Weekend Mathematics／問題／問題59

５９．勝負の行方

１が１０個、２が１０個、黒板に書いてあります。 ２人のプレーヤーは順に数字を２つずつ消していきます。 消した数字が同じ数字なら、２を書き加えます。 消した数字が異なるときには、１を書き加えます。 最後に１が残れば先手の勝ち、２が残れば後手の勝ちです。 さてこの勝負、どうなるでしょう。

解答・その１

（ペンネ−ム：みゆママ）

後手の勝ち！
後手は１を２つ消した上に２を１つ増やすことができる。 先手は１を増やそうとして１と２を消す、もしくは２を減らそうとして２を２つ消すが、 どちらも１が増えるわけではなく、２が１つ減るだけである。 結果１回の対戦(?)で２が２つ増えるので、 後手がわざわざ負けようとしない限り、先手の勝ちはありえない。

解答・その２

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん ）

後手の勝ちです。（先手は勝つことができず、後手は負けることができません）

「消した数字が同じ数字なら２を書き加える」場合は、２通りあります。
（あ）（１，１）を消し、２を書く。（１が２つ減り、２が１つ増える）
（い）（２，２）を消し、２を書く。（２が１つ減る）

「消した数字が異なるときには、１を書き加える」場合は、１通りあります。
（う）（１，２）を消し、１を書く。（２が１つ減る）

１はもともと１０個あるので２個ずつ消える１は最終的には残ることができません。
だから先手が勝つことはありません。

念のため最後の場面を考えます。
どの場合もプレーヤーが１手進めるたびに数が１つずつ減ります。
もともと合計２０個の数があるので先手はいつでも偶数個の数の中から２つを消します。
１は偶数個を単位とするので、最終局面で、先手は（１，１）か（２，２）を消します。
（１，１）のときも、（２，２）のときも同じ数字なので２が残ります。

解答・その３

（ペンネ−ム：BossF）

まず、具体的な1,2の個数の増減に注目します

選ぶ数	1の個数	2の個数
1,1	-2	+1
2,2	0	-1
1,2	0	-1

これにより、全体の数は常に-1…�@
また１の個数は増えない…�Aことがわかります
ここで、全ての数が２になれば、最後に残るのは、明らかに２であることに注意します
さて�@によりゲームは１９回目に終ります
ところが、上の表を�Aに注意して眺めれば、後手は10回目に全ての数を２にできます
したがって、後手必勝です…答

解答・その４

（ペンネ−ム：kiyo）

このゲームは１９手で終わるゲームです。
２個消して１個書くので１手で１個減るからです。
仮に先手が勝ちとなる場合は、１９手目に１が１個、２が１個残っている場合 しかない。
しかし、先手が１手目にがどのような消し方をしても、 ２手目の後手は１、２が偶数個（０個は偶数に含める。）残るように消しすこ とが出来る。その後も同様です。
したがって、先手１９手目に１が１個、２が１個残って手番となることはない。
よって、後手必勝のゲームとなる。

解答・その５

（ペンネ−ム：やなせ）

最後に残るのは”２”です。
ルールは以下の通りでしたね
必ず２個取らなければならない（取れなくなったらゲーム終了）
２個取れた場合は組み合わせにより以下の数字を書き足す。
同じ数字を取ったときは２を書き足す。
違う数字を取ったときは１を書き足す。
しかも最初用意してある１，２は各１０個ずつ。

＊ほんじゃまぁ、ゲーム開始といきますか？
３通りの取り方が考えられます
１）１と１
２）２と２
３）１と２

１）の時と２）の時は２を書き足します。
３）の場合のみ１を書き足します。

＊途中経過です。
以上のことから ２の残り数は偶数になったり奇数になったりしますが １を書き足す場合は３）の時だけなので１の 残り数は絶えず偶数になります。

＊おっと、いつの間にか８回の裏じゃ〜
このことから 終了間際（４未満２以上）の組み合わせは
１）１，１，２
２）２，２，２
３）１，１
４）２，２
この４通りしか有りません

３）と４）の時は当然のごとく２が残ります。
２）の時は３）４）の時より回数が一回増えるだけで、同じようになります。
１）の場合は１，１を取ったときは２を書き足すのでパターン４）になります。
次に１，２を取ったときは１を書き足すのでパターン３）になります。
よって、どのように取っても最後に残るのは２になります。

