Weekend Mathematicsコロキウム室/NO.177

コロキウム室



NO.1446 2004.2.1.水の流れ長方形(1)

第133回数学的な応募問題

現在太郎さんは平面幾何を教えています。平面幾何の問題は多様なアプローチが可能です。 ここで、問題です。

長方形ABCDにおいて、頂点Dから、対角線ACに引いた垂線の足をEとすると、 ∠AEB=30゜である。AB=1として、BC=a を求めよ。






NO.1447 2004.2.4.Junko長方形(2)



AE=x,EC=y,DE=zとする。
ピタゴラスの定理により、x+y=

△AED、△DEC、△ADCは相似の関係にあることから、

  x:z=a:1    x=az
  z:y=a:1    y=(1/a)z

これより、

  



一方、△ABEに注目すると、∠AEB=30°であることから,

  x-y:z = :1

@を代入することにより、a2-a-1=0

a>0より、

  





NO.1448 2004.2.12.小学名探偵ランダムウォークに関する問題(1)

(問題):一次元のランダムウォークに関して、
2N歩目(Nは正整数)を含んでそれまでに一度も元の位置を経ることがない 経路の集合と2N歩目に元の位置にいる経路の集合が1対1で対応していることを 示してください。



NO.1449 2004.2.12.本多欣亮作図ソフト「シンデレラ」

作図ソフト、シンデレラの紹介です。
書店で偶然見かけたソフトを紹介します。名前を「シンデレラ」という、作図の ためのソフトです。多数のOSで動作し、様々な出力ファイル形式に対応しており ます。また、点と線分の交叉判定などに独自のアルゴリズムを採用し、単なる作 図だけでない幅広い図形分析・編集ソフトに仕上がっているようです。小中学生 の教員・塾家庭教師などに最適かもしれませんね。

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NO.1450 2004.2.13.小学名探偵条件を満たす多項式の個数(2)

(コロキウム室の問題NO.1434に対するヒント)

(1) とりあえず、次数zの低いほうから調べていけば規則性が見えてくると思います。

(2) z次において、
不等式条件:

    nz <F(z) < (n+1)z

を満たすz次多項式(適合多項式)の完全なセットS(F(z))を、

    S(F(z))≡{(n+2)a*(n+1)b*(n)c, (n+1)a*nb*(n-1)c}

で表すことにします(z=a+b+c : a, b, c, は非負の整数)。
適合多項式が、3以上の正整数sについて、(n+s)の因数(ターム)を持つことはあり得ません。
理由は任意の非負の整数kについて

(n+3)(n+1)k> (n+1)k+1

になるからです。
同様の理由( nk*(n-2) < nk+1 )で、適合多項式が、 (n-s+1)の因数(ターム)を持つことはあり得ません。
もう少し、適合多項式F(z)の形式を具体化しますと、a, b, cを改めて正整数と読み替えて、
適合多項式F(z)は:

(n+2)a の形式にはなり得ません。
(n+1)b の形式にはなり得ません。
nc の形式にはなり得ません。
(n+2)a*(n+1)b の形式にはなり得ません。 ( (n+2)a*(n+1)b> (n+1)a+b )
(n+2)a*nc の形式には条件次第でなり得ます。
(n+2)a*(n+1)b*nc の形式には条件次第でなり得ます。
(n+1)b*nc の形式は無条件でOKです。 すなわち、 (n+1)b*ncはS(F(z))の要素です。
(n-1)c の形式にはなり得ません。
(n)b*(n-1)c の形式にはなり得ません。
(n+1)a*(n-1)c の形式には条件次第でなり得ます。
(n+1)a*nb*(n-1)c の形式には条件次第でなり得ます。

(3) n >=(z+1)/2 の場合と、n =(z-1)/2の場合に分けて考えてみてはいかがでしょうか。



NO.1451 2004.2.18.小学名探偵積の和の問題(1)

11×12×13×14 + 12×13×14×15 + 13×14×15×16 +・・・+ 99×100×101×102

の合計はいくつでしょうか。2つの積の差で求められます。そうなる理由も説明してください。



NO.1452 2004.2.25.水の流れ正n面体

第134回数学的な応募問題

太郎さんは今まで考えていなかったことがあります。 それは3次元空間では正n面体といわれているものは n=4,6,8,12、20の5個があります。それでは、このほかにあるのでしょうか、 それとも5個の限るのでしょうか、考えてみます。最初に、オイラーの多面体定理を示します。
「1つの多面体の頂点の個数をV、辺(稜または線)の個数をE 、面の個数をFとすると、

  V−E+F=2 が成り立つ。

各正多面体の頂点・辺・面の個数を書き上げてみると、次の表のようになる。

 V−E+F
正4面体
正6面体12
正8面体12
正12面体203012
正20面体123020

次に、必要な事実があります。

「事実1」:1つの頂点に集まる面の数は3以上である。
「事実2」:1つの頂点に集まる角の大きさは、360゜未満である。

ここで、問題です。3次元空間では正n面体は何種類あるでしょうか。



NO.1453 2004.2.27.UnderBird積の和の問題(2)

n(n+1)(n+2)(n+3)
{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)}/5

であるから、

11×12×13×14 + 12×13×14×15 + 13×14×15×16 +・・・+ 99×100×101×102
={ 11×12×13×14×15 − 10×11×12×13×14
   +12×13×14×15×16 − 11×12×13×14×15
   +13×14×15×16×17 − 12×13×14×15×16
   + ・・・       − ・・・
   +99×100×101×102×103 − 98×99×100×101×102 }/5
=( 99×100×101×102×103 − 10×11×12×13×14 )/5
=( 10504949400 − 240240 )/5
= 2100941832








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