１２０．三角形ができる確率
10cmの針金があり、任意に２点をとって３本に切断する。 このとき３本の針金で三角形ができる確率はどれだけか。
問題の出典
判断力を高める推理パズル
鈴木清士 著
講談社ブルーバックス
答えと解説
解答・その1
（ペンネ－ム：ますますタコさん）
解答： １／４の（もしくは、１／４に限りなく近い）確率で三角形ができる。（でしょうか？）
過程： まず、法則を見つけるのに、１cm単位で切った場合を考えました。（すいません・・・私はちからわざで）
１－１－８、１－２－７、・・・、２－１－７、・・・、８－１－１ と、
任意の２点を切った場合に１cm単位の場合、３６通り考えられます。
（この考え方でいいですよねえ？たとえば、
１－１－８、１－８－１、８－１－１は任意の２点は針金のどちらか一方の端から
１と２、１と９、８と９、cmの位置で切断するという考え方で・・・。）
で、「三角形」ができる条件を考えると、この問題の場合、
３本の切断した針金のうち、５cm以上の針金がないことになります。
（３辺のうち一番長い１辺の長さが残り２辺の長さの和より短いこと）言い換えると、
３本の針金がすべて５cm未満でないと三角形にはなり得ない、と言うことになります。
そこで、三角形ができる条件を１cm単位で考えた場合（３本とも５cm未満）は、
２－４－４、３－３－４、３－４－３、４－２－４、４－３－３、４－４－２の６通りです。
ですから、確率は ６／３６＝１／６ です。
次に、１mm単位で考えました。（すいません。これもちからわざです。）
１－１－９８、１－２－９７、・・・、２－１－９７、２－２－９６、・・・、
９７－２－１、９８－１－１ と、左の数字が １ のとき９８通り、
２ のとき９７通り、３ のとき９６通り、・・・、９８ のとき１通り となり、
全部で ４８５１（ ＝９８（９８＋１）／２ ）通りになります。
同様に３つの数字がすべて５０未満を探すと、左の数字が １ のとき０通り、２のとき１通り、
３ のとき２通り、４ のとき３通り、・・・、４９ のとき４８通り、
５０ のとき０通り、５１ のとき０通り、・・・、９８ のとき０通り となり、
三角形になり得る場合は １１７６（ ＝４８（４８＋１）／２ ）通りになります。
三角形になる確率は １１７６／４８５１＝２４／９９＝８／３３ です。
ちょっと見えてきたようなきがします。
次に０．１mm単位で考えました。
今度は１０００分割になります。上（１００分割）と同様に考え、左の数字が
１ のとき９９８通り、２ のとき９９７通り、３ のとき９９６通り、・・・、で、
全部で ４９８５０１（ ＝９９８（９９８＋１）／２ ）通りになります。
３つの数字がすべて５００未満を探すと、左の数字が １ のとき０通り、
２ のとき１通り、・・・、４９９ のとき４９８通り、５００ のとき０通り、・・・、
９９８ のとき０通り となり、三角形になり得る場合は
１２４２５１（ ＝４９８（４９８＋１）／２ ）通りになります。
三角形になる確率は １２４２５１／４９８５０１＝２４９／９９９＝８３／３３３ です。
さて、先では式を考えませんでしたが、１０分割のときは全部で ３６（ ＝８（８＋１）／２ ）通りで、
三角形になり得る場合は ６（ ＝３（３＋１）／２ ）通りです。
確率は上でも書いたように、６／３６＝１／６ です。
１００分割、１０００分割のときの様に、分母を「９」だけで表現すると、
１０分割のときは １．５／９ となる。
確率は、分割数を無限と考えると １／４（に限りなく近い値）になると思います。
あくまで、予測の範囲です。
解答・その2
（ペンネ－ム：のっこん）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
１）７等分点をとり、一番左の点を１、その隣りの点を２、・・・、一番右の点を６とする
