Weekend Mathematics／問題／問題48

４８．箱の問題

タテａセンチ、ヨコｂセンチ、厚さが１センチの箱があります。
タテとヨコの長さをかけ合わせたａｂセンチの長さを作ってください。

解答・その１

（ペンネ−ム：ＳＨＯ）

1ｃｍ×1ｃｍ×xｃｍの十分に長い筒を用意します。 次に箱を満タンの水の中に沈めてあふれた水をろうとかなにかでさっきの筒の中に入れます。 abミリリットルのがはいるはずなので、 水平な地面に置けばabセンチメートルになってるはずです。　　

解答・その２

（ペンネ−ム：久史）

こんなのはどうでしょうか？
まず箱いっぱいに水をいれます。それから縦１cm横１ｃｍの箱を作って その箱に水を移せば体積がａｂだから当然高さもａｂになります。よね？
でもこれってめんどくさすぎかな？ 水も用意しなきゃいけないし新しく箱まで作らなきゃいけないし・・・ まいっか作ってくださいっていってるしね。

解答・その３

（ペンネ−ム：柿本　浩）

・箱は１つだけではなく任意の個数用意できる
・箱はいくつ積み重ねても自らの重みで変形したり、潰れたりする事はない
・作業は無限に広がる水平面上で行うものとする
以上の事を仮定した上で解答させて頂きます。

○パターン１：ａ、ｂが共に自然数であった場合

・ａ×ｂの面積を持つ面を底面とし、同じ形で 縦にａ×ｂ個積み上げることで、高さがａｂとなる
・ａ×１の面を底面とし、同じ形で 縦にａ個積み上げることで、高さがａｂとなる
・ｂ×１の面を底面とし、同じ形で 縦にｂ個積み上げることで、高さがａｂとなる

○パターン２：ａ、ｂのどちらか一方が自然数、他方が純少数または帯小数であ りａ×ｂ＝自然数であった場合

・ａ×ｂの面積を持つ面を底面とし、同じ形で縦にａ×ｂ個積み上げることで、 高さがａｂとなる
・ａが自然数ならばａ×１の面（ｂが自然数ならばｂ×１の面）を 底面とし、同じ形で縦にａ個（ｂ個）積み上げることで、高さがａｂとなる

○パターン３：ａ、ｂのどちらか一方が自然数、他方が純少数または帯小数であ りａ×ｂ≠自然数　であった場合

・ａが自然数ならばａ×１の面（ｂが自然数ならばｂ×１の面）を 底面とし、同じ形で縦にａ個（ｂ個）積み上げることで、高さがａｂとなる

○パターン４：ａ、ｂが共に純少数または帯小数であった場合

・複数積み重ねることでの実現は不可能

○全パターン共通

・ａ×１（またはｂ×１、ａ×ｂ）の面を底面として箱を置き、空間に点光源を配 置する
この時、点光源の位置は

• 箱の上面のいずれか１辺の垂直二等分線を回転してできる平面Ｍ上に存在する
• 水平面からの高さはｂ（またはａ、１）より大きいを満たすものとする

まず、高さａとなるように箱を置いて（この時ｂ×１の面が底面になりますよね） 影の長さがａｂとなるような角θを考えると、 tanθ＝高さ／底辺なので当然tanθ＝ａ／ａｂ＝１／ｂとなりますよね？
つまりｂ×１の面を底にした場合、tanθ＝１／ｂとなる角度で光を当てれば影の長さはａｂになる、と。

ただし、一定の長さの影を作るためには、光線が箱の面に対して垂直に差し込む必要があるので
「上面のいずれか１辺の垂直二等分線を回転させてできる平面」という表現を用いた訳です。
実際にきれいな方形の影を作るためには、１点だけではなく、箱の表面全体に対して光線が垂直に 差し込む必要があるので細かく言えば点光源ではダメなのですが、そこまで言い出すとキリが無いのでお見逃し下さい（笑）

コメント(Junko)
２つ目の図は、光源をどこにおくかという説明かと思いますが、要は断面が「横からみた図」のよ うになればいいわけですよね？　・・・と私は理解しました。
光源から光りを当てるやり方はわかりましたが、問題はｔａｎθ＝１／ｂとなる角度 をどう作るかということではないかと思います。
思うに「横から見た図」の箱の上に点Ｐが重なるような形で横ｂ、縦が１となるように同等の箱 （同じ箱が２つあるという保証はあるのか？　といわれると困るけど・・・・）をお けばいいのではないかと思います。


