Weekend Mathematics／問題／問題29

２９．オレンジの問題

今年もスミス氏のもとへ、カリフォルニアの友人からたくさんのオレンジが送られてきました。
息子のジョン君、娘のメアリ−さん、スミス氏と、３人で平等に分けたいと思います。 でも、オレンジの個数が３で割り切れるとは限りません。どうしたらいいでしょう。 思案の末、スミス氏は名案を思いつきました。
３人で分けるのですから、ちょうど分けられるか、 １個余るか、２個余るかのいずれかしかありません。 しかも、その確率は等しいと考えてよいでしょう。
もし１個余ったら、スミス氏がそれをもらうことにします。 その確率は１／３です。
もし２個余ったら、ジョン君とメアリ−さんが１個ずつもらうことにします。 この確率も１／３です。
こうして全体としては、１個余分にもらえる確率が、３人とも平等になるというわけです！

さてそこへ、ひょっこりおばあちゃんがやってきました。 ４人で公平に分ける、同じような方法があるでしょうか？
「半分こ」をしてよければどうでしょう？

解答・その１

（ペンネ−ム：かに）

４人で公平に分ける同じような方法はありません。
ただし、半分こしてよければ４人で公平に分けることができます。
ABCDの４人において、オレンジが１個余ったらAとＢで半分こして オレンジをもらいます。２個余ったら半分こしてABCDの４人でもら います。３個余ったらAとBで半分こしたオレンジをもらい、CとDは オレンジを１個ずつもらいます。
このようにすると全体としては、１個半余分にもらえる確率が４人 とも平等になると思います。

解答・その２

（ペンネ−ム：みや）

１．４人で分けることは出来ない。

２．半分こする場合
それぞれにｎ個づつ配り、余りを以下の表のようにします。

	余り０	余り１	余り２	余り３
一郎	０	１／２	１／２	１／２
次郎	０	０	３／２	０
三郎	０	１／２	０	１
四郎	０	０	０	３／２

これで全員期待値３／８個で平等である。

蛇足
この配り方は平等とは言いきれないという結論を無理やり導いてみます。
全員、オレンジをｎ個もらったときの嬉しさを とします。

（注)
それぞれの嬉しさの期待値は

よって嬉しさの期待値は一郎が一番高い。

（注）
なぜｎ個もらったときの嬉しさをｎではなく にしたかというと 例えばオレンジ２個もらったときは嬉しいですね。 しかし９８個もらったときと１００個もらったときの嬉しさは同じですね。 それで嬉しさをルートで表しました。 だからこの例でも、まず１０個づつ配り余りを上のように 分けたとしたら嬉しさの期待値はほとんど同じになるはずです。
１０個配った後に余りを上の表のように分けると （オレンジが４０から４３のとき）

	余り０	余り１	余り２	余り３
一郎	１０	21／２	21／２	21／２
次郎	１０	１０	23／２	１０
三郎	１０	21／２	１０	１１
四郎	１０	１０	１０	23／２

でこのときの嬉しさの期待値が

一郎	3.2209
次郎と四郎	3.2195
三郎	3.2204

嬉しさの期待値はほとんど同じになります。
１０個ももらってしまったあとでは割り切れなかった余りをもらっても 嬉しさはあまり変わらないということです。

解答・その３

（ペンネ−ム：Weadore）

最初にあるオレンジの数をmod8で場合分けして考えます。

0,4の場合は、(A,B,C,D)に(1,1,1,1)、
1の場合は、(A,B,C,D)に(0,1,0,0)、
2の場合は、(A,B,C,D)に(0,0,2,0)、
3の場合は、(A,B,C,D)に(0,0,0,3)、

5,6,7の場合は、まず、(A,B,C,D)に(1,1,1,1)と、わける。その後、
5の場合は、(A,B,C,D)に(1,0,0,0)、
6の場合は、(A,B,C,D)に(0,2,0,0)、
7の場合は、(A,B,C,D)に(0,0,3,0)、で分けます。

