Weekend Mathematics／コロキウム室／1998.7～12／NO.24

 

コロキウム室

NO.184 　　　 11/1 　　水の流れ 　　　 1998倍数の問題（１）

問題の投稿です。

  1. 連続する３８個の自然数で、 そのすべてが素数でないものの１例を見つけてください。
  2. １９９８の倍数のうち、各位の数がすべて等しい最小の 数を見つけてください。
  3. 連続する１９９８個の自然数の積は１９９８！で割り切 れることを証明してください




NO.185 　　　 11/1 　　Hungry Bear 　　　 Alphabetの問題（１）

問題
次の□に入るのは何でしょう

  1. Ｓ，Ｍ，Ｔ，Ｗ，□，Ｆ，Ｓ
  2. Ｊ，Ｆ，Ｍ，Ａ，Ｍ，Ｊ，Ｊ，Ａ，Ｓ，□，Ｎ，Ｄ
    (一部訂正11/1､17:40)

ヒント：

  1. 初めのＳは赤色、最後のＳは青色です
  2. 今日からＮです




NO.186 　　　 11/2 　　Junko 　　　 ジュ－スの問題（３）

ａ＝５ｍ＋９ｎ（ただし、ｍ≧０，ｎ≧０なる整数）を次のように変形します。 

ａ＝５ｍ＋９ｎ
　＝５(ｍ＋ｎ)＋４ｍ
ただし、ｍ≧０，ｎ≧０なる整数
整数ａを５の剰余類（５で割ったときの余り）で分けます。
  1. ａ＝５ｋのとき、
    ｍ＝０とする。
    ａ＝５ｎとなるので、ｎに適当な数を与えることで、すべてＯＫ。
  2. ａ＝５ｋ＋１のとき、
    ｍ＝４とする。
    ａ＝５(４＋ｎ)＋１６
　＝３６＋５ｎ
    となるので、ｎに適当な数を与えることで、３６以上の数についてはＯＫ。
  3. ａ＝５ｋ＋２のとき、
    ｍ＝３とする。
    ａ＝５(３＋ｎ)＋１２
　＝２７＋５ｎ
    となるので、ｎに適当な数を与えることで、２７以上の数についてはＯＫ。
  4. ａ＝５ｋ＋３のとき、
    ｍ＝２とする。
    ａ＝５(２＋ｎ)＋８
　＝１８＋５ｎ
    となるので、ｎに適当な数を与えることで、１８以上の数についてはＯＫ。
  5. ａ＝５ｋ＋４のとき、
    ｍ＝１とする。
    ａ＝５(１＋ｎ)＋４
　＝９＋５ｎ
    となるので、ｎに適当な数を与えることで、９以上の数についてはＯＫ。
ｍの値はそれぞれ５の剰余に合わせた最低の数を設定しています。 ですから、条件より小さい数については、 ｍとｎをどうとっても不可能であるということがいえます。
以上のことから、表を作ってみました。
１２３４５
６７８９１０
１１１２１３１４１５
１６１７１８１９２０
２１２２２３２４２５
２６２７２８２９３０
３１３２３３３４３５
３６３７３８３９４０
・・・

赤になっているのが、 ａ＝５ｍ＋９ｎ（ただし、ｍ≧０，ｎ≧０なる整数）と 表すことできる整数です。三角形に残るのがおもしろいですね。
従って、書き表すことのできない最大の整数は「３１」 であることがわかります。




NO.187 　　　 11/4 　　水の流れ 　　　 最短シュタイナー問題（３）

さて、最短シュタイナー問題は２枚のアクリル板を釘で少し空間を 作って、打ち付けます。洗剤液を水で溶かして、その中に入れて、 持ち上げます。すると、答えがでます。 　普通の４角形、正５角形、正６角形までは実験を秋山仁先生は テレビで放映していました、（５年前） 重心は無関係です。どこの点で結ばれるか？それが分かれば 最短の距離は出ます。その応用が４角形、５角形、６角形と つながります。



NO.188 　　　 11/4 　　Junko 　　　 平均物価上昇率（２）

４０年間、均一に物価が上昇したとして、 その平均物価上昇率をｐとすると、

１０×(１＋ｐ)40＝１００

(１＋ｐ)40＝１０

(１＋ｐ)＝１０(1/40)

ｐ＝１０(1/40)－１

これを「mathematica」で計算しましたら、0.0592537･･･と出ました。 約5.9%ですね。



NO.189 　　　 11/5 　　naomi 　　　 Alphabetの問題（２）

  1. ・・・　Ｔ、曜日です。
  2. ・・・　Ｏ、月です。




NO.190　　　　 11/7 　　水の流れ　　二等辺三角形の証明（３）

１３２で提起した問題です。

問題
三角形ＡＢＣにおいて、∠Ｂ、∠Ｃの２等分線が 対辺と交わる点をＤ、Ｅとするとき、 ＢＤ＝ＣＥならばＡＢ＝ＡＣであることを証明せよ。


解答
ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃとおく。



(**)
内角の２等分線の長さに関して、次の関係が成り立ちます。

△ＡＢＣにおいて、∠Ａの内角の２等分線と辺ＢＣとの交点 をＤとする。 このとき、ＡＢ＝ａ、ＡＣ＝ｂ、ＢＤ＝ｃ、ＤＣ＝ｄとおくと、 線分ＡＤの長さは、
ＡＤ2＝ａｂ－ｃｄとかける。


証明

上の図のように、△ＡＢＣの外接円を考え、 ＡＤの延長との交点をＥとする。
∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ、∠ＢＥＡ＝∠ＤＣＡより、 ２角が等しいので、
△ＢＡＥ∽△ＣＡＤ
従って、対応する辺の比が等しいことにより、
ＡＢ：ＡＤ＝ＡＥ：ＡＣ
ＡＤ×ＡＥ＝ＡＢ×ＡＣ＝ａｂ・・・①
一方、方べきの定理より、ＡＤ×ＤＥ＝ＢＤ×ＣＤ＝ｃｄ・・・②
①－②より、
ＡＤ（ＡＥ－ＤＥ）＝ａｂ－ｃｄ
ＡＤ2＝ａｂ－ｃｄ




NO.191　　　　 11/7 　　水の流れ　　　宇宙からの宿題

今、地球の上にいる宇宙飛行士　向井千秋さんが、 日本の人たちに向かって、宿題を出されました。 短歌の下の句です。

「宙返り　何度もできる　無重力」

詳しくは、宇宙開発事業団のＨＰをご覧ください。





NO.192 　　　 11/7 　　naomi 　　　 おめでとう

一万人突破おめでとうございます。





NO.193 　　　 11/7 　　Junko 　　　 ジュ－スの問題（４）

一般にも、正の整数ｓとｔが互いに素（最大公約数が１）であるとき、
ある数以上の整数ａについて
ａ＝ｍｓ＋ｎｔ（ただし、ｍ≧０，ｎ≧０なる整数） と書き表すことができそうですね。

しかし、明らかにｓとｔが互いに素でないときはだめです。
ｓ＝ｋｓ’、ｔ＝ｋｔ’（ｋ≠１）とすると、 

ａ＝ｍｓ＋ｎｔ
　＝ｍ(ｋｓ’)＋ｎ(ｋｔ’)
　＝ｋ(ｍｓ’＋ｎｔ’)

となり、ｋの倍数だけしか表せないことになるからです。











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