Weekend Mathematics／問題／問題87

８７．３つの円に囲まれた面積

右の図は、大円とその内部に含まれる２つの小円でそれぞれ接しています。 これらによって囲まれた部分（図中のブルーに色づけした部分）の面積を求めてください。 ただし、ABは２つの小円の共通接線の一部で、その長さをｔとします。

解答・その1

（ペンネ−ム：19才のウメ）

tが直径の円において｛(t/2)²ー2・(t/4)²｝π＝t²・(π/8)かも

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解答・その2

（ペンネ−ム：kirkland）

Ａ君	「ＡＢの長さがトンっていうのは何ですか？」
先生	「？？？まぁ、君は気にせずＡＢの長さが１ｃｍということでやりたまえ。」
Ａ君	「ＡＢ＝１ｃｍにしても、ちゃんと答えは出ますか？」
先生	「もちろん。」
Ａ君	よし、それさえ分かれば、こんなの簡単ですよ。いやぁ、３つの円の半径がそれぞれ何ｃｍなのか分からないので 困ってたんですよ。にも関わらず答えがきちんと出るということは、円の半径をどのように設定してもＯＫなわけ ですよね。ということで分かりやすく、大円の半径を0.5ｃｍ、２つの小円の半径を0.25ｃｍと勝手に決めてしまっ て（右図）、0.5×0.5×3.14−(0.25×0.25×3.14)×２＝0.3925ｃｍ２で〜す！！」
先生	「限りなくインチキ臭いが、まぁそんなもんでいいんじゃないの。」
Ａ君	「インチキだなんて心外だなぁ。では、まともなやり方を教えて下さいよ。」
先生	「中学３年ぐらいの内容なので、小学生の君には無理だよ。」
Ａ君	「先日、小学校の卒業式があったんで、４月からは中学生なんですけど。」
先生	「ふふふっ、あきらめなさい。諸事情により君は来年も小学６年生なんだよ。」
Ａ君	「……。」

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解答・その3

（ペンネ−ム：玉村太郎）

面積　Ｓ＝πt^２／８

解答・その4

（ペンネ−ム：kiyo）

円周角、ピタゴラスの定理より、

　　　　（ｔ^２/８）π

です。

解答・その5

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

こんなのになってしまいました．参加することに意義があると思ったので．

解答・その6

（ペンネ−ム：anik）

2つの小円の半径をx,y（x≧y）、大円の中心をＯとおき、
小円はＡＢの中点で交わっているので、そこをＣとおき、
求める面積をＳとおくと、
　　Ｓ＝π(x＋y)²−πx²−πy²＝π2xy……�@
　　ＡＣ＝t/2……�A
　　ＯＡ＝x＋y……�B
　　ＯＣ＝大きい方の小円の直径−大円の半径
　　　　＝2x−(x＋y)
　　　　＝x−y……�C
△ＡＯＣは直角三角形なので、ピタゴラスの定理から
　　ＯＡ²＝ＡＣ²＋ＯＣ²
�A、�B、�Cから
　　(x＋y)²＝(t/2)²＋(x−y)²
　　x²＋2xy＋y²＝t²/4＋x²−2xy＋y²
　　4xy＝t²/4
　　xy＝t²/16
�@に代入
　　Ｓ＝πt²/8

解答・その7

（ペンネ−ム：Toru）

２つの小円の半径を左からR₁,R₂ とすると 大円の半径はR₁+R₂となるので求める面積Ｓとすると

　　　　Ｓ=π(R₁+R₂)²-πR₁²-πR₂²=2πR₁R₂

一方、ＡＢの中点をＭとしＭをとおりＡＢと垂直な直線を引き、大円との交点を左 からＰ、ＱとするとΔPQBが直角三角形であることから、ΔＰＭＢとΔＢＭＱが相似 となって、

　　　　ＰＭ：ＭＢ＝ＢＭ：ＭＱすなわち2R₁：t/2=t/2：2R₂ よって4R₁R₂=t²/4

これを上の式に代入すれば、Ｓ=πt²/8　----答え

ＡＢの長さを決めてしまえば大円の半径を変えてもＳが変わらないところがちょっ と不思議ですね。

解答・その8

（ペンネ−ム：aa）

大きな円の半径をr、左の小円の半径をa、右の小円の半径をbとすると、
求める面積Sは、

S=	πr2-πa2-πb2
	=π(r2-(a2+b2)) ------ (1)

