Weekend Mathematics／問題／問題70

７０．容器の体積の問題

右の図のような、一辺10cmの立方体から直方体を切り取った形の容器に水を入れ、 もれないようにふたをしました。 この容器を水平な床の上に【図１】、【図２】、【図３】のような３通りの 置き方をしました。 【図２】のように置いたときの方が、【図１】のように置いた時よりも水面の 高さが1.25cm高くなりました。 このとき、つぎの問いに答えなさい。

(1)容器に入れた水の体積は何cm³ですか。

(2)【図３】のように置いたときの水面の高さは容器の高さの何倍ですか。

解答・その１

（ペンネ−ム：モルモット大臣）

(1)図1において底面から5cmより上部分の高さをh cmとおくと、図2において底面から 5cmより上部分の高さはh+1.25 cm　ここで 図1および図2の水の体積Vは等しいので

　　　5×10×10+5×10×h= 5×5×10+ 10×10×(1.25+h)

これを解いてh=2.5cm、V=625cm³
　　答(1) 625cm³

(2)図3において底面から頂点までの高さ(容器の高さ)は5cm, 5cm, 5√２cmの直角2等 辺三角形の斜辺を底辺とした高さ5√２/2cmの3つ分で15√２/2cmである。次に水の入 っていない部分の体積は10³×3/4-625=125cm³
ここで図3 の水面から頂点までの高さをH cmとすると水の入っていない部分の体積は 2H×H×1/2×10=125cm³ から10H²=125cm³
よってH= 5√２/2cm
以上から水面の高さ/容器の高さ= (15√２/2-5√２/2)/15√２/2=2/3
　　答(2) 2/3倍

解答・その２

（ペンネ−ム：やなせ）

問い１について
水の全容量をＶとした時
図１の時の 水面までの高さは以下の式で表すことが出来ます。

　　(Ｖー５×５×１０)÷(５×１０)ｃｍ・・・・ｈ

図２の時の水面までの高さは以下の式で表すことが出来ます。

　　(Ｖー５×５×１０)÷(１０×１０)＋５ｃｍ ・・・・・Ｈ

Ｈ−ｈ＝1.25ｃｍから
(Ｖー５×５×１０)÷(５×１０)＋1.25＝(Ｖー５×５×１０)÷(１０×１０)＋５

（Ｖ−２５０）÷（５０）＋1.25＝（Ｖ−２５０）÷（１００）＋５
２Ｖ−５００＋１２５＝Ｖ−２５０＋５００
２Ｖ−Ｖ＝−２５０＋５００＋５００−１２５
Ｖ＝６２５ｃｍ^３
水の体積は ６２５ｃｍ^３ です。

問い２です
容器の全体積は１０×１０×１０−（５×５×１０）＝７５０ ｃｍ^３ から 図３における水の入っていない所の容積は問い１の答えから
７５０ ｃｍ^３ −６２５ｃｍ^３ ＝１２５ｃｍ^３
容積の体積は 底面が２等辺直角三角形で高さが１０ｃｍの三角柱から底面積は
１２５ｃｍ^３ ÷１０ｃｍ＝12.5ｃｍ^２
三角形の面積は底辺×高さ÷２、又直角二等辺三角形だから、底辺＝高さ から
一片の長さは　＝５ｃｍ
直方体の各辺の長さは１０ｃｍで、容器の下に出来ている三角形及び容器内の三角形の２辺は その半分だから、 容器の下に出来ている三角形の高さ＝その上の水の深さ＝ 容器の中に出来た空白の三角形の高さになることから 答えは2/3培です。

解答・その３

（ペンネ−ム：文誠）

（1）
図1の水位が5ｃｍより超える高さをｘｃｍとすると、図1と図2の水の体積が等しいこ　 とから
500+50ｘ＝250+100（ｘ+1.25）　　　　　ｘ＝2.5
したがって水の体積は　　　500+50ｘ2.5＝625
　　　　答　　625ｃｍ^３

（2）
容器の容積は750ｃｍ^３なので （1）から水面上部の空気の体積は125ｃｍ^３であることがわかります。

（容器の高さ）-（水面の高さ）＝ｘとすると　　10*ｘ*ｘ＝125　　ｘ＝5/√2
容器の高さは　　　　　　　10√2*3/4＝15/√2----(B)
水面の高さは　　　15/√2　-　5/√2＝10/√2----(A)
A/B＝2/3
　　　　　答　　2/3倍
　　　