・重力加速度を９．８ｍ／ｓ^２、空気抵抗は考えないものとすると 充分な高さから箱を自由落下させた時の落下距離は、落下時間をｔ秒として （１／２）×９．８×ｔ^２［ｍ］　となる ａｂ［ｃｍ］＝ａｂ／１００［ｍ］　であり （１／２）×９．８×ｔ^２＝ａｂ／１００　となる時間ｔは ｔ＝（ａｂ／４９０）^1/2となる つまり、充分な高さから箱を自由落下させて （ａｂ／４９０）^1/2秒経過した時の落下距離がａｂセンチとなる

正解など存在しないこうした「発想の問題」は大好きなのですが 私の発想力ではとりあえずこんなところです(^^ゞ 「箱を切断して・・・」というのも考えてみたのですが それだと何でもアリアリになってしまうのでさすがにやめました。 ま、おそらく一番多い解答は ・引出しを開けてドラえもんを呼び出し ビッグライト（or スモールライト）で 箱をａ倍（ｂ倍）の大きさにしてもらう なんでしょうけどね（笑）

解答・その４

（ペンネ−ム：Oitan）

Take one "a times b" rectangular of the box and name each corner as A, B, C, and D, where AB=CD=a and BC=DA=b. Take point E on the extended line of DA, where EA=1 (we can get a length of 1). Draw a line which passes through E and B. Also draw a line which is the extention of DC. Intersection of both two lines will be called as F. Now we have two right trianlges of FCB and FDE, where angle FCB and FDE are 90 degree, and both are similar. Here FC is equivalant to ab. Let's prove this. Let FC=x. Now we have FC : FD = BC : ED, ie, FC : (FC+CD) = BC : (AD+AE). Then we get x : x+a = b : b+1. So we get x=FC=ab. It is very tough to explain verbaly (in English) without any illustration, but hope this makes sense for you and is OK.

図をつけて、日本語に訳してみます。(Junko)

a×bの長方形の箱の各頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄと名付ける。
このとき、ＡＢ＝ＣＤ＝ａ、ＢＣ＝ＤＡ＝ｂとする。
辺ＤＡの延長上に、ＥＡ＝１となるように点Ｅをとります。
（長さ１は箱の高さより、得ることができます。）
点Ｅと点Ｂを通る直線をひきます。
更に、辺ＤＣも延長します。
この２本の直線の交点を点Ｆとします。
直角三角形△ＦＣＢと△ＦＤＥを考えます。
これらは、∠ＦＣＢ、∠ＦＤＥがそれぞれ９０゜で、互いに相似の関係です。
ここで、ＦＣはａｂに等しいことがわかります。 これを証明しましょう。
ＦＣ＝ｘとすると、 ＦＣ：ＦＤ＝ＢＣ：ＥＤ、すなわちＦＣ：(ＦＣ＋ＣＤ)＝ＢＣ：(ＡＤ＋ＡＥ)
ｘ：ｘ＋ａ＝ｂ：ｂ＋１
従って、ｘ＝ＦＣ＝ａｂ

イラストをつけずに英語で説明するのは、とてもむずかしいことです。 理解してもらえれば幸いです。

解答・その５

（ペンネ−ム：高橋　道広 ）

abを作れという問題ですが、いかにもあやしい。 定規を使えとか何も書いていないのはなぜでしょう。

そこで回答は、粘土をこのはこの中にいれて、その粘土の断面積が1cm²に なるように、整形する。すると長さがabになる。 ということでどうでしょう。

別解　１
別な回答としては、添付の図のように、黒い直方体を組み合わせることにより、
赤い線を引くと　a:1=x:b　x=abとピンクがabとなります。
図のなかの線は直方体を何個か置くことによってできます。