こうすれば、オレンジをもらえる数の期待値は等しくなります。
（∵縦に数を足してみればすぐ分かる。）

ただ、この上の例だと、あまり平等に見えないので、 後は、多少見た目上の問題で場合分けのところで、 一人一個ずつ渡せば良いと思います。
ここで、1,2,3と5,6,7をうまく対称的にするとうまく行きます。

半分こをしてOKの場合は、mod4で場合分けして、

0の場合は、(A,B,C,D)に(1,1,1,1)、
1の場合は、(A,B,C,D)に(1,0,0,0)、
3の場合は、(A,B,C,D)に(0,1,1,1)、
2の場合は、(A,B,C,D)に(0.5,0.5,0.5,0.5)
っと分ければ、平等に配れる。

解答・その４

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

　Ａ，Ｂ，Ｃの３人にオレンジを分けるとし，次の表のようにまとめます．

余り	Ａ	Ｂ	Ｃ
０	０	０	０
１	１	０	０
２	０	１	１

ようするに，Ａ，Ｂ，Ｃの３人に余りの合計０＋１＋２＝３を公平に分配すればよい． これは明らかに可能です．
ところが，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人の場合だと，

余り	Ａ	Ｂ	Ｃ	Ｄ
０	０	０	０	０
１	１	０	０	０
２	０	１	１	０
３	？	？	？	？

となり，公平に分配することができない． これは(０＋１＋２＋３)÷４＝６÷４が割り切れない事に起因します．
「半分こ」をしてよいとき，例えば

余り	Ａ	Ｂ	Ｃ	Ｄ
０	０	０	０	０
１	1/2	1/2	０	０
２	1/2	1/2	1/2	1/2
３	1/2	1/2	１	１

とすればよいでしょう．これは(０＋１＋２＋３)÷４＝３×(１／２)であることに起因します．
つまり例えば，１個余れば半分こにして，スミス氏とおばあちゃんに分けます．
２個余れば２個とも半分こにして，４人に分けます．
３個余れば１個を半分こにしてスミス氏とおばあちゃんに分け，残りの２個を子供達に分けます．
そうすると，期待値は
Ｅ(スミス氏)＝Ｅ(おばあちゃん)＝３×(１／４)×(１／２)＝３／８
Ｅ(ジョン君)＝Ｅ(メアリーさん)＝(１／４)×(１／２)＋(１／４)×１＝３／８
とすべて等しくなり，公平になります．

解答・その５

（ペンネ−ム：ちゃめ）

４人で公平に分けるということを、 「４人それぞれの、余分にもらえる個数の期待値が等しい」ことと考える。
３で割る場合と同様、４で割って、余りが０，１，２，３となる確率はすべて 1/4であるとしてよい。
すると、４で割って余る個数の期待値は、(0+1+2+3)/4 = 3/2（個）
であるから、４人それぞれが、 余分にもらえる個数の期待値が 3/8 個となるような方法を考えればよい。

以下、４人の区別は考慮せずに、分ける個数の組み合わせだけを考えることにする。 ４人を、x , y, z, w と表す。
４で割った余りがk個(k=1,2,3)であるときにxがもらう個数をx(k)と表す。 x(k)は非負の整数である。 xが余分にもらう個数の期待値が3/8となるために、
x(1)+x(2)+x(3) = 3/2
でなければならないが、これを満たす非負の整数x(k)(k=1,2,3)は存在しない。 よって、公平な分け方はできない。

次に、「半分こ」可能な場合を考える。
上で定めた x(k) を 1/2個を単位として表した数、 すなわち 2x(k) をあらためて x(k) と置く。 x(k)は非負の整数。 y(k), z(k), w(k) も同様に定める。

各人が余分にもらう個数の期待値がすべて3/8となるために、
x(1)+x(2)+x(3)=3 ・・・(1)
y(1)+y(2)+y(3)=3 ・・・(2)
z(1)+z(2)+z(3)=3 ・・・(3)
w(1)+w(2)+w(3)=3 　・・・(4)

また、文字の定め方から、
x(1)+y(1)+z(1)+w(1)=2　・・・(5)
x(2)+y(2)+z(2)+w(2)=4 ・・・(6)
x(3)+y(3)+z(3)+w(3)=6 ・・・(7)

