Weekend Mathematics／コロキウム室／1998.1～6／NO.13

コロキウム室

NO.83　　　　 4/12 　　水の流れ　プレゼントの問題（１０）

ｆ(ｎ)の一般項です。
数列はｆ(ｎ)漸化式
ｆ(１)＝０、ｆ(ｎ＋１)＝（ｎ＋1）ｆ(ｎ)＋（－1）^{（ｎ－１）}
で定まります。 NO.82で、「MK142857」さんが示してくれています。（２）の式です。
これより、
ｆ(ｎ＋１)－（ｎ＋1）ｆ(ｎ)＝（－1）^{（ｎ－１）}

ここで、ａ_ｎ＝ｆ(ｎ)／ｎ！とおくと、

ａ_ｎ＋１－ａ_ｎ＝ｆ(ｎ＋１)／(ｎ＋1)！－ｆ(ｎ)／ｎ！
　　　　　　＝１／(ｎ＋1)！×{ｆ(ｎ＋１)－(ｎ＋１)×ｆ(ｎ)}
　　　　　　＝１／(ｎ＋1)！×（－1）^{（ｎ－１）}

従って、階差数列の公式により。
ａ_１＝ｆ(１)／１！＝０

ｎ≧２にたいしては、

ａ_ｎ＝ａ_１＋Σ(k=1..n-1)(－１)^ｋ－１×｛１／(ｋ＋1)！｝
　　＝Σ(k=1..n-1)(－１)^ｋ－１×｛１／(ｋ＋1)！｝

（Σの書き方が不自然でごめんなさい・・・junko）
つまり、
ｆ(１)＝０

ｎ≧２にたいしては、

ｆ(ｎ)＝ｎ！×ａ_ｎ
　　　＝ｎ！×Σ(k=1..n-1)(－１)^ｋ－１×｛１／(ｋ＋1)！｝

というわけです。

次にｎがだんだん大きくなると、ｆ(ｎ)が１／ｅに近づくことです。

ａ_ｎ＝ｆ(ｎ)／ｎ！
　＝Σ(k=1..n-1)(－１)^ｋ－１×｛１／(ｋ＋1)！｝
　＝１／２！－１／３！＋１／４！－１／５！＋・・・＋(－１)^ｎ×１／ｎ！（訂正4/16）

一方、ｅ^ｘのマクロ－リン展開によれば、

ｅ^ｘ＝１＋ｘ＋ｘ^２／２！＋ｘ^３／３！＋ｘ^４／４！＋・・・＋ｘ^ｎ／ｎ！＋・・・

なので、ｘ＝－１とすれば、

ｅ^ｘ＝１／２！－１／３！＋１／４！－１／５！＋・・・＋(－１)^ｎ×１／ｎ！＋・・・（訂正4/16）

（これは、大学の１年で勉強します。・・・junko注）


従って、

lim(n→∽)ｆ(ｎ)／ｎ！＝lim(n→∽){１／２！－１／３！＋１／４！－１／５！＋・・・＋(－１)^ｎ×１／ｎ！＋・・・}（訂正4/16）
　　　　　　　　　　　＝１／ｅ


となります。


これは、手元にあったある研究冊子にありました。












  
NO.84　　　　 4/12      　　Junko　   プレゼントの問題（１１）
NO.82で、「MK142857」さんから出題された
問題について考えてみました。

高校生らしい現実的な問題ですね。

期待値で比較をします。


５つの空欄に全て同じ選択肢を書く。

この解答の仕方では、必ず１題は正解となりますが、
それ以外は確実に得点できません。

従って、こちらの期待値をＥ_１(n=5)とすると、

Ｅ_１(n=5)＝１となります。


５つの空欄に全て異なる選択肢を書く。

こちらの期待値をＥ_２(n=5)とします。

５つの選択肢をでたらめに並べるとその並べ方は、

５！＝１２０通りあります。

ｎ個のうちｊ個だけが正解で、
それ以外は不正解な場合がｇ(ｎ，ｊ)通りあるとします。

NO.81で、「水の流れ」さんが作ってくださった、
モンモールの三角形
を利用しました。


Ｅ_２(n=5)＝５×ｇ(５，５)／１２０＋４×ｇ(５，４)／１２０＋３×ｇ(５，３)／１２０
　　　　　＋２×ｇ(５，２)／１２０＋１×ｇ(５，１)／１２０＋０×ｇ(５，０)／１２０
　　
　　　　＝５×１／１２０＋４×０／１２０＋３×１０／１２０＋２×２０／１２０＋１×４５／１２０＋０×４４／１２０
　　　
　　　　＝(５＋３０＋４０＋４５)／１２０