別解　２
図のように左に１つおいて、3つの頂点が一直線上になるように、右の直方体を調整します。
するとx=abです。

別解　３
まず赤い平行線をひきます。これに、２つを組み合わせた黒い直方体を図のように 頂点が線上にくるように置きます。すると青い線がabになります。

解答・その６

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん ）

先ず、箱をていねいに切り開きます。（図の黒）
次に、図のように縦の部分を折り返します。（赤）

なぜなら、△ＡＢＥと△ＡＣＤが相似なので、
ＡＥ：ＥＢ＝ＡＤ：ＤＣ
ＡＥ＝１、ＥＢ＝ａ、ＡＤ＝ｂなのですから
ＤＣ＝ａｂとなります。

解答・その７

（ペンネ−ム：ねこ）

１：ｂ＝ａ：ａｂより、 図のように作図できる。

解答・その８

（ペンネ−ム：中数の基本）

１という長さをどのように生かすかがポイントです

左の図のように，展開図にし，対角線を延長すると，相似図形の比例関係からabという 長さが得られます．

なお，同種の問題として，高校の複素数平面で，「1及び複素数a,bが図のように与えら れているとき，複素数abを図示せよ」という問題においても，１という長さを生かすこと がポイントとなります．

問題の問いかけ方が曖昧だったために混乱を招いたかもしれません、ごめんなさい。 数学流に解釈するならば、これは「定木とコンパスを用いて作図しなさい。」ということになると思います。
でも、もっと広い解釈をしてもいいのではないかと思います。 いろいろな発想で、アプローチしていただいていいと思います。
ＳＨＯさんや、久史さん、 高橋　道広さんの粘土の解答のような解答は現実的でおもしろいと思います。 （それぞれ必要な道具をそろえることを考えると、逆に非現実的かもしれない？）
面積を長さにというように次元を下げる場合、パラメーターの１つを単位数１にすると いうのは当然発想としてはあると思いますから、私は正解でいいと思います。
柿本　浩さんもとてもユニークな解答を寄せていただきました。 １番最後の解答は、地球の重力加速度を使うわけですね。
そもそも長さの単位などの基準を決める時には、自然界にあり、ほぼ普遍と思われるも のを使ったりするわけですから、そういう意味では自然かもしれません。 ただ問題は、（ａｂ／４９０）^1/2秒を測るということに置き換えただけですから問題の解決にはなっていないのかな？

さて、「定木とコンパスを用いた作図」について、少しお話しましょう。
定木は直線を引く道具、コンパスは円(定点から距離の等しい点の集合)を描くものです。
この２つの道具を使って求めることのできる点は、直線と直線の交点、直線と円の交点、円と円の交点です。 これらはいずれも２次方程式(含む１次方程式)の解を求めることに他なりません。
従って、２次方程式(含む１次方程式)に帰着できる作図問題は解けることになります。 逆に、２次方程式(含む１次方程式)に帰着できない作図問題は解けないということです。
幾何学の３大問題といわれるものの１つに「任意に与えられた角を３等分すること（角の３等分問題）」 というものがあります。 1837年にワンツェルという人が、「作図不可能である」ということを証明しました。 つまり、この作図問題を方程式におきかえた時、それが３次方程式になるからです。
３大問題の残る２つは、「与えられた立方体の体積の２倍に等しい体積をもつ立方体を作図すること（立方体倍積問題）」と 「与えられた円と同じ面積を持つ正方形を作図すること（円積問題）」です。
前者は、方程式ｘ^３＝２ａ^３を解かねばなりませんから不可能です。これもワンツェルが証明しました。
後者は、リンデマンが1882年にやはり不可能であることを示しています。 方程式ｘ^２＝πａ^２を解けばいいわけですが、 ここでπが超越数であることから、不可能であることを示したわけです。 超越数とは、代数的方程式の解にならない数です。
幾何学の３大問題はいずれも「不可能の証明」をもって決着したわけです。

（参考：数学１００の問題／日本評論社）

さて、高橋　道広さんからの発展問題です。

（１）今回の問題でを作ってください。

（２）定規とコンパスでできるものは、コンパスだけでできるという定理があるそうです。
では、２点A,Bの中点をコンパスだけで求めてください。

（３）３等分点はどうでしょう

（１）は、方程式ｘ^２＝ａｂを解けばいいわけですから、可能ですね。
ただ、どうすればそれが具体的に求まるかというのは別問題です。
（２）本当？　詳しくご存知の方がいたら教えてください。
（３）は、方程式ｘ＝(1/3)ａを解けばいいということですね。
さて作図はいかに？

皆さん、よろしくお願いします。

関連した内容がコロキウム室　NO.912にあります。

E-mail 戻る top