Colloquium

NO.1977　　　　　不等式の列(5) 　　　2011.9.17. 　数学マニア

同じｎ乗根ならば、累乗の積が大きいほど、不等式は小さい。

　　

異なるｎ乗根かつ片方が次数１ならば、累乗が大きいほど、不等式は大きい。

　　

一般に、異なる累乗根のときの比較は、累乗根をそろえると比較可能。

　　

条件付きで

　　

NO.1976　　　　　不等式の列(4) 　　　2011.9.17. 　数学マニア

項数が３個以上のときも、同様の不等式の列が存在する。

そのため、一般に以下のことが成り立つことを示す。

を示す。（項数がｋ個のとき）…☆

証明

NO.1975　　　　　　球団の勝敗(3)　 　　　　2011.9.13.　　迷子の雄猫

３連勝が一度もないので最初の３試合のなかに必ず負けた試合がある。
また、２連敗も一度もないので、負けた後は必ず勝っている。
よって、なるだけ沢山負けたと考えると、２０試合の勝敗は以下の３通りである。

パターン１：ＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯ　　 →ＸＯの組み合わせが１０個
パターン２：ＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸ　　 →ＸＯの組み合わせが９個
パターン３：ＯＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯ　　 →ＸＯの組み合わせが９個

さて、とある組み合わせの後ろからａ試合削って、ＸＯの組み合わせの直後にＯをａ箇所加えたとしよう。
たとえばパターン１で３試合削れば、
　　ＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸ
ＸＯの組み合わせが８個になるので、下記のaの位置から３個選んでＯを加えることになる。
　　ＸＯaＸＯaＸＯaＸＯaＸＯaＸＯaＸＯaＸＯaＸ
よってこの場合の組み合わせは_８Ｃ_３通り。
またパターン１で７試合削れば、
　　ＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸＯＸ
ＸＯの組み合わせが６個しかなくなるのでＯを７箇所加えることができない。
よって勝敗の組み合わせは以下の462通り。

パターン１
　　₉C₁=9、 ₉C₂=36、 ₈C₃=56、 ₈C₄=70、 ₇C₅=21、 ₇C₆=7
パターン２
　　₉C₁=9、 ₈C₂=28、 ₈C₃=56、 ₇C₄=35、 ₇C₅=21、 ₆C₆=1
パターン３
　　₈C₁=8、 ₈C₂=28、 ₇C₃=35、 ₇C₄=35、 ₆C₅=6、 ₆C₆=1

これに、パターン１、２、３の基本形を加えて、465通り

NO.1974　　　　　マス目の問題(2) 　　　2011.9.10. 　ちょろんは太太

n x n のマス目に題意に合うように○を入れてあるとする。
同じ行・列にある○を順に結んでいくと、一順して元に戻ります。
一順ですべての行・列の○を結べる場合の数を　g (n) とします。

（例）　5 x 5 の○を順次結んだ場合。

　　

場合の数は、以下の式で表せます。
　　g (n) = (n･(n-1)･(n-1)･(n-2)･(n-2)･･･2･2･1･1)/2
ｎ が、2, 3 の場合は、１順で全てを結ぶ場合しかないので、
　　f (2) = g (2) = 1
　　f (3) = g (3) = 6

4 x 4 の場合は、全部を通って元に戻る場合 g (4) と、 ２行２列分を通って元に戻るルートが２つある場合がある。後者の場合の数は、
　　₄C₂･₄C₂･g (2) ･g (2) /2
である。 （選んだ２行２列と残った２行２列が、入れ替わった場合は、重複して数えているので、２で割る必要がある。）　 従って、

　　

5 x 5 の場合は、全部を通って元に戻る場合g (5) と、 ２行２列分を通って元に戻るルートと３行３列分を通って元に戻るルートがある場合がある。 後者の場合の数は、
　　₅C₂･₅C₂･g (2) ･g (3)
従って、

　　