はいゲーム終了
やれやれかならず２が残るのだから必ず後手が勝ちになります

解答・その６

（ペンネ−ム：高橋 道広）

その１
最初に数の総和は偶数
　　1,1を消すとき　２を書くので残りの数の和は偶数
　　1,2を消すとき　１を書くので残りの数の和は偶数
　　2,2を消すとき　２を書くので残りの数の和は偶数
　交互に消していくと、１つずつ個数は減るから,最後に消すのは先手。
また、残りの数の和は常に偶数なので２が必ず残ることになる。
よってどのようにしても後手の勝ち。

その２　もうすこし具体的に…
先手先手が1,1を消すとき　　　1が２つ減り、２が１つ増える
　　後手が1,1を消すとき　1が２つ減り、２が１つ増える
　　　　　　　結果　１が4つ減り２が２つ増える
　　後手が1,2を消すとき　２が１つ減る
　　 　　　　　　　結果　１が2つ減る
　　後手が2,2を消すとき　２が１つ減る
　　 　　　　　　　結果　１が2つ減る
先手が1,2を消すとき　　　２が１つ減る
　　後手が1,1を消すとき　1が２つ減り、２が１つ増える
　　 　　　　　　　結果　１が2つ減る
　　後手が1,2を消すとき　２が１つ減る　
　 　　　　　　　結果　２が2つ減る
　　後手が2,2を消すとき　２が１つ減る　
　 　　　　　　　結果　２が2つ減る
先手が2,2を消すとき　　　２が１つ減る
　　後手が1,1を消すとき　1が２つ減り、２が１つ増える　
　 　　　　　　　結果　１が2つ減る
　　後手が1,2を消すとき　２が１つ減る　
　 　　　　　　　結果　２が2つ減る
　　後手が2,2を消すとき　２が１つ減る　　
　　　　　　　結果　２が2つ減る
先手後手がどのように消していっても、後手が終了したときには、1と２が 偶数個あり、1,2が１つずつ残ることはない。 よって後手の勝ち。

うまくやらないと後手が勝たないかと思いましたが、適当でも勝てるのですから これは楽でいいですね。 早速だれかとかけをしよう(^。^)

解答・その７

（ペンネ−ム：ねこ）

全ての数字の和について、一手先の状態を考えてみる。

同じ数字を消した時
（１，１）あるいは（２，２）が消えて（２）が加えられるので、一手先の和は増減 なし、あるいは−２。

異なる数字を消した時
（１，２）が消えて（１）が加えられるので、一手先の和は−２。 したがって、全ての数字の和の偶奇性は一手先も変わらないことが分かる。

ここで最初の状態を考えてみると、１が１０個、２が１０個で全ての数字の和は３０ であり、偶数である。
偶奇性は最後まで変わらないから、最後に１がひとつだけ残ることはありえない。
よって、最後に残るのは２であり、後手が勝ちとなる。

解答・その８

（ペンネ−ム：柿本　浩）

最初に存在する数字の合計値は （１×１０）＋（２×１０）＝３０
数字を消す組み合わせを考えると
１と１が消える　→　２が追加される　→　合計値は±０
１と２が消える　→　１が追加される　→　合計値は−２
２と２が消える　→　２が追加される　→　合計値は−２
よって、どの様な手順、組み合わせで数字を消したところで その合計値は変化しないか、２ずつ減少していくかのどちらかしかなく 最後には必ず２が残る事になり、後手の勝利は保証されておりまする。 （１・１で合計値が２であっても、それを消せば２が残る）

解答・その９

（ペンネ−ム：ＤＤＴ）

［状況調べ］

�@先手が１を消したとき後手が１を消せば、１は２個減り、２は１個増える。 先手が２を消したとき後手が２を消せば、１の数はそのままで、２は１個減る。

�A数字１が一つしかない時、先手が１を消したとすれば、後手は２しか消せないので、 数字１の数は変わらない。また数字２が一つしかない時、先手が２を消したとすれば、 後手は１しか消せないので、やはり数字１の数は変わらない。

�B �@，�Aより、後手は数字１を２個づつ消すことができる。

［方針］
可能であれば、後手は先手と同じ数を消すものとする。

［実行］
可能であれば後手は先手と同じ数を消すものとする。 数字１の初期の数は10なので、ゲームの各段階で数字１の総数は0も含めて常に偶数。 １回のプレイごとに数字１と２の数の合計は必ず１個減り、 勝負の決する数字1と2の合計が1個（奇数）の時には、数字１の総数は常に偶数なので、 存在できない（0個）。従って、可能であれば後手は先手と同じ数を消すものとすれば、 最終状態は常に、「2」という状態になり、後手必勝。