　　　　＝１



というわけで、Ｅ_１(n=5)＝Ｅ_２(n=5)＝１という結果になりました。

ただし、「２」の解答の仕方の方がギャンブル性が高いということはいえますね。

　　

ところで、Ｅ_２(n=5)＝１というのことですが、
これはｎ＝５の場合に限った話しではないのではないかと思います。

NO.81で、「水の流れ」さんが作ってくださった、
モンモールの三角形
でｎ＝７まで確認してみました。

一般に、

Ｅ_２(n)＝Σ(k=0..n)ｋ×ｇ(ｎ，ｋ)／ｎ！

　　　＝Σ(k=1..n)ｋ×ｇ(ｎ，ｋ)／ｎ！
　
　　　＝１

が言えるのではないかと思い、その証明を試みました。


まず、NO.81で、「水の流れ」さんが作ってくださった、
モンモールの三角形の
一番右の合計をみてください。

これは結局ｎ個のものの並べ方ですから、ｎ！になっています。

つまり、
　ｇ(ｎ，０)＋ｇ(ｎ，１)＋ｇ(ｎ，２)＋・・・＋ｇ(ｎ，ｎ)

＝Σ(k=0..n)ｇ(ｎ，ｋ)

＝Σ(k=0..n)_ｎＣ_ｋｆ(ｎ－ｋ)

　(NO.78のｇ(ｎ，ｋ)＝_ｎＣ_ｋｆ(ｎ－ｋ)より)

＝ｎ！・・・（３）

ということです。これを証明で使います。


さて、
Ｅ_２(n)＝０×ｇ(ｎ，０)／ｎ！＋１×ｇ(ｎ，１)／ｎ！＋２×ｇ(ｎ，２)／ｎ！＋・・・＋ｎ×ｇ(ｎ，ｎ)／ｎ！
　　
　　　＝Σ(k=0..n)ｋ×ｇ(ｎ，ｋ)／ｎ！

　　　＝Σ(k=1..n)ｋ×ｇ(ｎ，ｋ)／ｎ！

　　　＝Σ(k=1..n)ｋ×_ｎＣ_ｋｆ(ｎ－ｋ)／ｎ！

　　　＝Σ(k=1..n)ｋ×ｎ！／{ｋ！×(ｎ－ｋ)！}×ｆ(ｎ－ｋ)／ｎ！

　　　＝Σ(k=1..n)１／{(ｋ－１)！×(ｎ－ｋ)！}×ｆ(ｎ－ｋ)

　　　＝Σ(k=1..n)(ｎ－１)！／{(ｋ－１)！×(ｎ－ｋ)！}×ｆ(ｎ－ｋ)／(ｎ－１)！

　　　＝Σ(k=1..n)_ｎ－１Ｃ_ｋ－１×ｆ(ｎ－ｋ)／(ｎ－１)！

　　　＝１／(ｎ－１)！×Σ(k=1..n)_ｎ－１Ｃ_ｋ－１×ｆ(ｎ－ｋ)

　　　　ここで、Σの変数ｋを１つずらします。

　　　＝１／(ｎ－１)！×Σ(k=0..n-1)_ｎ－１Ｃ_ｋ×ｆ(ｎ－１－ｋ)

　　　　さらに、（３）の式　

　　　　Σ(k=0..n)_ｎＣ_ｋｆ(ｎ－ｋ)＝ｎ！

　　　　のｎを(ｎ－１)で置き換えると
、
　　　　Σ(k=0..n-1)_ｎ－１Ｃ_ｋｆ(ｎ－１－ｋ)＝(ｎ－１)！

　　　　となるので、　

　　　＝１／(ｎ－１)！×(ｎ－１)！

　　　＝１

となります。










  
NO.85　　　　 4/13      　　Junko　   プレゼントの問題（１２）
NO.81で、
「水の流れ」さんが ｇ(ｎ，ｊ)の表に関して、

「ｇ（ｎ，０）とｇ（ｎ，１）  との差が
常に１のように思います。
さらに、その大小が交互にきています。」
とかいていらっしゃいます。
これの裏付けをしました。


　ｇ(ｎ，０)－ｇ(ｎ，１)

