Weekend Mathematics／問題／問題12

１２．錠剤の問題

  1. 薬屋さんに錠剤の入ったびんが１０個送られてきました。 それぞれのびんには、１粒が１００mgの錠剤が１０００個入っています。 薬剤師のホワイト氏がちょうど薬びんを棚の上に並べ終えたところに、 電報が届きました。 ホワイト氏は、店の管理人のブラック嬢に電報を読んできかせます。
    「緊急連絡。 送付致しました薬びんを、 販売する前に必ずすべてチェックしてください。 不注意により、１０個のうち、 １個のびんに他のびんの錠剤より１０mg重い錠剤を詰めてしまいました。 至急、間違っている薬びんをご返送くださいますようお願い致します。」
    ホワイト氏は大弱り。
    「やれやれ、１０個のびんから１粒ずつ取り出して 重さを計らなくちゃならん。 何て面倒なんだろう。」
    ホワイト氏が重さを計り始めようとしたとき、ブラック嬢が止めました。
    「ちょっと待ってください。はかりを１０回も使わずにすみますよ。 １回でいいんです。」
    どうやったら１回ですむのでしょうか？

  2. 他の錠剤より１０mg重い錠剤の入ったびんが１つとは 限らないとしたら、 あなたならどうしますか？
    この場合もやはりはかりを１回使うだけで見破ることができます。 どうしたらよいでしょうか？





問題の出典


別冊サイエンス

ひらめき思考

日本経済新聞社


答えと解説












答えと解説

（１）回答・その１

（ペンネ−ム：らびゅん）

１０個のびんにそれぞれ１〜１０までの番号をつける。
１の番号のついたびんから１つ、 ２の番号のついたびんから２つ、 ３の番号のついたびんから３つ、・・・、 とそれぞれびんの番号の数の分だけ、 はかりの上にのせる。
はかりの上には計５５個の錠剤があり、 重さは計５５００mgでなければならない。
他と異なる錠剤は他のと比べて１つ１０mg重いのだから、 もしここで、重さが５０mg多ければ、 ５個はかりの上にあることがわかる。
５個、はかりの上にのせたびんは５の番号のびんであるから、 答えは５のびんである。
というように、５５００mgより何mg重いか、 というので、何番の番号をつけたびんかというのが、 １回のみはかりを使うだけでわかる。

（１）回答・その２

（ペンネ−ム：ＡＫＯ）

  1. １０個のびんを Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　Ｅ　Ｆ　Ｇ　Ｈ　Ｉ　Ｊとする。
  2. Ａから１粒　　Ｂから２粒　 Ｃから３粒　　Ｄから４粒
    Ｅから５粒　 Ｆから６粒　　 Ｇから７粒　　Ｈから８粒　
    　 Ｉから９粒　　　取り出す。
  3. 取り出した錠剤の合計　　
    １＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４５（錠）
    　　の合計の重さを量る。
  4. その結果次のように判定する。
    • ４５００ｍｇのとき間違っている薬びんは　＜Ｊ＞
      理由・・１００×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９）＝４５００mg
      より４９粒の錠剤はすべて１００ｍｇ／粒と考えられる。
      従って錠剤を取り出さなかった＜Ｊ＞の中に １１０ｍｇ／粒の錠剤がはいっている。

    • 間違っている錠剤が１粒混入するごとに ４５粒の合計の重さは
      １１０−１００＝１０mg増えるので以下のように判定する。
        　 　　　　
      • 　　　４５１０ｍｇのとき　＜Ａ＞
      • 　　　４５２０ｍｇのとき　＜Ｂ＞
      • 　　　４５３０ｍｇのよき　＜Ｃ＞
      • 　　　４５４０ｍｇのとき　＜Ｄ＞
      • 　　 ４５５０ｍｇのとき　＜Ｅ＞
      • 　　　４５６０ｍｇのとき　＜Ｆ＞
      • 　　 ４５７０ｍｇのとき　＜Ｇ＞
      • 　　　４５８０ｍｇのとき　＜Ｈ＞
      • 　　 ４５９０ｍｇのとき　＜Ｉ＞


