フィボナッチ数列

１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，・・・

と呼ばれる数列があります。 この数列は前の２つを足すことで３つ目の数ができています。
1+1=2、1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13･･･という具合です。
この数列において、隣り合った３つの数をａ、ｂ、ｃとすると、

b²=a×c±1

という性質を持っています。

フィボナッチ数列の第ｎ項めをa_nとかくとする。
定義より、a_n+2=a_n+1+a_nである。

a_n+1²=a_na_n+2+(-1)ⁿ を数学的帰納法で証明する。

1. a₁=1、a₂=1より、a₃=1+1=2
   従って、1²=2×1-1だから、 a₂²=a₁a₃-1は成り立っている。
   
2. n=kの時、成立していると仮定する。すなわち、
   a_k+1²=a_ka_k+2+(-1)^kが成立しているとする。
   n=k+１の時、
   上の式の両辺にa_k+1a_k+2を加える。
   a_k+1²+a_k+1a_k+2 =a_ka_k+2+a_k+1a_k+2+(-1)^k
   
   a_k+1(a_k+1+a_k+2) =(a_k+a_k+1)a_k+2+(-1)^k
   
   フィボナッチ数列の性質により、
   a_k+1a_k+3 =a_k+2²+(-1)^k
   
   つまり、 a_k+2²=a_k+1a_k+3+(-1)^k+1
   
   というわけで、n=k+1の時も成立する。

参考　　瀬山士郎著「数学者　シャ−ロック・ホ−ムズ」日本評論社

戻る