＝_ｎＣ_０×ｆ(ｎ)－_ｎＣ_１×ｆ(ｎ－１)

＝ｆ(ｎ)－ｎ×ｆ(ｎ－１)


ここで、NO.82で、
「MK142857」さんが示してくださった

ｆ(ｎ＋１)＝（ｎ＋1）ｆ(ｎ)＋（－1）^{（ｎ－１）}・・・（２）

この式において、ｎ＋１をｎで置き換えると、

ｆ(ｎ)＝ｎ×ｆ(ｎ－１)＋（－1）^{（ｎ－２）}となります。

従って、
　ｇ(ｎ，０)－ｇ(ｎ，１)

＝(－1）^{（ｎ－２）}

＝(－1）^ｎ

よって、ｎの偶奇により１または－１となるわけです。











  
NO.86　　　　 4/13      　　水の流れ　   愛(?)のある問題（２）
ｉ^ｉの値はヒントとして、
複素数に関してのオイラーの定理から入ります。

オイラーの定理

ｅ^ｉθ＝cosθ＋ｉsinθ











  
NO.87　　　　 4/14      　みかん　  愛(?)のある問題（３）
前段　 オイラーの公式より
　　　　　
　　e^iθ=cosθ+ isinθ



　｜e^iθ｜=root(e^iθ×e^－iθ)＝１  


 （絶対値・・共役複素数の積）となるので、

e^iθは複素平面上で単位円周上に
あることが分かる。



そこで、任意の整数ｋに対して、

　e^i2kπ=cos(2kπ)+isin(2kπ)＝1がなりたつことがわかる。

つぎに、n を自然数とし

　　ｘ_ｋ=e^i2kπ/n    おくと、

指数法則より

　　(ｘ_ｋ)ⁿ=(e^i2kπ/n)ⁿ=e^i2kπ=1

となり、(ｘ_ｋ)ⁿ－1=0　となる。

すなわち、１のn乗根は 

 ｘ_ｋ=e^i2kπ/n= cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)と解ける。


（ｋ＝０，１，２・・・，ｎ－１）



解答
ｘ^４－１＝０　の解を求める。


ｘ_０＝e^{(i2×0×π/4)}＝cos(0)+isin(0)=1………………………1
ｘ_１＝e^{(i2×1×π/4)}＝cos(2π/4)+isin(2π/4)=i……………2
ｘ_２＝e^{(i2×2×π/4)}＝cos(4π/4)+isin(4π/4)=-1 …………3
ｘ_３＝e^{(i2×3×π/4)}＝cos(6π/4)+isin(6π/4)=－i…………4

となるので、2より　e^iπ/2＝ｉ

この両辺を　ｉ乗する。

　　ｉ^ｉ=(e^iπ/2)^ｉ

となり、

ｉ^ｉ＝ｅ^{ｉ×ｉ×π/2}＝ｅ^－π/2

となる。

ゆえに、ｉ^ｉ＝ｅ^－π/2










  
NO.88　　　　 4/14      　　水の流れ　  平方の問題（１）
１桁の整数１，５，６を平方すると、
１，２５，３６となって下１桁は変わりません。
 そこで、問題です。
　　 

２桁の整数Ｎを平方しても下２桁が同じＮとなる
数字Ｎを見つけましょう。
　
３桁の整数Ｎを平方しても下３桁が同じＮとなる
数字Ｎを見つけましょう。
 　
４桁の整数Ｎを平方しても下４桁が同じＮとなる
数字Ｎを見つけましょう。



★次ぎに、整数Ｎの桁数を５桁、６桁、・・・ とした場合、
このような整数は果たしてあるのでしょうか？
 誰か考えて、教えてください。












  
NO.89　　　　 4/16      　　水の流れ　  １９９８の問題
１より小さい正の分数があります。
分母と分子の公約数が１だけのとき（既約分数）、
分母が１９９８である分数は全部で何個ありますか。