三角形ができる点のとり方は
１と４
２と４、２と５
３と４、３と５、３と６
全部で１＋２＋３＝３・４/２ 通り
任意の点のとり方は ６C２＝６・５/２ 通り
確率は３・４/６・５
２）８等分点をとり、一番左の点を１、・・・・・・・・、一番右の点を７とする
三角形ができる点のとり方は
２と５
３と５、３と６
全部で１＋２＝３・２/２ 通り
任意の点のとり方は７C２＝６・７/２ 通り
確率は３・２/６・７
３）９等分点をとり、・・・・・・・・
三角形ができる点のとり方は
１と５
２と５、２と６
３と５、３と６、３と７
４と５、４と６、４と７、４と８
全部で４・５/２ 通り
任意の点のとり方は８C２＝８・７/２ 通り
確率は４・５/８・７
４）１０等分点をとり、・・・・・・・
三角形ができる点のとり方は
２と６
３と６、３と７
４と６、４と７、４と８
全部で４・３/２ 通り
任意の点のとり方は９C２＝８・９/２ 通り
確率は４・３/８・９
５）１１等分点をとり、・・・・・・・
三角形ができる点のとり方は
１と６
２と６、２と７
３と６、３と７、３と８
４と６、４と７、４と８、４と９
５と６、５と７、５と８、５と９、５と１０
全部で５・６/２ 通り
任意の点のとり方は１０C２＝１０・９/２ 通り
確率は５・６/１０・９
６）１２等分点をとり、・・・・・・・
三角形ができる点のとり方は
２と７
３と７、３と８
４と７、４と８、４と９
５と７，５と８，５と９，５と１０
全部で５・４/２ 通り
任意の点のとり方は１１C２＝１０・１１/２ 通り
確率は５・４/１０・１１
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
まとめると（n≧2とする）
(1)（2n-1）等分点をとった時の確率は (n-1)n/(2n-2)(2n-3)＝(1/4)+｛3/(8n-12)｝
(2) 2n等分点をとった時の確率は (n-1)(n-2)/(2n-2)(2n-1)＝(1/4)-｛3/(8n-4)｝
※この辺は証明が必要だと思うけれども。
いずれにせよ、nを十分に大きくすると確率は １/４ となる
解答・その3
（ペンネ－ム：にしやん）
切り取った３辺の長さをそれぞれ、ａ、ｂ、ｃ とする。（単位はｃｍ）
題意より
ａ＋ｂ＋ｃ＝１０
各辺の長さは正なので、ｃを消去して整理するとａ、ｂのとりうる範囲は以下となる。
ａ＞０、ｂ＞０、ａ＋ｂ＜１０
すなわち、ａ，ｂのとりうる範囲は、１辺が１０ｃｍの直角二等辺三角形の面積に等しい。
１０＊１０／２＝５０
このうちａ，ｂ，ｃで三角形を作るとすると、２辺の和は、残り１辺よりも大きくなければならないので
ａ＋ｂ＞ｃ、ｂ＋ｃ＞ａ、ｃ＋ａ＞ｂ
上記より、ｃを消去して整理すると
ａ＜５、ｂ＜５、ａ＋ｂ＞５
すなわち、ａ，ｂのとりうる範囲は、１辺が５ｃｍの直角二等辺三角形の面積に等しい。
５＊５／２＝１２．５
従って求める確率は、
１２．５／５０＝１／４
解答・その4
（ペンネ－ム：Toru）
左端からx cm 右端からy cmで切断するとすると
x+y＜10, x＞0, y＞0
これをxy平面上に考えると、(0,0) (0,10) (10,0)を結んだ三角形の内部
この領域のどの点も同じ確率で起こると考える。
三角形ができる条件は、三辺が x, y, 10-x-yだから
x+y＞10-x-y, x+(10-x-y)＞y, y+(10-x-y)＞xより
x+y＞5, x＜5, y＜5
これは(0,5) (5,5) (5,0)を結んだ三角形の内部で、
前記の三角形の各辺の中点を結んだ三角形となっており、面積は１／４。
よって三角形のできる確率も１／４
解答・その5
（ペンネ－ム：杖のおじさん）
確率は １／４ です。