(1)から(7)を満たす非負整数解が存在すれば公平な分け方が可能。
x(k), y(k), z(k), w(k) に関する対称性から、 x(3)>=y(3)>=z(3)>=w(3)としてよい。
x(3)<=3だから、(7)から、
(x(3), y(3), z(3), w(3))=(3,3,0,0), (3,2,1,0),(3,1,1,1),(2,2,2,0),(2,2,1,1,)

1. (x(3), y(3), z(3), w(3))=(3,3,0,0)　のとき。
   (1),(2)より、x(1)=x(2)=y(1)=y(2)=0
   zとwの対称性からz(2)>=w(2)とすると、 式を満たす組み合わせは、
   (z(1),z(2),w(1),w(2))=(0,3,2,1),(1,2,1,2) となる場合の２通りが存在。
   
   
2. (x(3), y(3), z(3), w(3))=(3,2,1,0)のとき。
   (1)より、x(1)=x(2)=0
   (2),(3),(4),(5),(6),(7)を満たす組み合わせは、
   (y(1), z(1), w(1))=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,2,0),(0,0,2) となる場合の５通りが存在。
   
   
3. (x(3), y(3), z(3), w(3))=(3,1,1,1)のとき。
   x(1)=x(2)=0
   対称性から、y(1)>=z(1)>=w(1)とすると、
   式を満たす組み合わせは、
   (y(1),z(1),w(1))=(2,0,0),(1,1,0) となる場合の２通りが存在。
   
   
4. (x(3), y(3), z(3), w(3))=(2,2,2,0)のとき。
   対称性から、x(1)>=y(1)>=z(1)とすると、 式を満たす組み合わせは、
   (x(1),y(1),z(1))=(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0) となる場合の３通りが存在。
   
   
5. (x(3), y(3), z(3), w(3))=(2,2,1,1)のとき。
   対称性から、x(1)>=y(1)、
   z(1)>=w(1)とすると、 式を満たす組み合わせは、
   (x(1),y(1),z(1),w(1))=(1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,2,0),(0,0,1,1) となる場合の４通りが存在。
   
   

解答・その６

（ペンネ−ム：荒城　清美）

４人でわけるから

• ちょうど分けられる
• １個あまる
• ２個あまる
• ３個あまる

• ２個あまったら２人で１個もらって半分こにすれば平等
• １個あまりのとき　　スミスがもらう〈４分の１の確率）
• ３個あまりのとき　　ジョン、メアリー、おばあちゃんがもらう〈４分の１の確率）

解答・その７

（ペンネ−ム：ちょま）

スミス氏、ジョン君、メアリ−さん、おばあちゃんを Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄと書くことにします。 この４人で余ったオレンジを公平に分ける方法を（１）〜（３）の順 に考えてみました。

1. まず、３個のときと同じように、 オレンジを切らないで分けることを考えてみます。
   １個余ったら、Ａが１個もらう。この確率は１／４。
   ２個余ったら、Ｂ、Ｃが１個ずつもらう。この確率も１／４。
   ３個余ったら、Ｄが１個もらう。残りの２個は・・・
   うまく分けられそうにありません。
   
   
2. 今度はオレンジを「半分個」にしてよいことにします。
   １個余ったら、Ａ、Ｂが半分個ずつもらう。この確率は１／４。
   ２個余ったら、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが半分個ずつもらう。この確率も１／４。
   ３個余ったら、Ａ、Ｂが半分個ずつもらい、Ｃ、Ｄが１個ずつもらう。 この確率も１／４。
   
   半分個もらえる確率と、１個もらえる確率が４人とも同じではないので、 ここでは期待値（もらえると期待できるオレンジの個数）を考えてみます。
   Ａ、Ｂは １／２×１／４＋１／２×１／４＋１／２×１／４＝３／８
   Ｃ、Ｄは １／２×１／４＋１×１／４＝３／８
   となり、４人とも３／８個と等しくなります。
   