になります。
各辺の長さを図のように仮定すると、三平方の定理より、

　　　　x²=(2a)²+(t/2)² ----- (2)
　　　　y²=(2b)²+(t/2)² ----- (3)
　　　　(2r)²=x²+y² --------- (4)

となる。

　　　　4a²+4b²+2(t/2)²=4r²

これより、

　　　　a²+b²=r²-t²/8

(1)に代入して、

　　　　S=π(r²-r²+t²/8)=πt²/8

解答・その9

（ペンネ−ム：蜘蛛の巣城）

ＡＢの中点をＭとすると
点ＭはＰＱ上にも存在する。
点Ｍは二つの小円の接点でもある。

△ＢＰＱ、△ＢＰＭ、△ＢＱＭは
それぞれ直角三角形である。

まあ、この辺は認めてしまいましょう。

三平方の定理から

　　　　PQ²=BP²+BQ²　　　･･･�@

　　　　BP²=BM²+PM²　　　･･･�A

　　　　BQ²=BM²+QM²　　　･･･�B

式�A�Bを�@に代入

　　　　PQ²=2BM²+PM²+QM²　　　･･･�@

即ち

　　　　PQ²-PM²-QM²=2BM²　　　･･･�C

大円と二つの小円の半径をそれぞれ r₁, r₂, r₃とすれば

　　　　

すなわち

　　　　　　　 ･･･�D

　　　　　　　　　　 　　 ところで求める面積は

　　　　S=π(r₁²-r₂²-r₃²)　　　 ･･･�E

　　　　　　 　　（0＜t≦2r₁）

解答・その10

（ペンネ−ム：ｋ.cognitive）

小円をそれぞれC,Dとし、それらの直径の長さをそれぞれa、bとする。
大円の半径は1/２×(a+b）となり　（a+bは大円の直径だから）
大円の中心と直線ABとの距離は　　a-1/2×(a+b）である
（b-1/2×(a+b)としても後の結果は同じ。 円の中心がどこにあるかで場合分けする必要があるが今は小円の大きなほうをCとした）
今ABの中点、大円の中心、点Aを頂点とする三角形を考えると、三平方の定理より以下の式が成り立つ

　　　　1/４(a+b)^２＝1/４×t^２＋1/４×(a-b)^２

これより

　　　　ab＝1/4×t^２　...�@

を得る。 今求める面積は　大円の面積ーCの面積ーDの面積であるから

　　　　1/４×(a+b)^２πー1/4×a ^２πー1/4×b^２π ＝1/2×ab π

�@を代入して1／8×t^２πが求まる。（答）

解答・その11

（ペンネ−ム：高橋　道広）

この問題はmennseki１のような問題を知っていたので興味を持ちました。 mennseki1の問題は　AB = tのとき面積を求めよ　という問題です。

さて今回の問題は　中の円の大きさを同じと考えるとABが直径で

　　　　(t/2)²π - 2×(t/4)²π = πt²/8

となります。これが答です。

まじめに計算すると次のようになります。
中にある大きいほうの円の半径をa　小さい方の円の半径をbとすると
外の円の半径は　a+b　　三角形OBHで　OH = a+b-2b = a-b　OB = a+b　より

　　　　(AB/2)² = (a+b)² - (a-b)² = 4ab

　　　　ab = t²/16

となります。 面積は

　　　　(a+b)²π - a²π - b²π = 2πab = 2π×t²/16 = πt²/8

となります。

解答・その12

（ペンネ−ム：yokodon）

円の半径を小さい順に r₁ , r₂ , R とし、求める面積を S とすると、

　　　　r₁ + r₂ ＝ R 　・・・[1]

　　　　S ＝ π・R² - {π・(r₁)² + π・(r₂)²} ・・・[2]

