Weekend Mathematics／コロキウム室／1998.1〜6／NO.15
NO.107 6/1 Junko 平方の問題（３）
石川県立高岡中学校
数学の部屋「２乗すると・・Part２」
を読んで
NO.92
の証明が完全ではないことが、わかりました。
１の位が５から始まる５、２５、６２５、・・・という系列と
１の位が６から始まる６、７６、３７６、・・・という系列があります。
私は一番上の位をａ（ａ＝１、２・・・９）として、
mod１０（１０で割った時の剰余類）を使って探していきました。
ａ＝０を除外したのは、例えば「０６２５」などという数は、
実際には意味がないと判断したからです。
それ自体はいいと思うのですが、
その段階で５の系列には先がないと判断してしまったことは誤りでした。
次の段階で「ａ０６２５」と５桁で表記されるものを吟味するべきでした。
改めてここでやり直してみます。
ｘ２＝(１００００ａ＋６２５)２ ＝１００００２ａ２＋１３５０×１００００ａ＋３９０６２５ ＝(１００００ａ２＋１３５０ａ＋３９)×１００００＋６２５これの１００００の位とｘの１００００の位が一致しているためには、
ｘ２＝(１０５ａ＋９０６２５)２ ＝１０１０ａ２＋１８１２５０×１０５ａ＋８２１２８９０６２５ ＝(１０５ａ２＋１８１２５０ａ＋８２１２８)×１０５＋９０６２５これの１０００００の位とｘの１０００００の位が一致しているためには、
ｘ２＝(１０５ａ＋９３７６)２ ＝１０１０ａ２＋１８７５２×１０５ａ＋８７９０９３７６ ＝(１０５ａ２＋１８７５２ａ＋８７９)×１０５＋９３７６これの１０００００の位とｘの１０００００の位が一致しているためには、
ところで、石川県立高岡中学校の
数学の部屋「２乗すると・・Part２」の中で、
広島県の清川育男さんが
という風に規則性を指摘なさっています。５の系統について ５2＝２５．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２５ ２５2＝６２５．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６２５ ６２５2＝３９０６２５．．．．．．．．．．．．．．９０６２５ ９０６２５2＝８２１２８９０６２５．．．．．．．．．８９０６２５ ８９０６２５2＝７９３２１２８９０６２５．．．．．．２８９０６２５ ２８９０６２５2＝８３５５７１２８９０６２５．．．．１２８９０６２５ １２８９０６２５2＝１６６１６８２１２８９０６２５．２１２８９０６２５ ２１２８９０６２５2＝桁あふれ。 次に、６の系統について、 ６2＝３６．．．．．．．．．．．．．．．１０−３＝７ ７６2＝５７７６。．．．．．．．．．．．．１０−７＝３ ３７６2＝１４１３７６．．．．．．．．．．．１０−１＝９ ９３７６2＝８７９０９３７６．．．．．．．．．１０−０＝１０ １０９３７６2＝１１９６３１０９３７６．．．．．．１０−３＝７ ７１０９３７６2＝５０５４３２２７１０９３７６．．．１０−２＝８ ８７１０９３７６2＝７５８８０４３３８７１０９３７６．１０−３＝７ ７８７１０９３７６2＝桁あふれ。
５の系統については、NO.92で、 ６２５を探し出した時のことを考えてみます。
ａ２５と３桁で表記できるもの
ｘ＝１００ａ＋２５
ｘ２＝(１００ａ＋２５)２ ＝１００００ａ２＋５０００ａ＋６２５ ＝(１００ａ２＋５０ａ＋６)×１００＋２５これの１００の位とｘの１００の位が一致しているためには、
６の系統については、NO.92で、 ３７６を探し出した時のことを考えてみます。
ａ７６と３桁で表記できるもの
ｘ＝１００ａ＋７６
ｘ２＝(１００ａ＋７６)２ ＝１００００ａ２＋１５２００ａ＋５７７６ ＝(１００ａ２＋１５２ａ＋５７)×１００＋７６これの１００の位とｘの１００の位が一致しているためには、
さらに、
