Weekend Mathematics／コロキウム室／テーマ別 ／9.長方形の問題



コロキウム室(長方形の問題)


NO.194 　　　 11/8 　　Mami 　　　 長方形の問題（１）

Kon nichi wa!! watashi wa "venezuela"(nannbei no kuni) ni sun deiru 16 no girl desu.
gakkou ( international school) de tugi no youna mondai wo raishuu no kayoubi made ni yarinasai to iwareta nodesuga, dou yatte yaru no kaga wakarimasen. nanode tasukete kudasai.
shitumon wa tugi ni kaitearumonodesu.
"How many rectangle are there in a M times N rectangle?"
M kakeru N no chouhokei niwa ikutu no chouhoukei ga arimasuka?

こんにちは。
私はベネズエラ(南米の国)に住んでいる１６才の女の子です。
学校で次のような問題を来週の火曜日までにやりなさいといわれたのですが、 どうやってやるのかわかりません。なので、助けてください。
質問は次にかいてあるものです。
「Ｍ×Ｎの長方形にはいくつの長方形がありますか？」




NO.195 　　　 11/9 　　 Junko 　　　 長方形の問題（２）

まず２×３の長方形で考えてみます。 例示されているように、正方形も含んで考えます。 （正方形は長方形の特殊な場合と考えます。）
含まれる長方形をサイズ別に考えるのではなく、 縦のサイズと横のサイズの組み合わせとして考えていきます。
まず、縦です。サイズ１とすると３通り。 サイズ２が、２通り。 そして、サイズ３が１通りですから、合わせて６通り。
横です。サイズ１とすると、２通り。 サイズ２とすると１通りですから、合わせて３通り。
長方形は、縦と横の組み合わせでできますから、６×３＝１８通りとなります。

さて、次は一般にＭ×Ｎの場合ですが同じようにできます。
まず、縦です。サイズ１とするとＭ通り。 サイズ２とすると(Ｍ−１)通り。 サイズ３とすると(Ｍ−２)通り。 ・・・と同様にいきまして、最後にサイズＭが１通りとなります。
それらをすべて足せばいいわけですから、
Ｍ＋(Ｍ−１)＋(Ｍ−２)＋・・・＋２＋１＝(1/2)Ｍ(Ｍ＋１)通り。
次に横ですが、同じようにできますから、
Ｎ＋(Ｎ−１)＋(Ｎ−２)＋・・・＋２＋１＝(1/2)Ｎ(Ｎ＋１)通り。
従って、長方形の総数は、
(1/2)Ｍ(Ｍ＋１)×(1/2)Ｎ(Ｎ＋１)＝(1/4)Ｍ(Ｍ＋１)Ｎ(Ｎ＋１)となります。





NO.196 　　　 11/9 　　 水の流れ 　　　 長方形の問題（３）

Ｍ×Ｎの長方形を縦線（Ｎ＋１）本 、 横線（Ｍ＋１）本で表すことにします。
長方形は縦線２本と横線２本から、１個の長方形が作れます。 だから、
縦線Ｎ＋１本から、２本とる方法はN+1Ｃ2
横線Ｎ＋１本から、２本とる方法はM+1Ｃ2

したがって、 

　N+1Ｃ2×M+1Ｃ2
＝Ｎ（Ｎ＋１）／２×Ｍ（Ｍ＋１）／２
＝ＭＮ（Ｍ＋１）（Ｎ＋１）／４・・・（答え）

そこで、Ｖｅｎｅｚｕｅｌａ　の先生に問題です。
このＭ×Ｎの長方形（Ｍ≧Ｎとする）の中に正方形は 一体いくつありますか？
”Ｈｏｗ　ｍａｎｙ　ｒｉｇｈｔ　ａｎｇｌｅ　ａｒｅ　 ｔｈｅｒｅ　ｉｎ　ａ　Ｍ　ｔｉｍｅｓ　Ｎ　ｒｅｃｔａｎｎｇｌｅ？”




NO.198 　　　 11/10 　　水の流れ 　　　 長方形の問題（４）

「２×１の長方形を隙間なく敷き詰めて、２×ｎの長方形を作る 方法は何通りあるでしょう？」
ヒント：やはり、ｎ＝１，２，３，４，・・・、と、実際に作ってみてください。 規則性が分かってきます。
(問題の訂正11/11､20:00)



NO.200 　　　 11/13 　　 Junko 　　　 長方形の問題（５）

試しにやってみました。
２×ｎの長方形に２×１の長方形を敷き詰める方法の 数をａ(ｎ)と表すことにします。
左の図のように、 ａ(1)=1、ａ(2)=2、ａ(3)=3、ａ(4)=5、ａ(5)=8、・・・となります。
あれ−っ！　これってフィボナッチ数列？　