は直ちに分かります。

ところで、半径最大の円の中心をＯ、線分ＡＢの中点をＭとすると、△ＯＡＭは直 角三角形なので、

　　　　ＯＭ＝√(R² - (t/2)²) ＝ R - 2・r₁ ＝ 2・r₂ - R

が成り立ちます。これより、

　　　　(r₁)² ＝ R・r₁ - (t/4)² 、(r₂)² ＝ R・r₂ - (t/4)²

を得ます。以上を S の式 [2] に代入し、[1] を用いると、

S	＝ π・R2 - π{R・(r1 + r2) - 2・(t/4)2}
	＝ π・R2 - π{R2 - (t2)/8}
	＝ π/8・t2

となります。
何だか、「へぇ〜」な結果ですね。

解答・その13

（ペンネ−ム：teki）

答え　　1/8*π*ｔ²（ＡＢを直径とする半円の面積）

中の小円の半径を、ｒ₁、ｒ₂とすると、大円の半径は、 ｒ₁+ｒ₂となります。 また、大円の中心をＯ、２つの小円の接点をＣとすると、三角形ＯＣＡは直角三角形 となります。 よって、三平方の定理から、

　　　　1/4*ｔ²+（ｒ₁-ｒ₂）² ＝（ｒ₁+ｒ2）²

　が成り立ちます。つまり、

　　　　ｒ₁*ｒ₂＝1/16*ｔ²

　となります。一方、水色の部分の面積は、

　　　　π*（ｒ₁+ｒ₂）²-π*ｒ₁²-π*ｒ₂²＝2*π*ｒ₁*ｒ₂ ＝1/8*π*ｔ²

となります。

解答・その14

（ペンネ−ム：kenchan）

（解答）
大円の半径をＬ、二つの内接する円の半径をＲ、ｒ　（Ｒ＞＝ｒ）とする。
また図のように点Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆを定める。ただしＣ、Ｄ、Ｆは各円の中心である。
三角形ＢＤＥは直角三角形なので三平方の定理より次が成り立つ。

　　　　ＢＤ^２　＝　ＤＥ^２　＋　ＢＥ^２

　　　　Ｌ^２　＝　（２Ｒ−Ｌ）^２　＋　（ｔ／２）^２

これを整理すると

　　　　Ｒ（Ｌ−Ｒ）　＝　（ｔ^２）／１６　　　（１）

となる。

一方　２Ｒ＋２ｒ　＝　２Ｌ　　 すなわち　Ｒ＋ｒ　＝　Ｌ　も成り立つ。　　（２）

これらを使って面積を求めていくことにする。
求める面積をＳとすると、Ｓは大円の面積から二つの内接する円の面積を引けばいいので、

Ｓ	＝　π・Ｌ２　−　（π・Ｒ２＋π・ｒ２）
	＝　π・｛Ｌ２−（Ｒ２＋ｒ２）｝
	＝　π・｛（Ｒ＋ｒ）２−Ｒ２−ｒ２｝　　　　　（１）を利用
	＝　π・（Ｒ２＋２Ｒｒ＋ｒ２−Ｒ２−ｒ２）
	＝　π・２Ｒｒ
	＝　π・２・Ｒ（Ｌ−Ｒ）　　　　　　　　　　　（１）を利用
	＝　π・２・ｔ２／１６　　　　　　　　　　　　（２）を利用
	＝　π・ｔ２／８

よって求める面積は　π・ｔ^２／８　となる

解答・その15

（ペンネ−ム：UnderBird）

線分ABの垂直二等分線は、大円および2つの小円の中心を通る。 ここで垂直二等分線と大円との交点をP,Qとすると三角形PBQは∠B=90°の直角三角形 であり、また、2つの小円の半径をそれぞれR,rとすると、PQ=２（R+r)である。 よって三平方の定理より

PQ²=PB²+QB²から、

　　　　(2R+2r)²={(2R)²+(t/2)²}+{(2r)²+(t/2)²}

よって、rR=(t²)/16

求める部分の面積は

　　　　S=π{(R+r)²-r²-R²}=2πrR=(πt²)/8

解答・その16

（ペンネ−ム：ドモン）

大円に接する２つの小円のうち，大きいほうと大円との接点をC， 小さいほうと大円の接点をDとし，大きいほうと小さいほうとの接点をEとする。
C，D，Eは大円の直径上にあるので，△ACE∽△DBEが成り立つ。 （証明は省略）よって，

　　　　AE：DE＝CE：BE…�@

また，大きい小円の半径をR， 小さい小円の半径をｒとすると，大円の半径はR+rとなり， 求める図形の面積をSとすると，

　　　　S＝π（R+r)²−πR²−πｒ²＝２πRr…�A

ここで，AE=ｔ/２　BE=ｔ/２　CE=２R　DE=２ｒで�@より，

　　　　ｔ/２：２ｒ＝２R：ｔ/２からRｒ＝ｔ²/１６…�B

よって�Bを�Aに代入すると求める解はS＝πｔ²/８

解答・その17

（ペンネ−ム：巷の夢）

今三つの円を大円、中円及び小円とし、大円と中円の接点をC、 大円と小円の接点をD及び中円と小円の接点をEとします。 更に、大円、中円そして小円各々の直径をX,Y,Zとします。 すると三平方の定理から △BCEに対し、

