コロキウム室

NO.1097の BossF さんのお答えで、正解です。
これでメデタシメデタシ・・・としたいところですが、おまけの考察で屋上屋を重 ねさせて下さい。

確かに、代数的には、拘束条件の同値変形により、中心が（q, 0）で半長軸 2（y 軸方向）、半短軸 1（x 軸方向）の楕円が得られて、-1 ≦ q ≦ 1 のもとでその楕 円の掃過する領域を求めれば答えなのですが、幾何的にはどの様な状況になっている か（言い換えると、点Ｐ、点Ｑの位置関係から点Ｒの動く範囲が、q を固定する毎に 楕円として定まるのは…あくまで幾何的に見て…どうしてなのか？）というのを、改 めて問題にしてみたいと思います。

(1）a,b を a ＜ b なる実数とし、f(x), g(x) を [a,b] 上で可積分な関数とする。
次の不等式が成り立つことを示せ。

（2）0 ＜ x ＜ π/2 に対して、次の不等式が成り立つことを（1）の結果を用いて 示せ。

　sin(x) ＞ 2/π・x

#問（2）は、「グラフを書く」「（左辺）-（右辺）なる関数を微分する」のではな い方法でやってみて下さい。

第８８回数学的な応募問題

今、太郎さんは学校で生徒に複素数平面を教えています。 平方根の性質を拡張して次のことが成り立ちます。

（１）ａ、ｂがa＞０、ｂ＜０のとき、

　　　　が成立する。

（２）ａ＞０のとき、

　　　　が成立する。

（３）ｚ^２＝ａ^２の解は、ｚ＝±ａ　である。

また、複素数ｚをａ＋ｂｉで表して、ａ、ｂがともの整数のとき、 ｚを複素整数という。ここで、問題です。（もちろん、ｉは虚数単位を表している。）

問題１：ｚ^２＝４８＋１４ｉ　のとき、複素数ｚを求めよ。

問題２：上の問題を２重根号のはずし方を利用して、解いてください。

問題３：ｚ^２＝ａ＋ｂｉのとき、複素数ｚをａ、ｂで表してください。 （ただし、ａ、ｂは実数とする）

問題４：ｚ^２＝ａ＋ｂｉで、ｂ＝２００２のとき、複素整数ｚを求めてください。

問題1[解]
z=x+yi (x,y∈R)とおくと、
z²=(x²-y²)+2xyi
∴ x²-y²=48…�@　xy=7…�A
�Aより、y=7/x これを�@に代入して分母を払い、整理すると
x⁴-48x²-49=0
x∈Rだから

x2	=24+√(242+49)
	=24+√625
	=49

i.e. x=±7
よって、z=±(7+i) …答

問題1[解その2]
z=r (cosθ+i sinθ) (r＞0) とおきます。
48+14i=50(24/25+(7/25)i)だから
cosα=(24/25), sinα(7/25) なる第1象限の角αを用いて
z²=r²(cos2θ+i sin2θ)=50(cosα+i sinα)
∴ r²=50, 2θ=α+2nπ　i.e. r =5√2 ,θ=(α/2)+π
ここで、(cos(α/2))²=(1+cosα)/2=49/50
i.e. cos(α/2)=7/(5√2) sin(α/2)=1/(5√2)
よって、

z=	±5√2(7/(5√2)+i/(5√2))
	=±(7+i) …答

題2[解]
48+14i=(49-1)+2x7x1xi=(7+i)²
i.e. z²=(7+i)²
∴　z=±(7+i) (∵(3)) …答

問題3[解]
まず、b=0 のとき、z=±√a
つぎに、b≠0 のとき z=x+yi (x,y∈R)とおくと、
z²=(x²-y²)+2xyi
∴ x²-y²=a…�@　2xy=b…�A
ここで、b≠0 よりy≠0 だから
�Aより、y=b/(2x) …�A’
これを�@に代入して分母を払い、整理すると
x⁴-ax²-b²/4=0
x∈Rだから

x²={a+√(a²+b²)}/2
　i.e. x=±√{a+√(a²+b²)}/√2　

これを�A’に代入整理して

ｙ=±b/lbl・√｛√(a²+b²)-a}/√2　
∴z=±1/√2・[√{a+√(a²+b²)}+i b/lbl・√｛√(a²+b²)-a}]…答

問題4[解]
z=p+qi とすると　z²=p²-q²+2pqiだから
2pq=2002 i.e.pq=1001　なる整数p,qを見つければ好い
ところで、1001=7x11x13　したがって

