Weekend Mathematicsコロキウム室1999.10〜12/NO.71

コロキウム室



NO.616 '99 10/1Junko試験の採点(2)

問題1

問題1題につき5通りの採点結果が考えられます。(0,5,10,15,20)
全部で5題あるわけですから、5=3125

問題2

少なくとも正解が3題で残りは部分点ということですから、正解が3題、4題で場合分けします。
残りの部分点は、5点、10点、15点のいずれかであると考えました。
正解3題 ×3=90
正解4題 ×3=15
90+15=105

問題3

失点が20点以下で場合分けします。


70+35+15+5+1=126




NO.617 '99 10/1Junkoπの神秘

たまたま本屋さんで「πの神秘 」という本を見つけました。
デビッド・バラットナ−著、浅尾敦則訳、ア−ティストハウス \1600
本のデザインが気に入って買ってきました。 円周率πを追求してきた人類の歴史や、πに関するエピソ−ドなどがたくさん書かれています。
そういえば何日か前の朝日新聞にも載っていましたね。

この本と直接関係はないようですが、「π」という映画が上映されているようですね。
本の帯にスト−リ−がかいてありました。
「日常生活に順応できない数学の天才者・マックス。 宗教的心理からウォ−ル街の株式事情まで、宇宙の存在をすべて数字で解析できると 信じている。 「ユークリッド」と名付けた自作コンピューターで、ついに ”神秘の数字”を発見する。 その後、彼自身の内部に異常な変化が起こり始める。・・・」
「π」というからには見てみたいのですが、スリラ−っぽいのは苦手なんですよねえ・・・。
残念ながら横浜では上映していませんので、どなたかご覧になった方、感想を聞かせてください。
この映画に関する詳しい情報はこちら。
「π」



NO.618 '99 10/3水の流れ三角形の面積(1)

今月の問題を見て、投稿問題です。
三角形ABCの各辺BC、CA、ABを1:2に内分した点をそれぞれL、M、 N とします。
BMとCN、CNとAL,ALとBMの交点をそれぞれP、Q、Rとします。 三角形ABCの面積は三角形PQRの面積の何倍でしょうか。
また、一般に、m<nのとき、各辺をm:nに内分した点をL、M、Nとし て、同様に、考えてみてください。




NO.619 '99 10/7Junko三角形の面積(2)

点Rは線分BM上の点でもあり、線分AL上の点でもあるので、


△ABCの面積をSとすると、
△ABL=△BCM=△CAN=(1/3)S
対称性と先ほどの結果から、
△BLR=△CMP=△ANQ=(1/3)・(1/7)S=(1/21)S
△PQR=S−(△ABL+△BCM+△CAN)+(△BLR+△CMP+△ANQ)
=S−(1/3)S・3+(1/21)S・3
=(1/7)S

答え    7倍



NO.620 '99 10/8水の流れ時計の文字盤(1)

第30回数学的な応募問題

太郎さんは、先日、時計が止まったので電池の交換に、 時計屋に行ってきました。 そこには、奇妙にすべての時計が10時11分頃で止まっていました。
疑問に思った太郎さんは、店主に、「どうして、この時間にして、飾ってあるのですか?」 と聞きました。「お客さんが、末広がりだとおめでたいことが起きると思っていらしゃるから じゃないですか。」と、返事が返ってきました。
太郎さんは、直感的に、長針と短針の角度が120度と思ったのと、 その2針の間の文字盤の数の和は、全体の和の3分の1になっています。 ただし、この時計の文字盤には、1から12までのすべての数が書かれていますし、 秒針はついていません。そこで、問題です。

問題1:

長針と短針が120度の角をなし、その2針の間の文字盤の数の和も全体の和の 3分の1になっている時刻を求めてください。

問題2:

今度は、長針と短針が1直線に並んでいて、この直線で分けられた2つの部分の 文字盤の数の和は、お互いに等しくなっている時刻を求めてください。

太郎さんは、このような不思議な時刻が一日のうちに、何回あるか知っておきたいと思っています。

<参考文献:「パズル数学入門(田村三郎・藤村幸三郎著)」講談社>        




NO.621 '99 10/9Junko三角形の面積(3)

△PQRの三辺に平行な直線をひいてみました。
黄緑色で囲まれた六角形の部分は、△PQRの面積のちょうど13倍になっています。 (数えてみてください。)
また別な見方をすれば△ABCから△PQRを除いた部分の2倍+△PQRとなっています。 このことから、7倍と結論づけることができます。




NO.622 '99 10/12浜田 明巳三角形の面積(4)

(一部訂正 10/15)

Visual Basicで解答プログラムを作ってみました.
プログラムの内容は以下の通りです.
乱数を使い3点A,B,Cの座標を決定し,点L,M,N,P,Q,Rの座標を求め, ヘロンの公式を使い,△ABC,△PQRの面積を計算し, 比△ABC/△PQRを計算する.
この試行を500回(shikoukaisuu)繰り返し,それぞれの場合の面積比を計算し, 面積比の平均を求める.
このプログラムにより,答は7になる事が分かります.
プログラムは2つあり,1つ目は比(r)が1/3の場合で,それぞれの三角形を図示します.
2つ目は比(r)が0と0.5の間の場合で,グラフで描写しています.
またデータをファイルに落とすようになっています
グラフは赤く描かれるのですが,表示後突然黒くなります.
これはf(r)=(1−r+r2)/(1−2r)2のグラフを上書きする為です.
これにより, 答が(1−r+r2)/(1−2r)2=(n2+mn+m2)/(n−m)2である事が分かります.