　　　　BC^２＝Y^２＋（ｔ/２）^２

が成り立ちます。 同様に、△BDEに対し、

　　　　BD^２＝Z^２＋（ｔ/２）^２

又、△BCDに対し、

　　　　CD^２＝X^２＝BC^２＋CD^２

が成り立ちます。 即ち、

　　　　X^２＝Y^２＋（ｔ/２）^２＋Z^２＋（ｔ/２）^２

が成り立ちます。 これより

　　　　X^２−Y^２−Z^２＝ｔ^２/２

ところで、求める面積Sは　

　　　　S＝π（X^２−Y^２−Z^２）/４

であるから、πｔ^２/８が求める面積である。

解答・その18

（ペンネ−ム：午年のうりぼう）

解答・その19

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え　Ｓ=π/8・t²　です。

求める面積をＳ，大円の半径をＲ、二つの小円の半径をＲ_１，Ｒ_２とすると

　　　　Ｓ＝Ｒ²・π―Ｒ_１²・π―Ｒ_２²・π……�@

　　　　２・Ｒ＝２・Ｒ_１＋２・Ｒ_２……�A

図形の△CBGは直角三角形、ＡＢ=tなので次の式が成り立ちます。

　　　　ｔ/2²=2・R_１・2・R_２……�B

　�Aの両辺を2で割る

　　　　（Ｒ_１＋Ｒ_２）²＝R²……�C

　�Bの両辺を２で割る

　　　　２・R_１・R_２=t²/8……�D

上の式�Cから�Dを引く　Ｒ_１²＋Ｒ_２²=t²/8……�E

これ等の式を�@に代入すると

　　　　Ｓ＝t²/8・π=π/8・t²

解答・その20

（ペンネ−ム：三角定規）

右図のように AD＝a，BD＝b とする。
△ACD∽△BCD より

水色部分の面積 S は，

弦の長さが一定ならば内側の2円の直径a，b が異なっても水色部の面積が一定になるのは， 式の上ではそのとおりでも，下図を素朴に見ると不思議ですよね。

もしや，赤線の左右は面積が等しいのか？ 調べてみましたが，そこまではいかないようですね。 　もひとつ，水色部分の重心は赤線上にあるのか？　ここまでいったら神秘なのですが，これも，そうではないようです。

解答・その21

（ペンネ−ム：SOU）

以下回答

##　求める面積をSとし、最も大きな円、次に大きな円、最も小さな円の面積をそれ ぞれ、S₁、S₂、S₃とし、 円の半径をそれぞれr₁、r₂、r₃とする。

##　S₂とS₃の接点における共通接線をTとし、 S₁とTとの交点をそれぞれT₁、T₂とする。

##　S₁とS₂の接点をT₃、 S₁とS₃の接点をT₄、 S₂とS₃との接点をT₅とする。

　

回答１

	S2とS3はS1に内接している
⇔	S1とS2(S3)は接点における共通接線をもつ
⇔	その共通接線に対しS1、S2(S3)の中心から下ろした垂線は重なる
⇔	S1の垂線はS1の中心を通るのでS2(S3)の垂線もS1の中心を通る
⇔	S2とS3の直系をつなげたものは、S1の直径である
⇔	S2とS3の接点はTを２分する
⇔	r1 = r2 + r3 　　　�@

S	= S1 - S2 -S3
	= π { (r1)2 - (r2)2 - (r3)2}
	（�@より）
	= 2π * r2 * r3 �A

ここで、

△T1T3T4　∽　△T1T4T5	⇔ 2 * r2 : { 4*r22 + t2/4 }2 = { 4*r22 + t2/4 }2 : 2 ( r2 + r3 )
	⇔ r2 * r3 = t2/16　　　�B
	�A、�Bより、
S	= πt2/8 //

回答２
　

	S2とS3はS1に内接している
⇔	S1とS2(S3)は接点における共通接線をもつ
⇔	その共通接線に対しS1、S2(S3)の中心から下ろした垂線は重なる
⇔	S1の垂線はS1の中心を通るのでS2(S3)の垂線もS1の中心を通る
⇔	S2とS3の直系をつなげたものは、S1の直径である
⇔	S2とS3の接点はTを２分する
⇔	t = 2r　　　�@

