ＯＫ
  11. n=54のとき
    Aより、2a+53=74
　　　　　 2a=21
    となり、ａが自然数であることに反するのでだめ。
  12. n=74のとき
    Aより、2a+73=54
　　　　　 2a=-19
    となり、ａが自然数であることに反するのでだめ。
  13. これより先はすべてだめ。
以上、答えは７通りかな？

次に奇数の列を考えました。
初項をａ（奇数）、項数をｎとすると、

a+(a+2)+(a+4)+･･･+{(a+2(n-1)}=1998
　　　　　 
　　(1/2)･n･{2a+2(n-1)}=1998

　　　　n･{a+(n-1)}=1998

　　　　　a+(n-1)=1998/n･･･B
つまり、ｎは1998の約数でなければならないことになります。
そこで、1998を素因数分解してみます。
1998=2×33×37
これより、1998の約数は、
1,2,3,6,9,18,27,37,54,74･･･となります。
順次、確認しました。
  1. n=2のとき
    Bより、a+1=999
　　　　　a=998　
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  2. n=3のとき
    Bより、a+2=666
　　　　　a=664　
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  3. n=6のとき
    Bより、a+5=333
　　　　　a=328　
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  4. n=9のとき
    Bより、a+8=222
　　　　　a=214　
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  5. n=18のとき
    Bより、a+17=111
　　　　 　a=94　
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  6. n=27のとき
    Bより、a+26=74
　　　　　 a=48
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  7. n=37のとき
    Bより、a+36=54
　　　　 　a=18　
    となり、ａが奇数であることに反するのでだめ。
  8. n=54のとき
    Bより、a+53=37
　　　　 　a=-16　
    となり、ａが自然数であることに反するのでだめ。
  9. これより先はすべてだめ。
従って、条件に合うものはない。



NO.105　　　　 5/28 　　水の流れ　 サ−ビス券の問題

昨日球技大会がありました。 生徒が頑張ったから、何かおごってとせがまれました。 やはり、暑いので缶ジュースとなりました。 先生！いいとこ知っているよ。 ５本の空き缶を持っていくと、 １本の缶ジュースと交換しているお店へ 買いにいくことになりました。 私のクラスは担任の私を入れて、４１人です。 早速この利用方法を使いました。 お店の人に必ず空き缶をもっていくと約束して、 私は最低何本買えばよいか、考えました。 果たして、何本で済んだでしょうか。
（勿論、まだ、こんな店は近くにないのですが。）



NO.106　　　　 5/29 　　ヴァ−　　　　プレゼントの問題（１５）

このまえの水の流れさんの結果から次のような関係があると予想できます。
Σ(k=0...n)km×g(n,k)=h(m)×n!
ここで、h(m)に関して次の漸化式が成立することを証明します。

[証明]

m=0のときは、不動点の総数を考えることになりますが、
これは、すでに証明済みです。

m＞0のときは、
h(k)×n!=Σ(k=0...n)km×g(n,k)
=Σ(k=1...n)km×g(n,k)
=Σ(k=1...n)km×nCk×f(n-k)
=Σ(k=1...n)km×n!/{k!(n-k)!}×f(n-k)
=Σ(k=1...n)km-1×n×(n-1)!/{(k-1)!(n-k)!}×f(n-k)
=Σ(k=1...n)km-1×n×n-1Ck-1×f(n-k)
=Σ(k=1...n)km-1×n×g(n-1,k-1)
=n×Σ(k=1...n)km-1×g(n-1,k-1)
=n×Σ(k=0...n-1)(k+1)m-1×g(n-1,k)
=n×Σ(k=0...n-1){g(n-1,k)×Σ(i=0...m-1)m-1Ci×ki}
=n×Σ(i=0...m-1){m-1Ci×Σ(k=0...n-1)ki×g(n-1,k)}
=n×Σ(i=0...m-1){m-1Ci×h(i)×(n-1)!}
=n!×Σ(i=0...m-1)h(i)×m-1Ci

両辺をn!で割れば証明したい式が得られます。

ところで、このh(m)は統計学で言う「(原点のまわりの)m次のモーメント」です。

このモーメントを先の式を使ってmの値に応じて順番に計算すると
次のように変化します。
m h(m)
0 1
1 1
2 2
3 5
4 15
5 52
6 203
7 877
8 4140
9 21147
10 115975
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