Weekend Mathematics／問題／問題43
４３．ガムの問題
ジョ−ンズ夫人が双子を連れてガムの自動販売機の前を通りかかりました。
双子その１：ママ、ガムがほしいよ−
双子その２：ぼくも−ママ、ビリ−と同じ色のガムをちょうだい
ガムの自動販売機の中には、赤が６個、白が４個しか残っていません。
ジョ−ンズ夫人は同じ色のガムを２個買いたいのですが、確実に同じ色のガム２個を買うには何セント
用意すればいいでしょうか。ガムは１個１セントです。
別冊サイエンス ひらめき思考
マ−チン・ガ−ドナ−
日経サイエンス社
（ペンネ−ム：しのぶ大好き）
自動販売機の中に赤白のガムがあるので、最初に白がでたとする。
問題に「確実に」と書いてあるので、次に赤がでてくるとまだ１個ずつになります。
次にもう１個ひけばどっちか２個になりますね。ですから３セントで確実に買えます。
（ペンネ−ム：牛大魔王）
１このガムが１セントだから、まずはじめに１回やって、赤がでてくるとすると、
次にやると、赤か白かどちらかがでてくる。
しかし、赤がでてくると限らないので最低３セント必要になる。
（ペンネ−ム：バンザイ）
３セント
赤と白が、交互にでてきたら、まず赤と白１個ずつで２セント。
次にどちらかがでれば２個になるので３セント。
同じのが偶然でれば２セントだけど、確実になので２セントではない。
（ペンネ−ム：イースター島のモアイ）
１回目で赤白どっちかのガムが入る。
仮定：１回目で赤、２回目で白、３回目でどっちがでても２個になる。
よって、確実に買うには３セント。
（ペンネ−ム：モトコ大好き）
答３セント
理由 ２セント買ってたとえ違う色がでても３個目で必ず同じペアができるので３セントで買える。
（ペンネ−ム：橋本ゆうこ大好き）
３セント
理由：先ずガムを２つ買います。３つの可能性が出ます。
赤１個、白１個 赤２個 白２個
になります。
そして１番目のパターンでまだ２個になっていないので、もう１個買うと
赤２個、白１個 赤１個、白２個
となる。よって３セントあれば確実に同じ色のガムが買える。
（ペンネ−ム：aa）
確実に同じ色のガムを買うためには、3個買う必要がある。よって3セント。
(2個ならば、赤赤、赤白、白白でダメな場合がある。
3個ならば、赤赤赤、赤赤白、赤白白、白白白で確実に2個同色がある)
（ペンネ−ム：RJCX）
答えは、3セント用意すればよい。
２セントでは、赤白が１個ずつの可能性があるが、
３セントだと３：０、１：２、２：１、０：３のいずれかになり、よって、どちらか
のガムが２個は確実に手に入る。
（ペンネ−ム：かつ）
ガムの色が２種類しかないので・・・
２セントあると、
問題がシンプルになるとその分あってるのか、不安になるようです。
なかなかおくが深いですね。
きっともっとシンプルな解き方、理論的な解き方があるのではないかと思います。
でもこの問題って、鳩の巣の問題と同じ考え方になるんじゃないかなと思いました。
今回のは、
鳩の巣＝ガムの色の数
鳩の数＝ガムの個数
となるのではないのでしょうか？
（ペンネ−ム：ch3cooh）
3 cent
購入するパターンの最悪のケースは 1 回目と 2 回目が
異なる色の場合ですが、2 色しか無いため3 回で同じ色が
2 個そろいます。
必要とする費用の期待値は 38/15 cent (Q2,Q3 の期待値を筆算で求めるのは大変です。)
（ペンネ−ム：落武者）
４セント
理由：１回目、２回目、３回目で違う色がでても４回目で必ずどれかと同じ色がでてくる。
（ペンネ−ム：牛大魔王）
まずやって、すべて別の色がでてくるとすると、あと１回やれば、どれかが２つそろうので、最低４セント必要になる。
（ペンネ−ム：バンザイ）
４セント
赤、白、青が、まず１個ずつでてきて３セント。
あと、どれか１つがでれば２個になるので４セント。
（ペンネ−ム：清水南高校）
たとえば、
赤赤、赤白赤、赤白青赤、白白、
白赤白、白赤青白、青青、青白青、青白赤青
というふに、どうやっても最高は４セントになります。
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）
答えは４セントです。
ガムの色は３種類しかないのですから、３つ違う色がでたとしても４個目は、
はじめの３種類のどれかの色しかでてきません。
双子にガムを買う場合、ｎ種類（それぞれ２個以上ある）なら、最悪ｎ回違う色が出たとしても、
その次は今までのどれかの色が必ず出ます。
（ペンネ−ム：けーじゅ）
1.2.3回目で違う色が出たとしても、4回目で必ず1,2.3回目のどれかと同じ色が出るから、
答え.４セント
（ペンネ−ム：ねこ）
４セント
最悪のパターンは、３セントで赤１個、白１個、青１個の場合。
もう一つ買えばどれかの色が２個になるので４セントで十分。
（ペンネ−ム：もんさん）
４セント
