Weekend Mathematics／問題／問題36
３６．まきの問題
ひとりの女の人が住んでいます。
仮に三木さんと呼ぶことにしましょう。
三木さんが台所用の共同スト−ブに自分のまきを３本入れました。
もう一人の女の人の五木さんは５本入れました。
別の住人である木無君は、自分のまきがありません。
でも、共同の火で昼食をつくる許しをえました。
その出費のつぐないとして、８コペイカを２人の隣人に払いました。
ふたりの婦人はこれをどのように分けたらよいでしょうか。
数学のはなし
ペレリマン
東京図書
（ペンネ−ム：青光）
3人で薪を8本使ったので、一人あたり 8/3 本の薪を使ったと考えます。
すると、三木さんが木無君に分けてあげた薪は 9/3 - 8/3 = 1/3 となります。
同様に考えると、五木さんが木無君に分けてあげた薪は 15/3 - 8/3 = 7/3 となります。
よって、木無君に分けた薪の比は、三木さんと五木さんで 1 : 7 となります。
以上の理由より 1 : 7 で分けるべきだと思います。
この問題は見た瞬間に「３：５に決まってるじゃん。」とか思ったの
ですが、そんな簡単なのかな？と考えてみたら、意外な答えでびっくりです。
（ペンネ−ム：kiyo）
（３＋５）÷３＝８／３ 一人あたりの必要なまきの本数。
三木さんと五木さんの余分なまきの本数。
３−８／３＝１／３
５−８／３＝７／３
（１／３）：（７／３）＝１：７
三木さん １コペイカ
五木さん ７コペイカに分ける。
これも一つの考え方だと思います。
（ペンネ−ム：不信邪（プーシンシェ））
８コペイカが３人のそれぞれの負担に適切なのでしょうから、
８本／３＝８／３本＝８コペイカ
三木さんは８／３本負担すべきところを３本出していますので、（３−８／３）本出しすぎています。
五木さんは、８／３本負担すべきところを５本出していますので、（５−８／３）本出しすぎています。
それぞれを返却するのですから、
三木さんには、（３−８／３）Ｘ３＝１コペイカ
五木さんには、（５−８／３）Ｘ３＝７コペイカ
となります。
（ペンネ−ム：ちゃめ）
三人が使う割合は同じである、すなわち、木無君はまき（８／３）本の代価として８
コペイカ支払ったものと考えます。
すると、まき１本の値段は３コペイカ。
まき３本を提供した三木さんの過払い分は、
３×３−８＝１（コペイカ）
まき５本を提供した五木さんの過払いぶんは、
３×５−８＝７（コペイカ）となる。
したがって、
三木さん１コペイカ、五木さん７コペイカと分ければよい。
（ペンネ−ム：sambaGREEN）
まきは全部で８本だから，ひとりあたりの使用量は ８/３
三木さんが木無さんに提供したのは ３−８/３＝１/３
五木さんが木無さんに提供したのは ５−８/３＝７/３
したがって，三木さんが１コペイカ，五木さんが７コペイカ受け取ればよい。
【コメント】
３人で会社を作るのに，２人が異なった広さの土地を出資し，１人は土地を持ってないので現金を出資，
そして，・・・というような類似問題を解いた記憶があります。
（ペンネ−ム：もこりろ）
まきは全部で８本。従って一人分の料理には
８／３本のまきが必要
| 三木 | 五木 | 木無 | |
|---|---|---|---|
| 自分のまき | ９／３ | １５／３ | ０ |
| 必要なまき | ８／３ | ８／３ | ８／３ |
| 残 り | １／３ | ７／３ | −８／３ |
（ペンネ−ム：少年Ｈ）
木無君の出費８コペイカが割り勘にした時の一人当たりの出費であるから、3人の出
費のトータルは、８コペイカ×３＝２４コペイカである。
この２４コペイカがまき８本の値段と同じだからまき１本あたりの値段は３コペイ
カとなる。
よって
三木さんの当初の出費は３本×３コペイカ＝９コペイカであるから９−８＝１コペ
イカをもらい、
五木さんは当初の出費が５本×３コペイカ＝１５コペイカであるから１５−８＝７
コペイカをもらう
（ペンネ−ム：ふじけん）
新しく、まき１本分の火の使用量を１バームとします。
すると、
木無君は三木さんに３バーム、五木さんに５バームを、
三木さんは五木さんに５バームを、
五木さんは三木さんに３バームを
払わなくてはなりません。
そうすると、
木無君は８バームを払い、
三木さんは１バームを受け取り、
五木さんは７バームを受け取ることになります。
ここで、木無君は８コペイカを二人に払ったので
１バーム＝１コペイカ
となるので、三木さんは１コペイカ、五木さんは７コペイカ受け取るべきである。
（ペンネ−ム：浜田 明巳）
問題の条件が今一はっきりしないので，こちらで勝手に次の２つの仮定をさせてもらいます．
仮定その１．三木さんは五木さんに対して，「まきを５本も入れる必要はなかったのよ，
３本で十分だったのよ」等とけんかをふっかけない．
仮定その２．共同の火で使うまきは，火を使う時間に関係なく，あるいは料理の量に関係なく，
使う人が平等に分担します．
つまり火は誰かが独占してはいけないものであり，
