Weekend Mathematics／コロキウム室／テーマ別／22.置換積分



コロキウム室(置換積分)


NO.482 '99 5/20浜田　明巳置換積分（１）

９７年の大阪府立大学入試問題で，
「座標平面上に，原点Ｏを中心とする半径２の固定された円Ｃと， それに外側から接しながら回転する半径１の円Ｃ'がある． 円Ｃ'の中心が(３,０)にあるときのＣ'側の接点に印Ｐをつけ， 円Ｃ'を円Ｃに接しながら滑らずに回転させる． 点Ｐの描く曲線で囲まれた領域の面積を求めよ．」
というのがありました．

解答は，
Ｐ(ｘ、ｙ)とし，ＯＡのｘ軸とのなす角をθとすると，
ｘ＝３cosθ−cos３θ，ｙ＝３sinθ−sin３θ（０≦θ＜２π）



という標準的な置換積分の計算です．
この問題を次のように解いた生徒がいるのです． この解答のどこが違っているのか，というのが質問なのです．
ΔＳ＝Δθ(ｘ2＋ｙ2)／２
＝Δθ{(３cosθ−cos３θ)2＋(３sinθ−sin３θ)2}／２
＝Δθ(５−３cos２θ)






NO.483 '99 5/21Junko置換積分（２）


右の図のように、円Ｃと円Ｃ’との接点をＡとする。 ＡＰの長さが等しいことと、円Ｃの半径が、円Ｃ’の半径の２倍であることを 考慮すると、 x軸とＯＡとのなす角θに対して、∠ＡＯ’Ｐは２θとなる。
従って、P(x,y)とすると、
ｘ＝３cosθ＋cos(π＋３θ)＝３cosθ−cos３θ，
ｙ＝３sinθ＋sin(π＋３θ)＝３sinθ−sin３θ
（０≦θ＜２π）となります。


点Ｐの軌跡は右の図のようになります。
円Ｃと円Ｃ’も一緒にかいてあります。
問題はオレンジの部分の面積を求めることになります。




NO.486 '99 5/21水の流れ置換積分（３）

NO.482の後の解答は、 極方定式　ｒ＝ｆ（θ）の面積を求める公式に 入れて計算してありますが、 点Ｐとｘ軸とのなす角はθではありません。 だから、ここで間違っています。
ちなみに円Ｃ’は何回転しますかは、もうお分かりでしょう。
３回転します。 この軌跡をエピ・サイクロイド（外サイクロイド）といいます。
円Ｃ’を内側で、円Ｃに接しながら滑ることなく回転させると、 こちらは１回転しかしません。そして、この場合は円Ｃの内部で ｙ軸上を動くことになるでしょう。 また、軌跡の名称は忘れましたが、（内サイクロイドと言います）



NO.488 '99 5/22Junko置換積分（４）


極座標系における面積の求め方です。
原点からの距離ｒが、偏角θの関数として、ｒ＝ｆ(θ)として表されているとき、
左図の面積Ｓは以下の定積分によってもとめるこができます。




どうして上の式で面積を求めることができるのか、 感覚的にではありますがこじつけてみます。







NO.490 '99 5/24Junko置換積分（５）


円Ｃ’を内側で、円Ｃに接しながら滑ることなく回転させたときの 軌跡は、「ハイポサイクロイド」というそうです。 点Ｐはｙ軸上を(2,0)から(-2,0)まで行き、また戻ってきます。 (オレンジの部分)


半径の比を１：２とすると、線分になってしまっておもしろくないので、 今度は半径の比を１：３にしてみます。
円Ｃと円Ｃ’との接点をＡとします。
ＡＰの長さが等しいことと、円Ｃの半径が、円Ｃ’の半径の３倍であることを 考慮すると、x軸とＯＡとのなす角θに対して、∠ＡＯ’Ｐは３θとなる。
従って、P(x,y)とすると、
ｘ＝２cosθ＋cos(−２θ)＝２cosθ＋cos２θ，
ｙ＝２sinθ＋sin(−２θ)＝２sinθ−sin２θ
（０≦θ＜２π）となります。