（２）回答

（ペンネ−ム：コレクトコ−ルは１０６番！）

便宜上１０個の薬びんを Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　Ｅ　Ｆ　Ｇ　Ｈ　Ｉ　Ｊとする。

まず、Ａから１錠、Ｂから２錠、Ｃから２２（＝４）錠、
・・・Ｊから２９（＝５１２）錠とりだし、はかりにのせる。
合計１０２３錠となる。
もし、すべてが正しい錠剤であれば、
１００mg×１０２３錠＝１０２３００mg（＝１０２．３g）になるはずである。BR> しかし、実際には１０２３錠のうちのいくつかが１１０mgあるので、 はかりは１０２３００mgより大きい値をとる。
そこで実際に量った値から１０２３００mgを減じ、 それを１０で割れば、１０mg多い錠剤の数がわかる。
さて、１０mg多い錠剤のびんを(1)で表し、 正規のびんを(0)で表すことにして、 Ｊ〜Ａの順に書き並べていく。
例えば、ＣとＪのびんが１０mg多い場合は、下のように表せる。

　　　　　　　(1)　(0)　(0)　(0)　(0)　(0)　(0)　(1)　(0)　(0)

　　　　　　　Ｊ　 Ｉ　 Ｈ   Ｇ　 Ｆ 　Ｅ　 Ｄ　 Ｃ　 Ｂ 　Ａ

取り出した数　512　256　128　64　 32   16    8    4    2    1 （錠）

見ておわかりの通り、( )内の数字は２進法である。 つまり、１０mg多い錠剤の数を、２進法の表示にすればよい。 そのやり方は、問題７（１）解答 （ブラウザのバックボタンで戻ってきてね。）に記されていた 「６進法表示への変換方法」の、 ６で割るところを２で割るように変えればよい。
その値を、上の表のように表せば、 不良品の薬びんは一目瞭然である。

１０２３錠をわからなくならないようにのせられるはかりが 存在するかどうかということに関しては、当方では一切関知できない。
もしわからなくなってしまうと、 例えば、ＡとＢしか間違っていなかった場合、 正しい錠剤１０２０錠も捨てなければならない。 １びん分大損である。 この損失への補償を製薬会社に要求したところで、 一笑にふされるであろう。
さらに、１０２３錠を間違いなく数える手間を考えると、 １秒間に４錠数えたとしても、 単純計算で４分１５秒７５ほどかかる。 一般的な薬局にはこんなことをやっている暇はない。 従って、経済的、社会的側面から考えると、 多分、この問題には超合理的な別解がある、に違いない！！


正解者（ペンネ−ム）

板垣 央

Hungry Bear

ＡＫＯ

フォルサ　ジャポン！！

凡人

コレクトコ−ルは１０６番！

らびゅん

ちびっこ

みなみのしゅういち

渡邉宣子


まとめ

（１）私も「らびゅん」さんや他の解答してくださった方と同様に、
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝５５
錠を量ると考えていたので、 「ＡＫＯ」さんの解答を見た時は、 ガ−ンと頭を殴られた感じがしました。
数学の世界では、同じ答えにたどりつくにしても、 よりシンプルによりエレガントに解くことに 意義を見いだします。
そういう意味では「ＡＫＯ」さんの解答は光っていますよね。

（２）Hungry Bear さんの解答は、
「１瓶１０００個とは不自然に 数が多いように思います。数１０粒から１００粒 程度で良いように思いますが、そこが”ミソ”でしょう。 数１００粒を取り出すのでは？．．．」
と始まっているのですが、さすがですね。 読まれてしまいました。
１びんの中に入れる錠剤の数は、 ５１２を越えていなければならず、 え−い思い切ってと、１０００個に設定したのです。 もちろん、（１）だけなら１０個で充分ですしね。
２進法表示については、 その一意性（１通りの表し方しかない。）がポイントです。 だから、他の錠剤より１０mg重い錠剤の入ったびんが１つとは 限らないとしても大丈夫というわけです。


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