また、これらをすべて加えるといくらになりますか。










  
NO.90　　　　 4/16      　　水の流れ　 　硬貨の問題
100円硬貨３枚、10円硬貨４枚、
１円硬貨５枚の全部または一部で支払うことのできる
金額の合計額はいくらか。

ある公式に気がつくと早いよ。










  
NO.91　　　　 4/16       影法師　  愛(?)のある問題（４）
オイラーの公式
　　　　　
e^iθ＝cosθ+ isinθ　において、


θ＝πとおくと、

e^iπ＝cosπ+ isinπ＝－１


この式の両辺を１／２乗、つまりル－トをとります。

(e^iπ)^１／２＝(－１)^１／２＝√(－１)＝ｉ


従って、e^{１／２×πｉ}＝ｉ


さらに、この式の両辺をｉ乗します。

(e^{１／２×πｉ})^ｉ＝ｉ^ｉ


ｉ^ｉ＝e^{１／２×πｉ×ｉ}＝e^{－１／２×π}　











  
NO.92　　　　 4/17      　　Junko　　  平方の問題（２）
まず、合同式の書き方を確認しましょう。

たとえば、７≡１７(mod 10)つまり、
１０の剰余類で同じグル－プに属するということ、
もう少し平たく言うと１０で割ったあまりが同じということ、
つまり１の位が同じということ。

４月１日≡４月８日（ｍｏｄ７）　つまり、同じ曜日だということ。



０および下の桁に０が並ぶものは除外して考えました。

１桁

１^２＝１≡１(mod 10)
２^２＝４≡４(mod 10)
３^２＝９≡９(mod 10)
４^２＝１６≡６(mod 10)
５^２＝２５≡５(mod 10)
６^２＝３６≡６(mod 10)
７^２＝４９≡９(mod 10)
８^２＝６４≡４(mod 10)
９^２＝８１≡１(mod 10)

ということで、１桁の数で条件に合うのは、１と５と６の３つ。



２桁
ｘ＝ａｂと２桁で表記されていたとします。

つまりｘ＝１０ａ＋ｂ

ｘ^２＝(１０ａ＋ｂ)^２
　＝１００ａ^２＋２０ａｂ＋ｂ^２
　＝(１０ａ^２＋２ａｂ)×１０＋ｂ^２

まずこれの１の位とｘの１の位が一致している必要があるので、
ｂ^２≡ｂ(mod 10)

つまり、２桁の数を２乗して下２桁が同じになるためには、
下１桁の部分だけ考えた時に同じ条件を満たしていることが
必要条件であるということがいえます。

従って前段の結果からｂ＝１，５，６です。

ですから、ａ＝１，２，・・・，９として、
次の３つのタイプを調べればよいということがわかります。


ａ１と２桁で表記できるもの

ｘ＝１０ａ＋１

ｘ^２＝(１０ａ＋１)^２
　＝１００ａ^２＋２０ａ＋１
　＝(１０ａ^２＋２ａ)×１０＋１

これの１０の位とｘの１０の位が一致しているためには、

１０ａ^２＋２ａ≡ａ(mod 10)

２ａ≡ａ(mod 10)

ａ≡０(mod 10)

ａ＝１，２，・・・，９の中にはこの条件を満たすものは存在しない。
ａ５と２桁で表記できるもの

ｘ＝１０ａ＋５

ｘ^２＝(１０ａ＋５)^２
　＝１００ａ^２＋１００ａ＋２５
　＝(１０ａ^２＋１０ａ＋２)×１０＋５

これの１０の位とｘの１０の位が一致しているためには、

１０ａ^２＋１０ａ＋２≡ａ(mod 10)

２≡ａ(mod 10)

ａ＝２

確認　２５×２５＝６２５
ａ６と２桁で表記できるもの

ｘ＝１０ａ＋６

ｘ^２＝(１０ａ＋６)^２
　＝１００ａ^２＋１２０ａ＋３６
　＝(１０ａ^２＋１２ａ＋３)×１０＋６

これの１０の位とｘの１０の位が一致しているためには、

１０ａ^２＋１２ａ＋３≡ａ(mod 10)