これを図示するとこうなります。
この曲線で囲まれた部分の面積も求めてみてください。




NO.491 '99 5/24浜田　明巳置換積分（６）



これをいつものようにＢＡＳＩＣのプログラムで検証しました．昔の話なので，Ｎ８８日本語ＢＡＳＩＣで作ってあります． 

100 'SAVE"97OOSAK3.BAS",A
110 *INIT:SCREEN 3,0,1:CLS 3:SCREEN ,,0,1:CLS 3:CONSOLE 0,25,0,1:WIDTH 80,25
120 ON STOP GOSUB *STP:STOP ON:ON ERROR GOTO *ER
130 DIM X(180),Y(180):LOCATE 44,12:PRINT"９７年大阪府立大"
140 R=2:RR=1 '大円，小円の半径
150 X0=0:Y0=0:X1=X0+R+RR:Y1=Y0:S1=0:S2=0:S3=0:S4=0:S5=0
160 T=0:X(0)=X1-RR:Y(0)=Y1:KK=49:XC=320+2*KK:YC=200:ACT=0:PI=3.14159:W=PI/180
170 '
180 *ST:GOSUB *SAKUZU
190 LOCATE 0,0:PRINT"何かキーを押して下さい．始めます．"
200 WHILE INKEY$="":WEND:WHILE INKEY$<>"":WEND:LOCATE 0,0:PRINT SPC(34)
210 FOR T=0 TO 180:TT=2*T
220  X1=X0+(R+RR)*COS(TT*W):Y1=Y0+(R+RR)*SIN(TT*W)
230  X(T)=X1-RR*COS((RR+R)*TT*W):Y(T)=Y1-RR*SIN((RR+R)*TT*W)
240  ON -(T=0) GOTO 320
250  S1=S1+.5*ABS((Y(T)-Y(T-1))*(X(T)+X(T-1)))
260  S2=S2+.5*ABS(X(T-1)*Y(T)-X(T)*Y(T-1))
270  A=SQR(X(T)*X(T)+Y(T)*Y(T)):B=SQR(X(T-1)*X(T-1)+Y(T-1)*Y(T-1))
280  C=SQR((X(T)-X(T-1))*(X(T)-X(T-1))+(Y(T)-Y(T-1))*(Y(T)-Y(T-1)))
290  S=.5*(A+B+C):S3=S3+SQR(S*(S-A)*(S-B)*(S-C))
300  S4=S4+.5*A*B*SIN(2*W)
310  S5=S5+.25*(A*A+B*B)*2*W
320  ACT=1-ACT:DISP=ACT*16+1:SCREEN ,,ACT:CLS 2
330  GOSUB *SAKUZU:LOCATE 0,4:PRINT"t=";TT;"°":PRINT
340  COLOR 2:PRINT"面積＝4∫(0,4)xdy":PRINT USING"    ＝##.####*π";S1/PI:PRINT
350  PRINT"面積＝.5*abs(x1*y2-x2*y1)":PRINT USING"    ＝##.####*π";S2/PI:PRINT
360  PRINT"面積＝(ヘロンの公式)":PRINT USING"    ＝##.####*π";S3/PI:PRINT
370  PRINT"面積＝.5*OP1*OP2*sin(冲)":PRINT USING"    ＝##.####*π";S4/PI:PRINT
380  PRINT"面積＝.5*OP^2*冲":PRINT USING"    ＝##.####*π";S5/PI:COLOR 7
390  SCREEN ,,,DISP
400  ON -(INKEY$="S") GOSUB *SS
410 NEXT:WHILE INKEY$<>"":WEND
420 LOCATE 0,0:PRINT"繰り返しますか？（Ｙ／Ｎ）":A$=""
430 WHILE A$<>"Y" AND A$<>"y" AND A$<>"N" AND A$<>"n"
440  A$=INKEY$:WHILE INKEY$<>"":WEND
450 WEND
460 IF A$="Y" OR A$="y" THEN RUN
470 LOCATE 0,0:PRINT"終わりました．            "
480 '
490 *STP:END
500 '
510 *ER:RESUME NEXT
520 '
530 *SAKUZU:CIRCLE(XC+KK*X0,YC-KK*Y0),KK*R,7
540 CIRCLE(XC+KK*X1,YC-KK*Y1),KK*RR,6
550 FOR J=0 TO T:CIRCLE(XC+KK*X(J),YC-KK*Y(J)),2-(J=T),2-3*(J=T),,,,F:NEXT
560 RETURN
570 '
580 *SS:WHILE INKEY$="":WEND:WHILE INKEY$<>"":WEND:RETURN
このプログラムによると，



