Colloquium

NO.1807　　　　ラマヌジャンの無限積、その証明(2)　　　2009.9.28.　　スモークマン

NO.1804ラマヌジャンの無限積、その証明 は...わたしは以下のように考えました...
これらの式は...ζ(8) とζ(4) がわかれば出せますよね...^^
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page031.htm　より

ζ(n)の具体的数値
ζ（n）の値を感覚的に把握してもらうために、具体的数値を示しておきましょう。
　定義式　ζ(s)＝1＋1/2^s＋1/3^s＋1/4^s＋1/5^s＋・・・・・より、

　ζ(2)＝1＋1/2²＋1/3²＋1/4²＋・・・・　＝π²/6＝1.64493・・
　ζ(4)＝1＋1/2⁴＋1/3⁴＋1/4⁴＋・・・・　＝π⁴/90＝1.08232・・
　ζ(6)＝1＋1/2⁶＋1/3⁶＋1/4⁶＋・・・・　＝π⁶/945＝1.01734・・
　ζ(8)＝1＋1/2⁸＋1/3⁸＋1/4⁸＋・・・・　＝π⁸/9450＝1.00481・・

上の事実を使えば... ラマヌジャンの最初の公式 (a) は...

　　　1/ζ(8)=(a)*1/ζ(4)
　　　(a)=ζ(4)/ζ(8)=(π⁴/90)*(9450/π⁸)=105/π⁴

と出せますね♪

あとの公式 (b) も上と同様に...

　　　ζ(2)/ζ(4)=(π²/6)/(π⁴/90)=15/π²
　　　(b)=(15/π²)*(π²/6)=5/2

NO.1806　　　　　累乗和の求め方　　　2009.9.24.　　水の流れ

第２３０回数学的な応募問題

先日、「大学への数学８月号」を読んでいたところ、累乗和の求め方の記事があり、 今までと違った方法でしたので、紹介を兼ねて出題します。

注：この記事に関する投稿の掲載は、2009年10月12日以降とします。

NO.1805　　　　開票経過(2)　　2009.9.24.　　夜ふかしのつらいおじさん

問題１
Ａが５個、Ｂが３個あるときの同じ物がある場合の順列を考えて、

　　　

問題２
Ａ候補の得票が終始Ｂ候補の得票を上回る事象の余事象は、Ｂ候補が開票途中でＡ候補と同数かＡ候補を上回ることです。 そうなる場合を考えると、
(1)１票目がＢの場合
残り、Ａ５票、Ｂ２票の順列を考えて、

　　　
(2)２票目までがＡＢの場合
残り、Ａ４票、Ｂ２票の順列を考えて、

　　　
(3)４票目までがＡＡＢＢの場合
残り、Ａ３票、Ｂ１票の順列を考えて

　　　
(4)６票目までがＡＡＡＢＢＢ，ＡＡＢABBの場合
残り、Ａ２票の順列を考えて
　　　２×１＝２通り
ゆえに、

　　　

問題３
Ａがａ個、Ｂがｂ個あるときの同じものがある場合の順列を考えて、

　　　

問題４
具体的にいくつか考えます。
(1)Ａ２票、Ｂ１票の場合は、ＡＡＢの場合しかないので、

　　　
(2)Ａ３票、Ｂ１票の場合は、ＡＡＡＢ，ＡＡＢAの２通りしかないので、

　　　
(3)Ａ５票、Ｂ３票の場合は、問題１、問題２より、

　　　
・・・

以上から、 と推測されます。
さて、Ａがａ票，Ｂがｂ票の場合、Ａの得票が常にＢの得票より多い確率を と仮定します。
合計が１票増える場合を考えます。
考え方の要点は、最後の票がＡでもＢでもその手前の（ａ＋ｂ）票目までと様子が変わらないことです。

（１）Ａが１票増える場合
ａ）最後がＡの場合
このときは、Ａがａ票、Ｂがｂ票の場合を考えます。
Ａが常にリードする場合の数は、

　　　
ｂ）最後がＢの場合
このときは、Ａが(ａ＋１)票、Ｂが(ｂ－１)票の場合を考えます。
Ａが常にリードする場合の数は、

　　　
ゆえに求める確率は、

　　　

（２）Ｂが１票増える場合
ａ）最後がＡの場合
このときは、Ａが(ａ－１)票、Ｂが(ｂ＋１)票の場合を考えます。
Ａが常にリードする場合の数は、

　　　
ｂ）最後がＢの場合
このときは、Ａａ票、Ｂｂ票の場合を考えます。
Ａが常にリードする場合の数は、

　　　
ゆえに求める確率は、

　　　
以上より成立するといえます。

考察
　ずっとＡ候補者の得票がＢ候補者の得票を上回る開票経過は、

　　　

NO.1804　　　　ラマヌジャンの無限積、その証明　　　　2009.9.15.　　K.F.