S₂ = π/4{r₁ + [r₁² - (t/2)]^(1/2)}²

S₃ = π/4{r₁ - [r₁² - (t/2)]^(1/2)}²

S₁ = πr₁² - π/4{r₁ + [r₁² - (t/2)]^(1/2)}² - π/4{r₁ -[r₁² - (t/2)]^(1/2)}²
= πt²/8 //

回答３

�Bを用いて、Sはr₂、r₃に依存しないことがいえるので、 2つの内接円の半径を同じに してもよく、それを踏まえて考えると簡単に出せる。答えは同じです。

解答・その22

（ペンネ−ム：Mr.X）

外側の円の半径をRとして

ｔだけで決まるとはスゴイですね。

解答・その23

（ペンネ−ム：えいぶ）

大円の半径をrとする。
Bを(rcosθ,rsinθ)で表せばAは(rcosθ,-rsinθ)である。
ゆえにt=2rsinθ
右小円の半径はr(1-cosθ)/2である。
また左小円の半径はr(1+cosθ)/2である。
ゆえに求める面積は
　　　　πr²-[π{r(1+cosθ)/2}²+π{r(1-cosθ)/2}²]
であり整理して
　　　　=πr²sin²θ/2
これはπt²/8と同値である。

答え.πt²/8

解答・その24

（ペンネ−ム：小学名探偵）

答え　 πｔ^２／８

３つの円の直径を、ｒ、ｓ、ｖ（ｒが大きな円の直径）とすると、ｒ＝ｓ＋ｖです。

ブルーの面積	＝大円Ｒの面積−左円Ｓの面積−右円Ｖの面積
	＝π／４｛（ｓ+ｖ）２−ｓ２−ｖ２｝
	＝πｓｖ／２

この問題は、ＡＢが一定である限り、大円Ｒの大きさにかかわらず、 内接円の直径ｓとｖの積が一定（ＡＢの関数、多分２次関数）になると 主張しているようです。 実際にそうなります。
いま、ＡＢに直交し、３つの円の中心を通る直線を引き、
この直線とＡＢとの交点をＰ、
Ｐよりｓだけ左にある点（直線と円周との交点）をＣ、
Ｐよりｖだけ右にある点（直線と円周との交点）をＤ、
とします。 ＣＤは大円Ｒの直径なので∠ＣＡＤは直角です。 Ｐは直角三角形ＣＡＢの頂点Ａから斜辺ＣＤにおろした 垂線の足なので、 直角三角形ＣＰＡと直角三角形ＡＰＤは相似です。すなわち、

　　　　ＣＰ：ＰＡ＝ＡＰ：ＰＤ

これは、

　　　　ｓ：ｔ／２＝ｔ／２：ｖ

したがって、

　　　　ｓｖ＝ｔ^２／４

　　　　ブルーの面積（πｓｖ／２）＝ πｔ^２／８

になり、ｓとｖの比にかかわらず、一定です。
一般に、円内または円外の点Ｐで交わる２直線と円との交点をＡ，Ｂおよび Ｃ，Ｄとすると、 三角形ＰＣＡと三角形ＰＢＤは相似なので、 ＰＣ×ＰＤ＝ＰＡ×ＰＢが成立します。Ｃ＝Ｄならば、ＰＣ^２ すなわち、ある半径の円に対して点Ｐを決めれば、円との交点の位置によらず 交点までの距離の積が一定になります。 本問はこの特別の例であり、ＰＣ×ＰＤ＝ｔ^２／４になるのでした。　

解答・その25

（ペンネ−ム：ＷＵ）

Ａ，Ｂの中点をＣ，ＡＢに垂直の大円の直径をＰ，Ｑとする．
Ｐ側の中の円の半径をＲ，Ｑ側のそれをｒとすると，
ＡＢ，ＰＱに関する方べきの定理より，
　　　２Ｒ・２ｒ＝（ｔ／２）^２
これを使い，求める面積Ｓは
　　　Ｓ＝π（（Ｒ＋ｒ）^２−（Ｒ^２＋ｒ^２））＝πｔ^２／８

