Weekend Mathematics／コロキウム室／1999.10～12／NO.78

コロキウム室

NO.681

'99 12/12

kiyo

１３の倍数（２）

１３の倍数の判定法 X=A×1000+B 　1≦A＜99,0≦B≦999 とする。
1000==12==-1 (mod 13)
A×1000==-A (mod 13)
X==B-A (mod 13)

NO.682

'99 12/13

sambaGREEN

１３の倍数（３）

１００１＝７×１１×１３ですから，同様の手法が，７の倍数，１１の倍数を見つけるのに使えます。
ただし，１１の倍数の方は，１つおきにとった２組の数の合計の差で判定する方法がよく知られています。
これは，１０≡－１（mod 11）から，１０^2k≡１，１０^(2k+1)≡－１で説明できます。
逆に，この発想を使うと，1000^2k≡１， 1000^(2k+1)≡－１　（いずれも　mod　７，１３）　より，
何桁の数でも，３桁づつに区切った数を１つおきに加えた合計の差で７，１３の倍数かどうか判定できます。
例えば，

Ａ×10¹²＋Ｂ×10⁹＋Ｃ×10⁶＋Ｄ×10³＋Ｅ ≡Ａ－Ｂ＋Ｃ－Ｄ＋Ｅ　（mod 7，13)
≡（Ａ＋Ｃ＋Ｅ）－（Ｂ＋Ｄ）　（mod 7,13)

NO.683

'99 12/13

Junko

１３の倍数（４）

１３で割り切れるかどうかの判定方法は、
「下から３桁ごとに区切り、奇数番目のものの和と、偶数番目のものの和の差が１３の倍数なら割れる。」です。

７桁の数での証明

１３×７７＝１００１を利用します。

ｘ＝ａ×１０^６＋ｂ×１０^５＋ｃ×１０^４＋ｄ×１０^３＋ｅ×１０^２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（１０^３）^２＋（ｂ×１０^２＋ｃ×１０＋ｄ）×１０^３＋ｅ×１０^２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（１００１－１）^２＋（ｂ×１０^２＋ｃ×１０＋ｄ）×（１００１－１）＋ｅ×１０^２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（１３×７７－１）^２＋（ｂ×１０^２＋ｃ×１０＋ｄ）×（１３×７７－１）＋ｅ×１０^２＋ｆ×１０＋ｇ
　＝ａ×（（１３×７７）^２－２×１３×７７＋１）＋（ｂ×１０^２＋ｃ×１０＋ｄ）×（１３×７７－１）＋ｅ×１０^２
      ＋ｆ×１０＋ｇ
　＝１３×（ａ×１３×７７×７７－２×７７＋（ｂ×１０^２＋ｃ×１０＋ｄ）×７７）＋ａ－（ｂ×１０^２＋ｃ×１０＋ｄ）
      ＋ｅ×１０^２＋ｆ×１０＋ｇ
　≡ａ－（ｂ×１０^２＋ｃ×１０＋ｄ）＋ｅ×１０^２＋ｆ×１０＋ｇ（ｍｏｄ１３）

以前にカ－ドの問題で話題にしました。
１３以外の数も含めて、まとめと詳しい証明があります。

NO.684

'99 12/14

浜田　明巳

数セミ問題

数学セミナー１２月号のエレガントな解答をもとむ問題１の私的解答

数学セミナーの９９年１２月号のエレガントな解答を求むの問題１において，私好みの問題を見付けましたので，いつものようにパソコンのVisual Basicで解いてみました．本来であれば，数学セミナーに投稿すべきなのですが，このような邪道な解答がrejectされるのは明らかなので，このサイトに投稿します．申し訳有りません．それに締め切りの１２月１０日も過ぎています．

問題は以下の通りです．

すべて１つの平面の上で考えます．
直線ｇ上の点Ｐに長さｌの垂線ＰＲを立てます．
ＰＲを対角線とする正方形を図１（省略）のように，右まわりに，ＰＱＲＳとします．つぎにＰの左右に点ＡとＢをＡＰ＝ｌ，ＰＢ＝ｌとなるようにとり，ＡとＢから，ｇに関し，点Ｒと同じ側に長さ２ｌの垂線ＡＡ'とＢＢ'を立てます．
線分ＱＡ'を左向きに９０°回転してＱＥとし，線分ＳＢ'を右向きに９０°回転してＳＦとします．このとき，Ｅ，Ｆはｇ上にあってＰがＥＦの中点であることは明らかです．
さて，これからが問題です．

