Weekend Mathematics／コロキウム室／1998.7〜12／NO.29

NO.224 　　　 12/8 　　Junko 　　　 パスカルの三角形（２）

NO.218にあるパスカルの三角形を使って、 倍数の色塗りをしてみました。
やってみると、いろいろとおもしろいことに気づきます。

２の倍数

まず目につくのが逆三角形ですね。 ２の倍数と２の倍数を足すと、それも２の倍数ですからね。 （これは２に限ったことではありません。）

これを偶数、奇数の勢力図とみると、なんだかおもしろいと思いませんか？ 例えば８の段をみると、ほとんど偶数（２の倍数） ということで塗られていますが、 両端に奇数である１がいるので、 まわりから序々に浸食されていくのですね。 でも奇数は２つくっつくと次の段でまた偶数になってしまうので、 完全に奇数になるのは大変です。 １５の段でやっと偶数を排除できました。 でも当然、次の段は偶数だらけ・・・。 次ぎに奇数だらけになるのは２^５−１=３１でしょうか？

３の倍数

３^２=９のところには 大きな逆三角形ができています。

３個ずつの三角形が多いのは偶然でしょうか？

４の倍数

こうしてみると、４の倍数は以外と少ないなという印象を受けますが、 ４^２=１６から大きな三角形ができそうですね。
１６の段で終わっているのが残念。(もう少し根性を出して作れば良かったかなあ・・・)

５の倍数

この色塗りをしてみて、思ったことは、 素数(約数が１と自分以外にないもの)の倍数の方が きれい(というか明解)だということです。
５の倍数を見ると、５の段から１つ、１０の段から２つ、 １５の段から３つ・・・・というように三角形ができています。 そしてそれ以外のところに ひょっこり５の倍数があるなどということはないのです。

６の倍数

素数でないものを合成数といいます。 先ほどの５の場合と比較すると、かなり複雑です。
６=２×３と素因数分解できますから、 当然２の倍数の図と３の倍数の図の重なったところになるわけです。

７の倍数

７も立派な(？)素数です。 塗られ方がクリア−ですよね。
ところで、ｎが素数のとき、 ｎの段は両端の１を除くとすべて塗られるということがいえるようです。 ですから、そこから逆算角形ができているわけです。 ６の倍数の表を見直していただければわかりますが、 これはｎが素数でないといえません。

「ｎが素数のとき、_ｎＣ_ｋ(１≦ｋ≦ｎ−１)は 必ず、ｎで割り切れる。」

証明

ところが、ｎは素数だから１，２，３，･･･k-1，k(k＜ｎ)のいずれもｎを割りきらない。 従って、_ｎＣ_ｋは必ずｎの倍数となる。

パスカルの三角形を見ていると、 他にもいろいろな秘密が隠されているようですね。

NO.225 　　　 12/10 　　Junko 　　　 コマの動き方（２）

「コマの動き方」の方ですが、これはフィボナッチ数列の２次元への拡張とも考えられますね。 座標（ｍ，ｎ）までたどり着く経路の総数をＳ（ｍ，ｎ）とすると、
漸化式Ｓ（ｍ，ｎ）＝Ｓ（ｍ，ｎ−１）＋Ｓ（ｍ−１，ｎ−１）＋Ｓ（ｍ−１，ｎ） が成立するのではないかと思います。

上の図のように、この駒は右、上、斜め上と３通りの方法で １ますづつ動くことができるからです。
つまり自分から見て左、左下、下の３つのマスの和を計算していれればいいことになります。 それに従って計算してみました。

問１　一番右上のますの座標が（５、５）のときの経路は１６８３通り
問２　一番右上のますの座標が（６、４）のときの経路は１２８９通りとなります。

NO.226 　　　 12/10 　　水の流れ 　　　 コマの動き方（３）

NO.227 　　　 12/11 　　　Miyazo 　　　 円錐の体積（１）

今算数の勉強で「立体に体積」という単元をしていますが、 その中で角錐、円錐の体積についての学習をしました。 公式としては
底面積×高さ÷３（×１／３）ということで子どもたちに指導していますが、 この１／３ということに疑問が生じました。 どうして１／３となるのでしょうか？
「東京書籍」の教科書では、 水を使って１／３ということを視覚的に指導していますが、 子どもたちにはどうして１／３になるのか？ という疑問が残っているようです。
小学校の段階ではそこまで指導しなくても良い扱いとなっていますが・・・。

NO.228 　　　 12/12 　　　水の流れ 　　　 円錐の体積（２）

この質問を受けたとき、真っ先に浮かんだ本が次ぎのものです。
答えになるものがでてきます。

ＢＬＵＥ　ＢＡＣＫＳ　マンガ　微積分入門
講談社　岡部恒治　著　
お持ちでなければ、購入してみてください。 きっと、目からうろこがはがれます。

ここで、簡単に説明します。
三角形の面積Ｓは　底辺＝ａ，高さ＝ｈ　とすると
Ｓ＝（高さ）×（底辺）÷２
この底辺は　ある底図形の量（この場合は直線）、 ２は　２次元　の２　です。

３次元のすい体の体積Ｖは（円錐、四角錐、三角錐、多角錐　・・・）
底面積＝Ｓ、高さ＝ｈ　とすると、
Ｖ＝（高さ）×（底面積）÷３
この底面積は　ある底図形の量（この場合は円、四角形、三角形、 多角形、・・・）
３は　３次元　の３　です。

この理由はｘ^ｎの積分がｘ⁽ⁿ⁺¹⁾／(n+1) で、次数がｎから、ｎ＋１に変化し、係数をみてください。 ｎ＋１で割っている状態になっています。

NO.229 　　　 12/13 　　　Junko 　　　 円錐の体積（３）

円錐に限らず、底面がどんな形をしていようとも、「＊錐」という 立体の体積Ｖは、
Ｖ＝(1/3)×(底面積)×(高さ)で求めることができます。

左の図のように「＊錐」の頂点が原点に、 そしてx軸が底面に対して垂直になるように配置します。
底面積はＳ、高さはｈとします。
ｘ軸に垂直に任意の点ｘにおいて切ると、 そこに現れた切り口は必ず底面と相似になります。
原点からの距離の比はｘ：ｈですから、 その面積比はｘ^２：ｈ^２になります。
ｘ^２：ｈ^２＝Ｓ(ｘ)：Ｓ
Ｓ(ｘ)ｈ^２＝Ｓｘ^２
Ｓ(ｘ)＝(Ｓ／ｈ^２)ｘ^２
この断面積が距離の２乗に比例するというところが、 「みそ！」なのだと思います。
これは底面の形によりません。 頂点の場所も、底面の真上である必要はありません。 (上の図でｘ軸は底面を通過している必要はありません。)
そして、断面積を積み重ねていくのが積分です。

ｘ^２を積分することから、(1/3)という係数が出てくるわけですが、 これを小学生に実感してもらうのは無理がありますよね・・・。

理屈は後から勉強してもらうにしても、まず事実だけ伝える、 ということがあってもいいのではないかと思います。 （やや逃げの部分もありますが・・・。）
ただ教える側としては、もっといろいろなことを勉強すればきちんと 裏付けできるんだよという含みをもった上で、 「ちょうど1/3になるなんて本当に不思議だよねえ！」 という思いを伝えたいなあと思います。
いつかきっと、「そういうことだったのかあ！！」という感動を 得てくれるでしょう。

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