比が1/3の場合

Option Explicit
Const r = 1 / 3
Sub Form_Load()
    Picture1.Scale (-1, -1)-(1, 1)
End Sub
Sub Command1_Click()
    '三角形の問題2
    Randomize Timer
    Dim j1, j2, j3, j4, j, jj, jjj, iro0, iro1, iro2, dame As Integer
    iro0 = RGB(0, 0, 255): iro1 = RGB(255, 255, 0)
    iro2 = RGB(0, 0, 0)
    Dim shikoukaisuu, kaisuu, machijikan As Long
    shikoukaisuu = 500: kaisuu = 0: machijikan = 400000
    Dim x(1, 8), d(1, 2), a(2), b(2), c(2), bumbo, hen(2), s As Double
    Dim menseki(1), wa, hi, d_genkai, hi_genkai As Double
    wa = 0: d_genkai = 0.01: hi_genkai = 10 ^ (-12)
    Dim ten(8) As String
    ten(0) = "A": ten(1) = "B": ten(2) = "C"
    ten(3) = "L": ten(4) = "M": ten(5) = "N"
    ten(6) = "R": ten(7) = "P": ten(8) = "Q"
    Picture3.Cls: Picture4.Cls
    For j1 = 0 To shikoukaisuu
     For j2 = 0 To 2
      For j3 = 0 To 1
       If j1 = 0 Then
        x(j3, j2) = Rnd * 2 - 1: d(j3, j2) = (Rnd * 2 - 1) * d_genkai
       Else
        d(j3, j2) = d(j3, j2) + (Rnd * 2 - 1) * d_genkai
        If Abs(d(j3, j2)) > d_genkai Then
         d(j3, j2) = -Sgn(d(j3, j2)) * d_genkai
        End If
        x(j3, j2) = x(j3, j2) + d(j3, j2)
        If Abs(x(j3, j2)) > 1 Then x(j3, j2) = Sgn(x(j3, j2))
       End If
      Next
     Next
     For j2 = 0 To 2
      j = (j2 + 1) Mod 3: jj = (j + 1) Mod 3: jjj = j2 + 3
      For j3 = 0 To 1
       x(j3, jjj) = (1 - r) * x(j3, j) + r * x(j3, jj)
      Next
      a(j2) = x(1, jjj) - x(1, j2): b(j2) = x(0, j2) - x(0, jjj)
      c(j2) = x(0, j2) * x(1, jjj) - x(0, jjj) * x(1, j2)
     Next
     dame = 0
     For j2 = 0 To 2
      If dame = 0 Then
       j = (j2 + 1) Mod 3: jj = j2 + 6
       bumbo = a(j2) * b(j) - b(j2) * a(j)
       If bumbo = 0 Then
        dame = 1
       Else
        x(0, jj) = (b(j) * c(j2) - b(j2) * c(j)) / bumbo
        x(1, jj) = (a(j2) * c(j) - a(j) * c(j2)) / bumbo
       End If
      End If
     Next
     If dame = 0 Then
      For j2 = 0 To 1: s = 0
       For j3 = 0 To 2
        j = j3 + j2 * 6: jj = ((j3 + 1) Mod 3) + j2 * 6: hen(j3) = 0
        For j4 = 0 To 1
         hen(j3) = hen(j3) + (x(j4, j) - x(j4, jj)) * (x(j4, j) - x(j4, jj))
        Next
        hen(j3) = Sqr(hen(j3)): s = s + hen(j3)
       Next
       s = s * 0.5: menseki(j2) = s
       For j3 = 0 To 2
        menseki(j2) = menseki(j2) * (s - hen(j3))
       Next
      Next
     End If
     Picture1.Cls
     Picture1.PSet (x(0, 0), x(1, 0)), iro0
     For j2 = 2 To 0 Step -1
      Picture1.Line -(x(0, j2), x(1, j2)), iro0
     Next
     For j2 = 0 To 2: j = j2 + 3
      Picture1.Line (x(0, j2), x(1, j2))-(x(0, j), x(1, j)), iro1
     Next
     If dame = 0 Then
      Picture1.PSet (x(0, 6), x(1, 6)), iro2
      For j2 = 8 To 6 Step -1
       Picture1.Line -(x(0, j2), x(1, j2)), iro2
      Next
     End If
     For j2 = 0 To 8 - dame * 3
      Picture1.CurrentX = x(0, j2): Picture1.CurrentY = x(1, j2)
      Picture1.Print ten(j2)
     Next
     Picture2.Cls: Picture2.Print j1; "回試行"
     If menseki(1) >= hi_genkai Then
      For j2 = 0 To 1: menseki(j2) = Sqr(menseki(j2)): Next
      hi = menseki(0) / menseki(1): wa = wa + hi: kaisuu = kaisuu + 1
      Picture3.Cls: Picture3.Print "△ABC/△PQR="; hi
      Picture4.Cls: Picture4.Print "平均                ="; wa / kaisuu
     End If
     For j2 = 0 To machijikan: Next
    Next
    Beep
End Sub
Private Sub Command2_Click()
    End
End Sub


