コロキウム室

とりあえず１〜１５までを表にしてみました。

N	1/N	Nの素因数分解
1	1	1
2	0.5	2
3	0.33333･･･	3
4	0.25	22
5	0.2	5
6	0.16666･･･	2･3
7	0.1425･･･	7
8	0.125	23
9	0.11111･･･	32
10	0.1	2･5
11	0.90909･･･	11
12	0.08333･･･	22･3
13	0.07692･･･	13
14	0.07142･･･	2･7
15	0.0666･･･	3･5

１は例外とします。
1/Nが有限小数になっているのは、 Nを素因数分解したときに２と５のみで分解されるものに限るということがわかると思います。
もちろんそれは、１０＝２・５によるものです。

左の図のように扇形の半径をＲ、内側の角度をθ とします。
弧の長さl＝Ｒθ
できあがった円錐の底面(円)の半径をｒとすると円周がl＝Ｒθですから、
２πｒ＝Ｒθが成り立ちます。
つまり、ｒ＝Ｒθ／２π
一番右の図より、sin(φ/２)＝ｒ／Ｒ＝θ／２π

先日、逆数１／Ｎが有限小数か無限小数かの発見方法を宿題にしました。
一般に、既約分数ｍ／ｎ（ｍ＜ｎの整数）が小数点以下Ｐ桁の有限小数

ｍ／ｎ＝０．＊＊＊＊＊＊（Ｐ桁）

になったとします。
両辺を１０^Ｐ＝１００・・・０（Ｐ桁）倍することによって、
１０^Ｐ×ｍ／ｎ＝＊＊＊＊＊＊（Ｐ桁）　は整数になります。
したがって、ｎは１０^Ｐ×ｍの約数で、分数が規約ということより、 （ｍ、ｎ）＝１　（ｍとｎの最大公約数が１） つまり　ｎ　は１０^Ｐの約数である。
ところが、１０^ＰＰの因数分解は２^ＰＰ・５^Ｐだから、 ｎは　ｎ＝２^α・５^β　（ただし、α、β≦Ｐの整数） の形をしていなければならない。
また、この過程を逆にたどっていっても　ｎ＝２^α・５^βとすると、 ｍ／ｎ　は小数点以下Ｐ桁の有限小数に展開されます。
以上が、宿題の報告です。

NO.812の後半、
Ｎを自然数とするとき、分数３／Ｎが、ちょうど小数第３位までの有限小数となるようなＮを求めよ、 と言う問題についてです。

小数第３位までですから、 ０．００１≦３／Ｎ
１／１０００≦３／Ｎ
Ｎ／３≦１０００
Ｎ≦３０００
このうち３／Ｎが有限になるためには、 Ｎ＝３^a・２^b・５^c(ａ＝０，１、ｂ＝０，１，・・・、ｃ＝０，１，・・・)という形をしていなければならない。
これらの条件から絞りこんでいくと、以下の１４個になると思います。

Ｎ	３／Ｎ	小数表示
８	３／８	０．３７５
２４	３／２４	０．１２５
４０	３／４０	０．０７５
１２０	３／１２０	０．０２５
１２５	３／１２５	０．０２４
２００	３／２００	０．０１５
２５０	３／２５０	０．０１２
３７５	３／３７５	０．００８
５００	３／５００	０．００６
６００	３／６００	０．００５
７５０	３／７５０	０．００４
１０００	３／１０００	０．００３
１５００	３／１５００	０．００２
３０００	３／３０００	０．００１

第５３回数学的な応募問題

太郎さんは、上皿天秤で目方を計るとき、どんな分銅を何種類か用意し、 一方に計りたい品物、他方に分銅を載せて、両者のバランスを取る。 このとき、分銅の種類はなるべく少なくし、 その組み合わせだけでいろいろとの目方を計るのが好ましい。 分銅の問題というのは、標準の分銅にどんな目方のものを用意すれば、 もっとも能率的かというものです。
一般に、ｎ個の分銅の目方を１ｇ、２ｇ、４ｇ、８ｇ、・・・、２^ｎ―１ｇ　 に選ぶとすると、分銅の組み合わせを変えば、目方がかならず変わる。
しかも、計れる目方は、０ｇ、１ｇ、２ｇ、３ｇ、・・・、(２^ｎ−１)　ｇ まで、 １ｇおきのすべてが可能です。
今、ここには、一方に計りたい品物、他方に分銅を載せる上皿天秤を考えます。
しかも、分銅は１ｇ、３ｇ、９ｇ、２７ｇ、８１ｇ、２４３ｇ、７２９ｇ　の７種類でいずれも １個用意してあります。
このとき、１回だけ使って、計れれる目方は小さい順に、 １ｇ、３ｇ、４ｇ、９ｇ、１０ｇ、１２ｇ、１３ｇ、２７ｇ、・・・ となり、１ｇおきにすべてを計ることができません。ここで、問題です。

