Weekend Mathematics／コロキウム室／1998.7〜12／NO.25

 

コロキウム室

NO.194 　　　 11/8 　　Mami 　　　 長方形の問題（１）

Kon nichi wa!! watashi wa "venezuela"(nannbei no kuni) ni sun deiru 16 no girl desu.
gakkou ( international school) de tugi no youna mondai wo raishuu no kayoubi made ni yarinasai to iwareta nodesuga, dou yatte yaru no kaga wakarimasen. nanode tasukete kudasai.
shitumon wa tugi ni kaitearumonodesu.
"How many rectangle are there in a M times N rectangle?"
M kakeru N no chouhokei niwa ikutu no chouhoukei ga arimasuka?

こんにちは。
私はベネズエラ(南米の国)に住んでいる１６才の女の子です。
学校で次のような問題を来週の火曜日までにやりなさいといわれたのですが、 どうやってやるのかわかりません。なので、助けてください。
質問は次にかいてあるものです。
「Ｍ×Ｎの長方形にはいくつの長方形がありますか？」




NO.195 　　　 11/9 　　 Junko 　　　 長方形の問題（２）

まず２×３の長方形で考えてみます。 例示されているように、正方形も含んで考えます。 （正方形は長方形の特殊な場合と考えます。）
含まれる長方形をサイズ別に考えるのではなく、 縦のサイズと横のサイズの組み合わせとして考えていきます。
まず、縦です。サイズ１とすると３通り。 サイズ２が、２通り。 そして、サイズ３が１通りですから、合わせて６通り。
横です。サイズ１とすると、２通り。 サイズ２とすると１通りですから、合わせて３通り。
長方形は、縦と横の組み合わせでできますから、６×３＝１８通りとなります。

さて、次は一般にＭ×Ｎの場合ですが同じようにできます。
まず、縦です。サイズ１とするとＭ通り。 サイズ２とすると(Ｍ−１)通り。 サイズ３とすると(Ｍ−２)通り。 ・・・と同様にいきまして、最後にサイズＭが１通りとなります。
それらをすべて足せばいいわけですから、
Ｍ＋(Ｍ−１)＋(Ｍ−２)＋・・・＋２＋１＝(1/2)Ｍ(Ｍ＋１)通り。
次に横ですが、同じようにできますから、
Ｎ＋(Ｎ−１)＋(Ｎ−２)＋・・・＋２＋１＝(1/2)Ｎ(Ｎ＋１)通り。
従って、長方形の総数は、
(1/2)Ｍ(Ｍ＋１)×(1/2)Ｎ(Ｎ＋１)＝(1/4)Ｍ(Ｍ＋１)Ｎ(Ｎ＋１)となります。





NO.196 　　　 11/9 　　 水の流れ 　　　 長方形の問題（３）

Ｍ×Ｎの長方形を縦線（Ｎ＋１）本 、 横線（Ｍ＋１）本で表すことにします。
長方形は縦線２本と横線２本から、１個の長方形が作れます。 だから、
縦線Ｎ＋１本から、２本とる方法はN+1Ｃ2
横線Ｎ＋１本から、２本とる方法はM+1Ｃ2

したがって、 

　N+1Ｃ2×M+1Ｃ2
＝Ｎ（Ｎ＋１）／２×Ｍ（Ｍ＋１）／２
＝ＭＮ（Ｍ＋１）（Ｎ＋１）／４・・・（答え）

そこで、Ｖｅｎｅｚｕｅｌａ　の先生に問題です。
このＭ×Ｎの長方形（Ｍ≧Ｎとする）の中に正方形は 一体いくつありますか？
”Ｈｏｗ　ｍａｎｙ　ｒｉｇｈｔ　ａｎｇｌｅ　ａｒｅ　 ｔｈｅｒｅ　ｉｎ　ａ　Ｍ　ｔｉｍｅｓ　Ｎ　ｒｅｃｔａｎｎｇｌｅ？”




NO.197 　　　 11/9 　　水の流れ 　　　 アメリカ合衆国の祝日

１月１日New　Year's　Day新年
１月１９日Martin　Luther　King,Jr.'s　Birthdayキング牧師誕生日
２月１６日Washington's　Birthdayワシントン誕生日
５月２５日Memorial　Day戦没将兵追悼記念日
７月４日Independence　Day独立記念日
９月７日Labor　Day労働祭
１０月１２日Columbus　Dayコロンブス・デー
１１月１１日Veterans　Day復員軍人の日
１１月２６日Thanksgiving　Day感謝祭
１２月２５日Christmas　Dayクリスマス
　 以上、９日間で、日本の１５日より少ないです。

注：感謝祭は毎年１１月の第４木曜日で、今年は２６日ですが、 来年は１１月２５日です。
ベネズエラの国民の祝日はいつですか？



NO.198 　　　 11/10 　　水の流れ 　　　 長方形の問題（４）

「２×１の長方形を隙間なく敷き詰めて、２×ｎの長方形を作る 方法は何通りあるでしょう？」
ヒント：やはり、ｎ＝１，２，３，４，・・・、と、実際に作ってみてください。 規則性が分かってきます。
(問題の訂正11/11､20:00)



NO.199 　　　 11/11 　　水の流れ 　　　 大相撲本場所（１）

今、旬なものは　大相撲九州場所ですね。
「偉大な横綱は連敗しないのが、優勝の条件のようです。 そこで、１５日間(2)連敗しない、勝ち負けの勝敗の起こり方は 何通りでしょう？また、一般の場合はどうなるでしょう？」



