２．面積の問題
縦１cm、横１０cmの長方形のテ−プＡＢＣＤに、１cmごとにＡＢに平行に線を引いています。 対角線ＢＤを引いて、図のように斜線を入れるとき、斜線の部分の面積の和は、いくらになるでしょうか。
答えと解説
２．面積の問題
縦１cm、横１０cmの長方形のテ−プＡＢＣＤに、１cmごとにＡＢに平行に線を引いています。
対角線ＢＤを引いて、図のように斜線を入れるとき、斜線の部分の面積の和は、いくらになるでしょうか。
回答その１（台形法）
台形の面積が、（上底＋下底）×高さ÷２ というのを使う。
ＢＤより上の部分を１８０゜回転させると下の部分と重なるから前者の面積を求め、
２倍すればよい。
ＢＤより上の部分については、
｛(1+0.9)+(0.8+0.7)+(0.6+0.5)+(0.4+0.3)+(0.2+0.1)｝×1÷2=5.5/2
従って、これを２倍して、5.5cm2である。
回答その２（ずらし法）
上の図のように各頂点に名前をつけます。
これをＢＤにそってずらします。
するとこのようになります。
高さは1.1cmになるので、面積は1.1×1×5=5.5cm2というわけです。
回答その３（組み合わせ法・その１）
上の図のようにＡＢの中点とＣＤの中点を結ぶ直線をひく。
すると、斜線が入っている長方形が６つできる。
６つの長方形の面積は、0.5×6=3cm2
左下１／４の部分を
とおくと、ａ＝ｊ、ｂ＝ｉ、ｃ＝ｈ、ｄ＝ｇ、ｅ＝ｆなので、まとめると
ということになる。
面積は、0.5×5÷2=2.5/2
右上１／４の部分も同じようにすると、面積は2.5/2
この２つをたすと2.5cm2
従って、3+2.5=5.5cm2
上の様に補助線をいれます。
この部分の面積は、縦0.1×横1=0.1
0.1×5=0.5
この部分は、縦1×横1=1
1×5=5
合わせて、0.5+5=5.5となります。
回答その５（白黒比率法）
1cmごとに区切った所を上の図のようにおく。
ＡＢの中点ｕとＣＤの中点ｔを結び、ｉｊとの交点をｓとする。
ｓはＢＤ上の点でもある。
よって、四角形Ａｉｓｕと四角形ｕｓｊＢは合同なのがわかる。
次に四角形Ａｉｓｕだけを見ると
斜線部分と白い部分の面積は３：２になっている。
四角形ｓｔＣｊも同様。
そして、四角形ｕｓｊＢを見ると
まん中の四角形は対角線をはさんで合同。面積は１：１。・・・@
長方形の対角線なので∠ｕｓＢ＝∠ｊＢｓで両端の四角形も合同で
斜線部分と白い部分の面積は１：１。・・・A
残り２つの四角形も同様。面積は１：１。・・・B
@ABより、四角形ｕｓｊＢの斜線部分と白い部分の面積は同じになる。
四角形ｉＤｔｓも同様。
１辺が1cmの四角形が１０こつながっているので面積は10cm2
斜線部分の面積：白い部分の面積＝１１：９
なので、斜線部分の面積は5.5cm2
回答その５・コメント
面積を直接求めず、全体の面積との比で求めるという点です。
非効率だという人もいるかもしれませんが、私はとてもユニ−クなアイデアだと思います。
回答その６（拡大法）
この図形を、縦に１０倍する。
すると斜線部分の面積も１０倍になる。
この図形において、斜線部分は面積１cm2の正方形が５０個、
面積１／２cm2の直角二等辺三角形が１０個、
だからあわせて面積は５５cm2
従って、もとの斜線部分の面積は、5.5cm2である。
（この解法は下記の出典元の本に記載されているものです。）
まとめ
各回答に名前をつけたのは私です。ご了承下さい。
数学の問題に対しては、一応答えは一通りに定まるけれども、
その答えに至る道のりはさまざまですね。
答えへの道のりが１つでないところが数学のおもしろいところであり、
またどの道を通っても必ず同じ頂上にたどり着けるというのが
数学のすごいところだと思います。
今回、解法を６つばかり紹介しましたが、
それらを読んでいくと、答えは5.5cm2以外にはありえない、
という気持ちになってきますから不思議です。
メ−ルでの回答、どうもありがとうございました。
問題の出典
ピ−タ−・フランクルのパズルより面白い中学入試の算数
講談社
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