２ａ＋３≡ａ(mod 10)

ａ≡－３(mod 10)

ａ≡７(mod 10)

ａ＝７

確認　７６×７６＝５７７６

以上により、２桁の数で条件に合うのは、２５と７６の２つ。


３桁

前と同様に、
３桁の数を２乗して下３桁が同じになるためには、
下２桁の部分だけ考えた時に同じ条件を満たしていることが
必要条件であるということがいえます。

従って、ａ＝１，２，・・・，９として、
次の２つのタイプを調べればよいということがわかります。


ａ２５と３桁で表記できるもの

ｘ＝１００ａ＋２５

ｘ^２＝(１００ａ＋２５)^２
　＝１００００ａ^２＋５０００ａ＋６２５
　＝(１００ａ^２＋５０ａ＋６)×１００＋２５

これの１００の位とｘの１００の位が一致しているためには、

１００ａ^２＋５０ａ＋６≡ａ(mod 10)

６≡ａ(mod 10)

ａ＝６

確認　６２５×６２５＝３９０６２５
ａ７６と３桁で表記できるもの

ｘ＝１００ａ＋７６

ｘ^２＝(１００ａ＋７６)^２
　＝１００００ａ^２＋１５２００ａ＋５７７６
　＝(１００ａ^２＋１５２ａ＋５７)×１００＋７６

これの１００の位とｘの１００の位が一致しているためには、

１００ａ^２＋１５２ａ＋５７≡ａ(mod 10)

２ａ＋７≡ａ(mod 10)

ａ≡－７(mod 10)

ａ≡３(mod 10)

ａ＝３

確認　３７６×３７６＝１４１３７６

以上により、３桁の数で条件に合うのは、６２５と３７６の２つ。


４桁

前と同様に、
４桁の数を２乗して下４桁が同じになるためには、
下３桁の部分だけ考えた時に同じ条件を満たしていることが
必要条件であるということがいえます。

従って、ａ＝１，２，・・・，９として、
次の２つのタイプを調べればよいということがわかります。


ａ６２５と４桁で表記できるもの

ｘ＝１０００ａ＋６２５

ｘ^２＝(１０００ａ＋６２５)^２
　＝１００００００ａ^２＋１２５００００ａ＋３９０６２５
　＝(１０００ａ^２＋１２５０ａ＋３９０)×１０００＋６２５

これの１０００の位とｘの１０００の位が一致しているためには、

１０００ａ^２＋１２５０ａ＋３９０≡ａ(mod 10)

０≡ａ(mod 10)

ａ＝１，２，・・・，９の中にはこの条件を満たすものは存在しない。
ａ３７６と４桁で表記できるもの

ｘ＝１０００ａ＋３７６

ｘ^２＝(１０００ａ＋３７６)^２
　＝１００００００ａ^２＋７５２０００ａ＋１４１３７６
　＝(１０００ａ^２＋７５２ａ＋１４１)×１０００＋３７６

これの１０００の位とｘの１０００の位が一致しているためには、

１０００ａ^２＋７５２ａ＋１４１≡ａ(mod 10)

２ａ＋１≡ａ(mod 10)

ａ≡－１(mod 10)
　
ａ≡９(mod 10)
　
ａ＝９
確認　９３７６×９３７６＝８７９０９３７６

以上により、４桁の数で条件に合うのは、９３７６の１つ。


５桁

前と同様に、
５桁の数を２乗して下５桁が同じになるためには、
下４桁の部分だけ考えた時に同じ条件を満たしていることが
必要条件であるということがいえます。

従って、ａ＝１，２，・・・，９として、
次のタイプを調べればよいということがわかります。

ａ９３７６と５桁で表記できるもの

ｘ＝１００００ａ＋９３７６

ｘ^２＝(１００００ａ＋９３７６)^２
　＝１００００００００ａ^２＋１８７５２００００ａ＋８７９０９３７６
　＝(１００００ａ^２＋１８７５２ａ＋８７９０)×１００００＋３７６

これの１００００の位とｘの１００００の位が一致しているためには、

１００００ａ^２＋１８７５２ａ＋８７９０≡ａ(mod 10)