誰かが「ちょっとしか使わないからちょっとしかまきを出さない」と言わない，という事です．
この仮定はそんなに非常識なものではないでしょう．では解きます．
木無君は，まき８本の１／３に対して８コペイカ払った訳ですから，
まき８／３本の値段が８コペイカ
すなわち，
まき１本の値段が３コペイカ
となります．
木無君の８コペイカは，三木さんと五木さんに公平に４コペイカずつ分けるべきでしょう．
しかし三木さんと五木さんは本来４本ずつまきを公平に出すべきだったのですが，
五木さんは三木さんの分の１本をよけいに出しました．
したがって三木さんは五木さんにまき１本分の３コペイカを払うべきです．
つまり木無君の８コペイカは，
三木さんに１コペイカ（４−３），五木さんに７コペイカ（４＋３）
と分けるべきなのです．
（ペンネ−ム：Chee）
「共同ストーブ」なので、まきの恩恵（火）は平等に利用できるとします。
８本分の火を３人で平等に利用するのだから、木無君は 8/3 本分の火を使ったこと
になります。
さて、木無君が使ったの 8/3 本のまきの出所は？というのが問題です。
ところで、彼女たちも同様に 8/3 本分の火を利用しているので．．
三木さんは、3 - 8/3 = 1/3 本
五木さんは、5 - 8/3 = 7/3 本
を、木無君に提供したことになります。
その報酬が８コペイカということは、提供したまきの比率（１：７）から
三木さんが、１コペイカ
五木さんが、７コペイカ
もらえば良いことになります。
# まき１本は３コペイカなんですね。
[気になりました．．]
彼女たちの一方が、もう一方の２倍より多くのまきを出してしまった時は、木無君は
いくら出せば良いのでしょうか？
解答と同じ考えだと、少なく出した方も恵んでもらったことになりますから、この子
もいくらか出すことになるでしょう。
しかし、考え様によっては、一人分としては十分な量なのかもしれません。
つまり、多く出した方は、出しすぎたのでしょう。
この場合は、（木無君に恵んだのは多く出した人だけなので）お金はみんなもらえる
でしょうが、損します。
もっと考えると、彼女たちは、３人では使い切れないぐらいのまきを出してるかもし
れません。
その分のお金を木無君が出すのは、ワリに合いません。
逆に、３人で使うには少なすぎる量ということも考えられます。
この場合だと、お金をもらうより、自分の必要な分までは使って欲しくないと思うの
が人情でしょう。
つまり、「平等」というのは平和的な表現ですが、この問題は、
「余計なおせっかいによる、余ってしまったまき」や
「自分勝手な行為による、足りなくなったまき」
までも平等にしようという、争いのタネが潜んでいます。
数学的ではありませんが、日常的な平等を考えると、単純な計算では済みそうもあり
ません。
こう考えると、この問題が成り立つには、
「出したまきは、過不足なくちょうど３人分の量」
という条件が、（暗黙の内に）必要なのでしょう。
（ペンネ−ム：クリーム）
三人の人がそれぞれまきやお金を出資して共同の火を起こした
わけですから、三人の出資が等しくなるように８コペイカの分け方を
決めるのが良いと思われます。
三木さんが受け取る分を a コベイカ、五木さんが受け取る分を
b コベイカとしましょう。
a+b = 8 ********(1)
また、1コペイカがまきα本と等価であるとしましょう。
すると、三木さんはまき三本を提供して、a コベイカを受け取るので
出資の合計はまきの本数に換算して、
3 - aα 本 **********(2)
同様に、五木さんの出資の合計は
5 - bα 本 ***********(3)
また、木無君の出資の合計は
8α 本 ***************(4)
となる。式(2)(3)(4)がすべて等しいとおいた連立方程式と式(1)との連立方程式を
解くと、α=1/3, a=1, b=7 を得る。
したがって、三木さんが1 コペイカ、五木さんが7コベイカ受け取るのがよいと思われます。
この解答にはかなり不満です。というのは、1コベイカがまき何本と等価であるか
（つまりαの値）が、この問題の連立方程式から自動的に決まってしまっています
が、それは不自然で、αの値はこの問題とは独立に決まっているものだと思うからです。
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）
解答１
木無さんは、三木さんに１コペイカ、五木さんに７コペイカ支払うのが妥当。
一人８／３本ずつまきを出し合えば金のやりとりの必要はない。
三木さんは ３−８／３＝１／３本、五木さんは５−８／３＝７／３本余分に出
しているのでその余分に対して木無さんは代金を支払う。
（三木さんに３コペイカ、五木さんに５コペイカ支払うと、まき８本全部木無し
さんの権利となり二人は相応の代金を支払わねばならない）
解答２
出したまきの本数に対応して、三木さんに３コペイカ、五木さんに５コペイカ。
（金の問題は感情的なトラブルをおこしやすいので二人が問題を感じないなら。