NO.1798ラマヌジャンの連分数には、手も 足も出ませんでしたが、NO.1803 (5)、(6)は、証明できました。以下、証明を述べます。

　１．　　　　（ｐは素数）の証明

（方針）Riemann　のζ関数とその　Euler　積としての表現(1)を利用する。

　　

(1)の証明

　　

より(1)が成り立つ。

注）　　

他の式は、等比級数の和の公式（ｓ＞０、ｐ＞１より、０＜ｐ^－ｓ＜１）から、

　　

が成り立つから正しい。具体的には、

　　

他の素数(3,5,7・・・)に対しても、上記のことが同様に成り立つ。

（証明終わり）

(1)から、

　　

となる。したがって、

　　

となるから、

　　

となる。一方、

　　ｐ^２ｓ－１＝(ｐ^ｓ－１)(ｐ^ｓ＋１) ←→ ｐ^２ｓ＝１＋(ｐ^ｓ－１)(ｐ^ｓ＋１)・・・(4)

が成り立つので、(4)を(3)に代入すると、

　　

となる。(5)を変形すると、

　　

を得る。ｓが任意の正の偶数のときのζ（ｓ）の値は、

　　

で表されることがわかっている（ここで、Ｂ_ｎは、Bernoulli　数）から、 (7)にｎ＝２、ｎ＝４を代入すると、

　　

だから、

　　

を得る。得られたζ（４）、ζ（８）の値を(6)に代入すると、

　　

となる。

（証明終わり）

　２．　　　　（ｐは素数）の証明

(2)と(6)より、

　　

と、

　　

が得られる。これらの式を掛け合わせると、

　　

となる。(8)を変形すると、

　　

を得る。(9)にｓ＝２を代入すると、

　　

となる。

（証明終わり）

このように証明してみると、今まで不思議だったｐ（素数）とπとの関係が 当然のように思えてきます。

NO.1803　　　　eとπとp(素数)、それらの間の密接で不思議な関係　　　　2009.9.1.　　K.F.

eとπとp(prime number:素数)との間には、密接で不思議な関係があります。 一つ一つ確かめていきましょう。

１．eとπ
これら二つの数、数学の中で古くから知られている特別でしかも 重要な定数ネイピア数(自然対数の底)e と円周率πに深い関係が あることは、理工系の大学生なら知っています。例として、

　　

　　

などがあげられます。
(1)は、オイラーの等式、(2)はガウス積分として知られています。 どちらも証明は簡単です。 ただ、(2)は二重積分を解かなければならないので少し厄介です。

２．eとp
eと、数学的に見てもっとも興味ある数のグループであるp(素数)にも 密接で不思議な関係があります。
π(x)は、x以下の素数の個数を表す関数として、 「素数の個数関数」といわれていますが、次の式が成り立つことが知られています。

　　

ここで、「～」は、漸近的に等しいという意味で、式で書けば、

　　

となります。
(3)、(4)は、「素数定理」と言われています。 ガウスが初めて予想してから約100年かかって証明されました。 このことだけでも、この定理の証明が難しいことがわかると思います。 理工系の数学が好きな大学生なら知っていますが、いざ証明するとなると 非常に難しく、複素関数論を学び直し、ζ関数理論とDirichletのL関数理論を勉強して、 やっと証明が理解できました。 証明は、『数論Ⅰ』(岩波書店、2005年)などに載っています。 数論を愛する方は、ぜひチャレンジしてみてください。

３．πとp
eは、「自然」対数の底なので、eとpに密接な関係があることに 納得された方も、πとpに密接な関係があるといわれると驚かれるのではないでしょうか。 それがあるのです。 大学院の図書館で見たラマヌジャンの全集に、 その好例が載っていました。

　　

です。ラマヌジャンは他にも、πとは直接関係ありませんが、次のような無限積も残しています。

　　

４．以上のことから、e、π、p相互の間に深くて、密接で不思議な関係が あることがわかりました。すなわち、

　　

このようなことを知ると、数学がますますおもしろくなると思います。

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