３セント使った時点で赤、白、青のとき４セント必要
（ペンネ−ム：落武者）
６セント
理由：１，２，３回目でそれぞれ違う色がでてもあと３回買えば確実に赤か白が３色そろう。
（青は１回しかでてこないのでだぶることはない）
（ペンネ−ム：だぜ！）
６セント
赤、白、青が、まず１個ずつでてきたとして、青は１個しかないので、
赤と白がもう１個ずつでてきて５セント。
そこで、次に赤と白にどちらかがでてきたら３個になるので６セント。
（ペンネ−ム：少年Ｈ）
答え６セント
青色が1つしかないので、赤と白だけで考えると、最悪ケースは最初の4個が赤二つ
白二つの場合で５個目には、赤か白が三つそろう。また、その途中に青がきたとし
て、最高6個買えば良い。
（ペンネ−ム：マサボー）
同じ色が出ない最大の個数を考えて（出る順番は考慮せず）、
青は1個より(赤、赤、白、白、青）となり、6個目は必ず同じ色が3個になる。6セント。
（ペンネ−ム：BossF）
aha!でしたっけ、懐かしい
６¢
最悪の場合を考えました
（ペンネ−ム：yakabe）
赤６個、白４個、青１個から同じ種類３個を買いたいのだから赤色か白色で３
個揃えることになる。３個揃わない最高を考えると赤２個、白２個、青１個である。
次の６個目を買うと青色は既に出てないので赤色か白色で３個そろう。よって６個買
えばいいので６セント。
（ペンネ−ム：隣の野良猫）
６セント
理由：５セント入れて、最悪の場合でも、赤二個、白二個、青一個、になる。
青は一個しかなかったから、次のはいるのは赤か白、だから、
最高６セント入れれば、同じ色のガム３個手に入れることが出来ます。
（ペンネ−ム：mhayashi）
赤ー赤ー白ー白ー青ー○ (←何がきてもＯＫ)
上の「赤，白，青」は順不同。
で６セント。
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）
答えは６セントです。
はじめの５回で、赤２個・白２個・青１個出たとしても、
６回目は赤か白のどちらかが必ず出ます。
［別解］
ガムの色を包み紙の色と解釈すると、４セントでも何とかなるのではないでしょうか。
最悪３回異なる色が出たとしても４回目は赤か白が出ます。
同じ色が２つそろったところで三つ子その１とその２を呼び、同じ色のガムを与えます。
そして、その２にガムを捨てるときのために違う色の包み紙を与えて初めに与えた包み紙を回収します。
次に三つ子その１を残しその３を呼び、その２から回収した包み紙で包んだガムを与えます。
その１とその２はお互い同じ色のガムをもらい、その１とその３も同じ色のガムをもらったことになるので、
三つ子のそれぞれは納得できるのではないでしょうか。
子育てのいろいろな場面で出費を抑えていくのは大切なことだと思います。
（ペンネ−ム：浜田 明巳）
問題３の答は６セントです．考えられる場合は，以下の６０通り．
赤赤白白青赤，赤赤白白青白，赤赤白青白赤，赤赤白青白白，赤赤青白白赤，赤赤青白白白，
赤白赤白青赤，赤白赤白青白，赤白赤青白赤，赤白赤青白白，赤白白赤青赤，赤白白赤青白，
赤白白青赤赤，赤白白青赤白，赤白青赤白赤，赤白青赤白白，赤白青白赤赤，赤白青白赤白，
赤青赤白白赤，赤青赤白白白，赤青白赤白赤，赤青白赤白白，赤青白白赤赤，赤青白白赤白，
白赤赤白青赤，白赤赤白青白，白赤赤青白赤，白赤赤青白白，白赤白赤青赤，白赤白赤青白，
白赤白青赤赤，白赤白青赤白，白赤青赤白赤，白赤青赤白白，白赤青白赤赤，白赤青白赤白，
白白赤赤青赤，白白赤赤青白，白白赤青赤赤，白白赤青赤白，白白青赤赤赤，白白青赤赤白，
白青赤赤白赤，白青赤赤白白，白青赤白赤赤，白青赤白赤白，白青白赤赤赤，白青白赤赤白，
青赤赤白白赤，青赤赤白白白，青赤白赤白赤，青赤白赤白白，青赤白白赤赤，青赤白白赤白，
青白赤赤白赤，青白赤赤白白，青白赤白赤赤，青白赤白赤白，青白白赤赤赤，青白白赤赤白
最初の５回で，赤２回，白２回，青１回出て，最後の６回目に赤，白のいずれかが出れば良いのです．
今回はエクセルのマクロで解いてみました．
ガムの色を１，２，３で表し，その１，２，３の並べ方を数えてみたのです．
なるべく問題の条件を変えても対応できるように作ってみました．
この手のプログラムで大変な所は，へたに工夫してしまうと，問題を解いてしまい，
わざわざプログラムを組む必要がなくなってしまう事です．
だから変数もガム１５個分のｊ(１)〜ｊ(１５)を用意しました．
本当は６個しかいらないのですが．
Option Explicit
Sub Macro1()
Dim mondai As Integer
Dim iro(3) As Integer
Dim kosuu(3, 3) As Integer
Dim kid(3) As Integer
Dim gum As Integer
Dim kotae As Integer