である。

6 x 6 の場合は、
(1)全部を通って元に戻る場合
　　　g (6) = (6･5･5･4･4･3･3･2･2)/2 = 43200
(2)２行２列分を通って元に戻るルートと４行４列分を通って元に戻るルートがある場合
　　　₆C₂･₆C₂･g (2) ･g (4) =(6･5･6･5･72)/(2･2) = 16200
(3)３行３列分を通って元に戻るルートが２つある場合　（重複を考慮し、２で割る）
　　　₆C₃･₆C₃･g (3) ･g (3) /2=(6･5･4･6･5･4･6･6)/(3!･3!･2) = 7200
(4)２行２列分を通って元に戻るルートが３つある場合 （重複を考慮し、3!で割る）
　　　₆C₂･₆C₂･g (2) ･₄C₂･₄C₂･g (2) ･g (2)/3!=(6･5･6･5･4･3･4･3)/(2･2･2･2･3!)=1350

以上を加えることにより、f (6) = 67950

NO.1973　　　　　　不等式の列(3)　　　2011.9.10. 　数学マニア

NO.1972　　　　　　準素数　　　　2011.9.5.　　水の流れ

一部修正　9/5　22:30

第２６３回数学的な応募問題

自然数には素数と合成数がある。ただ、１は素数でも合成数でもない。単位数という。
ここで、合成数であり、自然数が２、３、５のいずれでも割り切れないとき、準素数と呼ぶことにする。 準素数を小さい順に３つ挙げると、４９、７７、９１です。２０１１以下の素数は３０５個ある。 ２０１１以下の準素数はいくつあるか。

注：この記事に関する投稿の掲載は、2011年９月26日以降とします。

NO.1971　　　　　　不等式の列(2)　　　2011.9.1. 　夜ふかしのつらいおじさん

【１】

それぞれ3×4＝12乗して下線部の差をとります。

途中、相加平均と相乗平均の関係を使います。

次のようにそれぞれ 乗して下線部の差をとります。

【２】
●練習

（2重下線部は【１】から正です）

（2重下線部は【１】から正です）
この形にしてそれぞれの中括弧｛　｝のところが正であることを調べます。
k番目の中括弧｛　｝の1重下線のところは、

まず、 最初の中括弧｛　｝の部分は、

となり係数の1つ分が余ります。
そこで、次々1つ分を次の中括弧｛　｝に移していき、

として考えます。
この形にしてそれぞれの中括弧｛　｝のところが正であることを調べます。
ここで、j番目の中括弧｛　｝の1重下線のところを計算します。
わずらわしいので、係数、底、指数を次のように表すことにします。

以上から3つになっても成立が確認できました。

NO.1970　　　　　　球団の勝敗(2)　 　　　　2011.9.5.　　夜ふかしのつらいおじさん

●試合結果を次のように表すことにします。
勝ちは、連勝数で、負けには連敗がないので、ハイフン「-」で表します。
{×○○×○×}は、{-2-1-}とします。

●勝ちが多い順に考えていきます。
・15勝以上はありません。
・14勝6敗は、次の場合以外ありません。
　(1) {2-2-2-2-2-2-2}の1通り

・13勝7敗は、次の場合です。
　(1) {2-2-2-2-2-2-1-}は、1の位置を考えて、7通り
　(2) {-2-2-2-2-2-2-1}も、1の位置を考えて、7通り
　(3) {2-2-2-2-2-1-1-1}は、同じものを含む順列を考えて、8!/5!3! = 56通りなので、計70通り

・12勝8敗は、次の場合です。
　(1) {-2-2-2-2-2-1-1-}は、同じものを含む順列を考えて、 7!/5!2! = 21通り
　(2) {2-2-2-2-1-1-1-1-}は、同じものを含む順列を考えて、 8!/4!4! = 70通り
　(3) {-2-2-2-2-1-1-1-1}は、同じものを含む順列を考えて、 8!/4!4! = 70通り
　(4) {2-2-2-1-1-1-1-1-1}は、同じものを含む順列を考えて、9!/3!6! = 84通りなので、計245通り

・11勝9敗は、次の場合です。
　(1) {-2-2-2-1-1-1-1-1-}は、同じものを含む順列を考えて、 8!/3!5! = 56通り
　(2) {2-2-1-1-1-1-1-1-1-}は、同じものを含む順列を考えて、9!/2!7! = 36通り
　(3) {-2-2-1-1-1-1-1-1-1}は、同じものを含む順列を考えて、9!/2!7! = 36通り
　(4) {2-1-1-1-1-1-1-1-1-1}は、1の位置を考えて、10通りなので、計138通り