となります．
1.は通常の積分計算，2〜4は原点を１つの頂点とし， その頂点の角を２度（＝π／９０）とする微小の三角形に分割して 面積の和を求めた計算，5は原点を中心， 中心角２度の微小の扇形に分割して面積の和を求めた計算です．
これでどうやら刄ﾆ（＝２度）がからんだ計算だと１０πになり， そうでないと１２πになることが分かりました．
しかしどれも同じ部分の面積を求める式のはずです． ここら辺で頭がこんがらがってしまったのです． どうか皆さん，助けて下さい．
他にモンテカルロ法でもプログラムを作ってみたのですが， 面積は１２πになりました．
正解は絶対に１２πという事は分かっているのですが・・・．



　
NO.494 '99 5/25水の流れ置換積分（７）

NO.490にあるハイポサイクロイドで囲まれた図形の 面積を求めてみました。





NO.495 '99 5/25Junko置換積分（８）

NO.491にある、モンテカルロ法について コメントします。

ある図形Ａの面積を求めるのに、それを含む正方形Ｂを考えます。 この正方形の中から任意の点Ｐ(x,y)を抽出して、その点Ｐ(x,y)が 図形Ａの中にあるかどうかを判断します。
これを1,000回繰り返してＡの中にあった回数がたとえば521回とすると、
(Ａの面積)/(Ｂの面積)≒521/1,000と考えられるわけです。
こうしてＡの面積の近似値を求められるわけですが、 試行回数を10,000、100,000とふやす(コンピュ−タ−があればこそ・・・)ことで、 ある程度の精度を得ることができるわけです。

浜田　明巳のNO.448などは その例だと思います。

このモンテカルロ法というのは「大数の法則」の基づいています。
「大数の法則」というのは、試行回数Ｎを十分大きくすると、事象Ａの起こる相対度数 ｒ／ＮはほぼＰ(Ａ)に等しい、というものです。

それにしてもなぜ、「モンテカルロ」なのでしょう？



NO.499 '99 5/26水の流れ置換積分（９）

モンテ・カルロ法について、大阪書籍発行の「新数学辞典」から引用します。
十分滑らかな境界Γで囲まれた領域Ωにおいて、 Γ上に境界値を与えてΔｕ＝０を解くデｨリクレ問題の解ｕの定点ｘ∈Ω における値ｕ（ｘ）は、ｘから出発してランダムに動く点 （以下これを「よっぱらい」と呼ぶ） が境界ｙにおいてつかまる確率密度をｐｘ（ｙ）とすると、
積分∫ψ（ｙ）ｄｐｘ（ｙ）　で与えられる。
これは本質的に１９２０年代にウｨーナー （父から天才教育を受け、１８歳でハーバード大学卒業、ブラウン運動で有名） によって研究された結果であり、不正則点やウｨーナーの条件など、 この立場から明快に説明される。 １９５０年代以降確率論的ポテンシャル論のもっとも簡単な一例として 知られるようになった。
いわばよっぱらいがｙでつかまるとψ（ｙ）の罰金をとられるとき、 ｘから出発したよっぱらいがとられる罰金の期待値がｕ（ｘ）ということである。 これをランダムに動く点をシュミュレートしょうというのが モンテ・カルロ法による境界値問題の解法である。
提案された当時（１９４０年末）には奇抜な解法と評判であったが、 詳しい値を求めるにはきわめて多数回の反復を要した。
そこで、私の見解ですが、当時、イタリヤのモナコの近くにあった モンテカルロという町を巡って行われる自動車のラリーがこのような、 ランダム運動をしたことから、このいわれを取るようになったと考えられる。 全くの推測ですが？



