| NO.1446 | 2004.2.1. | 水の流れ | 長方形(1) |
現在太郎さんは平面幾何を教えています。平面幾何の問題は多様なアプローチが可能です。
ここで、問題です。
長方形ABCDにおいて、頂点Dから、対角線ACに引いた垂線の足をEとすると、
∠AEB＝３０゜である。AB=1として、BC=a を求めよ。
| NO.1447 | 2004.2.4. | Junko | 長方形(2) |
AE=x，EC=y，DE=zとする。
ピタゴラスの定理により、x+y=
△AED、△DEC、△ADCは相似の関係にあることから、
x:z=a:1 x=az
z:y=a:1 y=(1/a)z
これより、
一方、△ABEに注目すると、∠AEB=30°であることから,
x-y:z = 
:1
@を代入することにより、a2-a-1=0
a>0より、
| NO.1448 | 2004.2.12. | 小学名探偵 | ランダムウォークに関する問題(1) |
（問題）：一次元のランダムウォークに関して、
２Ｎ歩目（Nは正整数）を含んでそれまでに一度も元の位置を経ることがない
経路の集合と２Ｎ歩目に元の位置にいる経路の集合が１対１で対応していることを
示してください。
| NO.1449 | 2004.2.12. | 本多欣亮 | 作図ソフト「シンデレラ」 |
作図ソフト、シンデレラの紹介です。
書店で偶然見かけたソフトを紹介します。名前を「シンデレラ」という、作図の
ためのソフトです。多数のOSで動作し、様々な出力ファイル形式に対応しており
ます。また、点と線分の交叉判定などに独自のアルゴリズムを採用し、単なる作
図だけでない幅広い図形分析・編集ソフトに仕上がっているようです。小中学生
の教員・塾家庭教師などに最適かもしれませんね。
| NO.1450 | 2004.2.13. | 小学名探偵 | 条件を満たす多項式の個数(2) |
(コロキウム室の問題NO.1434に対するヒント)
（１） とりあえず、次数ｚの低いほうから調べていけば規則性が見えてくると思います。
（２） z次において、
不等式条件：
nz ＜F(z) ＜ (n+1)z
を満たすｚ次多項式（適合多項式）の完全なセットS(F(z)）を、
S(F(z)）≡｛（n+2)a*(n+1)b*(n)c, (n+1)a*nb*(n-1)c}
で表すことにします（z=a+b+c ： a, b, c, は非負の整数）。
適合多項式が、3以上の正整数sについて、(n+s)の因数（ターム）を持つことはあり得ません。
理由は任意の非負の整数ｋについて
(n+3)(n+1)k＞ (n+1)k+1
になるからです。
同様の理由( nk*(n-2) ＜ nk+1 ）で、適合多項式が、
(n-s+1)の因数（ターム）を持つことはあり得ません。
もう少し、適合多項式F(z)の形式を具体化しますと、a, b, cを改めて正整数と読み替えて、
適合多項式F(z)は：
(n+2)a の形式にはなり得ません。
(n+1)b の形式にはなり得ません。
nc の形式にはなり得ません。
(n+2)a*(n+1)b の形式にはなり得ません。
( （n+2)a*(n+1)b＞ (n+1)a+b ）
(n+2)a*nc の形式には条件次第でなり得ます。
(n+2)a*(n+1)b*nc の形式には条件次第でなり得ます。
(n+1)b*nc の形式は無条件でOKです。
すなわち、 (n+1)b*ncはS(F(z)）の要素です。
(n-1)c の形式にはなり得ません。
(n)b*(n-1)c の形式にはなり得ません。
(n+1)a*(n-1)c の形式には条件次第でなり得ます。
(n+1)a*nb*(n-1)c の形式には条件次第でなり得ます。
（３） n >=(z+1)/2 の場合と、n =(z-1)/2の場合に分けて考えてみてはいかがでしょうか。
| NO.1451 | 2004.2.18. | 小学名探偵 | 積の和の問題(1) |
11×12×13×14 ＋ 12×13×14×15 ＋ 13×14×15×16 ＋・・・＋ 99×100×101×102
の合計はいくつでしょうか。２つの積の差で求められます。そうなる理由も説明してください。
| NO.1452 | 2004.2.25. | 水の流れ | 正ｎ面体 |
太郎さんは今まで考えていなかったことがあります。
それは３次元空間では正ｎ面体といわれているものは
ｎ＝４，６，８，１２、２０の５個があります。それでは、このほかにあるのでしょうか、
それとも５個の限るのでしょうか、考えてみます。最初に、オイラーの多面体定理を示します。
「１つの多面体の頂点の個数をＶ、辺（稜または線）の個数をＥ 、面の個数をＦとすると、
Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２ が成り立つ。
各正多面体の頂点・辺・面の個数を書き上げてみると、次の表のようになる。
| Ｖ | Ｅ | Ｆ | Ｖ−Ｅ＋Ｆ | |
|---|---|---|---|---|
| 正４面体 | ４ | ６ | ４ | ２ |
| 正６面体 | ８ | １２ | ６ | ２ |
| 正８面体 | ６ | １２ | ８ | ２ |
| 正１２面体 | ２０ | ３０ | １２ | ２ |
| 正２０面体 | １２ | ３０ | ２０ | ２ |
次に、必要な事実があります。
「事実１」：１つの頂点に集まる面の数は３以上である。
「事実２」：１つの頂点に集まる角の大きさは、３６０゜未満である。
ここで、問題です。３次元空間では正ｎ面体は何種類あるでしょうか。
| NO.1453 | 2004.2.27. | UnderBird | 積の和の問題(2) |
| ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３） | |
| ＝ | ｛ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）（ｎ＋４）-（ｎ-１）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）｝／５ |
であるから、
| 11×12×13×14 ＋ 12×13×14×15 ＋ 13×14×15×16 ＋・・・＋ 99×100×101×102 | |
| = | ｛ 11×12×13×14×15 − 10×11×12×13×14 ＋12×13×14×15×16 − 11×12×13×14×15 ＋13×14×15×16×17 − 12×13×14×15×16 ＋ ・・・ − ・・・ ＋99×100×101×102×103 − 98×99×100×101×102 ｝／５ |
| = | （ 99×100×101×102×103 − 10×11×12×13×14 ）／５ |
| = | （ 10504949400 − 240240 ）／５ |
| = | 2100941832 |
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