問題１：
１００ｇの重さまで、計れる目方は１ｇから考えて何通りの目方が計れますか。

問題２：
小さい順に１ｇから目方を計っていく場合、５３番目の可能な計り方の目方は何ｇですか。 また、このときの１個づつの分銅の種類を言ってください。

問題３：
１０００ｇの重さは計ることができますが、１００１ｇの重さを測ることはできません。 これはどうしてでしょうか。数学的に考えてください。

さて、一方に計りたい品物、他方に分銅を載せる上皿天秤でなく、 両方に分銅を載せてもよい上皿天秤を使います。
さらに、ｎ個の分銅の目方を１ｇ、３ｇ、９ｇ、２７ｇ、・・・、３^ｎ―１ｇ　に選ぶとすると、 分銅の組み合わせを変えば、 計れる目方は、０ｇ、１ｇ、２ｇ、３ｇ、・・・、(３^ｎ−１)／２　ｇ まで、 １ｇおきのすべてが可能です。

問題４：
１ｇ、２ｇ、３ｇ、・・・、(３^ｎ−１)／２　ｇ まで、 １ｇおきのすべてが計れることを証明ください。

太郎さんは、今、『放浪の天才エルデシュ』という本を読んでいます。 ここの中に、独学で数学を学んだインド人ラマヌジャンの話がありました。 紹介します。
イギルスのケンブリッジ大学での学んだ最初の年、ラマヌジャンは 素数でなく合整数を研究した。合整数とは素数を掛け合わせて「合成した」数のことです。 したがって、６＝２×３だから、合整数です。
そして、「高度合整数」という概念を考案しました。 素数にはふたつしか約数がない（１と数自身）が、合整数には約数が少なくとも３つ以上ある。 高度合整数とは、その数未満の合整数より約数の個数が多いものである。
例えば、１２は高度合整数である。１２は６個の約数を持ち（１，２，３，４，６，１２）、 １２未満の数には、６個以上を上回る約数をもつものはない。
次ぎに２４もそうです。約数が８個あります。
そこで、小さい順に、高度合整数を並べてみます。
２，４，６，１２，２４，３６，・・・、
ラマヌジャンは５万までに２５個の高度合整数が含まれており、 ６兆７４６３億２８３８万８８００までの高度合整数を算出してリストを作成した。
ここで、、皆さんにもラマヌジャンと同じように、 この高度合整数を因数分解して、その素因数の指数に着目して、 ３６の次の高度合整数をみつけてください。 さらに何かの性質みたいなものを発見して下さい。

問題１：
０と１の２文字しか使えない３進法だと思えばいいわけです。
１００００(三)＝８１ですから、ここまでで２^４＝１６個
１０００１(三)＝８２、１００１０(三)＝８４・・・ときて、１０１１１(三)＝９４が最大。
つまり２３個

問題２：
５桁以下表記のものが、「０００００」をのぞき２^５−１＝３１個
従って、６桁表記の最初の数「１０００００」は３２番目
これも含めて、「１０□□□□」表記のものが、２^４＝１６個
従って、「１１００００」が４８番目
このあたりからは数えてもいいかな？
５３番目は、「１１０１０１」となります。
分銅は３^５＝２４３ｇ、３^４＝８１ｇ、 ３^２＝９ｇ、３^０＝１ｇの４個で、合計３３４ｇ

問題３：
３進法表示すると、
１０００＝１１０１００１(三)だからＯＫ。
しかしながら、
１００１＝１１０１００２(三)だからだめ。

問題４：
「２＝１０−１」を利用します。
？？と思った人もいるかもしれません。３進法の話です。
きちんとかくと、「２(三)＝１０(三)−１(三)」ですね。１０進法でかくなら「２＝３−１」です。
３進法表記した際に、「２」となる桁があったとしたら、それは「１０−１」で扱います。
つまり１つ上のおもりをのせると共に、相手方の天秤にもおもりをのせることを意味します。(これが引き算)
そうすれば、最大１＋３＋・・・３^ｎ−１＝(３^ｎ−１)／２まで、１ｇきざみで測ることができます。

上図のように３辺の長さが５、１２、１３の直角三角形を考えます。
更に長さ１２、５の辺に平行に、1/3のところで分割線(青)を入れます。
元の三角形の面積1/9の三角形３個分づつにわけます。
分け方はいくつかあると思いますが、その１つを(赤)線で示します。
この(赤)線の長さは計算するとちょうど１０です。
でもマッチ棒は折るな、といわれるとつらい！

あのようなやり方もあるのかと感心しました。
すみません。書き忘れていましたが「マッチは折ってはいけません」。 火を付けるのも無しです。そのまま使って下さい。
ヒント：それぞれの頂点から他の二つの頂点を結ぶ辺の中点に線を引いて考えて下さい。

ｎを自然数とするとき、（ｎ＋１）から２ｎまでの連続するｎ個の整数の積を １から始まるｎ個の奇数の積で割った値を求めてください。

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