比がm/(m+n)の場合

Option Explicit
Sub Form_Load()
    Picture1.Scale (-1, -40)-(1, 40)
End Sub
Sub Command1_Click()
    '三角形の問題3
    Randomize Timer
    Dim j1, j2, j3, j4, j, jj, jjj, iro0, iro1, iro2, dame As Integer
    iro0 = RGB(0, 0, 0): iro1 = RGB(255, 0, 0): iro2 = RGB(255, 255, 255)
    Dim shikoukaisuu, kaisuu As Long
    shikoukaisuu = 500
    Dim x(1, 8), y, a(2), b(2), c(2), bumbo, hen(2), s As Double
    Dim r, menseki(1), wa, hi, hi_genkai, kizami As Double
    hi_genkai = 10 ^ (-12): kizami = 0.01
    Picture1.Cls: Picture2.Cls: Picture3.Cls
    For j1 = -36 To 36 Step 4
     Picture1.Line (-1, j1)-(1, j1), iro2
    Next
    For j1 = -9 To 9
     Picture1.Line (0.1 * j1, -40)-(0.1 * j1, 40), iro2
    Next
    Picture1.Line (-1, 0)-(1, 0), iro0
    Picture1.Line (0, -40)-(0, 40), iro0
    Picture4.Cls: Picture4.Print "横軸0.1きざみ,縦軸4きざみ"
    Open "sankaku3.dat" For Output As #1
    For r = 0 To 0.5 - kizami Step kizami
     wa = 0: kaisuu = 0
     For j1 = 1 To shikoukaisuu
      For j2 = 0 To 2: For j3 = 0 To 1: x(j3, j2) = Rnd: Next: Next
      For j2 = 0 To 2
       j = (j2 + 1) Mod 3: jj = (j + 1) Mod 3: jjj = j2 + 3
       For j3 = 0 To 1
        x(j3, jjj) = (1 - r) * x(j3, j) + r * x(j3, jj)
       Next
       a(j2) = x(1, jjj) - x(1, j2): b(j2) = x(0, j2) - x(0, jjj)
       c(j2) = x(0, j2) * x(1, jjj) - x(0, jjj) * x(1, j2)
      Next
      dame = 0
      For j2 = 0 To 2
       If dame = 0 Then
        j = (j2 + 1) Mod 3: jj = j2 + 6
        bumbo = a(j2) * b(j) - b(j2) * a(j)
        If bumbo = 0 Then
         dame = 1
        Else
         x(0, jj) = (b(j) * c(j2) - b(j2) * c(j)) / bumbo
         x(1, jj) = (a(j2) * c(j) - a(j) * c(j2)) / bumbo
        End If
       End If
      Next
      If dame = 0 Then
       For j2 = 0 To 1: s = 0
        For j3 = 0 To 2
         j = j3 + j2 * 6: jj = ((j3 + 1) Mod 3) + j2 * 6: hen(j3) = 0
         For j4 = 0 To 1
          hen(j3) = hen(j3) + (x(j4, j) - x(j4, jj)) * (x(j4, j) - x(j4, jj))
         Next
         hen(j3) = Sqr(hen(j3)): s = s + hen(j3)
        Next
        s = s * 0.5: menseki(j2) = s
        For j3 = 0 To 2
         menseki(j2) = menseki(j2) * (s - hen(j3))
        Next
       Next
       If menseki(0) >= hi_genkai And menseki(1) >= hi_genkai Then
        For j2 = 0 To 1: menseki(j2) = Sqr(menseki(j2)): Next
        wa = wa + menseki(0) / menseki(1): kaisuu = kaisuu + 1
       End If
      End If
     Next
     If kaisuu > 0 Then
      y = wa / kaisuu
      Picture2.Cls: Picture2.Print "m/(m+n)(0〜.49)="; r
      Picture3.Cls: Picture3.Print "面積比       ="; y
      If r = 0 Then
       Picture1.PSet (0, -y), iro1
      Else
       Picture1.Line -(r, -y), iro1
      End If
      Write #1, r, y
     End If
    Next
    Close #1
    Picture1.Circle (1 / 3, -7), 0.0075, iro1
    Picture2.Cls: Picture2.Print "終了しました."
    Picture3.Cls: Picture3.Print "f(r)=(1-r+r^2)/(1-2r)^2プロット"
    For r = 0 To 0.5 - kizami Step kizami
     If r = 0 Then
      Picture1.PSet (0, -f(0)), iro0
     Else
      Picture1.Line -(r, -f(r)), iro0
     End If
    Next
    Beep
End Sub
Private Sub Command2_Click()
    End
End Sub
Private Function f(ByVal r As Double) As Double
    f = (1 - r + r * r) / (1 - 2 * r) / (1 - 2 * r)
End Function