解答・その４

（ペンネ−ム：理一郎坊ちゃん）

（１）　６２５cm³
（２）　（２／３）倍
いずれも断面積で考えればよいのです。図１の水面の高さを　５＋ｘ　とすると
図１の断面積＝５０＋５ｘ　図２の断面積＝２５＋１０（ｘ＋１．２５）
これらは等しいから　ｘ＝２．５　
したがって断面積は　６２．５で、高さ１０をかけると水の体積になる。
容器の体積は　７５０だから、空気の体積は　７５０−６２５＝１２５。
図３の空気の部分の断面積は１２５／１０＝１２．５
またその断面は直角二等辺三角形だから、直角をはさむ二辺は　５となる。
与えられた容器は、５×５×１０の直方体を L字状に重ねたものだから、対称性から上記の答えが得られる。

解答・その５

（ペンネ−ム：こざっぱ）

図１〜図３まで常に奥行きは１０ｃｍなので、青い部分の面積（水の断面積）で考えます。

（１）水の容積
図１において、幅が狭くなる高さ５ｃｍのところから、水面までがｘｃｍである とすると、青い部分の面積Ｓは

　　　Ｓ＝５ｘ＋５０・・・�@

図２において、青い部分の面積は、（高さの差が２．５ｃｍなので）

　　　Ｓ＝（ｘ＋１．２５）＊１０＋２５・・・�A

�@＝�Aより、ｘ＝２．５であり、Ｓ＝６２．５が求まる。 求めるものは水の容積なので

　　　水の容積＝Ｓ＊１０（奥行き）　＝　６２５ｃｍ³　　　　　・・・Ａｎｓ．

（２）図３の高さ比
水の無い部分の断面積を求めます。 図１〜図３までは断面積Ｓ_０は同じ（あたりまえ）で、 Ｓ_０＝５＊５＋５＊１０＝７５（図１による）です。 従って、水のない部分Ｓ_１は（１）で求めたＳを使ってＳ_１＝Ｓ_０−Ｓ＝１２．５となります。 図３において、水の無い部分（上の部分）は頂点が直角の二等辺三角形に なり、その面積をＳ_１、高さｙとおけば、底辺は２ｙとなるので Ｓ_１＝２ｙ＊ｙ÷２＝１２．５より、ｙ＝２．５√２が求まります。 一方、図３の容器の高さＨ_０は、二等辺三角形の辺の比１：１：√２を利用して、

　　　Ｈ_０＝１０÷√２＋５÷√２＝７．５√２となります。・・・�B

これより、水面の高さＨ１は

　　　Ｈ_１＝容器の高さ−水の無い部分の高さ＝７．５√２−２．５√２＝５√２・・・�C

求める高さの比ｒは

　　　ｒ＝水面の高さ÷容器の高さ＝Ｈ_１÷Ｈ_０＝５√２÷７．５√２＝２／３

３分の２倍　　　　　　　　　・・・Ａｎｓ．

解答・その６

（ペンネ−ム：柿本　浩）

解１：
10cm×10cmの面を底として置いた場合をＡ、5cm×10cmの面を底として置いた場合を Ｂと表し まずは立方体の体積の1/2（10×10×10÷2＝500cm³）の量の水が入っていた場合を考 えると Ａはもちろん下半分がちょうど水で埋まった状態になり、水面の高さは5cm Ｂの下半分は立方体の体積の1/4(250cm³)しかないので、 残り1/4(250cm³)の水が上部 にあふれる事になり 上部のちょうど半分、底面から7.5cmの高さまで水が入る事が分かる（→　図１） （この時ＡとＢの水面の高さの差は2.5cm）

その後、ＡＢ両方に同じ量の水を加えていく事を考えると Ａの上部の底面積(5cm×10cm)はＢの上部の底面積(10cm×10cm)の1/2なので 同じ高さでＢにはＡの2倍の量が入る、つまり Ａ：Ｂ＝2：1 の比率で水面の高さが増していく事が分かる。 つまり、Ａの水面の高さが2.5cm 増す量の水を入れれば Ｂの水面の高さは1.25cm 増す事になり、ＡＢの水面の高さの差は1.25cm となる。 （→　図２）
この時追加された水の量は、当然Ａの上部（立方体の1/4）の半分であり 立方体の体積の1/8 ＝ 1000÷8 ＝ 125cm³ となる事が分かる。
よって、問１の水の量は 立方体の1/2 ＋ 立方体の1/8 ＝ 500 ＋ 125 ＝ 625cm³ である。