１０ｃｍ針金を任意の2点で切断します。そして三角形を作りますので次の式が成り立ちます。
任意の点で切断すると一辺をＡｃｍ、二辺目をＢｃｍ、とすると三辺目は１０－（Ａ＋Ｂ）ｃｍとなります。
三角形は二辺の合計は他辺より大きい条件があります。
Ａ＋Ｂ＞１０－（Ａ＋Ｂ）
Ａ＋（１０－（Ａ＋Ｂ））＞Ｂ → １０＞２B → ５＞B
Ｂ＋（１０－（Ａ＋Ｂ））＞Ａ → １０＞２A → ５＞A
Ａ＋Ｂ＞５、５＞Ａ＞０、５＞Ｂ＞０
上記条件で次の計算をします。
針金の切断ポイントは１０×１０／２＝５０です。
三角形にするための切断ポイントは５×５／２＝１２．５です。
確率は１２．５÷５０＝０．２５となり答えは１／４です。
解答・その6
（ペンネ－ム：teki）
答え 1/4
三角形の成立条件は１辺の長さが他の２辺の長さの合計より短いことです。
あとは、これを不等式であらわせば、グラフを描くことによって、直角二等辺
三角形の面積比から出てきます。（なんと、ここにも三角形が登場！）
詳しい解法は不等式とグラフを用いて淳子先生ご自身がコロキウム室 NO.454
に記載されてますので、省略します。
解答・その7
（ペンネ－ム：みけねこ）
棒を、ｘ、ｙ、１０－ｘ－ｙ、の３本に切断したとする。
題意より
０＜ｘ＜１０、０＜ｙ＜１０、０＜１０－ｘ－ｙ（＜１０）
がいえる。
これらが示す領域は下図の“緑”（外側の三角形の内部）である。
また、三角形が出来る条件は、
(1)：ｘ＋ｙ＞１０－ｘ－ｙ
(2)：ｙ＋１０－ｘ－ｙ＞ｘ
(3)：１０－ｘ－ｙ＋ｘ＞ｙ
(1)、(2)、(3)を整理すると、
ｙ＞５－ｘ、ｘ＜５、ｙ＜５
であり、これらが示す領域は下図の“赤”（内側の三角形の内部、斜線部分）である。
全事象は上図の“緑”（外側の三角形の内部）の面積であり、 三角形が出来るのは上図の“赤”（内側の三角形の内部、斜線部分） の面積であるから求める確率は１／４となる。(終)
解答・その8
（ペンネ－ム：まーや）
（答え）１／４
切り取った１本の長さをｘ（ｃｍ）、もう１本をｙ（ｃｍ）とすると、
残りの１本は 10－ｘ－ｙ（ｃｍ）となる。
針金の長さは10ｃｍなので、
ｘ＋ｙ＜10・・・（１）
また、三角形ができるためには、
３辺すべてにおいて「1辺の長さ＜他の2辺の合計」が満たされればよい。
よって、
ｘ＜ｙ＋（10－ｘ－ｙ）・・・（２）
ｙ＜ｘ＋（10－ｘ－ｙ）・・・（３）
10－ｘ－ｙ＜ｘ＋ｙ・・・（４）
（２）より ｘ＜５・・・（５）
（３）より ｙ＜５・・・（６）
（４）より ｘ＋ｙ＞５・・・（７）
（１）、（５）、（６）、（７）の範囲を図示すると、
三角形ができる確率は、グラフの△AOBに占める△DFCの面積の割合なので、 １／４
解答・その9
（ペンネ－ム：巷の夢）
3本の針金の長さを各々、 とすると、針金の長さが10㎝であるから、
０＜ａ,ｂ，ｃ＜１０ ・・・(1)
ここで三角形が出来る条件より、
ｃ＜ａ＋ｂ
ｂ＜ａ＋ｃ ・・・(2)
ａ＜ｂ＋ｃ
が成立せねばならない。 ここで、3変数を2変数に絞り込むと、ｃ＝１０－ａ－ｂ であるから、
０＜ａ＋ｂ＜10・・・(3)
となる。 これら(1)、(2)及び(3)の条件から
０＜ａ＜５
０＜ｂ＜５ ・・・(4)
５＜ａ＋ｂ
が成立する。以上の(1)～(3)の条件下で(4)の成立範囲を考えると、 正にこれこそ三角形が成立する確率であるから、 これらを座標平面に表示すると下記のようになり、
大きな三角形の面積に対し中の黒い三角形部分の面積比が求めるものである。 即ち、 
解答・その10
（ペンネ－ム：蜘蛛の巣城）
針金をABとして、図１のP,Qが任意の切断点です。
としましょう。題意を勘案すれば
０＜ｘ＜１０ (1)
０＜ｙ＜１０ (2)
ｘ＋ｙ＜１０ (3)
です。(1)(2)(3)を同時に満たす条件を視覚化して、平面上に領域として図示すると図２の三角地帯の内部となります。