・10勝10敗は、次の場合です。
　(1) {-2-1-1-1-1-1-1-1-1-}は、1の位置を考えて、9通り
　(2) {1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-}の1通り
　(3) {-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1}の1通りなので、計11通り

・9勝以下はありません。

●以上465通りです。

NO.1969　　　　　マス目の問題 　　　2011.9.4. 　スモークマン

ｎ x ｎ のマス目に、◯をいれる。
縦、横それぞれ、いずれから見ても◯が2個に見える入れ方は何通り？

わたしのアプローチ...
2*2...f(2)=1
3*3 のとき...◯のない場所で考えると...3!...f(3)=6
f(4)=(4*3/2)*(3+3*2*2)=90
f(5)=(5*4/2)*(4*f(3)+4*3*3*f(2)+4*3*3*2*2)=2040
f(5)までは、これでよさそうなことは...数列大辞典で確認できた...?
f(6) の出し方が分かりません...^^;...

NO.1968　　　　　　作図の問題(2) 　　　2011.9.1. 　夜ふかしのつらいおじさん

●準備
△ABCにおいて、BC//B’C’とします。
・右上の図で頂点Aから辺BCに直線を引きます。
　すると、△AB’P’∽△ABPなので、AP’：P’P＝B’P’：BPです。
　同様に、△AC’P’∽△ACPなので、AP’：P’P＝C’P’：CPです。
　よって、B’P’：BP＝C’P’：CPです。(B’P’･CP＝C’P’･BP)
　表現を変えると、B’P’：P’C’＝BP：PCとなります。

・右中の図でBC’とCB’の交点をXとします。
　さらに、AからXを通り底辺BCに直線を引きます。
　すると、△XC’Q’∽△XBQなので、XQ’：XQ＝C’Q’：BQです。
　同様に、△XB’Q’∽△XCQなので、XQ’：XQ＝B’Q’：CQです。
　よって、C’Q’：BQ＝B’Q’：CQです。(C’Q’･CQ＝B’Q’･BQ)

　表現を変えると、B’Q’：Q’C’＝CQ：QBとなります。
また、上の内容から、右中の図について、B’Q’：Q’C’＝BQ：QCです。
下線の式を比較して、右中の図について、BQ＝CQです。

●解答
・正方形の辺ABを延長し、延長上に適当にYをとります。
・YCとADの交点をPとします。
・BPとACの交点をXとします。
・YからXを通りBCに線を引きます。
・すると、MがBCの中点です。

●おまけ
定規と鉛筆が使えるのですから、1辺の長さを定規に記し、 底辺を1辺の長さだけ延長し、一番遠い頂点と結べば、 辺の中点が簡単にとれます。（普通は、こうすると思います）

NO.1967　　　　　　読書の問題(3) 　　　2011.9.1. 　夜ふかしのつらいおじさん

○NO.1962の解答をみたあとで作りました。
この素晴らしい解答は、25の剰余を使っていますが、25進数を考えてもいいかなと思いました。
同じ内容になりますが。

●25進法で数を表すことを考えます。
0から24を表す数字を次のように決めます。（IとOは紛らわしので使いません）
　｛ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,J,K,L,M,N,P,Q ｝
例えば、24はQ、25は10、50は20、55は25となります。
(下線が25進法で表した数です)

●n日目に読む本の冊数をf(n)で表します。
1日目からn日目まで読んだ合計の本の冊数をg(n)とします。
つまり、g(n)＝f(1)＋f(2)＋･･･＋f(n)です。

ここで、25進法で表したg(n)の下1桁に注目します。
便宜的に、g(0)＝0とします。
g(n)は、g(0)からg(31)まで、32個あります。
数字は25種類あるので、最低でも32−25＝7個は、下1桁が同じです。
下1桁が同じで差g(n)−g(m)が50(20)になるのは次の6通りです。
�@55−5(25−5), �A54−4(24−4), �B53−3(23−3), �C52−2(22−2), �D51−1(21−1), �E50−0(20−0)
問題の内容から、これら6通りのそれぞれは2個以上あることはありません。
これら以外は、差をとると、25(10)になります。
だから、最低でも1組は差が25(10)になるところがあります。

　 g(n)−g(ｍ)＝25(10)とすれば、f(m＋1)からf(n)までの連続した n−m−1個の合計が25(10)となります。

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