解２：
10cm×10cmの正方形の対角線の長さは10√2cmであり 問題の様に容器を置いた時の高さは、その対角線の長さの3/4になるので7.5√2cmと なる。（→　図３）

問題の容器の体積は立方体の3/4で750cm³
問１より、水の体積は625cm³　→　空の部分の体積は750 - 625 = 125cm³ である事が分かり問題の空洞部を三角柱として考えると、 体積が125cm³、高さが10cm なので 底面部の面積は12.5cm² である事が分かる。 この底面部は直角二等辺三角形であるため、直角を挟む２辺の長さは等しく その２辺の長さの積÷2 ＝ 三角形の面積(12.5cm²)となるので 三角形の各部の長さは図４の通りになる。
水面の高さは、容器の高さからこの直角二等辺三角形の高さ を引いたものであり
7.5√2 − 2.5√2 = 5√2 (cm)となる。
よって、水面の高さと容器の高さの比は 5√2：7.5√2 = 5：7.5 = 2：3 である事が分かり 水面の高さは容器の高さの2/3倍となる。

解答・その７

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

問１
図１と図２の容器の水の量は同じなので次の式が成り立つ。
　　5･5･10+5･x･10=5･5･10+(1.25+x-5)･10･10
変形して、250+50x=125+100x-500
従って水の容積は、　50x=375　より　　x=7.5(cm)
　　5･5･10+5･7.5･10=625(cm³)となります。
　　答　　625(cm³)

問２
容器の容量は、(5･5+5･10)･10=750(cm³)となります。
図３の△ＡＢＣの容量を全容量から差し引くと水の量になることから
△ＡＢＣの容量は、750-625=125(cm³)となります。
従って△ＡＢＣの面積は、125÷10=12.5(cm²)となります。
△ＡＢＣの高さを求めます。直角三角形なので次の式が成り立ちます。
　　2x･x/2=12.5　となるxを求めます。
x=√12.5=3.54(cm)となる。
容器の高さは、5cm角の対角線の1.5倍になります。
従って、(5/cos 45)･1.5=10.606･･･≒10.61(cm)　　　　約10.61(cm)
水面の高さは、10.61(cm)-3.54(cm)=7.07(cm)
7.07÷10.61=0.6663･･･　　従って0.67倍です。
　　答　　0.67倍

解答・その８

（ペンネ−ム：AK）

１、容器の体積（容積）は750�p³。 図１，２から500ｍｌを除くと、図１は上半分。図２は高さ7,5�pの所まで切り取ることができる。 図２の上半分の水面の高さをｘとすると、
　　　　10×10（ｘ−2,5）=5×10（ｘ−1.25）
　　　　　　　　　　　　ｘ=3,75
　　500＋10×10×（3,75-2,5）=625．

２、容器の水が満たされていない部分の体積は125�p³。 図３のその底の三角形の辺をa,　a,　a√２とすると
　　　10×a×a÷２＝125　　a≧０から
　　　　　　　　　a＝５．
したがって図３の白い部分の高さは５/√２
また、容器の頂点からの辺を延長すると 床との交点と頂点の距離は15�p。
したがって床から頂点までの距離は15/√２
また、水面までの距離は10/√２．

従って２/３倍。

別解。
上と同じように頂点からの辺を床まで延ばしてそこまで容器が続いているとすると 底面225/２、高さ10の三角柱ができます。

　　　底面積の比＝体積の比、―�@
　　　辺の比の２乗＝面積の比　―�A
をつかって白い三角形の底辺をｘとして計算していくと
　　1125：125＝450：ｘ²
　　９：１＝450：ｘ²
　　450＝９ｘ²
　　ｘ＝５√2
　 あとは上と同じです。
　　　　　　　　　

解答・その９

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

(1) 図アのＡＢの長さをｘcmとすると，側面積は，
　　ｘ×５＋５×１０＝(ｘ＋１.２５)×１０＋５×５
　　∴５ｘ＝１２.５
　　∴ｘ＝２.５
　故に体積は，
　　(ｘ×５＋５×１０)×１０＝(２.５×５＋５０)×１０＝６２５
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答．６２５cm³