１の位の数が５のときをＦｎとする。という結果を示していらっしゃいますが、 これには感動しますね。 本当に不思議です。
１の位の数が６のときをＳｎとする。
Ｆｎ＋Ｓｎ＝１０n+1＋１の関係がみられます。
NO.108 6/1 水の流れ １９９８和の問題（３）
６月１日でコロキウム室の１年になりますね。
さて、奇数の場合は 和が平方数になることに気がつけば、
ｎ２−ｍ２＝１９９８
因数分解して、
（ｎ＋ｍ）(ｎ−ｍ）=1998=1×2×3×3×3×37より、
２つの因数の和は２ｎとなり、組み合わせで
（偶数＋奇数＝奇数）となる場合は不可能です。
したがって、解なし。
NO.109 6/1 Junko サ−ビス券の問題（２）
答えは３３本ですかね？
３３本購入すると、その空き缶も当然３３本ですから、
そのうち３０本を持っていけば、
６本の缶ジュ−スと交換してもらえます。
これで３３＋６＝３９本。
次に先程の残りの空き缶３本と今回の空き缶６本で、
合計９本分の空き缶があることになります。
そのうちの５本を持っていけば、
缶ジュ−スが１本もらえます。
これで３９＋１＝４０本。
さらに先程のあまりの空き缶４本と今回の１本を足して
合計５本分の空き缶があるわけですから、
これでまた缶ジュ−ス１本がもらえて
めでたく４０＋１＝４１本となるわけです。
この話をしたら、隣の席のＳ先生が、
「え−っ、それではみんなで一緒に飲めないじゃん？
そんなのだめだよ−！」と怒られました。
さらに、それを聞いていたＩ先生、
「俺の店にそんな客が度々、空き缶を持ってきたら、怒るよ！」
（彼の実家は酒屋です）
「普通、サ−ビス券でもらったものにサ−ビス券はつけないでしょう・・・。」
まあ。それはさておき・・・。
そうそう、３２本では４１本を獲得できないことを示さないといけませんでしたね。
先程と同じようにすれば、３９本しか獲得できないことがわかります。
やってみてください。
さて、このアルゴリズムを式で表してみました。
ガウス記号［ｘ］というのを使います。
これは、ｘを越えない最大の整数を与えます。
イメ−ジとしては、少数点以下切り捨てなのですが、
負の数についてはこのイメ−ジだと間違えますから要注意です。
例
１．[１．８５]＝１ ２．[５]＝５ ３．[１０．５]＝１０ ４．[−２．５]＝−３ ５．[−０．１]＝−１
本題に入ります。
獲得したジュ−スの本数をａｎとします。
それらをすべて飲んで、手持ちの空き缶の本数をｂｎとします。
一番最初にａ本を購入したとします。
ａ０＝ａ、ｂ０＝ａ
次の漸化式で、数列ａｎ、ｂｎを定義します。
ａｎ＝ａｎ−１＋［ｂｎ−１／５］ ｂｎ＝ｂｎ−１−［ｂｎ−１／５］×５＋［ｂｎ−１／５］ ＝ｂｎ−１−［ｂｎ−１／５］×４ｂｎ＜５で終了します。
NO.110 6/2 水の流れ ４桁の問題（１）
全部が同じ数字ではない４桁の整数を
好きなように選びなさい。
この４つの数字を並び替えてできる
最大の数から最小の数を引き、
その答えで同じ操作を繰り返す。
３桁の数になったら1000の位に０をつける。
どんな整数を選ぼうと最後はある４桁の数になる。
その数はいくつでしょうか？
じゃ、３桁の場合はどんな数字になるかも考えてください。
NO.111 6/2 ぷー 円に関する微分（１）
1つ、とんでもないこと（？）をお聞きしても良いでしょうか？
円の面積πｒ２を微分すると
円周の２πｒになり、
同じく球の体積４／３πｒ３を微分すると
表面積の４πｒ２になるのはなぜでしょうか？
NO.112 6/2 水の流れ サ−ビス券の問題（３）
サービス券の問題は３３本で、空き缶が１本残ります。
実は、順に飲み干し時間が必要ですので、
３回待つことになります。
そこを店の人に理解してもらい一度に購入することが
できると良いのですが。
でも、２１世紀の近い将来リサイクルで、
このようなサービス券が発行されるかもしれません。
先取り学習のつもりで考えましょう。
さて、コロキウム室の中で、