   でも、Ａ、Ｂは３／４の確率でオレンジをもらうことができるのに比べ、 Ｃ、Ｄは１／２の確率でしかオレンジをもらえません。 また、Ａ、Ｂはもらえるとしても半分個なのに、 Ｃ、Ｄは１個まるごともらえる可能性もあり、 公平とは言いにくいです。
   
   
3. では、「半分個」にしてよい場合で、２．とは別の分け方にしてみます。
   １個余ったら、Ａ、Ｂが半分個ずつもらう。この確率は１／４。
   ２個余ったら、Ｃ、Ｄが１個ずつもらう。この確率も１／４。
   ３個余ったら、Ａ、Ｂが１個ずつもらい、Ｃ、Ｄが半分個ずつもらう。 この確率も１／４。
   
   期待値は４人とも １／２×１／４＋１×１／４＝３／８ で２．と同じですが、１個余分にもらえる確率が４人とも１／４、 半分個余分にもらえる確率が４人とも１／４になります。
   この３．の分け方なら、４人とも平等だと言うことができます。
   

もしオレンジが余ったら、オレンジジュ−スを作って皆で飲む、
なんて答えたら怒られてしまうかな？

さて４人で公平に分配できないのは、「浜田　明巳」さんのご指摘通り、 可能性のある余りの総和が人数で割り切れないことで説明できます。
(０＋１＋２＋３)÷４＝６÷４
一般にＮ人で分配しようとすると、可能性のある余りの総和
０＋１＋２＋３＋・・・＋(Ｎ−１)＝Ｎ(Ｎ−１)／２が人数Ｎで割れるかどうかが問題になります。

1. Ｎが奇数のとき
   (Ｎ−１)は偶数になりますから、(Ｎ−１)／２は整数になり、従ってＮで割り切れます。
   ですから、公平な分配が可能です。
   
2. Ｎが偶数のとき
   (Ｎ−１)は奇数ですから、(Ｎ−１)／２は整数になりません。 従ってＮで割り切れません。公平な分配は不可能です。
   しかしながら、半分個を許せば大丈夫です。 (それ以上オレンジを細かく切る必要はありません。)

1. Ｎが奇数のとき
   
   Ｎ人の人間をＡ₁、Ａ₂、・・・Ａ_Nとします。
   

   余り	Ａ1	Ａ2	・・・	ＡN/2	ＡN/2+1	・・・	ＡN-1	ＡN
   １	○	×	×	×	×	×	×	×
   ２	○	○	×	×	×	×	×	×
   ３	○	○	○	×	×	×	×	×
   ・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・
   (N-1)/2	○	○	○	○	×	×	×	×
   (N+1)/2	×	×	×	×	○	○	○	○
   ・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・
   N-2	×	×	○	○	○	○	○	○
   N-1	×	○	○	○	○	○	○	○

   
   
   

   余り１と余り(Ｎ−１)、余り２と余り(Ｎ−２)、・・・余り(Ｎ−１)／２と余り(Ｎ＋１)／２をそれぞれ ペアにして、全員がどちらか一方だけでもらうということにすればいいわけです。
   
   

2. Ｎが偶数のとき
   
   

   余り	Ａ1	Ａ2	・・・	ＡN/2	ＡN/2+1	・・・	ＡN-1	ＡN
   １	○	×	×	×	×	×	×	×
   ２	○	○	×	×	×	×	×	×
   ３	○	○	○	×	×	×	×	×
   ・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・
   (N/2)-1	○	○	○	×	×	×	×	×
   N/2	△	△	△	△	△	△	△	△
   (N/2)+1	×	×	×	○	○	○	○	○
   ・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・	・・・
   N-2	×	×	○	○	○	○	○	○
   N-1	×	○	○	○	○	○	○	○

   
   
   

   先ほどと同様に、余り１と余り(Ｎ−１)、余り２と余り(Ｎ−２)、・・・余り(Ｎ／２)−１と余り(Ｎ／２)＋１をそれぞれ ペアにして、全員がどちらか一方だけでもらうということにすればいいわけです。
   しかしながら余り(Ｎ／２)だけが単独で残ってしまいます。 そこで、ここだけは全員で半分個をします。
   

コロキウム室 NO.508 に関連した話題があります。

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