NO.502 '99 5/27数楽者置換積分（１０）

モンテカルロ法は、乱数を用いた手法一般に付けられた名前です。 乱数を用いるとは、ある意味でサイコロを振ることに対応します。 そこで、賭博で有名な場所「モンテカルロ」（Ｆ１でも有名です）をとって、 モンテカルロ法と名づけました。（車のレースではないです。）
コロキウムでも紹介されていますが

などがあります。
ほかにも、繁華街における人の動きなどを模擬実験（シミュレーション） で観察して、それから知見を得る方法として、 モンテカルロシミュレーションが知られています。



NO.503 '99 5/28浜田　明巳置換積分（１１）

モンテカルロ法についてですが， πを求めるプログラムはいろいろな言語の解説書に載っています．
今回の大阪府立大学の問題の答を求めるプログラムは次の通りです． これはＱＢＡＳＩＣで作ってあります． ＱＢＡＳＩＣはＷＩＮＤＯＷＳ９８や９５のシステムＣＤＲＯＭの中の ＯＬＤＭＳＤＯＳというフォルダの中にあります． このフォルダの中のファイルをすべてハードディスクにコピーし， ＤＯＳプロンプトを立ち上げ，ＵＳモードにして， ＱＢＡＳＩＣを立ち上げればＯＫです． 具体的に私の場合だとこうしています． ＤＯＳプロンプトを立ち上げ， 

　　>cd \qbasic (+enter)　（ＱＢＡＳＩＣというフォルダの中に収納してあります）
　　>us (+enter)　　　　　（ＵＳモードにします）
　　>qbasic (+enter)　　　（ＱＢＡＳＩＣを立ち上げます）
という風にします．終わったら， 
　　>jp (+enter)　　　　　（日本語モードに戻します）
　　>exit (+enter)　　　　（ＤＯＳプロンプトから戻ります）
です．こんな役立つプログラム言語が９８や９５に標準装備されている （つまりただで）とは，すばらしい限りです． これは一昔前のＱＵＩＣＫ　ＢＡＳＩＣと同じと考えていいでしょう． 
'97oosaka.qb
SCREEN 12: CLS : RANDOMIZE TIMER
kk = 49: xc = 320 + 2 * kk: yc = 200: pi = 3.14159: w = pi / 180
iro0 = 7: iro1 = 2: max = 1000000
DEF fnx (x) = xc + kk * x: DEF fny (y) = yc - kk * y
n = 0: k = 0: t1$ = "Press any key to start": t2$ = "Press any key to quit"
LINE (fnx(2 * SQR(2)), fny(4))-(fnx(-2 * SQR(2)), fny(-4)), iro0, B
PSET (fnx(2), fny(0)), iro1
FOR t = 1 TO 360
 LINE -(fnx(3 * COS(t * w) - COS(3 * t * w)), fny(3 * SIN(t * w) - SIN(3 * t * w))), iro1
NEXT: PAINT (fnx(0), fny(0)), iro1
LOCATE 1, 1: PRINT t1$
WHILE INKEY$ = "": WEND: WHILE INKEY$ <> "": WEND
LOCATE 1, 1: PRINT SPC(LEN(t1$));
LOCATE 28, 1: PRINT t2$
WHILE n <= max AND INKEY$ = "": n = n + 1
 k = k - (POINT(fnx(2 * SQR(2) * (2 * RND - 1)), fny(4 * (2 * RND - 1))) = iro1)
 s = k / n * 2 * SQR(2) * 2 * 4 * 2
 LOCATE 1, 1: PRINT n; "kai shikou"
 PRINT USING "S=###.###### * pi"; s / pi
WEND
LOCATE 28, 1: PRINT SPC(LEN(t2$)); : END
　　　　　　　　　　　　　　　



NO.527 '99 6/9水の流れ置換積分（１２）




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