次の数で割り切れるかどうかを判定する方法を示しましょう。

２・・・下１桁が偶数なら割れる
３・・・各桁の数字を足してみてそれが３で割り切れれば、割れる。
４・・・下２桁が４で割り切れれば割れる
５・・・下１桁が５か０なら割れる
６・・・２で割れて、３で割れれば、割れる
７・・・下から３桁ごとに区切り、奇数番目のものの和と、偶数番目のものの和の差が７の倍数なら割れる。
８・・・下３桁が８で割り切れれば割れる
９・・・各桁の数字を足してみてそれが９で割り切れれば、割れる。
１０・・・下１桁が０なら割れる(我ながらつまらないことかいてるなあ・・・)
１１・・・奇数桁の和と偶数桁の和の差が、１１の倍数なら割れる
１２・・・４で割れて、３で割れれば、割れる
１３・・・下から３桁ごとに区切り、奇数番目のものの和と、偶数番目のものの和の差が１３の倍数なら割れる。

まず、合同式の書き方を確認しましょう。
たとえば、７≡１０（ｍｏｄ３）　つまり、３の剰余類で同じグル−プに属するということ、 もう少し平たく言うと３で割ったあまりが同じということ。
６月１日≡６月８日（ｍｏｄ７）　つまり、同じ曜日だということ。

証明を簡単にするために、７桁の数で証明します。

ａｂｃｄｅｆｇと表記されているとします。
つまり、この数をｘとすると、
ｘ＝ａ×１０^６＋ｂ×１０^５＋ｃ×１０^４＋ｄ×１０^３＋ｅ×１０^２＋ｆ×１０＋ｇ

「２」

ｘ＝ａ×１０６＋ｂ×１０５＋ｃ×１０４＋ｄ×１０３＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×２×５０００００＋ｂ×２×５００００＋ｃ×２×５０００＋ｄ×２×５００＋ｅ×２×５０＋ｆ×２×５＋ｇ
　＝２×（ａ×５０００００＋ｂ×５００００＋ｃ×５０００＋ｄ×５００＋ｅ×５０＋ｆ×５）＋ｇ
　≡ｇ（ｍｏｄ２）

「３」

ｘ＝ａ×１０６＋ｂ×１０５＋ｃ×１０４＋ｄ×１０３＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（９９９９９９＋１）＋ｂ×（９９９９９＋１）＋ｃ×（９９９９＋１）＋ｄ×（９９９＋１）＋ｅ×（９９＋１）
      ＋ｆ×（９＋１）＋ｇ
　＝３×（ａ×３３３３３３＋ｂ×３３３３３＋ｃ×３３３３＋ｄ×３３３＋ｅ×３３＋ｆ×３）＋（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ）
　≡ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ（ｍｏｄ３）

「４」

４×２５＝１００を利用します。

ｘ＝ａ×１０６＋ｂ×１０５＋ｃ×１０４＋ｄ×１０３＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×４×２５００００＋ｂ×４×２５０００＋ｃ×４×２５００＋ｄ×４×２５０＋ｅ×４×２５＋ｆ×１０＋ｇ
　＝４×（ａ×２５００００＋ｂ×２５０００＋ｃ×２５００＋ｄ×２５０＋ｅ×２５）＋ｆ×１０＋ｇ
　≡ｆ×１０＋ｇ（ｍｏｄ４）

「５」

ｘ＝ａ×１０６＋ｂ×１０５＋ｃ×１０４＋ｄ×１０３＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×５×２０００００＋ｂ×５×２００００＋ｃ×５×２０００＋ｄ×５×２００＋ｅ×５×２０＋ｆ×５×２＋ｇ
　＝５×（ａ×２０００００＋ｂ×２００００＋ｃ×２０００＋ｄ×２００＋ｅ×２０＋ｆ×２）＋ｇ
　≡ｇ（ｍｏｄ５）