Dim example As String
Dim col(3) As String
Dim j(15) As Integer
Dim jj As Integer
Dim m As Integer
Dim deta As Integer
Dim dame As Integer
Dim aru(15) As Integer
iro(1) = 2 '色の種類の数
iro(2) = 3
iro(3) = 3
kosuu(1, 1) = 6 'それぞれのガムの個数
kosuu(1, 2) = 4
kosuu(2, 1) = 6
kosuu(2, 2) = 4
kosuu(2, 3) = 5
kosuu(3, 1) = 6
kosuu(3, 2) = 4
kosuu(3, 3) = 1
kid(1) = 2 '子供の数
kid(2) = 2
kid(3) = 3
col(1) = "赤"
col(2) = "白"
col(3) = "青"
For mondai = 1 To 3 '問題の番号
Cells(mondai, 1).Value = mondai
kotae = 0 '答
gum = 0 'ガムの総数
For jj = 1 To iro(mondai)
gum = gum + kosuu(mondai, jj)
Next jj
j(1) = 1
While j(1) <= iro(mondai)
j(2) = 1
While j(2) <= iro(mondai)
m = 2
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 2 Then
j(3) = 1
While j(3) <= iro(mondai)
m = 3
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 3 Then
j(4) = 1
While j(4) <= iro(mondai)
m = 4
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 4 Then
j(5) = 1
While j(5) <= iro(mondai)
m = 5
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 5 Then
j(6) = 1
While j(6) <= iro(mondai)
m = 6
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 6 Then
j(7) = 1
While j(7) <= iro(mondai)
m = 7
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 7 Then
j(8) = 1
While j(8) <= iro(mondai)
m = 8
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 8 Then
j(9) = 1
While j(9) <= iro(mondai)
m = 9
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 9 Then
j(10) = 1
While j(10) <= iro(mondai)
m = 10
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 10 Then
j(11) = 1
While j(11) <= iro(mondai)
m = 11
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 11 Then
j(12) = 1
While j(12) <= iro(mondai)
m = 12
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 12 Then
j(13) = 1
While j(13) <= iro(mondai)
m = 13
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 13 Then
j(14) = 1
While j(14) <= iro(mondai)
m = 14
GoSub check
If dame = 0 And deta = 0 And gum > 14 Then
j(15) = 1
While j(15) <= iro(mondai)
m = 15
GoSub check
j(15) = j(15) + 1
Wend
End If
j(14) = j(14) + 1
Wend
End If
j(13) = j(13) + 1
Wend