(p,q)=(±7,±143),(±143,±7),(±13,±77),(±77,±13),(±11,±91),
(±91,±11) 、(±1001,±1),(±1,±1001) (複号同順）よって

z=±(7+143i),±(143+7i),±(13+77i),±(77+13i),±(11+91i),
±(91+11i),±(1001+i),±(1+1001i)　…答

(1) 詳しい証明はできませんが、

　　　　
を関数空間上のユークリッド内積と考えれば、 内積公式

　　　　u･v≦|u|･|v|

より明らか。

ここで「・」は内積を表し、u，vは任意のベクトル、||はノルムを表す。

(2) 0 ＜ x ＜ π/2で、sin(x)と2/π・xは単調増加かつ、x＝0でsin x＝2/π・x＝0なので、

　　　　2/π・x ＜ sin x

より、

　　　　2/π・x sin x ＜ sin²x

が成り立てば良く、任意の0 ＜ x ＜ π/2で、

　　　　

であれば良い。ここで(1)より、

　　　　

が成り立つが、

　　　　

なので、

　　　　

となり、OK！。

第８９回数学的な応募問題

今、ここに、整式　ｆ（ｘ）＝（１−ｘ）（１−３ｘ）（１−５ｘ）・・・｛１−（２ｎ―１）ｘ｝ 　がある。ここで、問題です。

問題１：この　整式　ｆ（ｘ）を展開したとき、ｘ　の係数を求めよ。

問題２：この　整式　ｆ（ｘ）を展開したとき、ｘ^２の係数を求めよ。

問題３：

ｎ個の奇数１，３，５，・・・，２ｎ―１から重複せずにｒ個取って作った積を、 ｒ個の選び方すべてにわたって加えたものを

　　　　　Ｐ_ｒとするとき、 Ｐ_１＋Ｐ_２＋Ｐ_３＋・・・＋Ｐ_ｎを求めよ。

先月の問題59　勝負の行方は、 後手必勝，先手必敗のゲームでした。 まさか先手必敗までついてくるとは、思いもしませんでした。 以下は、そういう状況のもとで考えたことだとご理解下さい。

最初この問題でも、二分木検索をやろうかと思わず考えました。 最近多分木検索ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑに成功したので、やりたくてうずうずしてたわけです。 ゲームのプレイ回数は９回で、先手と後手で１と２の枝をつくるので、 場合分けの数は(29)2＝262144程度で、最近のﾊﾟｿｺﾝは無茶苦茶高速だから、 これくらい屁でもない！（30万円出せば、1.5GHz，512MB，20GBが手に入る時代ですから）。 でも止めました。
まず、262144通り全ての検索に成功したとして、 先手か後手が全て勝つような結論にはならないはずだ（実はなるんですね）。 先手必勝か後手必勝になるだろうという答えは、あらかじめ予想できました。 ４対１くらいの比率で先手か後手有利という検索結果になるだろう。これでは＊手必勝にならない。
では例えば、後手が勝つような二分木経路が存在することを示せば良いのか？。 しかしこれでは、後手に勝ち経路があるなら、同様に先手にも勝ち経路が存在するから、 ＊手必勝にならない。というか、これは先手か後手が全て勝つような検索結果にはならないこと の同語反復だ（なるのですね）。
ではこの問題の要はなんだろう？。 「後手は数字２を常に２個づつ消去できる」＝「後手はゲームをコントロールできる」 ことだと思いました。ここで「ゲームをコントロールする」とは、 一般に多分木選択となるゲームの各段階で、自分の勝経路を多分木分かれ道において 常に選択できることです。このような人をゲームマスターと呼びます（カッコつけて）。