「７」

７×１４３＝１００１を利用します。

ｘ＝ａ×１０６＋ｂ×１０５＋ｃ×１０４＋ｄ×１０３＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（１０３）２＋（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）×１０３＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（１００１−１）２＋（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）×（１００１−１）＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（７×１４３−１）２＋（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）×（７×１４３−１）＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（（７×１４３）２−２×７×１４３＋１）＋（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）×（７×１４３−１）＋ｅ×１０２
      ＋ｆ×１０＋ｇ
　＝７×（ａ×７×１４３×１４３−２×１４３＋（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）×１４３）＋ａ−（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）
      ＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　≡ａ−（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ（ｍｏｄ７）

「８」

８×１２５＝１０００を利用します。

ｘ＝ａ×１０６＋ｂ×１０５＋ｃ×１０４＋ｄ×１０３＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×８×１２５０００＋ｂ×８×１２５００＋ｃ×８×１２５０＋ｄ×８×１２５）＋ｅ×１００＋ｆ×１０＋ｇ
　＝８×（ａ×１２５０００＋ｂ×１２５００＋ｃ×１２５０＋ｄ×１２５）＋ｅ×１００＋ｆ×１０＋ｇ
　≡ｅ×１００＋ｆ×１０＋ｇ（ｍｏｄ８）

「９」

３の場合と同じです。

ｘ＝ａ×１０６＋ｂ×１０５＋ｃ×１０４＋ｄ×１０３＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（９９９９９９＋１）＋ｂ×（９９９９９＋１）＋ｃ×（９９９９＋１）＋ｄ×（９９９＋１）＋ｅ×（９９＋１）
      ＋ｆ×（９＋１）＋ｇ
　＝９×（ａ×１１１１１１＋ｂ×１１１１１＋ｃ×１１１１＋ｄ×１１１＋ｅ×１１＋ｆ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ）
　≡ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ（ｍｏｄ９）

「１１」

１１×９＝９９を利用します。

ｘ＝ａ×１０６＋ｂ×１０５＋ｃ×１０４＋ｄ×１０３＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×１０６＋（ｂ×１０＋ｃ）×１０４＋（ｄ×１０＋ｅ）×１０２＋（ｆ×１０＋ｇ）
　＝ａ×（９９９９９９＋１）＋（ｂ×１０＋ｃ）×（９９９９＋１）＋（ｄ×１０＋ｅ）×（９９＋１）＋（ｆ×１０＋ｇ）
　＝ａ×（１１×９０９０９＋１）＋（ｂ×１０＋ｃ）×（１１×９０９＋１）＋（ｄ×１０＋ｅ）×（１１×９＋１）
      ＋（ｆ×１０＋ｇ）
　＝１１×（ａ×９０９０９＋（ｂ×１０＋ｃ）×９０９＋（ｄ×１０＋ｅ）×９）＋ａ＋ｂ×１０＋ｃ＋ｄ×１０＋ｅ
      ＋ｆ×１０＋ｇ
　≡ａ＋ｂ×１０＋ｃ＋ｄ×１０＋ｅ＋ｆ×１０＋ｇ　　（ｍｏｄ１１）
　＝ａ＋ｂ×（１１−１）＋ｃ＋ｄ×（１１−１）＋ｅ＋ｆ×（１１−１）＋ｇ
　＝１１×（ｂ＋ｄ＋ｆ）＋（ａ＋ｃ＋ｅ＋ｇ）−（ｂ＋ｄ＋ｆ）
　≡（ａ＋ｃ＋ｅ＋ｇ）−（ｂ＋ｄ＋ｆ）　（ｍｏｄ１１）

「１３」

１３×７７＝１００１を利用します。７の場合と同じです。

ｘ＝ａ×１０６＋ｂ×１０５＋ｃ×１０４＋ｄ×１０３＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（１０３）２＋（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）×１０３＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（１００１−１）２＋（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）×（１００１−１）＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（１３×７７−１）２＋（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）×（１３×７７−１）＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（（１３×７７）２−２×１３×７７＋１）＋（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）×（１３×７７−１）＋ｅ×１０２
      ＋ｆ×１０＋ｇ
　＝１３×（ａ×１３×７７×７７−２×７７＋（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）×７７）＋ａ−（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）
      ＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ
　≡ａ−（ｂ×１０２＋ｃ×１０＋ｄ）＋ｅ×１０２＋ｆ×１０＋ｇ（ｍｏｄ１３）

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