切断された３本の針金で三角形が成立する条件は、言わずと知れた「２辺の和は他の１辺より長い」で
ＡＰ＋ＢＱ＞ＰＱ (4)
ＰＱ＋ＡＰ＞ＢＱ (5)
ＰＱ＋ＢＱ＞ＡＰ (6)
(4)(5)(6)が同時に成立する必要があり、かつそれで十分です。
(4)(5)(6)を領域で表示できるようにすれば
ｘ＋ｙ＞５ (7)
ｙ＜５ (8)
ｘ＜５ (9)
(7)(8)(9)を同時に満たす領域を図２に重ねて図示すると図３を得ます。色つきの領域の内部です。全体に占める面積の割合は25％です。
従って、切断された３本の針金で三角形を作ることができる確率は25％です。
ところで、真の意味でP,Qを「任意の」２点とすることは人間の手で切断する限り、難しいのではないでしょうか。 左右のバランス感覚が働いたりして、図２の三角地帯のすべての点が等しい 蓋然性をもって期待できるということはあり得ないでしょう。それを実現できるのは「神の手」ということでしょうか。
解答・その11
（ペンネ－ム：ＦａｕｓＴ）
題意より、切り取った３本の針金の長さを、
ｘ、ｙ、１０－ｘ－ｙ とすれば、
０＜ｘ＜１０、 ０＜ｙ＜１０－ｘ
が得られる。
また、三角形ができるための条件は、
任意の２辺の長さの和が、もう１辺の長さより長くなることであるから、
ｘ＋ｙ＞１０－ｘ－ｙ より ｙ＞５－ｘ
ｘ＋（１０－ｘ－ｙ）＞ｙ より ｙ＜５
ｙ＋（１０－ｘ－ｙ）＞ｘ より ｘ＜５
が得られる。
ここで、３本に切り分けるだけの事象は、参考図において、
（０，０），（１０，０），（０，１０）の内部全てであり、
このうち、３本の針金が三角形をなすための事象は、
（５，０），（５，５），（０，５）の内部全てとなる。
∴ 求める確率は、面積比より
１／４ となる。 ・・・・・・【解】 （ 以 上 ）
解答・その12
（ペンネ－ム：三角定規）
図のように，長さ10の線分 AA' を２点B，Cで折り曲げ三角形を作ることを考える。
AB＝x，AC＝y とすると 0＜x＜y＜10 …(1) であり，３辺が三角形を作るのは，
AB＜BC＋CA より，x＜10－x ∴ x＜5 …(2)
CA＜AB＋BC より，10－y＜y ∴ y＞5 …(3)
BC＜CA＋AB より，y－x＜10－y＋x ∴ y＜x＋5 …(4)
(1)は図の水色部分（面積50）で，(2)(3)(4)は青色部分（面積25/2)である。
よって，三角形となる確率は，(25/2)/50＝1/4 ［答］
エクセルでシミュレーションをしてみたら，22/100，48/200，96/400，197/800 と概ね 1/4 になりました。
解答・その13
（ペンネ－ム：転位反応）
１０㎝の針金を任意の二点で切断してできる三本の針金の長さを
ａ，ｂ，ｃとすると、
０＜ａ＜１０， ０＜ｂ＜１０， ０＜ｃ＜１０
である。
また、ａ＋ｂ＋ｃ＝１０ なので
ａ＋ｂ＝１０－ｃ ＜１０
従って、変数ａ，ｂについて整理すると
０＜ａ＜１０， ０＜ｂ＜１０， ０＜ａ＋ｂ＜１０
ａ，ｂを座標軸にとってグラフに示すと、下記の通り。
つまり、針金の切断により、起こりうる全てのａ，ｂの組合せは、
(０，０)、 (０，１０)、 (１０，０) を頂点とする直角二等辺三角形の
内側の点である。但し、境界線上の点は含まない。
一方、これら三本の針金で三角形が成立する必要十分条件は、
ａ＋ｂ＞ｃ， ｂ＋ｃ＞ａ， ｃ＋ａ＞ｂ
を全て満たすことである。
ｃ＝１０－ａ－ｂ を用いて、ａ，ｂについて整理すると
０＜ａ＜５， ０＜ｂ＜５， ５＜ａ＋ｂ＜１０
これらの条件を同時に満たす全てのａ，ｂの組合せは、
(５，０) (０，５) (５，５)を頂点とする直角二等辺三角形の内側の
点である。但し、境界線上の点は含まない。
以上の結果から、起こりうる全ての点(ａ，ｂ)の組合せに対して、
三角形が成立する場合の点(ａ，ｂ)の組合せの数の割合は、