ゲームの定義（またカッコつけます）

1. 多分木選択を生成する規則をルールと呼ぶ。
2. ルールによって生成された多分木構造の枝をプレイと呼び、それによって発生するリーフをステージと呼ぶ。
3. 状態とは、ステージに保存されるデータのこと（（数字１の数，数字２の数）の対など）。
4. 多分木生成の終了条件を記述したルールの一部を、特に勝負の判定と呼ぶ。
5. プレイヤーとは、あるステージのプレイを任意に選択できる人である。
6. ゲームとは、（ルール，多分木，状態，プレイヤー）の４重対である。

ゲームマスターの定義
ゲームステージの多分木選択において、対戦プレーヤーの選択に関わらず、 自分の勝ちにつながるプレイ（勝経路）が常に存在するプレーヤーのことをゲームマスターと呼ぶ。 もちろん間違った選択をして、ミスって負ける場合もある。

このように定義すると問題59　勝負の行方には、 次の一般的定理？の結論として別解が存在することになります。

ゲームに関する一般的定理？

ルールがゲームマスターの存在を許せば、ゲームマスターには必勝法が存在する。

［証明!?!?］
定義より明らか。

問題59　勝負の行方は、 後手がゲームマスターで全ての二分木選択が全て勝ち経路という例になります。 しかしこう考えると、ゲームマスターの存在を許すゲームはそもそも不公平です。 対戦者がどんなに頑張っても、ゲームマスターには常に勝つ手段が残るわけですから。 つまり対戦者に詰めの一手は存在せず、できることはゲームマスターのミスを待つのみで、 勝負の決するゲームも終盤に近づけば、双方とも煮詰まってくるので、 ミスはどんどん減って行くと思われます。このあたり将棋や囲碁， チェスなんかはどうなっているでしょう？。 誰かゲームマスターの存在しないことを、証明してないんでしょうか？

やってみました。計算違いがあったら、ゴメンナサイ。
f(x) の定義から、直ちに以下が言えますね。

　　　　

但し、P_k は、問（3）で定義される和積です。

（1）P₁ を求めればいいことになります。

一部修正(12/26)

（2）P₂ を求めればいいことになります。まず、

　　　　

です。この左辺を計算して、

（3）[1] 式に、x ＝ -1 を代入して、

　　　　

　他方、

　　　　

であるから、

　　　　

　よって、[2] [3] の両式より、以下を得ます。

蛇足ながら、（3）を応用して、様々な和を用いて P_k を求めることが出来そうで すね
（例えば、つまらない例ですが、（3）の結果を S_n として、 P_n ＝ S_n -S_n-1 。
また、[1] 式に x ＝ 1 を代入すると P_k の交代和が求まり、値は -1 となるので、k が偶数の場合の和と奇数の場合の P_k の和を求めることが出来る。 などなど）。
ってことは、題意の f(x) は、一種の母関数なわけでしょうか（尤も、 原理的には、0 でない n 個の異なる整数を f(x) に代入して出来る、P_k に関する 連立一次方程式を解けば求まるとは言え。でも、もっと上手い方法がありそうな気が します）。
　バイト先（；予備校です）で、「1〜n の中から r 個（r ≧ 3）を取る積の総和を 求めたいが？」という質問をされて答えそびれたことがあるのですが、『今度同じ質 問をされたら使おう！』と思いました。(^^;

　今度、暇なときに、

　　　　g(x) ＝ Π(1 - kx )

や

　　　　h(x) = Π(1 - 2kx )

の場合について考えてみようかと思います。

No.1108 の各不等式の証明（として、用意させていただいていたもの）を、 一応お送りしたいと思います。

（1）
f(x) ≡ 0 の時は、明らかに等号成立ですね。以下、それ以外の場合を考えます。
h(x) ＝ (t・f(x) + g(x))² の a → b での積分を考えます。
h(x) ≧ 0 ですから、積分の符号も“≧0”。
よって、積分結果を t の２次式と見ると、“２次式”＝ 0 という２次方程式の判 別式を D として、D ≦ 0 が成り立ちますね。
これから、目的の不等式を得ます。

（2）
超略解で失礼致しますが、（1）で
a → π/2 - x
b → 0
f(t) → 1
g(t) → {1 +(π/2)・ sin(t)}^1/2
（（1）の結果の積分変数を、予め t に書き換えておく） とすると、実は直接示すことが出来ます。

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