２ａ≡ａ(mod 10)

ａ≡０(mod 10)
　
ａ＝１，２，・・・，９の中にはこの条件を満たすものは存在しない。
以上により、５桁の数で条件に合うのは存在しない。


６桁以上

前と同様に、
６桁の数を２乗して下６桁が同じになるためには、
下５桁の部分だけ考えた時に同じ条件を満たしていることが
必要条件であるということがいえます。

しかしながら、５桁の数で条件に合うのは存在しないのですから、
６桁以上についても存在しないということが言えます。












  
NO.93　　　　 4/18      　　水の流れ　   愛(?)のある問題（５）
ｉⁱ＝ｅ^－π/２ ＝０．２０７８７９５８・・・
　となります。



私にとって、ｉⁱ＝ｅ^－π/２は
今の数の美しさを象徴しているように思います。
　
π（円周率）、ｅ（超越数）、ｉ （虚数単位）の
３つの偉大な数が出現します。

 数のロマンみたいなものを感じます。
オイラーの偉大な定理の美しさ鑑ます。

実は　ｅ^πｉ＝－１  も同じですが。











  
NO.94　　　　 4/21      　　水の流れ　   プレゼントの問題（１３）
Ｅ_２(n)＝１の証明を書きます。

集合｛1,2,3,・・・,n}(n≧1)上の置換を考えます。
ちょうどｊ（ｊ＝0,1,2,・・・,ｎ）個の不動点を
もつものの個数をｇ(ｎ，ｊ)で表すことにする。

（注：集合｛1,2,3,・・・,n}上の置換を
（ａ_１，ａ_２，・・・，ａ_ｎ）とするとき、
ａ_ｉ＝ｉを満たす要素ｉをその置換の
不動点と言う。）

このとき、Σ（j=0...j=n)ｊ× ｇ(ｎ，ｊ) ＝ｎ！　　　を証明します。

ｊ× ｇ(ｎ，ｊ) は、不動点の総数を表しています。


       
証明

 集合｛1,2,3,・・・,n}上の置換は全部でｎ！通りああります。

それらをｆ_１，ｆ_２，ｆ_３、・・・、ｆ_ｎ！ とします。

写像 ｆ_ｋ(i)で置換ｆ_ｋ による
ｉの像を下記のように並べます。

                　　　　　　　　　　　　　　　　　 例　ｎ＝３のとき
          
         1列 　 2列  ・・・  　 ｎ列               　　　１,２,３
ｆ_１　：（ａ_１１ ａ_１２　・・・　ａ_１ｎ)　　　　  ｆ_１：　(①,②,③)
ｆ_２　：（ａ_２１ ａ_２２  ・・・　ａ_２ｎ)　    　  ｆ_２：　(①,３,２,)
 　   ・                                   　　  ｆ_３：  (２,１,③)
      ・                           　　　　　　  ｆ_４：　(２,３,１)
      ・                                   　　  ｆ_５：　(３,１,２)
ｆ_ｎ！：(ａ_ｎ！１ａ_ｎ！２　　・・・　ａ_ｎ！ｎ )   　ｆ_６：　(３,②,１)
            ↑    ↑            　　↑                　　↑ ↑ ↑  
          (n-1)! (n-1)! ・・・  　 (n-1)!            　  2個2個2個
                                                 

ここで、１列を考えると、像が①である個数は
１以外の(n－1)個を並べた個数、
すなわち、（ｎ－１）！に等しい。

２列を考えると、像が②である個数は
２以外の(n－1)個を並べた個数、(ｎ－１）！に等しい。
・・・・

ｎ列を考えると、像がｎであるのは
ｎ以外の(n－1)個を並べた個数、(ｎ－１）！に等しい。

よって、不動点の総数は、ｎ×(ｎ－１)！＝ｎ！

すなわち、 Σ（j=0...j=n)ｊ× ｇ(ｎ，ｊ) ＝ｎ！

　
したがって、
Ｅ２(n)＝ Σ（j=0...j=n)ｊ× ｇ(ｎ，ｊ) ／ｎ！
       ＝１　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明終
　
＊不動点の総数を今までは、横で数えていましたが、
この証明は縦方向で数えました。













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