２つの点ＡとＢは動かさず，Ｐをｇ上の任意の点に動かします（図２（省略））．ただし，ＰＲ⊥ｇと正方形ＰＱＲＳの大きさはそのままです．このとき，ＥとＦはｇから外れますが，次の２つの性質は保たれています．

Ｅ，Ｐ，Ｆは１直線の上にある．
Ｐは線分ＥＦの中点である．
この２つを証明してください．
さらに，ＰＲをｇに関してＡＡ'やＢＢ'と反対の向きにとるとどのようになるか考えてください．
なお，図２ではＰを線分ＡＢ上にとりましたが，ＡＢの外にとってもよいし，ＡまたはＢと一致してもよいことを注意しておきましょう．

Ｅ，Ｐ，Ｆが一直線であることを∠ＥＰＦ＝１８０°で示し，ＰがＥＦの中点であることをＥＰ／ＦＰ＝１で示します．
Ｐの位置を少しずつ変え，それぞれのときの∠ＥＰＦ，ＥＰ／ＦＰを計算し，平均を求めます．合計２００回の試行ですが，結論が成り立つことが分かります．
正方形ＰＱＲＳが直線ｇより下の場合もまったく同様に示すことができます．変数のｕｅの値を１から－１に代えればいいだけです．このとき，Ｅ，Ｆの回転方向が直線ｇの上にある場合と逆になることに注意します．

Option Explicit
Sub Form_Load()
    Picture1.Scale (-1, 1)-(1, -1)
End Sub
Sub Command1_Click()
    'ss9912
    Randomize Timer
    Dim j, j1, j2, iro0, iro1, iro2, ue As Integer
    iro0 = RGB(255, 255, 0): iro1 = RGB(0, 0, 255)
    iro2 = RGB(255, 0, 0)
    Do
     ue = Val(InputBox("正方形PQRSが直線gより上→１　　　直線gより下→２　　？", "入力"))
    Loop Until ue = 1 Or ue = 2
    ue = 3 - 2 * ue
    Dim shikoukaisuu, kaisuu, machijikan As Long
    shikoukaisuu = 200: kaisuu = 0: machijikan = 400000
    Dim l, x(9), y(9), d, d_genkai, P_genkai, hen(2) As Double
    Dim cos_EPF, kaku_EPF, chuuten, wa1, wa2 As Double
    l = 0.3: d_genkai = 0.05: P_genkai = 0.75
    Dim ten(9) As String
    ten(0) = "A": ten(1) = "B": ten(2) = "A'": ten(3) = "B'"
    ten(4) = "P": ten(5) = "Q": ten(6) = "R": ten(7) = "S"
    ten(8) = "E": ten(9) = "F"
    x(0) = -l: y(0) = 0: x(1) = l: y(1) = 0
    x(2) = -l: y(2) = 2 * l: x(3) = l: y(3) = 2 * l
    y(4) = 0: y(5) = l * 0.5 * ue: y(6) = l * ue: y(7) = l * 0.5 * ue
    Picture2.Cls: Picture3.Cls: Picture4.Cls
    Picture5.Cls: Picture6.Cls
    For kaisuu = 0 To shikoukaisuu
     If kaisuu = 0 Then
      x(4) = 0: d = 0: wa1 = 0: wa2 = 0
     Else
      d = d + (Rnd * 2 - 1) * d_genkai
      If Abs(d) > d_genkai Then d = -Sgn(d) * d_genkai
      x(4) = x(4) + d
      If Abs(x(4)) > P_genkai Then x(4) = Sgn(x(4)) * P_genkai
     End If
     x(5) = x(4) - l * 0.5: x(6) = x(4): x(7) = x(4) + l * 0.5
     For j = 0 To 1
      x(j + 8) = ue * (2 * j - 1) * (y(j + 2) - y(2 * j + 5)) + x(2 * j + 5)
      y(j + 8) = ue * (1 - 2 * j) * (x(j + 2) - x(2 * j + 5)) + y(2 * j + 5)
     Next
     For j = 0 To 2
      j1 = -4 * (j = 0) - 8 * (j = 1) - 9 * (j = 2)
      j2 = -8 * (j = 0) - 9 * (j = 1) - 4 * (j = 2)
      hen(j) = (x(j1) - x(j2)) * (x(j1) - x(j2)) + (y(j1) - y(j2)) * (y(j1) - y(j2))
      If hen(j) < 0 Then hen(j) = 0 Else hen(j) = Sqr(hen(j))
     Next
     chuuten = hen(0) / hen(2)
     wa2 = wa2 + Sgn(kaisuu) * chuuten
     cos_EPF = (hen(2) * hen(2) + hen(0) * hen(0) - hen(1) * hen(1)) * 0.5 / hen(2) / hen(0)
     If cos_EPF = 0 Then
      kaku_EPF = 90
     Else
      kaku_EPF = 1 / cos_EPF / cos_EPF - 1
      If kaku_EPF < 0 Then kaku_EPF = 0
      kaku_EPF = Atn(Sqr(kaku_EPF))
      If cos_EPF < 0 Then kaku_EPF = 180 - kaku_EPF
      If y(4) > (y(9) - y(8)) / (x(9) - x(8)) * (x(4) - x(8)) + y(8) Then
       kaku_EPF = 360 - kaku_EPF
      End If
     End If
     wa1 = wa1 - (kaisuu > 0) * kaku_EPF
     Picture1.Cls
     Picture1.Line (-1, 0)-(1, 0), iro0
     For j = 0 To 1
      Picture1.Line (x(j), y(j))-(x(j + 2), y(j + 2)), iro0
     Next
     Picture1.PSet (x(4), y(4)), iro1
     For j = 7 To 4 Step -1
      Picture1.Line -(x(j), y(j)), iro1
     Next
     Picture1.Line -(x(6), y(6)), iro1
     For j = 2 To 3
      Picture1.Line (x(j), y(j))-(x(j + 3 - (j = 3)), y(j + 3 - (j = 3))), iro2
      Picture1.Line -(x(j + 6), y(j + 6)), iro2
     Next
     For j = 8 To 9
      Picture1.Line (x(4), y(4))-(x(j), y(j)), iro2
     Next
     For j = 0 To 9
      Picture1.CurrentX = x(j): Picture1.CurrentY = y(j)
      Picture1.Print ten(j)
     Next
     Picture2.Cls: Picture2.Print kaisuu; "回試行"
     Picture3.Cls: Picture3.Print "∠EPF="; kaku_EPF
     Picture5.Cls: Picture5.Print "EP/FP="; chuuten
     If kaisuu > 0 Then
      Picture4.Cls: Picture4.Print "∠EPFの平均="; wa1 / kaisuu
      Picture6.Cls: Picture6.Print "EP/FPの平均="; wa2 / kaisuu
     End If
     For j = 0 To machijikan: Next
    Next
    Beep
End Sub
Private Sub Command2_Click()
    End
End Sub

