コロキウム室
(オイラーの「無限解析入門（１）」・その１)

NO.434　　　　'99 4/5 　　 水の流れ 　　　オイラーの「無限解析入門（１）」
　　

オイラー（１７０７年４月１５日〜１７８３年９月１７日）の数学と言うと 夜空に輝く北極星☆が思い浮かびます。 自然に流れるようなオイラーの数学は、その手書き文字にもよく表れているように、 明るく楽しい、とりわけ、２５０年前に出版されたオイラーの代表作「無限解析入門（１）」 （１７４８年刊）は、実に分かりやすく、表記法について曖昧さなど微塵もなく、 根本的な概念を示せるように工夫されています。
全体は１８章からなり、大きく分けて、次の（イ）〜（ニ）に分類できます。
（イ）第１章〜第５章：多項式、有理関数、代数関数
（ロ）第６章、第７章：指数関数、対数関数
（ハ）第８章、第９章、第１１章、第１４章：三角関数
　　　第１０章、第１５章：ゼーター関数論 （この名前はオイラーの約１００年後のリーマンが付けた関数）
（ニ）第１２章：部分分数展開
　　　第１３章：有理関数のべき級数展開
　　　第１６章：分割数
　　　第１７章：代数方程式の根の近似計算法
　　　第１８章：連分数

「無限解析入門（１）」は、没後２１６年すぎて、全集が１００巻に近付きつつあるが、 まだ出版が続いている現状です。 なお、「無限解析入門（２）」もあり、そこでは、一転して、 曲線や曲面の解析幾何学が扱われています。
先日、ゼーター関数ζ（２）物語で書きましたように、 オイラーは１７３５年（発表は１７３４年）に、ζ（２），ζ（４），・・・ を求めましたが、その後、研究は当然続いていました。 １７４９年に、ζ（０），ζ（−１），ζ（−２），・・・， ζ（ｓ）とζ（１−ｓ）の関係を発見しています。
さらに、１７７２年には、ζ（３）の表示を書いています。
「無限解析入門（１）」の第１５章によると、

と表示してあります。 決して、ゼーター関数ζ（ｓ）のｓが奇数の場合についても、諦めていませんでした。
＜誰かこの計算式の値を求めてください！！＞
第１０章では、次のような和も求めています。

＜注：最初の式は１４００年頃、南インドのマーダヴァが発見したものであり、 １６７０年代にヨーロッパにおいて、グレゴリーやライプニッツが再発見している。 オイラーの興味のきっかけを与えたものであったし、 最後の式はニートンが１６７６年に発見していました。＞
ここで、あげた等式は約９０年後の１８３７年にデｨリクレによって、 ”デｨリクレのＬ関数”の特殊値として定式化さてれいます。
第１０章の終わりでは、

が得られています。 皆さん！　ａ→０のとき右辺が一体どんな値に近づくか考えてください。
本当に、驚きの連続です。オイラーは驚嘆すべき偉大な人間でした。 改めて、思い知りました。オイラーに再敬服します。

この原稿を書くにあたり、「数学のたのしみ４月号」：日本評論社 の中にある＜数学書を探る：オイラーの数学＞黒川信重著 を引用し、参考にしました。

NO.436　　　　'99 4/9 　　 Junko 　　　オイラーの「無限解析入門（１）」（２）
　　

NO.434で示された以下の式で、ａ→０としてみます。

NO.447　　　　'99 4/21 　　 水の流れ 　　　 オイラーの「無限解析入門（１）」（３）
　　

オイラーの「無限解析入門（１）」第２夜の始まり、始まり。
先日、ゼーター関数ζ（２）物語で書きましたが、オイラーは１７３５年に、 ζ（２），ζ（４），・・・を求めました。
その後、研究は当然続いて、１７４９年に、ζ（０），ζ（−１），ζ（−２），・・・， ζ（ｓ）とζ（１−ｓ）の関係を発見しています。
もう一度この素晴らしい公式を書きます。

ゼーター関数ζ（ｓ）の素晴らしいのはｓにどんな複素数を代入しても、 意味を持つという点です。
＜数学的には「解析接続可能」と言います＞
オイラーの見つけた形（１７４９年）で言いますと、 ｓ≦０のとき、月夜の世界 ０≦ｓ≦１のとき、たそがれとき＜夕焼け・朝焼け＞ １≦ｓのとき、昼間太陽の世界 　とユニークな月のマークと太陽のマークを書いています。
特に、月夜の世界での計算が不思議な結果になります。 一例を挙げますと、
ζ（０）＝１＋１＋１＋・・・＝−１／２
ζ（−１）＝１＋２＋３＋４＋・・・＝−１／１２
ζ（−２）＝１＋４＋９＋１６＋・・・＝０
ζ（−３）＝１＋８＋２７＋６４＋・・・＝１／１２０
これらは一体何を意味しているのでしょうか？ もちろん普通にはこれらは無限大になっているはずです。 この計算は計算の達人であるオイラーが ２５０年前にやった計算です。
次回、この計算をオイラーになり代わって コロキウム室のco-workerさんとご一緒に行ってみましょう。

そこで、今夜の宿題です。

とおいて、ψ（ｓ）とζ（ｓ）の関係を発見してください。

NO.452　　　　'99 4/28 　　 Junko 　　　 オイラーの「無限解析入門（１）」（４）
　　

NO.453　　　　'99 4/29 　　 水の流れ 　　　 オイラーの「無限解析入門（１）」（５）
　　

皆さん！ゼーター関数物語の続編で、オイラーの『無限解析入門（１）』 の第３夜の始まり、始まり。
前夜の宿題も、上手に解けていますね。 これからも、この調子でよろしくね。
さて、ψ（ｓ）とζ（ｓ）の関係は ψ（ｓ）＝（１−２^(１−ｓ)）ζ（ｓ）　より