答え．後手必勝

解答・その10

（ペンネ−ム：とうがらし）

後手の勝ち。

黒板に残った数字の和は常に偶数。 したがって、数字の残りが３つになったときは、（１１２）あるいは（２２２）しかない。 後手はここから２を残し、１１あるいは２２を消して勝ちを収めることができます。

１０分くらいかかりました。先手が勝つためには残り３枚が（１１１）になってなけ ればいけないから...。と遡っていくうちに和が常に偶数であり、（１１１）にはな らないことに気づきました。

解答・その11

（ペンネ−ム：Idaho Potato）

ゲームの定義を次のように「同値変形」するとわかりやすい。
「可能な着手は『1を2つ消して2を1つ書き加える』『2を1つ消す』の2種類」
1は2つずつ減る一方で、増えることはない。
一方、2は消されても (1を2つ消すのと引き換えに) 補充できる。
すなわち、先手の着手に関わらず、後手は『1を2つ消して2を1つ書き加える』 を指し続ければ、それが後手の必勝戦略となる。

蛇足ながら、もし最初の1の個数が奇数であれば、1が1つになった時点で、 先手、後手ともに可能な着手が『2を1つ消す』だけになるので、 1が1つ残ったまま2が1つずつ減っていく。すなわち、先手必勝である。

解答・その12

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

１，１を消すとき，２を書き足すので，結局１が２個減り，２が１個増える．
１，２を消すとき，１を書き足すので，結局１がそのままで，２が１個減る．
２，２を消すとき，２を書き足すので，結局１がそのままで，２が１個減る．
これらのことから，思考実験の結果，戦略を考えなくても， 機械的にゲームが進行することが分かる（よかった！）． 次のエクセルのマクロを作成して，解いてみた．
ａ(ｍ，ｎ)は，１がｍ個，２がｎ個あるときの勝者を表す．
ａ(ｍ，ｎ)＝１で先手勝利，ａ(ｍ，ｎ)＝２で後手勝利となる．
ａ(１，０)＝１，ａ(０，１)＝２からスタートし，
　　ａ(２，０)＝ａ(０，１)＝２，
　　ａ(１，１)＝ａ(１，０)＝１，
　　ａ(０，２)＝ａ(０，１)＝２
　さらに，
　　ａ(３，０)＝ａ(１，１)＝１，
　　ａ(２，１)＝ａ(０，２) or ａ(２，０)＝２，
　　ａ(１，２)＝ａ(１，１)＝１
　　ａ(０，３)＝ａ(０，２)＝２，
　　・・・

この順で計算していき，ａ(１０，１０)の値を求める．
結果は　　ａ(１０，１０)＝２ となるので，どうころんでも（酔っぱらっていても）後手勝利となる．
しかし，マゾ的な先手でない限り，どうやっても負ける試合を始める訳はないので， 勝負なしという結果も考えられる．

Option Explicit
Sub Macro1()
    Dim a(20, 20) As Integer
    Dim b(3) As Integer
    Dim j1 As Integer
    Dim j2 As Integer
    Dim j3 As Integer
    Dim j4 As Integer
    a(1, 0) = 1
    a(0, 1) = 2
    b(2) = 0
    b(3) = 0
    For j1 = 2 To 20
      For j2 = 0 To j1
        j3 = j1 - j2
        j4 = 0
        If j3 >= 2 Then
          j4 = j4 + 1
          b(j4) = a(j3 - 2, j2 + 1)
        End If
        If j3 >= 1 And j2 >= 1 Then
          j4 = j4 + 1
          b(j4) = a(j3, j2 - 1)
        End If
        If j2 >= 2 Then
          j4 = j4 + 1
          b(j4) = a(j3, j2 - 1)
        End If
        If j4 = 1 Or (j4 = 2 And b(1) = b(2)) Or (j4 = 3 And b(1) = b(2) And b(2) = b(3)) Then
          a(j3, j2) = b(1)
        Else
          Cells(1, 1).Value = "このマクロでは解けません!!"
          Exit Sub
        End If
      Next j2
    Next j1
    Cells(1, 1).Value = a(10, 10)
End Sub

前回の問題と同様に、今回も偶奇性の問題でした。 勝敗はもちろん後手必勝、どうがんばっても後手は負けることができません。 残った数字の和が偶数ということに着目すれば、おのずとわかりますね？ 解答・その11　Idaho Potatoさんの解答にもあるように、パリティを逆にすれば もちろん先手必勝になります。 解答・その６　高橋さん、誰かとかけをしてはいけませんよ！！

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