獲得したジュースの本数をａ(n),
手持ちの空き缶の本数をｂ(n)とする。
一般に、（ｋは自然数）
ａ(n)＝４ｋ＋ｍ（ｍ＝1，2，3，4）のとき、
ｂ(n)＝５ｋ＋ｍとなり、ｋ本サービスになります。
さらに、ｍ本空き缶として残り、交換は次回になります。
話はよく似ていますが。
あるとき、大バーゲンセールで、50％ｏｆｆ
残りの50％は商品券をさし上げます。
尚、この商品券はこの期間中に商品に交換できる場合
とそうでない場合を考えると、本当に半額なのでしょうか？
考えものです。
NO.113 6/4 水の流れ 円に関する微分（２）
円の微分について、私の授業風景を紹介します。
平面上の面積について、区間［ａ，ｂ］で、
ｆ(x)≧０とする。
曲線 ｙ＝ｆ(x) とｘ軸、および２直線ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ
で囲まれた部分の面積Ｓは
Ｓ＝∫(x=a…x=b) ｆ(x) dx で表されます。
実は、区間［ａ，ｂ］で、任意のｘの値に対して
このｆ(x)は一本の線分の長さを示していると考えてください。
この一本一本の直線を区間［ａ，ｂ］まで寄せ集めてできたのが、
求める囲まれた部分の面積と考えます。
私の場合、この所の授業は下に垂れ下がった優雅な曲線を
描いた装飾用「すだれ」を教具にします。
想像できましたか。
（ないときは、画用紙をはさみで適当に切って、
即席の「すだれ」を作ります。）
さて、半径ｒの円について、その中に同心円を作ります。
中心を原点にとり、図のようにｘ軸を取ります。
ここで、この円を樹木の年輪のように表皮を一枚一枚はがしていきます。
（子供のバームクーヘンの食べ方を思い出してね。）
それを下に一本一本縦に並べてください。
すると、一番左の線の長さは２πｒで
この横は半径のｒです。
だから、円の面積は ２πｒ×ｒ÷２＝πｒ２
（半径ｒの円の円周が２πｒであることは既知とします）
このことを先ほどの、積分で考えると、
区間［０，ｒ］の任意のｘに対して、
線分の長さ２πｘ を寄せ合わせると、
πｒ２＝∫(x=0…x=r)２πx dx
＜私はこのような方法で切って、積分することを渦巻き積分・
年輪積分と生徒には言っています。＞
質問の答えとしては、円の面積を微分すると、
円周になると考えるのでなく、
円周の長さ２πx を０からｒまで積分すると、
円の面積を表すのです。
次は、球の体積に移ります。
これも、授業ではタマネギの表皮を一枚一枚はがして、
生徒には説明します。
（臭いは相当なものがあります・・・すぐにかたずけること）
球の表面積が４πｒ２ であることは、
生徒にはみかんの皮で説明します。
（ないときは、紙風船を使います。
だから、ときどき薬局でもらう場合大切に保管してあります。
破って使うため二度と復元しません。）
半径ｒは測って知っておいてください。
なるべく丸いみかんを半分に切って皮をはがします。
適当な大きさにして、
半径２ｒの円の表面に張り付けてください。
一部誤差はありますが、一面に張り付けられます。
（先ほどの紙風船の場合は逆にのりしろの部分をはがしていけばよいのです。
はがし方に研究の余地があります。
最後は上手に円に張り付けてね。） 証明終わり
空間での体積の求め方は、ｘ軸を考え、
それに垂直な平面による立体の切り口の面積をＳ(x)とする。
区間ａ≦ｘ≦ｂの範囲にある立体の体積は
Ｖ＝∫(x=a…x=b) Ｓ(x) dx で表されます。
体積の求め方はいかにして、立体を切っていくのか。
または、はがしていくのかです。
この単元での教具は、さつまいもかポテトと
市販されている筒のポテトチップスを準備します。
さつまいもかポテトをまな板の上で切ってスライスした
チップスを寄せ集めた立体の体積が上の公式になっています。
（私の場合別名スライス積分と言います。）
では、なるべく丸いタマネギの皮を一枚一枚むいて、
