コロキウム室

NO.1416

2003.11.1.

yokodon

ゼータ関数の値ζ(2)

偶然、こんなのを見つけました。
若干、オリジナルと違う部分もありますが、 本質的なところを損なわない範囲で御紹介したいと思います。

［問題］

(1)n を非負整数とする。以下を示せ。

　　

(2)

　　　　とおく。次式を示せ。

　　

(3)I_n を n の式で表せ。

(4)

　　　　とおく。次式を示せ。

　　

(5)N を自然数とする。次式を示せ。

　　

(6)次式を示せ。

　　


但し、必要なら 0 ＜ x ＜ π/2 で、x ＜ π/2 ・sin(x) であることを用いてよい。

(7)以上を用いて、

　　

・・・であることを示せ。

これで、高校までの数学を用いて、ζ(2) の値が計算できますね。
類似の工夫で、他の値も計算できるのでしょうか？

NO.1417

2003.11.3.

松井　満

間接証明(2)

久しぶりに解答を送らせていただきます。 幾何学的なすっきりした方法ではないのですが・・・

したがって三角形ABCは二等辺三角形となり、AB=ACが成立する。

NO.1418

2003.11.3.

sakamoto

バリエーションの数

私は某大阪の企業にて商品開発を担当しています。 今、商品のキャッチフレ−ズによく使用されている ”〇〇通りのバリエーション”の算出の仕方がわからなくて 困っています。

開発中のＡ商品には９個の穴があります、 １１種類の高さの棒を色々な組合せで 入れた時に、Ａは何パターン（バリエーション） 出来るのか？（同じ高さの棒を重複して使用してもいいです。）

というのが質問です。

NO.1419

2003.11.3.

Junko

バリエーションの数(2)

９個の穴に棒をたてていく、重複OKということならば、 11⁹＝2,357,947,691　ということになりますでしょうか？
つまり、１番めの穴にどの棒を入れる？　→１１とおり。
２番めの穴にどの棒を入れる？　→１１とおり。
・・・以下９番まの穴まで続きます。（重複順列）

NO.1420

2003.11.3.

yokodon

折り曲げた板の回転体

〜模試シリーズ 17〜

ＡＢ＝ＡＣ＝√2 、∠ＢＡＣ＝π/2 の直角三角形ＡＢＣがある。２辺ＡＢ，ＡＣ （但し、端点を含む）の上に、それぞれ点Ｐ，Ｑを ＡＰ＝ＡＱ を満たすように取る。
この三角形ＡＢＣを、線分ＰＱを折り目にして、三角形ＡＰＱと四辺形ＢＣＱＰと のなす角が π/2 になるように折り曲げた立体をＴとする。
立体Ｔを辺ＢＣのまわりに１回転させるとき、Ｔの周及び内部の点が通過する領域 の体積をＶとする。Ｐ，Ｑが上記の条件で動くときのＶの最小値を求めよ。

P.S. 興味のある方は、ＡＰ＝ＡＱ の条件を外して考えてみて下さい。

NO.1421

2003.11.4.

Junko

ゼータ関数の値ζ(2) (2)

途中までですが・・・。

(1)

　　

(2)　部分積分を使います。

　　

従って、I_n=(n-1)I_n-2-(n-1)I_nより、

　　

(3)ｎが偶数のとき

　　

　ｎが奇数のとき

　　

(4)　部分積分を使います。

　　

従って、

　　

NO.1422

2003.11.4.

水の流れ

無限降下法

美しい数学の話　第４９話

ギリシャ時代から知られていた無限降下法は、広い範囲の問題を解く強力な方法といえる。 方程式が解を持たないとか作図が不可能だとかいった否定的な結論を導くのに特に有効である。 典型的な利用法を挙げてみます。
与えられた問題が解Ｓをもつとする。 あらかじめ問題の性質からどんな解の列も有限でストップすることをいっておいて、 Ｓから出発して無限に続く解の列を構成する。 こうして、もとの問題には解がないことを結論する。

では、問題です。

方程式　ｘ^２―２ｙ^２＝０は自然数解をもたないことを示しなさい。

＜解答＞
自然数解（ｘ、ｙ）＝（ａ_１，ｂ_１）が存在したとする。
すなわち、a_１^２―２ｂ_１^２＝０　…�@　とする。
このとき、a_１は偶数、すなわち、a_１＝２ａ_２　 となる自然数ａ_２が存在する。とすると、

