６．間違い探しの問題
（１）「２＝３である。」
４−１０と９−１５はどちらも−６となり、等しい。
この各々に同じ数２５／４を加えても等しいから
４−１０＋２５／４＝９−１５＋２５／４
この両辺を因数分解すると
（２−５／２）２＝（３−５／２）２
となり、
２−５／２＝３−５／２
∴２＝３
さて、この証明の誤りを見つけてください。
（２）「６４＝６５である。」
１辺が８の正方形を下の図のように４つの部分に切り、 これらの部分で長方形を作る。 この長方形の横の長さは１３、縦の長さは５となる。
最初の正方形の面積は、８×８＝６４ であるのに、 これから作られた長方形の面積は １３×５＝６５ となる。
つまり、６４＝６５である。これはどうしたことでしょうか？
問題の出典
「数学ふしぎ・ふしぎ」
矢野健太郎
新潮文庫
答えと解説
(1)回答・その１
（ペンネ−ム：凡人）
(2-5/2)2＝(3-5/2)2となり、
2-5/2＝3-5/2というところがあるが、
これは(2-5/2)2=a2、
(3-5/2)2=b2とおくと、
a2=b2のとき、a=bのときを考えているが、
-a=-bのときもあるので、
この場合も考えなければいけないので、ここが誤りだと思います。
(1)回答・その１・コメント
a=bと-a=-bは結局同じことです。
彼がいいたいのはaとbが同符号か異符号か両方の可能性があるということなのでしょうね。
(1)回答・その２
（ペンネ−ム：ＢＡＢＹ ＭＩＮＮＩＥ）
4-10と9-15はどちらも-6になる。
この各々に25/4を加えても等しい。
4-10+25/4=9-15+25/4を因数分解したら、
(2-5/2)2＝(3-5/2)2になる。
しかし、この( )をいっぺんにははずせない。
例えば、2-5/2をxとおくと、x2=(3-5/2)2となる。
x2=4などの式を参考にすれば、x=±2である。
つまり、x2=(3-5/2)2は、x=±(3-5/2)ということになる。
この結果からもわかるようにxの値はこの方法でやると、＋なのか−なのかわからない。
(1)回答・その３
（ペンネ−ム：MK142857 ）
（2-5/2）の２乗=(3-5/2)の２乗から(2-5/2)=(3-5/2)を導き出したところが間違いです。
一般にAの２乗=Ｂの２乗 とA=Bは同値ではないからです。
(2)回答・その１
（ペンネ−ム：ｅｓ）
面積が変わってしまうのは、ａとｄの斜辺の傾きが違うから。
もし、正方形と長方形の面積が等しいなら、 ブル−の三角形とｄの三角形は相似であるはず。
しかしながら辺の比が一方では２：５、もう一方は３：８となっているので、 相似ではない。
だから、ａとｄの斜辺の傾きが違う。
(2)回答・その２
（ペンネ−ム：コレクトコ−ルは１０６番！）
長方形に組み替えたあとも、
４つの部分の面積の合計は６４である。
では、なぜ６５になってしまうのか。
実は、長方形に組み替えるには、
少し内部にすきまができるためである。
すなわちすきまのない問題文の図は違うのである。
実際の図を示します。
ａとｄ、およびｃとｂの間に、すきまができている。
さて、４つの部分の面積をあらためて求めると、
- （ａの面積）＝（５＋３）×５÷２＝２０
- （ｂの面積）＝（５＋３）×５÷２＝２０
- （ｃの面積）＝３×８÷２＝１２
- （ｄの面積）＝３×８÷２＝１２
（ａ、ｂ、ｃ、ｄの面積の合計）＝２０×２＋１２×２＝６４
（すきまの面積）＝（長方形の面積）−（ａ、ｂ、ｃ、ｄの面積の合計）＝６５−６４＝１
と、いうわけで、６４＝６５は誤りであり、６４＋１＝６５が正しい。（当たり前？）
Ｐ．Ｓ． この問題は、紙で実際に作ってみるまでわかりませんでした。
証拠としてその紙を同封します。いらなければ捨ててください。
(2)回答・その３
（ペンネ−ム：Ayako）
私は組み替えた時に、
長方形にならないんじゃないかと
考えました。
・・・で、実際にやってみると、
（コメント：折り紙で作ったものが張り付けてありました。）
う−ん・・・なるような、ならないような。
角Ｂがあやしいような・・・。
点Ｐから右の辺に垂線をひいて直角を作る。
右の図が長方形になる（角Ｂが直角になる）ということは、 赤い角と青い角が同じ角度であればよい。
そこで、緑の三角形と青の三角形の相似を考える。
辺の比が２：５≠３：８より、相似ではない。
従って、赤い角と青い角は同じ角にはならない。
（ちなみに私の作った図から考えると 赤い角よりも青い角の方が小さいのでは！？）
右の図の∠Ａと∠Ｂは直角ではないので、 右の図は長方形にはならない。
１３×５＝６５は成り立たない。
感想：あまりうまく説明できなかったけれど、
これってやりだすととまらないですね。
３時間も悩んでしまいました。
正解者（ペンネ−ム）
matheman
MK142857
しん
ちゃんた
ＢＲＡＩＮＭＡＮＩＡ
はなフムフム
ＢＡＢＹ ＭＩＮＮＩＥ
Ayako
Yoshimi
コレクトコ−ルは１０６番！
凡人
匿名希望
まとめ
- について
一般にx2=y2だからといって、 x=yとは限りません。x=-yの可能性もありますからね。
「x=yならば、x2=y2」は真（正しい）ですが、 逆、「x2=y2ならば、x=y」は必ずしも真ならず、です。
｜x｜=｜y｜も同様です。
- について
右の図形には（面積１ぶんの）すきま、 細長い平行四辺形、があるのです。
直角三角形ｃの斜辺の傾きは-3/8であるのに対し、 台形ａの斜辺の傾きは-(5-3)/2=-2/5となり、
-2/5(-16/40)<-3/8(-15/40)
であることから、ａとｃの間にわずかながらすきまのあることがわかります。
さて、類題の作り方を紹介しましょう。
フィボナッチ数列というのを利用します。
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，・・・
というものです。
この数列は前の２つを足すことで３つ目の数ができています。
1+1=2、1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13･･･という具合です。
この数列において、隣り合った３つの数をａ、ｂ、ｃとすると、
b2=a×c±1
という性質を持っています。詳しい証明
今回の問題は、a=5、b=8、c=13として、
「82=5×13-1」を利用したものです。
a=8、b=13、c=21とすると、
「132=8×21+1」となります。
a=13、b=21、c=34として、
「212=13×34-1」を利用すると
次のような問題になります。
これを使って、「441=442？」で、誰かをだましてみましょう。
さて、今回の間違い探しはいかがでしたか？
もっともらしい説明にだまされないように、
常に疑いの目でみることも大切かもしれません。
そして、証明をみた最初に「何か変だ！ どこかはわからないけれども、
でもどこかおかしい！」と感じる、その感覚が重要だと思います。
これは数学に限ったことでもないですね。
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