NO.200 　　　 11/13 　　 Junko 　　　 長方形の問題（５）

試しにやってみました。
２×ｎの長方形に２×１の長方形を敷き詰める方法の 数をａ(ｎ)と表すことにします。
左の図のように、 ａ(1)=1、ａ(2)=2、ａ(3)=3、ａ(4)=5、ａ(5)=8、・・・となります。
あれ−っ！　これってフィボナッチ数列？　

フィボナッチ数列というのは、Ｆ0=1、Ｆ1=1、
Ｆn-2+Ｆn-1=Ｆn(n≧2) で定義される数列です。
これに従って、いくつか求めてみましょう。
Ｆ2=2、Ｆ3=3、Ｆ4=5、Ｆ5=8、 Ｆ6=13、Ｆ7=21、Ｆ8=34、Ｆ9=55、 Ｆ10=89、Ｆ11=144、Ｆ12=233、･･･

フィボナッチ数列の始まりは「うさぎの問題」だといわれています。 つまり、「生まれたばかりの１つがいのうさぎは ２ヶ月目から毎月１つがいのうさぎを産むとする。 すべてのうさぎがこの規則にしたがい、死ぬことはないとするとき、 １つがいのうさぎは１年後に何つがいのうさぎになるか。」というものです。
また、フィボナッチ数は黄金比と密接な関係がありますし、おもしろい性質がたくさんあります。 そして、フィボナッチ数列の一般項もわかっています。


フイボナッチ数について、詳しく知りたい方は、講談社のブル−バックスにある 佐藤修一著「自然にひそむ数学」という本がおすすめです。


今回の問題の場合もこう考えれば、フィボナッチ数列であることがわかります。
２×ｎの長方形の敷き詰め方は、左の図のような２種類に分類されます。
１つは、左から(n-2)個敷き詰めた(敷き詰め方はａ(n-2)通り)後、 横向きに２つ敷き詰めます。
もう１つは、左から(n-1)個敷き詰めた(敷き詰め方はａ(n-1)通り)後、 縦に１つ敷きます。
従って、ａ(n)=ａ(n-2)+ａ(n-1)が成り立ちます。 これはフィボナッチ数列に他なりません。





NO.201 　　　 11/14 　　 Junko 　　　 大相撲本場所（２）

１５試合中、２連敗(以上)しない場合の数を負け数で分類してみました。

重複組み合わせnＨrを使います。 詳しくは、こちら

  1. ０敗
    全勝するということで、１通り

  2. １敗
    ↓×↓
    この↓のところに、１４個の○を重複を許して（０でもよい）おくことになります。
    2Ｈ14=15Ｃ14=15Ｃ1=15

  3. ２敗
    ２つの×の間に、最低１個の○をおきます。
    ×○×
    ↓×○↓×↓
    「○↓」は、「↓○」でもかまいません。
    この３つの↓のところに、１２個の○を重複を許して（０でもよい）おくことになります。
    3Ｈ12=14Ｃ12=14Ｃ2=91

  4. ３敗
    ３つの×の間に、最低１個の○をおきます。
    ×○×○×
    ↓×○↓×○↓×↓
    「○↓」は、「↓○」でもかまいません。
    この４つの↓のところに、１０個の○を重複を許して（０でもよい）おくことになります。
    4Ｈ10=13Ｃ10=13Ｃ3=286

  5. ４敗
    ４つの×の間に、最低１個の○をおきます。
    ×○×○×○×
    ↓×○↓×○↓×○↓×↓
    「○↓」は、「↓○」でもかまいません。
    この５つの↓のところに、８個の○を重複を許して（０でもよい）おくことになります。
    5Ｈ8=12Ｃ8=12Ｃ4=495

  6. ５敗
    ５つの×の間に、最低１個の○をおきます。
    ×○×○×○×○×
    ↓×○↓×○↓×○↓×○↓×↓
    「○↓」は、「↓○」でもかまいません。
    この６つの↓のところに、６個の○を重複を許して（０でもよい）おくことになります。
    6Ｈ6=11Ｃ6=11Ｃ5=462

  7. ６敗
    ６つの×の間に、最低１個の○をおきます。
    ×○×○×○×○×○×
    ↓×○↓×○↓×○↓×○↓×○↓×↓
    「○↓」は、「↓○」でもかまいません。
    この７つの↓のところに、４個の○を重複を許して（０でもよい）おくことになります。
    7Ｈ4=10Ｃ4=10Ｃ6=210

  8. ７敗
    ７つの×の間に、最低１個の○をおきます。
    ×○×○×○×○×○×○×
    ↓×○↓×○↓×○↓×○↓×○↓×○↓×↓
    「○↓」は、「↓○」でもかまいません。
    この８つの↓のところに、２個の○を重複を許して（０でもよい）おくことになります。
    8Ｈ2=9Ｃ2=9Ｃ7=36

  9. ８敗
    ×○×○×○×○×○×○×○×の１通り
以上のことから、 
 1+2Ｈ14+3Ｈ12+4Ｈ10+5Ｈ8+6Ｈ6+7Ｈ4+8Ｈ2+1

=1+15Ｃ14+14Ｃ12+13Ｃ10+12Ｃ8+11Ｃ6+10Ｃ4+9Ｃ2+1

=1+15Ｃ1+14Ｃ2+13Ｃ3+12Ｃ4+11Ｃ5+10Ｃ6+9Ｃ7+1

=1+15+91+286+495+462+210+36+1

=1597


これを一般化するとどうなるか？
Ｎ試合中、２連敗(以上)しない場合の数を求めることになります。
上の例にならって、想像すると、
N+1Ｃ0+NＣ1+N-1Ｃ2+N-2Ｃ3+･･･
となるのでしょうか？
これをまとめることはできるのでしょうか？







E-mail 戻る