NO.1802 開票経過 2009.8.24. 水の流れ
第２２９回数学的な応募問題
皆さん！衆議院総選挙が、8月30日に行われます。そこで、選挙の問題を考えました。
Ａ,Ｂの二人が立候補したある選挙区は大激戦でして、１票ごとの開票経過が気になります。
開票経過の起こりうる方法はすべて同じとする。
問題１：Ａ候補者が５票で、Ｂ候補者が３票のとき、一票ごとの起こりうる開票経過は何通りあるか求めよ。
問題２：Ａ候補者が５票で、Ｂ候補者が３票のとき、一票ごとの開票中ずっと
Ａ候補者の得票がＢ候補者の得票を上回る確率を求めよ。
問題３：Ａ候補者がa票で、Ｂ候補者がｂ票のとき、一票ごとの起こりうる開票経過は何通りあるか求めよ。
問題４：Ａ候補者がa票で、Ｂ候補者がｂ票のとき、一票ごとの開票中ずっと
Ａ候補者の得票がＢ候補者の得票を上回る確率を求めよ。ただし、ａ＞ｂである。
考察： Ａ候補者がa票で、Ｂ候補者がｂ票のとき、一票ごとの開票中ずっとＡ候補者
の得票がＢ候補者の得票を上回る開票経過は何通りあるか、可能なら考えてください。
注：この記事に関する投稿の掲載は、2009年9月21日以降とします。
NO.1801 出口調査(2) 2009.8.24. 夜ふかしのつらいおじさん
投票者がＡに入れる確率をｐ、Ｂに入れる確率をｑとします。（ｐ＋ｑ＝１）
投票者がｎ人いるとすると、候補者Ａがｋ票獲得する確率ｆ（ｋ）は、
ｆ（ｋ）＝nCk ｐkｑn-kとなります。
（（ｐ＋ｑ）nの展開のｐについてｋ次の項）
候補者Ａの獲得票数の期待値は、
候補者Ａの獲得票数の分散は、
さて、npがある程度大きいとき（資料により５とか１０とかの記述があります。
この場合は１０００×０．５＝５００程度です）
次の変数は、正規分布N（０，１）にほぼ従うとみて良いようです。
XはAの獲得人数です。
正規分布表によると、この値が９５％の範囲に入るのは、
結果１の場合、ｎ＝１０００、ｐ＝０．５５、ｑ＝０．４５なので、Ａの獲得投票数は、
519人から581人
となりと当選します。
結果２の場合、ｎ＝１０００、ｐ＝０．５３、ｑ＝０．４７なので、Ａの獲得投票数は、
499人から561人
となりと９５％の信頼度では当選しない場合もあります。
Ａが９５％の信頼度で確実に当選するには、
の不等式を解いて、ｘ＝５３１人です。
この場合、ｎ＝１０００、ｐ＝０．５３１、ｑ＝０．４６９なので、Ａの獲得投票数は、
500.1人から561.9人
NO.1800 正三角形であることの証明(3) 2009.8.16. K.F.
NO.1790 正三角形であることの証明について、
別解が見つかりましたので、お知らせします。
まず、∠NDC＝∠DCN＝15°となるように、点Nを定める。(fig.1)
すると、△AMD≡△DNCで、かつそれぞれの三角形は二等辺三角形となる。(ND＝NC）
さらに、∠MDN＝60° かつMD＝NDとなるので、△DMNは正三角形であることがわかる。(fig.2)
故に、∠MDN＝∠DMN＝∠DNM＝60°であり、かつMD＝ND＝NMとなる。
そして、△DNCは二等辺三角形だから、ND＝NC=NMが成り立つ。
なおかつ、∠DNC＝∠MNC＝150°となるから、三角形の合同の定理
「二辺とそのはさむ角がそれぞれ等しければ、それらの三角形は合同である。」より、
△AMD≡△DNC≡△MNCとなる。
故に、AD＝DC=MC
fig.2の左半分についても、同様にして、AD＝AB＝MBが成り立つ。
最後に四辺形ABCDは正方形だから、MC＝MB＝BC
したがって、△MBCは正三角形である。 （証明終わり）