(2) ｘ＝５／２であるから，図ウより，容器の水が入っていない部分の体積は，容器全体のの１／６．
故に図３の水の高さは，全体の２／３．

解答・その10

（ペンネ−ム：巷の夢）

(1)図１及び２の空隙部分を考える。
図１の空隙部の高さをHcmとすると、図２の空隙部はH−5/4である。
各々の空隙部の体積は同じだから、

　　５H＝10(H−5/4)が成り立つ。これよりH＝5/2

因って空隙体積は5/2×５×10＝125
容器の体積は立方体の3/4であるから、750である。この値から空隙部の体積を引い たものが求める水の体積であるから、750−125＝625?となる。

(2)図３の空隙部の体積も125であり直角三角形の長さをｘとすると、 三角柱の高さは10であるから、125＝５ｘ２が成立する。因ってｘ＝５となる。
又、図３の頂点から水の入っている部分を延長した床と交わる点までの長さは15である。 これは側面が45度の直角二等辺三角形だから明らかである。
三角形の相似より、斜辺の長さの比は高さの比でもあり、容器の高さと水で満ちている部分の比は、明らかに15：10である。
因って求めるものは2/3倍である。

解答・その11

（ペンネ−ム：小学名探偵）

１）まず、容器の体積は、10＊10＊10−5＊5＊10＝750ｃｍ³．
隙間の体積は、図1と図2は同じ。また、隙間の底面積の比は、1対2。
だから、隙間の高さの比は、2対1。
という訳で、750−1.25＊2＊50＝625ｃｍ³

2）外側の、辺を床にまで延長すると、直角二等辺3角形が現れる。
すると、外側の辺の長さは、15ｃｍ。
隙間の断面積をa*a*(1/2)とすると隙間の体積が125cm³=a*a*(1/2)*10
よって、a=5cm。だから　水面の高さは容器の高さの（15−5）／15＝2／3倍

解答・その12

（ペンネ−ム：高橋　道広）

答え　(1)625cm³　(2)　2/3倍

(1)
空気の部分について考えます。
同じ広さの断面積で、長方形の横の長さが２倍になったので、縦の長さは 半分になるはず。よって図2の空気の部分の断面積は　10×1.25=12.5
水の断面積は　5×5×3-12.5=62.5cm²　体積は625cm³

(2)
図３の空気の部分の断面積は面積12.5の直角二等辺三角形なのでその直角を はさむ長さは5cm
添付図でBC/AB=DE/AD=10/15=2/3倍となります

解答・その13

（ペンネ−ム：Banyanyan）

（１）
図１の底面をア、上面をイとすると、ア：イ＝２：１
ここで、水ではなく、空いた部分に注目すると、
図１の空きと図２の空きの体積は等しく、底面積が１：２だから
図１の空きと図２の空きの高さは、２：１
よって、図２の空き部分の高さは、１．２５cm
空き部分の体積は、１０×１０×１．２５＝１２５cm^３
この容器の容積は、（１０×１０−５×５）×１０＝７５０cm^３
よって、７５０−１２５＝６２５cm^３

（２）
図３の空き部分は三角柱で、底面の直角二等辺三角形の面積は
１２５÷１０＝１２．５cm^２
よって、直角二等辺三角形の等辺の長さは、
１２．５×２＝２５＝５×５より、５cm

水面の高さと容器の高さの比は、
（５＋１０−５）：（５＋１０）＝２：３
よって、２／３倍

解答・その14

（ペンネ−ム：勝浦捨てる造）

図１、図２とも５×５×１０の３個の直方体に区切ってＡ〜Ｆの印をつけたものです。 容器の水の体積を求めるために必要な水面の高さを、 Ｆを図１のＡと同じところに移動させることによるＤの水面の高さの変化によって求めます。 ＦがＡの位置にくればＤの水面の高さは、１．２５cm下がってＢと同じになる。 で、下った１．２５cm分の水はＦに入ってＦが一杯になるわけです。 従ってＢとＡとの水面の差は１．２５×２の２．５cmあるわけですねネ。
というわけで容器の図１での水面の高さは、５＋２．５＝７．５(cm)
容器の図２での水面の高さは、５＋２．５＋１．２５＝８．７５(cm)
図１から容器内の水の体積を求めると、
　　　　　５×５×１０＋５×７．５×１０＝６２５cm³