フィボナッチ数列というのは、Ｆ0=1、Ｆ1=1、
Ｆn-2+Ｆn-1=Ｆn(n≧2) で定義される数列です。
これに従って、いくつか求めてみましょう。
Ｆ2=2、Ｆ3=3、Ｆ4=5、Ｆ5=8、 Ｆ6=13、Ｆ7=21、Ｆ8=34、Ｆ9=55、 Ｆ10=89、Ｆ11=144、Ｆ12=233、･･･

フィボナッチ数列の始まりは「うさぎの問題」だといわれています。 つまり、「生まれたばかりの１つがいのうさぎは ２ヶ月目から毎月１つがいのうさぎを産むとする。 すべてのうさぎがこの規則にしたがい、死ぬことはないとするとき、 １つがいのうさぎは１年後に何つがいのうさぎになるか。」というものです。
また、フィボナッチ数は黄金比と密接な関係がありますし、おもしろい性質がたくさんあります。 そして、フィボナッチ数列の一般項もわかっています。


フイボナッチ数について、詳しく知りたい方は、講談社のブル−バックスにある 佐藤修一著「自然にひそむ数学」という本がおすすめです。


今回の問題の場合もこう考えれば、フィボナッチ数列であることがわかります。
２×ｎの長方形の敷き詰め方は、左の図のような２種類に分類されます。
１つは、左から(n-2)個敷き詰めた(敷き詰め方はａ(n-2)通り)後、 横向きに２つ敷き詰めます。
もう１つは、左から(n-1)個敷き詰めた(敷き詰め方はａ(n-1)通り)後、 縦に１つ敷きます。
従って、ａ(n)=ａ(n-2)+ａ(n-1)が成り立ちます。 これはフィボナッチ数列に他なりません。





NO.202 　　　 11/15 　　 Junko 　　　 長方形の問題（６）

「Ｎ段ある階段を１段ないし、２段づつ登るとき、 その登り方の総数Ｆｎはいくつでしょう？」
この問題の答えもフィボナッチ数列です。
Ｎ段ある階段の最後の段階を考えます。
(Ｎ−２)段目から、最後２段進んで登り切るか、 (Ｎ−１)段目から、最後１段進んで終わるかのいずれかになります。
従って、Ｓｎ＝Ｓｎ−２＋Ｓｎ−１ という漸化式がなりたちます。
Ｓ１＝１、Ｓ２＝２ですから、 フィボナッチ数列に他なりません。

これを、前回の長方形の敷き詰め問題に対応させて考えることもできます。
左の図のように最後の段階で、階段を２段登るというのは、 長方形を横に２つ並べることに対応させます。
また階段を１段登るということは長方形を縦に置くことに対応させればいいわけです。





NO.204 　　　 11/18 　　 海津北高校情報処理科２年　　　 長方形の問題（７）

数学の時間に考えた問題の解答を送ります。 

２×１・・・１
２×２・・・２
２×３・・・３
２×４・・・５
２×５・・・８
・・・
となっているので、２×ｎ（ｎ＞２）の長方形の場合は ２×（ｎ−１）の場合の答えと２×（ｎ−２）の場合の答えを 合計したものになります。
このような数列をフィボナッチ数列と呼ぶそうです。 身近なものにこのような数列が隠されていて とても驚きました。



NO.230 　　　 12/14 　　水の流れ 　　　 長方形の問題（８）

NO.196で、提起した問題です。
このＭ×Ｎの長方形（Ｍ≧Ｎとする）の中に正方形は 一体いくつありますか？
”Ｈｏｗ　ｍａｎｙ　ｒｉｇｈｔ　ａｎｇｌｅ　ａｒｅ　 ｔｈｅｒｅ　ｉｎ　ａ　Ｍ　ｔｉｍｅｓ　Ｎ　ｒｅｃｔａｎｎｇｌｅ？”

最初は順に数えてみましょう。

  • １×１の正方形・・・M×N　　
  • ２×２の正方形・・・(M-1)(N-1)＝MN-(M+N)+12
  • ３×３の正方形・・・(M-2)(N-2)＝MN-2(M+N)+22
  • ４×４の正方形・・・(M-3)(N-3)＝MN-3(M+N)+32
  • ５×５の正方形・・・(M-4)(N-4)＝MN-4(M+N)+42
  • ・・・
  • Ｎ×Ｎの正方形・・・(M-N+1)(N-N+1)＝MN−(N-1)(M+N)＋(N-1)2
以上を、全部足して
注：
1+2+3+･･･+n=n(n+1)/2
12+22+32+・・・+ｎ2＝n(n+1)(2n+1)/6
となる公式は知っていますか？ これを利用します。

求める正方形の個数は 
 N×MN-{1+2+3+･･･+(N-1)}(M+N)+{12+22+32+･･･+(N-1)2}
=N(N+1)(3M-N+1)/6　  　（答）
また、M=Nのとき、２乗の公式
12+22+32+・・・+ｎ2＝ n(n+1)(2n+1)/6 になっています。



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