データ(m/(m+n),面積比の順に並んでいます)
0.999970308041995
.011.03091685088192
.021.06385487187592
.031.09878457255916
.041.13607764696844
.051.17592162576469
.061.21849266823427
.071.26406152168348
.081.31292805408391
.091.36540363718997
.11.42189594130447
.111.48274870707101
.121.54851986034893
.131.61960203408582
.141.69677976519562
.151.78061264811073
.161.87188861228095
.171.97178347863177
.182.0810237524478
.192.20338122742966
.22.33105591333246
.212.47950329959968
.222.6415783921597
.232.82205700046731
.243.02366842506976
.253.24842457985923
.263.50521575781715
.273.79442636580152
.284.12387781168895
.294.50203963716306
.34.93767521461343
.315.44392299757662
.326.03659244737924
.336.73787971424711
.347.57442344991707
.358.58765709035429
.369.8163993417154
.3711.3445600805142
.3813.2866250591007
.39,15.7459066751137
.419.000401013052
.4123.3980877733627
.4229.5477885954535
.43,38.5153295949182
.4452.3335906940583
.4575.2484176839521
.46117.436295851565
.47208.583294285575
.48469.000465047941




NO.623 '99 10/12Junko時計の文字盤(2)

a時b分(0≦b<60)に短針、長針の指す方向を0時の位置から文字通り時計回りに度数法で 示すことにします。
短針の位置をxとすると、x=30(a+b/60)=30a+(1/2)b
長針の位置をyとすると、y=6b

問題1
(1+2+3+・・・+12)/3=26
連続する文字盤の数字の合計が26になっているのは、以下の2通りしかありませ ん。
11+12+1+2=26
5+6+7+8=26



問題2
(1+2+3+・・・+12)/2=39
連続する6つの文字盤の数字の合計が39になっているのは、以下の2通りしかあり ません。
4+5+6+7+8+9=39
10+11+12+1+2+3=39





NO.624 '99 10/12Junko三角形の面積(5)

NO.619では、点Rの位置ベクトルを求めるのにベクトルの1次独立性を使いました。
「メネラウスの定理」というのがあって、これを使って求めることもできます。
今回は点Pでやります。
左図のように、点Mを通りCNに平行な直線MTをひきます。
BP:PM=BN:NT=BN:NA×(MC/AC)
t:1−t=2:1×(1/3)
これより、t=6/7と求まります。
従って、PM=(1/7)BMとなり、 以下はNO.619と同様です。

一般に三角形ABCの各辺BC、CA、ABをm:nに内分した場合を考えます。
先程と同様に、点Mを通りCNに平行な直線MTをひきます。
BP:PM=BN:NT=BN:NA×(MC/AC)
t:1−t=n:m×{m/(m+n)}
これより、t=(mn+n)/(m+mn+n)と求まります。
従って、PM={m/(m+mn+n)}BMとなります。

△ABCの面積をSとすると、
△ABL=△BCM=△CAN={m/(m+n)}S
対称性と先ほどの結果から、
△BLR=△CMP=△ANQ={m/(m+n)}・{m/(m+mn+n)}S
従って
△PQR=S−(△ABL+△BCM+△CAN)+(△BLR+△CMP+△ANQ)
=S−{m/(m+n)}S・3+{m/(m+n)}・{m/(m+mn+n)}S・3
={(m−n)/(m+mn+n)}S






NO.625 '99 10/14水の流れ時計の文字盤(3)

第30回数学的な応募問題の追加問題です。
時計の長針と短針を入れ替えてしまったとき、つまり、長針のほうが短針の 動き方をし、短針のほうが長針の動きをするのです。 このような時計を見て、 文字盤の上では二つの針が正しい時間を指すことのできるのは、半日(12時 間)のうちで何回あるでしょう。 この時計は長針と短針が入れ替わっている以外、まったく正確に動いているものとする。  ただし、長針と短針が一致している場合は除いてください。
<問題の出典:パズル数学入門(田村三朗・藤村幸三朗著):講談社>







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