置かれた容器は、上図のように同じ三角形を積み重ねたものと考えると、
容器の高さは、この三角形を３個積み重ねた高さと同じで、
水面の高さは、この三角形を２個積み重ねた高さと同じとわかる。
従って、水面の高さは容器の高さの２／３倍ですネ。

解答・その15

（ペンネ−ム：yokodon）

間際の応募ではありますが、簡単に済ませることにさせて下さい。

(1)
図１の網掛かりのない長方形の縦の長さを x（cm）とすると、
図２の網掛かりのない長方形の縦の長さは x - 1.25（cm）。
両方の長方形の面積は等しいので、以下が成り立ちます。
　　　5x ＝ 10(x - 1.25)
これより、x ＝ 2.5 を得ます。
水色の網掛かりの部分の面積は、従って 5² + 5×(5 + 2.5) ＝ 62.5（cm²）
よって、求める体積は 62.5×10 ＝ 625（cm³）…(答)

(2)
図３の網掛かりのない部分の直角２等辺三角形の直交する２辺の長さを y（cm ）とすると、以下が成り立ちます。
　　　1/2・y² ＝ 5×2.5
よって、y ＝ 5（cm）。
この直角２等辺三角形の両辺を延長し、地面と交わるまで伸ばします。このとき出 来る直角２等辺三角形の直交する２辺の長さは 15 cm ですから、２つの直角二等辺 三角形の相似比を考えて、両者の高さの比は
　　　（小さい方）：（大きい方）＝ 1 ： 3
です。よって、題意の水面の高さは、題意で定めた容器の高さの 2/3 倍です。…(答)

解答・その16

（ペンネ−ム：BossF）

割と有名な問題ですね
図１〜図３の青い部分、言い換えれば白い部分の面積が等しいことがポイントです。

（１）図1と図2の白い部分は横が１：２ですから、縦は２：１　つまり縦は2.5cmと、1.25cmで白い部分の面積は 12.5cm²
つまり青い部分は75-12.5=62.5
したがって、容器に入れた水の体積は６２５cm³です。

（２）白い部分が全体の1/6になってればいいのですが、図のように、2/3倍です

解答・その17

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

この問題は（２）番の方が早く解答が出ます。問題の【図１〜３】の底面をもつ、高さ１０cmの角柱として考えます。

図１では６角形ＧＢＣＤＥＨ、図２では６角形ＡＩＪＤＥＦの部分に水が入っているとします。容器の置き方で水の量は変わらないので２つとも同じ面積です。逆の見方をすると残りの空気の部分の面積、図１では４角形ＡＧＨＦ、図２では４角形ＩＢＣＪの面積は同じです。４角形ＩＢＣＪの横の長さは４角形ＡＧＨＦの２倍です。逆に見ると縦は半分です。その差が1.25cmに当たります。つまりＡＧの長さは2.5cmです。すると空気の部分の面積は１辺5cmの正方形の半分です。だから図３のように空気の部分が３角形ＫＢＬのようであればいいのです。
水面の高さは、容器の高さの２／３です。・・・・・（２）

この容器の体積は、５×５×１０×３ cm³です。水の体積はその５／６倍です。
だから６２５ cm³です。・・・・・（１）

解答・その18

（ペンネ−ム：teki）

１　６２５ｃｍ³
２　２／３

＜解法＞
まず、図１及び図２において、容器の空の部分の体積を求めます。
底面積が図１の場合は５０ｃｍ²、図２の場合が１００ｃｍ²ですので、 これで、1.25ｃｍの差が生じる体積は、１２５ｃｍ³と計算できます。
また、容器全体の体積は、10×10×10-5×5×10＝750ｃｍ³です ので、水の体積は、750-125＝625ｃｍ³　です。

次に、図３のように置いた場合、空の部分の体積が125ｃｍ³ですの で、小さい直角二等辺三角形の面積は、12.5ｃｍ²です。 即ち、直交する２辺の長さは５ｃｍとわかります。
あとは、容器のへりを延長してできる直角二等辺三角形と空の部分 の直角二等辺三角形の相似比が、３：１であることから、高さは２／３ となります。

解答・その19

（ペンネ−ム：VILL）

(1)の解答です。
図１と図２の水の量は変わらないのですから， 添付しました図の，真ん中の図のように， 青の部分を右上のあいてる部分に移動させれば， 図１の水面と同じラインになります。 ということは，図２のあいてる部分の縦は1.25cmです。 従って，求める体積は，
　　５×５×１０×３−1.25×１０×１０＝６２５(ｃｍ³)
です。多分。