半径とｔの関係はピタゴラスの定理や円の方程式からも出せますが，
方べきの定理（相似）が最も早いかな？
ただ，この結果の意味する
円だとした場合の半径を表すｔ／２^{（３／２）}の長さの意味は何だろう？

解答・その26

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

答は、πｔ²／８です。

この問題は３つの円の中心が同一直線上にあるとして考えます。 そうでないと、変数ｔだけを用いて面積を表せないからで

図１で、ＣＥを直径とする円の半径をａ、ＥＤを 直径とする円の半径をｂとします。すると、ＣＤを 直径とする円の半径は (ａ＋ｂ) となります。 求める部分の面積をＳとすると、

　　　

Ｓ	＝(ａ＋ｂ)2 π − ａ2 π − ｂ2 π
	＝２ａｂπ　・・・ �@

ここで、∠ＣＢＤは直径に立つ円周角なので直角、 ＡＢが２つの小円の共通接線なので ＡＢ⊥ＣＤ 、 などから、△ＣＥＢ ∽ △ＢＥＤ 。

よって、 ＣＥ：ＥＢ ＝ ＢＥ：ＥＤ をａ、ｂ、ｔを用いて表すと、

図１ 　 　２ａ：ｔ／２ ＝ ｔ／２：２ｂ 。
　∴　２ａｂ＝ｔ²／８　・・・ �A

�Aを�@に代入すると、Ｓ＝πｔ²／８ となります。

さて、相似である図形の面積は、対応する辺の長さの２乗に比例するという関係があります。 円、正方形、正３角形などは、半径や１辺を指定すれば、 面積はその長さの２乗に比例します。よってブルーに色づけされた部分の面積は、

　　　

	(ａ＋ｂ)2 − ａ2 − ｂ2
＝	２ａｂ

に比例します。（図２） 　面積の値そのものは、比例定数を掛けることで得られます。

図２

正解者

kenchan	teki	ドモン
巷の夢	小学名探偵	UnderBird
Mr.X	yokodon	Toru
高橋　道広	浜田　明巳	杖のおじさん
ｋ.cognitive	kiyo	玉村太郎
ＷＵ	19才のウメ	anik
蜘蛛の巣城	aa	夜ふかしのつらいおじさん
えいぶ	kirkland	SOU
三角定規	午年のうりぼう

今回、特にたくさんの方から解答をお寄せいただきどうもありがとうございました。

A君もどらえもんに出てくるのび太くんと同じように 来年もまた小学生ということで安心しました！？　 ところで、A君の解答ですけれど、 「３つの円の半径がそれぞれ何ｃｍなのか分からないにも関わらず答えがきちんと出るということは、 円の半径をどのように設定してもＯＫ」という読みはなかなか深いのですが、 結果的にはそれも正しいのですけれど、その裏付けがないと厳しいと思います。 小学生だとやはりちょっと無理だったかな・・・。

大人の方達の解答をみると、三平方の定理を用いるか、相似を用いるか、 それを一般化した方べきの定理を用いるかして求めていただきました。この問題の場合は、 方べきの定理を使うと早いかなと思うとともに、方べきの定理ってこういうことだったのねと 納得しますね。

方べきの定理については、問題44　ハスの問題で ご紹介しましたが、改めて。

図１ 方べきの定理(図１) 定円Ｏと定点Ｐについて、ＰＡ・ＰＢ＝一定 図２ 方べきの定理の簡単な証明をします。(図２：点Ｐが線分ＡＢ上にあるとき) ＰＡ・ＰＢ ＝(ＡＭ−ＰＭ)・(ＡＭ＋ＰＭ) ＝ＡＭ２−ＰＭ２ ＝(ＯＡ２−ＯＭ２)−(ＯＰ２−ＯＭ２) ＝ＯＡ２−ＯＰ２ ＝一定 点Ｐが線分ＡＢ上にない場合も同様に証明ができます。 図３ 方べきの定理を別な形で表現します。(図３) １つの円に弦ＡＢ，ＣＤがあり、その交点をＰとすると、以下の等式が成り立つ。 ＰＡ・ＰＢ＝ＰＣ・ＰＤ

結果的には、内側の円２つの半径によらず、ｔの値のみで面積が決定されるというA君の読みは正しかったわけです。 なかなかおもしろい結果だなあと思います。

さらに、夜ふかしのつらいおじさんがおもしろい考察を寄せていただきました。 なかなか美しいと思いませんか？

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