木無さんにとっては８コペイカの出資は変わらないので二人の納得の問題である）
| ふじけん | 少年Ｈ | sambaGREEN |
| 浜田 明巳 | 夜ふかしのつらいおじさん | kiyo |
| Chee | もこりろ | クリーム |
| 青光 | 不信邪（プーシンシェ） | ちゃめ |
日常でもこういった場面はあり得るのではないかと思います。
ほとんどの場合、青光さんの解答・その１にあるように、
「３：５に決まってるじゃん。」ですよね？
でももうおわかりですよね？
あなたが五木さんだったら、それでは損してしまいます・・・。
しかしながら
コロキウム室NO.677のIdaho Potatoさんはじめ、
何人かの方が疑問を持たれているように「社会的」問題と考えると、また違った側面がでてきます。
そういう意味では、
夜ふかしのつらいおじさんの解答・その１２の「解答２」が平和的かもしれません。
関連した話題が、コロキウム室 NO.677、 コロキウム室 NO.715、 コロキウム室 NO.716にあります。
さて分配と言えば、この話を思い出します。「ラクダの分配」です。
「数学のたのしさ」 矢野健太郎著 新潮文庫より
むかし、アラビアの商人が、ラクダを１７頭持っていました。 アラビアの商人にとっては、砂漠を越えて遠い国へ商売に行く必要がありましたので、 そのため、ラクダはなくてはならぬもので、それを１７頭も持っているというのは、 相当な財産を持っていることになります。
さてこの商人が、年をとって死のうとするときに、自分の３人のこどもをまくらもとへ呼んで、つぎのような遺言をしました。
「自分は１７頭のラクダを持っているが、そのうちの1/2は長男に、1/3は次男に、1/9は三男にやりたいと思う。 ３人はそれぞれのラクダを持ってしっかり商売ををやり、いつまでも仲良く暮らすようにしなさい。」
こういって商人は死んでしまいました。 そこで３人の子どもは、おとうさんのいうとおりにラクダを分けようとしたのですが、 これがなかなかうまくいきません。
ラクダは１７頭いるのですから、長男がその1/2をとろうと思えば、１７の1/2で８頭と半分ということになりますが、 まさかラクダを半分にして殺してしまったのでは、なんの役にも立ちません。
次男も三男も同じ理由で困ってしまい、どうしても、おとうさんのいうとおりにラクダを分けることができず、 すっかり困ってしまいました。
その話しを聞いたある年寄りが、 「よし、それならわしがうまく分けてやろう。」 といって、自分のラクダを１頭つれて、この３人の兄弟のところへやってきました。
この年寄りは、そこにいる１７頭のラクダに自分のラクダを加えましたので、ラクダの数は１８頭になりました。 そこでその年寄りは３人の兄弟に次のように言いました。
「長男は、1/2というのだから、１８頭の1/2の９頭をとりなさい。 次男は1/3というのだから、１８頭の1/3の６頭をとりなさい。 三男は1/9というのだから、１８頭の1/9の２頭をとりなさい。
これで３人とも、おとうさんのいったとおりのラクダをもらったのだから、満足だろう、 これからは仲良く暮らすのですよ。」
さてこの年寄りは。長男に９頭、次男に６頭、三男に２頭のラクダ、つごう１７頭のラクダをわたしたあと、 残った自分のラクダを１頭つれて帰ってしまいました。
みんなは、この年寄りの頭のよいのにほとほと感心しました。
さてこの話には続きがあります。再び「数学のたのしさ」より
それから数年たって、またラクダを１１頭もっているある商人が、死ぬときにその３人の子どもに 次のような遺言をしました。
「自分は１１頭のラクダを持っているが、その1/2を長男に、その1/3を次男に、その1/6を三男に やる。」
ところがこのときも、３人の子どもは、１１頭のラクダをおとうさんのいうとおり分けることができずに 困ってしまいました。
そのとき、前の話を思い出したある男が、
「よし、自分がうまくわけてやろう。」
といって、自分のラクダを１頭つれて、この３人のところへきました。
ラクダは１１頭と１頭で全部で１２頭になりましたので、この人は次のように言いました。
「長男は、1/2というのだから、１２頭の1/2の６頭をとりなさい。 次男は1/3というのだから、１２頭の1/3の４頭をとりなさい。 三男は1/6というのだから、１２頭の1/6の２頭をとりなさい。
さて、この人は、長男に６頭、次男に４頭、三男に２頭と全部で１２頭のラクダを やってしまったので、なんと自分のラクダを１頭損してしまいました。
今回は、１１という数が２でも３でも６でも割りきれないところにのみ問題があったわけです。
１を加えて１２にすれば、２でも３でも６でも割り切れるので解決です。
ところが、今回は 1/2+1/3+1/6=1 になっていますから、
それに気がつかない男は加えた分のラクダを損してしまったわけです。
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