(2)の解答です。
(1)より，あいてる部分の体積は１２５ｃｍ³です。 図３と，奥行き(高さというべきでしょうか？)が １０ｃｍであることから，あいてる部分の底面積 (直角二等辺三角形の面積)は12.5ｃｍ²です。 これを２倍しますと２５ｃｍ²ですね。 これは，１辺が５ｃｍの正方形の面積と同じですから， あいてる部分の直角二等辺三角形の 直角をつくる辺はそれぞれ５ｃｍとわかります。 すると，この直角二等辺三角形を単位面積として， 添付しました図の，右の図のように分けることができます。 この図より，求める倍率は２／３倍です。多分。

解答・その20

（ペンネ−ム：仮面X）

最初、水で考えて、こんがらかりました。 空気で考えたらわかりやすくなりました。

（１）図１から図２になると空気に厚さは半分になります。
だから図１の空気の厚さは２．５ｃｍです。
水の体積＝（５×５×３−５×２．５）×１０＝６２５
　　　　（答）　６２５ｃｍ³

（２）図３も空気で考えると、ななめの１辺は
５×２．５×２＝５×５　なので５ｃｍです。
ななめを床まで延ばすと１５ｃｍ なので水面の高さは容器の高さの １０÷１５＝２/３（倍）です。
　　　　（答）　２/３倍

解答・その21

（ペンネ−ム：kirkland）

（解答１）

Ａ君	「先生、容器の厚みは無視していいんでしょうか？」
先生	「そんな細かいことは気にしてはだめだ。この際無視しよう。そもそもＡ君は方程式って知ってるの？」
Ａ君	「ホウテイシキ？僕はマジメな小学６年生なので、そんな変なモノは知りませんよ！えっへん！」
先生	「いばって言うことじゃない。それでは、方程式を使わずに考えよう。ところで、君はどのように考えていったの？」
Ａ君	「(１)なんですが、高さが等しいので底面積だけで考えれば、【図１】の水の部分の面積と【図２】の水の部分の面積は 同じだと思うんですが、水の形が複雑なので処理の仕方が分かりません。」
先生	「発想を転換しなさい。空気の部分で考えたら形が簡単じゃないか。【図１】の空気の部分の長方形（アとしよう） と【図２】の空気の部分の長方形（イとしよう）は、同じ面積だね。横の長さを考えると、アはイの半分なので、 アの縦の長さはイの２倍になるのは分かるかな？」
Ａ君	「うーん。あっ、分かりました。その差が1.25cmなので、アの縦は1.25×2＝2.5cmなんですね。 高さは10ｃｍなので、空気の部分の体積は5×2.5×10＝125cm3。水の体積は、容器の容積から空気の部分を引け ばよいので、750−125＝625cm3ですね。」
先生	「ＯＫ！その通り。」
Ａ君	「ところで先生、容器内で蒸発する水の体積は、無視してもいいんですか？仮に20℃ということにすると、水の飽和蒸 気圧は0.023074atm、密度は0.998206g/cm3です。この数値で計算すると125cm3の空気に含まれる水蒸気の体積は、 約0.0021635cm3になるので、水の体積は625cm3以上625.0021635cm3以下ということになると思うんですけど。」
先生	「そんな屁理屈をこねていると、ロクな大人になれんぞ！方程式も知らないのに何故分かるのか不思議なのだが、 細かいことは気にせずに(２)を考えよう。」
Ａ君	「【図３】の空気の部分の三角形(ウとします)の面積も12.5cm2なのですね。」
先生	「その通り。ところで、Ａ君は平方根って知ってるの？」
Ａ君	「ヘイヘイホーって、北島三郎ですか？」
先生	「つまらんことを言ってる場合じゃない。あまりふざけてばかりいると、小島先生に怒られるぞ。 しかし、平方根を知らないとは困ったな。それじゃあ、相似は知ってる？」
Ａ君	「掃除は大嫌いで、今日もサボりました。というのは冗談で、相似は小学校で習いました。拡大とか縮小とかいうやつ ですよね。」
先生	「それは非常に助かった。【図３】の場合、水の形はさらに複雑なので、補助線を引いて簡単な形に直して考えよう。 【図４】のように補助線を引くと、三角形ウと三角形ＡＢＣとは相似になるだろう。あとは、面積から考えてごらん。」
Ａ君	「おお、何とも突飛な。三角形ＡＢＣの面積は15×15÷2で112.5cm2です。これは、ウのちょうど９倍になっています。 ということは、三角形ＡＢＣの高さは三角形ウの高さの９倍なんですね。」
先生	「何と短絡的な！【図５】を見なさい。面積が９倍になっているときは、長さは３倍になることが分かるだろ。 というわけで、水面の高さは、容器の高さの３分の２倍だ。」
Ａ君	「なるほど、かなり強引な解説ですね。しかし、言われてみれば納得できます。ところで先生、この水って純水なので すか、それとも水道水なのでしょうか。水道水だとすると、亜塩素酸ナトリウムが溶解しているわけで、蒸気圧降下……　あっ、痛い！先生、殴らないで下さいっ！！」