　　　　（２ａ_２）^２―２ｂ_１^２＝０　　なので、 ２ａ_２^２―ｂ_１^２＝０　…�A　

これから、ｂ_１は偶数、すなわち、ｂ_１＝２ｂ_２　 となる自然数ｂ_２が存在し、

　　　　２ａ_２^２―（２ｂ_２）^２＝０　　なので、 ａ_２^２―２ｂ_２^２＝０　…�B

これは、（ａ_２，ｂ_２）がもとの方程式の自然数解であることを意味している。
ところが、�@、�A、�Bから　ａ_１＞ｂ_１、　ｂ_１＞ａ_２　、 ａ_２＞ｂ_２
つまり、ａ_１＞ｂ_１＞ａ_２＞ｂ_２
さらに、�B　から、ａ_２＝２ａ_３　となる自然数ａ_３が存在して、・・・
このように、同様な理論を繰り返すと、減少し続ける自然数の無限列

　　　　ａ_１＞ｂ_１＞ａ_２＞ｂ_２ ＞ａ_３＞ｂ_３＞ａ_４＞ｂ_４＞・・・

が得られる。ところが、自然数ａ_１よりも小さい自然数は有限個しかないので、これは矛盾している。
したがって、最初の方程式の自然数解はない。

＜注意＞
この解答は、√２が無理数であることの証明にもなっている。

　＜参考文献＞
「めざせ、数学オリンピック！　著者　Ｊ、コフマン、訳　山下純一」（現代数学社）

NO.1423

2003.11.5.

本多欣亮

Bezier曲線の問題(9)

Bezier曲線の問題(9) 【完結編】
与えられたBezier曲線のオフセット曲線を、精度良くかつ構成的に近似で求める 問題ですが、近似オフセット曲線自身をBezier型式で表現するアルゴリズムを解 説した論文が見つかりましたので、ご報告します。

　Computer Aided Geometric Design Vol.5, No.1, June 1988, pp.33-40
　"Spline Approximation of Offset Curves", J. Hoschek

コロキウム室NO.1200の記号を使ってアルゴリズムの粗筋を書いてみると：

【１】　P₁、P₄（端点もしくはアンカーポイントと呼ばれる）のオフセット点は その点での法線方向にLだけ移動した点であり自明。

【２】　P₁、P₄以外で曲線 C上のいくつか（個数は論文中で明示）の点を選び、 上と同様にオフセット点を求める（当然厳密に求まる）。

【３】　ベクトルP₁→P₂、ベクトルP₃→P₄　の２つのベクトルは、それぞれが並 行で長さの異なるベクトルに移される（ベジェ曲線の定義より明らか）。これら の２つのベクトルの比例定数をそれぞれλ₁，λ₂とする。

【４】　最小２乗法を使ってλ₁，λ₂の最適解を見つける（最適化する関数や制 約条件は論文に明記されている）。

【５】　最小２乗法では【２】の点を選んだときの tの組み合わせに依存するの で、これを選び直すかどうか考慮する（※１）。その後で残差（定義は論文中に 明示）を計算。

【６】　予め定めた誤差範囲に残差が入れば完了。予め定めた反復限度回数に達 していなければ【４】に戻る、そうでない（反復回数を超えている）場合は、与 えられたBezier曲線を二分割（※２）して、分割したそれぞれの曲線で【２】か らはじめる（つまり、再帰的に計算する）。

サブルーティンとして使われている※１は、J. Hoschek自身の他の論文で（上記 論文のpp.40 References に掲載）、※２は、書籍「CAGD のための曲線・曲面理 論」共立出版株式会社刊、もしくは、私の書いた サンプルコード（両者同内容） で見ることができます。また、非線形関数の最小２乗法についてはいろんな教科 書に載っていますね。

Adobe Illustrator がこの論文の方法でBezier曲線のオフセットを計算している かどうかはわかりませんが、オフセット後にアンカーポイントの個数がオリジナルの曲線に比べ 増加する現象があるあたり、いかにも上記【６】の再帰計算 でもしていそうな感じです。

NO.1424

2003.11.7.

Junko

折り曲げた板の回転体(2)

下の図のように、ＢＣを回転軸(x)とし、ＢＣの中点をＯとします。
ＡＰ＝ＡＱ＝ｔ√２のところで折り曲げたとします。

立体ＴをＢＣを軸として回転させたときの体積をＶ(ｔ)とおきます。
回転体の体積を求めるには、まずその断面(円)の半径ｌ(ｘ)を求める必要があります。

半径ｌ(ｘ)の求め方は、�@０＜ｘ≦ｔの場合と、�Aｔ≦ｘ＜１の場合で異なります。

従って、回転体の体積を求める際には、積分区間を分けて考える必要があります。

次に、求まったV(ｔ)の最小値を求めます。

増減表により、最小値(10/27)π　　(ｘ＝2/3のとき)

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