上記二つの直角二等辺三角形の面積比に等しいことになる。
これらの直角二等辺三角形の相似比は１：２であることから、
面積比は１：４である。よって、題意の確率は１／４となる。
解答・その14
（ペンネ－ム：夜ふかしのつらいおじさん）
答えは、１／４です。
三角形の３辺には、次の関係があります。
（あ）どの２辺の和も他の１辺より長い
（い）どの２辺の差も他の１辺より短い
実は（あ）と（い）は同じことです。
三角形の長さを３辺をａ、ｂ、ｃとします。
ａ＋ｂ＞ｃ ・・・ （１）
ｂ＋ｃ＞ａ ・・・ （２）
ｃ＋ａ＞ｂ ・・・ （３）
（１）からｂ（ａ）を右辺に移項すると、ａ＞ｃ－ｂ（ｂ＞ｃ－ａ）
（２）からｃ（ｂ）を右辺に移項すると、ｂ＞ａ－ｃ（ｃ＞ａ－ｂ）
（３）からａ（ｃ）を右辺に移項すると、ｃ＞ｂ－ａ（ａ＞ｂ－ｃ）
ａ、ｂ、ｃの大小に関係なくこの６つの式を併せれば（い）がいえます。
だから（あ）の条件だけを考えます。
針金にとる２点をＸ、Ｙとします。（左の点をＸとします）
左端からの点Ｘ、Ｙまでの距離をｘ、ｙとします。
すると針金の長さは、（ａ）ｘ、（ｂ）ｙ－ｘ、（ｃ）１０－ｙとなります。
●図１
１辺が１０の正方形の中に、左からｘのところ、下からｙのところに点をとります。
左の点をＸとしているので、ｙ＞ｘ（図の左上）の部分の話ですが、右にＸがくる場合は、
ｙ＝ｘに関して対称な部分になります。
●図２
三角形ができる場合を考えると、（ｘ，ｙ）は
（Ａ）左下の部分にはありません（ｃが５ｃｍより長いので）
（Ｂ）右上の部分にはありません（ａが５ｃｍより長いので）
（Ｃ）左上の部分にはありません（ｂが５ｃｍより長いので）
逆に残った部分に（ｘ，ｙ）があれば、どの２辺の和も他の１辺より長くなっています。
●図３
図の左の辺で、
ａ＋ｂ＞５＞ｃより、ａ＋ｂ＞ｃ ・・・ （１）
ｃ＋ａ＞５＞ｂより、ｃ＋ａ＞ｂ ・・・ （３）
図の上の辺で、
ｂ＋ｃ＞５＞ａより、ｂ＋ｃ＞ａ ・・・ （２）
となります。
この１辺１０の正方形の中の点がどれも同じようで区別がないとすると求める確率は面積の比になります。
【おまけ】
どの辺も５ｃｍよりも短ければ三角形ができます。
最初に取った点をX（半分より左）とします。
三角形ができるためには、ＹはＸからも右端からも５ｃｍ以内にあればよいことになります。
●図４
ｘの値に対してＹをとったときに三角形ができる確率
（Ｙの範囲の長さ／１０）をグラフにすると次のようになります。
●図５
正解者
| teki | みけねこ | 転位反応 |
| 夜ふかしのつらいおじさん | ますますタコさん | まーや |
| Toru | のっこん | 杖のおじさん |
| 巷の夢 | にしやん | 三角定規 |
| 蜘蛛の巣城 | ＦａｕｓＴ |
まとめ
毎月の問題も、これでNO.120ですから、１０年ということになります。
長くおつき合いいただいている皆さんに心から感謝申し上げます。
引き続き、これからもどうぞよろしくお願いいたします。
さて、今回の問題ですが、実はこのテーマは、tekiさんのご指摘にもあるように、
以前、コロキウム室で取り上げたことがありました。
確率は、すべての事象の個数と、条件に合う事象の個数で比をとって、
求めますが、この問題にように連続的に変化する場合は、１個、２個と
個数で数えられません。
１次元なら長さの比、２次元なら面積の比で求めることになります。
そこが、この問題のおもしろいところかなと思います。
ますますタコさん、のっこんさんの
解答は、分割を無限にしていって、その極限値として、
確率を定義づけるというおもしろい解法ですね。
微分の考え方に通じるものがあり、感心いたしました。
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