NO.685

'99 12/14

水の流れ

新聞紙の折り曲げ（１）

これは、依然テレビで実際に実験をやっているのを太郎さんはみていました。
さて、問題です。厚さ０．２ミリの新聞紙を１００回折ったらその厚さはどのくらいになりますか。１回折るたびに二倍の厚さになります。

１０メートルくらい。
東京タワーの高さ（３３３メートル）くらい。
富士山の高さ（３７７６メートル）くらい。
太陽への距離（１億５千万キロメートル）くらい。
宇宙のはて（９．４×１０^２１キロメートル）くらい。

それでは、皆さん直感的に答えてください。と言って、挙手をしてもらいました。「あなたなら、何番にあげますか。」
「でも、優れた才能の持ち主は計算してね。」
「さらに、現実に折ってみたら、何回までは可能かな。」
＜参考文献：、「分数ができない大学生」：岡部恒治等：東京経済新報社＞

NO.686

'99 12/14

水の流れ

１３の倍数（５）

NO.682「sambaGREEN」さんの中にでてくる１００１を数学上は「シェヘラザーテ数」といいます。
また、「千一夜物語」への連想もできます。
この物語のいわれは後日の機会にして、１００１＝７×１１×１３という連続する３つの素数の積になっています。
平凡な数の用ですが、なかなか興味深い数です。
私などは「６桁の整数」「６桁の整数」として、良く教材に使います。
１桁のｎの数字を使って、ｎ×３×３７×１０００１を計算してください。驚きますよ。
「シェヘラザーテ数」は王妃のように綺麗な素敵な数なんです。
１×１１＋２×２２＋３×３３＋４×４４＋５×５５＋６×６６＝１１×（１^２＋２^２＋３^２＋４^２＋５^２＋６^２）にも表れてきますよ。
他には、１桁のｎの数字を使って、ｎ×９×１２３４５６７９もあります。