ψ（０）＝−ζ（０）　
ψ（−１）＝−３ζ（−１）　
ψ（−２）＝−７ζ（−２）　
ψ（−３）＝−１５ζ（−３）・・・・・・ となります。したがって、

１＋１＋１＋・・・＝ζ（０）＝−ψ（０）
１＋２＋３＋４＋・・・＝ζ（−１）＝−１／３・ψ（−１）
１＋４＋９＋１６＋・・・＝ζ（−２）＝−１／７・ψ（−２）
１＋８＋２７＋６４＋・・・＝ζ（−３）＝−１／１５・ψ（−３） ・・・・・・が得られます。

そこで、今夜はψ（０），ψ（−１），ψ（−１），ψ（−３），・・・ を計算します。
その前に、次の等式を思いだしてください。
１＋ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４＋・・・＝１／(１−ｘ)・・・�@
ちょっと、危ない計算ですが、ここで、ｘ＝−１を代入してください。
当然、収束条件にあっていません！
でも、ここのところを解析接続という手法で意味づけたのが オイラーの１００年後のリーマンでした。
皆さん、このように考えてください。すると、

ψ（０）＝１−１＋１−１＋・・・＝１／２と求まり、
ζ（０）＝１＋１＋１＋１＋・・・＝−１／２がでてきます。

ここで、今夜の宿題です。
等式�@の両辺を２乗して、ψ（−１）から、 ζ（−１）＝１＋２＋３＋４＋・・・を求めてください。
また、時間的に余力のある人は、 ψ（−２）、ψ（−３）にもチャレンジしても良いですよ。
読者の皆さんに、もう一度言っておきます。
ここでの計算はオイラーが発見したζ（ｓ）とζ（１−ｓ）の「双対性」 の理解を目的にしていることを！
それでは、第３夜の幕を下ろします。 また、明日の夜お会いしましょう。

NO.461　　　　'99 5/5 　　 月の光 　　　オイラーの「無限解析入門（１）」（６）
　　

オイラーの「無限解析入門（１）」の第４夜の始まり、始まり。
先日、「月の光」さんによって、第３夜の宿題が見事に、 微分を利用して、一気に解決されました。(NO.461)
「月の光」さん！すごい。
次の等式を書きましたね。

そして、ｘ＝ー１を代入すれば、 ψ（−２）、ψ（−３）を求められて、 ζ（−２），ζ（−３）　を計算できます。
皆さん、チャレンジしてくださいね。
今夜はこれで終わります。また、次夜をお楽しみに待っててください。

オイラーの「無限解析入門（１）」の第５夜の始まり、始まり。
次の等式が基本でしたね。

これらの値はゼーターの特殊値としての解釈ができますし、 自然界にも普通に表れているかもしれません。
たとえば、ラモローさんは１９９７年に、量子力学において５０年間 念願とされてきたカシミール効果をアメリカのシアトルにおける実験で 確認したときの理論値は実質的に
１＋８＋２７＋６４＋・・・＝１／１２０　　でした。
無限大になるところをうまく引き去って（繰り込んで） 意味のある有限値を出すことを物理学での言葉で「繰り込み」と言いますが、 上記の値がその一例と考えられます。
オイラーの奇妙な計算が出たついでに、オイラーの最も激しい計算 （発散がゼーターの場合より激しい！）を紹介します。

１！−２！＋３！−４！＋５！−６！＋７！−・・・＝０．４０３６５２６・・・

＜今までのオイラーの「無限解析入門（１）」の原稿は、 「数学の夢　素数からのひろがり　」黒川信重：岩波書店　を参考にして、 多くの引用しています。＞

第２夜のときに、以下のことを書きましたね。
ゼーター関数ζ（ｓ）の素晴らしいのはｓにどんな複素数を代入しても、 意味を持つという点です。＜数学的には「解析接続可能」と言います＞ オイラーの見つけた形（１７４９年）で言いますと、

ｓ≦０のとき、月夜の世界
０≦ｓ≦１のとき、たそがれとき＜夕焼け・朝焼け＞
１≦ｓのとき、昼間太陽の世界

とユニークな月のマークと太陽のマークを書いています。
月夜の世界での不思議な計算はここで、終わりにしまして、 昼間の計算に移ります。 オイラーは１７３５年に、順次ζ（２ｍ）（ｍ＝１，２，・・・１３）を計算しました。 ζ（２６）が最後でした。ちなみに、

ζ（２６）＝１３１５８６２／１１０９４４８１９７６０３０５７８１２５・π^２６です。
実に驚異的な計算能力です。驚嘆するばかりです。

ここで私ことですが、３月，数式処理「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ」の講習会 を受講してきました。 昼休みにこっそりソフトをお借りしまして、 我のオイラーに近づこうと思いまして、ゼーターζ（ｓ）の値に挑戦しました。

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａは偉大なソフトです。瞬時に計算してくれます。
私の手元に、ζ（２ｍ）（ｍ＝１，２，・・・２２）　の値があります。
ζ（３）の値は出ませんでしたが、オイラーに少しでも近づけたような感動が湧いて来ました。
話を本題に戻ります。 あのベルヌイが研究したベルヌイ数に挑戦していきます。

さて、問題です。

このＢ_ｎの値をＢ_０からＢ_８まで、求めてください。 これで、第５夜を閉じます。お休みなさい。