（解答２）

(１)
高さが等しいので底面積だけで考えれば、【図１】の空気の部分の長方形（アとします）と【図２】の空気の部分の長方形（イとします）は、同じ面積。横の長さがアはイの半分なので、アの縦の長さはイの２倍になる。その差が1.25ｃｍなので、アの縦は1.25×２＝2.5ｃｍ。高さは10ｃｍなので、空気の部分の体積は５×2.5×10＝125ｃｍ³。水の体積は、容器の容積から空気の部分を引けばよいので、750−125＝625ｃｍ³

(２)
【図３】の空気の部分の三角形(ウとします)の面積も12.5ｃｍ²
【図４】のように補助線を引くと、ウの三角形と△ＡＢＣとは相似になり、 △ＡＢＣの面積は15×15÷２で112.5ｃｍ²
△ＡＢＣと三角形ウの面積比が９：１なので、高さの比は３：１ というわけで、水面の高さは、容器の高さの３分の２倍

解答・その22

（ペンネ−ム：ＤＤＴ）

(1)について
容器の奥行は一様に10cmなので、正面からみた時の側面積は、

　　　　　　　　　　　図１

となります。以後、このような図では面積と長さを区別しません。 静水圧とは水がその重みによって、容器の壁面にかける圧力のことです。圧力は水面からの深さに比例し、その方向は壁面に垂直となります。よって静水圧は、図-2の左図のように作用します。作用反作用の法則より水自身は、容器の壁面への静水圧と逆向きの圧力を受けるので、逆向きの圧力の合計が容器内の水の重量を支える力になるはずです。水の体積をV（cm³），密度をρ（g/cm³），重力加速度をg（980cm/s²），逆向きの圧力の合計をFとすれば、

　　　　F＝ρgV　　　　　　　　 (1)

が成り立ち、ρgは定数なので体積Vを計算できます。

図-2の左図において、水平方向の圧力の合計は明らかに0です。鉛直方向の容器の壁面への圧力の合計は、水面までの高さをx（cm）としたとき、

F	＝ρgx×100cm2−ρg(x−5cm)×50 cm2 　　　　　　　 (2)
	＝ 50ρgx＋250ρg

です。図-2の右図においても同等で、

F	＝ρg(x＋1.25cm)×50cm2＋ρg(x＋1.25cm−5cm)×50 cm2　　　　　　(3)
	＝100ρgx−125ρg

です。式(2)と(3)を等値することにより、
　　　　50ρgx＋250ρg＝100ρgx−125ρg 　　　　　　　　(4)
　　　　50ρgx＝375ρg
　　　　ρgx＝7.5ρg
を得る。これを式(2)に代入すれすれば、
　　　　F＝375ρg＋250ρg＝625ρg
　　　　F/ρg＝625 cm³

　　　　　　　　　　　　　　答え．625 cm³

(2)について
体積が出たからには、(2)も当然できる。

図を用意していただいた方、どうもありがとうございます。
(1)で、水の体積を求めよとありますが、発想を変えて水のない部分の体積に着目すると考えやすいですね。
(2)の問題において、形は違うけれど水のない部分は変わらないということを使うといいと思います。発想の転換ですね！！
今回、いただいた解答の中で、 kirklandさんのもの、楽しく読ませていただきました。 Ａ君は理科がお得意のようですね。 No.14　表面積の問題の「ハンド君と手のひら君」を懐かしく思いだしてしまいました。どうもありがとうございました。

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