NO.687

'99 12/15

浜田　明巳

新聞紙の折り曲げ（２）

２¹⁰⁰＝(２¹⁰)¹⁰＝１０２４¹⁰≒(１０³)¹⁰＝１０³⁰
∴０.２㎜×２¹⁰⁰≒０.２㎜×１０³⁰＝２×１０²³㎞
したがって一番近いのは５の宇宙のはてでしょう．
この問題は，その昔高３生に聞かれ，上記の様に暗算で計算して，威張った事があります．連中は「何か方法があるんだ！」と叫んでいたので，この種明かしをしました．実際には厚さ１０㎝くらいまでが限界でしょう．このときｘ回折り曲げたとすると，
　　０.２㎜×２^x≒１０㎝
　　∴２^x≒５００
　　∴ｘ≒９
　つまり９回が限界という事です．

NO.688

'99 12/16

水の流れ

サンタの贈り物

第３９回数学的な応募問題

太郎さんは、先日サンタさんから素敵な贈り物を頂きました。その伝票には、１０桁の番号が書いてあります。よくみると、偶然にも幸運な数字です。
それは、０から９までの数字が１回ずつ使ってあって、上から２桁の数は２の倍数で、３桁の数は３の倍数で、・・・・・・、ｎ桁の数はｎで（ｎ＝２，３，４，・・・，１０）割り切れていました。
太郎さんは、この幸運な１０桁の数字が他にもあるのか、知りたくなりました。
＜参考資料：カ－ドの問題のまとめと詳しい証明＞

NO.689

'99 12/16

Junko

新聞紙の折り曲げ（３）

２¹⁰⁰という数は一体どの位大きいのでしょうか？
ｘ＝２¹⁰⁰として常用対数をとってみます。そうすれば、桁数を知ることができるからです。

log₁₀ｘ＝log₁₀２¹⁰⁰
＝１００×log₁₀２
＝１００×０．３０１０・・・(常用対数表を見て)
＝３０．１０・・・
３０＜log₁₀ｘ＜３１
１０^３０＜ｘ＜１０^３１
従って、ｘは３１桁の数ということになります。
１≦ａ＜１０として、ｘ＝ａ×１０^３０とおくことができます。

０.２㎜×２¹⁰⁰ ＝０.２㎜×ａ×１０^３０
＝２ａ×１０^２９mm
＝２ａ×１０^２６m
＝２ａ×１０^２３km
もちろん「宇宙のはて」を越えてしまいます。

NO.690

'99 12/16

水の流れ

１３の倍数（６）

「千一夜物語」のエピソードを紹介します。
ここからの文章は＜恥ずかしくて聞けない数学６４の疑問：仲田紀夫（黎明書房）＞から引用します。

「メソポタミアのササン王朝（紀元５世紀ごろ）のシャフリヤール王が、妻に裏切られたことから女性を憎み、新しい妻と一夜を過ごした翌日殺す、という行為を繰り返した。
これを知った大臣の娘シェヘラザーテは、このすさんだ王の心を安らかにしようと、すすんで王妃になった。そこで一晩中、楽しい物語を王に聞かせたところ、王は翌日も続きを聞きたたいため、王妃を殺さなかった。こうして千一夜が過ぎ、その後末永く王と王妃とは幸福な人生を送るようになった。」

このエピソードから、数学では、この１００１をシェヘラザーテ数と呼んでいます。
引用の続きを書きます

「この物語は誰かの創作だろうが、話は広くインド、ペルシャ、ギリシャ、ユダヤ、エジプトなどからのものを集めたという。『アラジンの魔法のランプ』『アリババと四十人の盗賊』などが有名で、約３００話あるそうです」

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Ａ×10¹²＋Ｂ×10⁹＋Ｃ×10⁶＋Ｄ×10³＋Ｅ	≡Ａ－Ｂ＋Ｃ－Ｄ＋Ｅ　（mod 7，13)
	≡（Ａ＋Ｃ＋Ｅ）－（Ｂ＋Ｄ）　（mod 7,13)

log₁₀ｘ	＝log₁₀２¹⁰⁰
	＝１００×log₁₀２
	＝１００×０．３０１０・・・(常用対数表を見て)
	＝３０．１０・・・

０.２㎜×２¹⁰⁰	＝０.２㎜×ａ×１０^３０
	＝２ａ×１０^２９mm
	＝２ａ×１０^２６m
	＝２ａ×１０^２３km