コロキウム室

「f(x)<1/n　はなぜいえるのでしょうか？」

逆に言うと、f(x)>=1/nになるようなｘをすべて排除したからです。
無理数aの前後には、無限に有理数存在します。
つまりf(x)=0とならないｘが無限に存在します。
しかしながら与えられたεに対して、ｆ（ｘ）<1/n<εとすることはできます。
それは適当なδ、(a-δ,a+δ)の中からf(x)>=1/nとなるｘをすべて排除すればいいのです。
それは高々有限個ですから、δを小さくとることで可能なのです。

水の流れさんの解答は、 「折る点を２か所同時に（simultaneously）ランダムに選ぶ場合」 （NO.450や下記の問題と同じ）ではないでしょうか？
それとも「棒を折ってできた二本のうち長い方を選んで二本に折る」という条件は確率に影響しないのでしょうか？

問１２（先日投稿した問題とは別のものです。NO.450 と同じです。原文をそのままうつしました。）
Take a stick of unit length and break it into three pieces. Choosing the break point at random. (The break points are assumued to be chosen simultaneously.) What is the probability that the three pieces can be used to form a triangle? HINT: The sum of the lengths of any two pieces must exseed the length of the third. so each piece must have length < 1=2.

（直訳です。）
長さ１の棒を３本に折る。折る箇所はランダムに選び、またその二点は同時に選 ばれると想定する。このときできた三本で三角形が作れる確率を求めよ。（ヒン ト：三本のうちどの二本の長さの和も、残りの一本の長さより大きくなければな らない。つまりそれぞれの長さは1/2より小さくなければならない。）

棒の長さを１０とします。
最初に折った際に、短い方の棒の長さをｘとします。０＜ｘ＜５
次に折った棒を、ｙ，１０−ｘ−ｙとします。０＜ｙ＜１０−ｘ

三角形ができるための条件は任意の２辺の長さの和が、 もう１辺の長さより長いことです。従って、以下の３条件となります。

1. ｘ＋ｙ＞１０−ｘ−ｙ
   これより、ｙ＞５−ｘ
2. ｘ＋(１０−ｘ−ｙ)＞ｙ
   これより、５＞ｙ
3. ｙ＋(１０−ｘ−ｙ)＞ｘ
   これより、５＞ｘ

一部修正(11/21 19:00)

[NO.450の解]

領域S；x+y+z=1 (x,y,zは正数) を図示すると右図(fig1)のような、正三角形Sになります。

S上で三角不等式
lx-yl≦z≦x+yを考えたのが右図(fig2)
したがって、1/4…答

[No1092の解]

最初におった長い方を再びおるというのは x+y+z=1 (x,y,zは正数)かつ z≦x+y なるz=pが与えられたということですから、 このとき、三角形ができる確率ｄP(p)は 右図(fig3)より

ｄP(p)=C(p)D(p)/A(p)B(p)

ここで
C(p)D(p)=(√2)/2x{p/(1/2)}=(√2)p

A(p)B(p)=(√2)x{(1-p)/1}=(√2)(1-p)

よって
dP=p/(1-p)

あまり自信ありません

対数が出て欲しいのなら、解答は多分不適切なものです。
解き方としては、 規格化のために棒の長さは１とした方が確率の問題では無難です。 それで、最初に折った時の棒の長さをｘとします。 （対称性から０．５までにして２倍できます。） ０〜０．５について三角形が成立するのは、 （１ーｘ）部分（長い方）のうち真ん中の部分で折る場合で、その幅はｘになり ます。
したがって、０〜０．５の範囲で、 関数ｆ（ｘ）＝ｘ／（１−ｘ）を積分してやれば良く、 答えはそれを２倍するので、
２log２ー１（約０．３８？）になると思います。

エクセルで解いてみました（Macro1）．
長さ１の線分内に，乱数により，２ヵ所の点を打つ。 それによって３つの線分に分け，その３つの長さをｘ，ｙ，ｚ （ｘ＋ｙ＋ｚ＝１，０≦ｘ＜１，０≦ｙ＜１，０＜ｚ≦１）とする．

三角不等式
　　｜ｘ−ｙ｜＜ｚ＜ｘ＋ｙ
を満たすとき，三角形をなす．

この試行を１００００００回繰り返し，確率を求める．
このマクロにより，確率は
　　0.250206≒１／４
となることが分かる．

どう見てもlog２が出て来るようには見えないのですが．
このマクロMacro1では，何のしがらみもなく２点を打ち， ３本の線分に分けるようになっています．

それに対して，Macro2では，最初に１点をとって１つの線分を取り出し， 残りの線分内にもう１点をとって，合計３本に分けるようになっています． これは問題の条件には合っていないと思います．
とりあえず走らせてみると，確率は
　　0.193202≒log２−１／２
となり，ここでlog２が出るようです．

Option Explicit
Const N As Long = 1000000
Sub Macro1()
    Dim A As Double, B As Double
    Dim x As Double, y As Double, z As Double
    Randomize Timer
    Cells(1, 1).Value = 0
    Cells(1, 2).Value = 0
    Cells(1, 3).Value = "=A1/B1"
    While Cells(1, 2).Value < N
      A = Rnd: B = Rnd
      x = Application.Min(A, B)
      y = Abs(A - B)
      z = 1 - x - y
      'Cells(2, 1).Value = x: Cells(2, 2).Value = y: Cells(2, 3).Value = z
      If Abs(x - y) < z And z < x + y Then
        Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
      '  Cells(2, 4).Value = "○"
      'Else
      '  Cells(2, 4).Value = "×"
      End If
      Cells(1, 2).Value = Cells(1, 2).Value + 1
    Wend
End Sub
Sub Macro2()
    Dim x As Double, y As Double, z As Double
    Randomize Timer
    Cells(1, 1).Value = 0
    Cells(1, 2).Value = 0
    Cells(1, 3).Value = "=A1/B1"
    While Cells(1, 2).Value < N
      x = Rnd: y = Rnd * (1 - x)
      z = 1 - x - y
      'Cells(2, 1).Value = x: Cells(2, 2).Value = y: Cells(2, 3).Value = z
      If Abs(x - y) < z And z < x + y Then
        Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
      '  Cells(2, 4).Value = "○"
      'Else
      '  Cells(2, 4).Value = "×"
      End If
      Cells(1, 2).Value = Cells(1, 2).Value + 1
    Wend
End Sub

分数の真中にあるあの「線」って、何て呼べばいいんでしょうか？
どうでもいいことですが、気になるので、もしご存知でしたら教えてください。
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