End If
j(12) = j(12) + 1
Wend
End If
j(11) = j(11) + 1
Wend
End If
j(10) = j(10) + 1
Wend
End If
j(9) = j(9) + 1
Wend
End If
j(8) = j(8) + 1
Wend
End If
j(7) = j(7) + 1
Wend
End If
j(6) = j(6) + 1
Wend
End If
j(5) = j(5) + 1
Wend
End If
j(4) = j(4) + 1
Wend
End If
j(3) = j(3) + 1
Wend
End If
j(2) = j(2) + 1
Wend
j(1) = j(1) + 1
Wend
Cells(mondai, 2).Value = kotae
Cells(mondai, 3).Value = example
Next mondai
End
'
check:
For jj = 1 To iro(mondai)
aru(jj) = 0
Next jj
dame = 0
deta = 0
jj = 1
While dame = 0 And deta = 0 And jj <= m
aru(j(jj)) = aru(j(jj)) + 1
dame = -(aru(j(jj)) > kosuu(mondai, j(jj)))
deta = -(aru(j(jj)) = kid(mondai))
jj = jj + 1
Wend
If dame = 0 And deta Then
If kotae < m Then
kotae = m
example = ""
For jj = 1 To m
example = example + col(j(jj))
Next jj
ElseIf kotae = m Then
example = example + ","
For jj = 1 To m
example = example + col(j(jj))
Next jj
End If
End If
Return
End Sub
| 少年Ｈ | yakabe | 浜田 明巳 |
| ねこ | もんさん | 清水南高校 |
| 夜ふかしのつらいおじさん | かつ | ch3cooh |
| BossF | けーじゅ | マサボー |
| 落武者 | しのぶ大好き | 牛大魔王 |
| バンザイ | イースター島のモアイ | モトコ大好き |
| 橋本ゆうこ大好き | だぜ！ | 隣の野良猫 |
| aa | RJCX | mhayashi |
今回は、北海道の門別町立厚賀中学校の皆さんをはじめたくさんの方から解答をいただきました。
どうもありがとうございました。
今回の問題は、かつさんの解答・その９でのご指摘通り、
鳩の巣の問題と考え方は同じです。
確実に同じ色のガムを買うには、最悪のケ−スを想定しなければなりません。
一般に子どもの数がｋ人、ガムはｎ種類（数は充分にある、少なくとも子どもの数よりは多い。）
とすると、最悪のケ−スはどの色も(ｋ−１)個でてしまう場合です。
しかしあと１個買えば、必ずどの色かがｋ個そろうことになります。
従って答えは、ｎ(ｋ−１)＋１
問題３のように、ガムの個数が子どもの数に満たないような色がある場合は、その色を除外した上で、その色の個数を足す必要がありますね。
そうです、最悪のケ−スです。
さてch3coohさんが解答・その１０で考察してくださった期待値について考えてみましょう。
期待値というのは、平均すると、何セント必要かということです。
問題１について、ch3coohさんが計算してくださった「期待値は 38/15 cent 」を検証してみます。
かかった費用をＸとして、Ｘ＝Ａである確率をＰ(Ｘ＝Ａ)で表すことにします。
ガムの自動販売機の中には、赤が６個、白が４個が入っています。
自動販売機にあるガムの色がほぼ平等にしかもふんだんにあるとする
と、計算の仕方が違ってきますね。
赤白ともに、出る確率は１／２と考えられます。
かかった費用をＹとして、Ｙ＝Ａである確率をＰ(Ｙ＝Ａ)で表すことにします。
ch3coohさん曰く「Q2,Q3 の期待値を筆算で求めるのは大変です。」ということです。
私も同感ですが、この前提(自動販売機にあるガムの色がほぼ平等にしかもふんだんにある)なら計算できるかな？
問題２について、赤白青のガムがほぼ平等にしかもふんだんにあるとします。
かかった費用をＸとして、Ｘ＝Ａである確率をＰ(Ｘ＝Ａ)で表すことにします。
問題３について、三つ子に対して赤白青のガムがほぼ平等にしかもふんだんにあるとします。
かかった費用をＸとして、Ｘ＝Ａである確率をＰ(Ｘ＝Ａ)で表すことにします。
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