それを寄せ集めて、かぶせていきます。
（大きさの違う帽子を思い出して重ねてください。）
球が出来ます。
球の体積＝（一枚一枚の表面積）×（厚み）
＝ ∫(x=0…x=r)４πｘ２ dx
（この命名は表皮積分、雪だるま積分、
コーン積分と言っています。）さて、いろいろな名前の積分がでてきましたね。
他にバームクーヘン積分を伝えます。
回転体の体積を求めるのに利用します。
０≦ａ≦ｘ≦ｂ において、曲線ｙ＝ｆ(x)≧０ と
Ｘ軸との領域をＹ軸の周りに回転してできる立体の体積をＶとする。
（洋菓子のバ−ムク−ヘンを思い出してください。）
＜Ｙ軸の周りに回転した立体の体積です＞
では、この立体の表皮を大根の桂むきようにはがします。
（教室には大根があり、私が包丁で皮をむいています。
おかげで、桂むきは得意になりそうです。）
ａ≦ｘ≦ｂ の任意のｘに対して、
原点からｘの距離にある一枚の表皮の半径はｘだから、
円周は２πｘで、高さがｆ(x)になります。
この表皮の面積は２πｘｆ(x) となり、
Ｖ＝∫(x=a…x=b)２πｘｆ(x) dx という公式が生まれます。
NO.114 6/4 水の流れ 円に関する微分（３）
半径10pの２つの直円柱を直交させたとき、交わりの部分の体積を求めてください。
（どのようにスライスするかがポイントです。）
NO.115 6/4 水の流れ 円に関する微分（４）
曲線Ｃ：ｙ＝ｆ(x)と直線ｍ：ｙ＝ｘtanθ で囲まれた図形を、
直線 ｍ を 軸として回転して得られる立体の体積Ｖを求めよ。
（勿論、囲まれた図形がある場合）
NO.116 6/4 Junko 円に関する微分（５）
私もこの事実を知ったとき、感動しました。
その理由を自分なりに納得できた時には、
微分法のすごさを実感したのを覚えています。
微積分は厳密にやろうとするととても大変なので、
（理科系の学生の多くは、
大学１年生でε−δ論法に悩まされるはめになります。）
感覚的な話をします。
本題に入る前に、まず面積の話をします。
高校２年生の授業で、関数を定積分すると面積が出るよというあれです。
関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフ（この範囲ではｙ＞０として考えます。）と、
直線ｙ＝ａ（ａは定数）と直線ｘ＝ｘ、
そしてｘ軸の４つで囲まれた部分の面積を考えると
これはｘの関数になるので、Ｓ(ｘ)とします。
Ｓ'(ｘ)＝ｆ(ｘ)、つまり面積の関数Ｓ(ｘ)を微分するともとの関数ｆ(ｘ）になる。
だから面積を求めたい時は微分の逆、つまり積分をすればいいということになるわけです。
導関数の定義より、
Ｓ'(ｘ)＝lim(h→0){Ｓ(ｘ＋ｈ)−Ｓ(ｘ)}／ｈ
ここで、Ｓ(ｘ＋ｈ)−Ｓ(ｘ)の図形的意味を考えると、
左の図の水色の部分になります。
この範囲、ｘ〜ｘ＋ｈでのｆ(ｘ）の最大値をＭ、最小値をｍとするならば、
面積の関係から次の不等式が成り立ちます。
ｍｈ＜Ｓ(ｘ＋ｈ)−Ｓ(ｘ)＜Ｍｈ
これらをｈ＞０でわると、
ｍ＜{Ｓ(ｘ＋ｈ)−Ｓ(ｘ)}／ｈ＜Ｍ となります。
h→0の極限を考えたときに、ｍもＭも左端の値、
つまりｆ(ｘ）に近づくことから、
Ｓ'(ｘ)＝lim(h→0){Ｓ(ｘ＋ｈ)−Ｓ(ｘ)}／ｈ＝ｆ(ｘ)
が言えるわけです。
実に感覚的な話をすると、微分というのは、
少し幅(ｈ)を持たせておいて、
その幅を限りなく０に近づけた時にどうなるかという話です。
ですから、面積を微分すると上の図の赤いラインになるのです。
また、積分というのは連続的に足していくのだという感覚で話をするならば、
赤いラインを徐々に足していくと、面積になるというわけです。
（直線には幅がなく、それをいくら足しても面積は０だと言われそうですが、
そこはご勘弁。極めて感覚的に話をしていますので・・・。）
さて、円の話をしましょう。
半径ｒの円の面積をＳ(ｒ)としましょう。
Ｓ(ｒ)＝πｒ２はよくご存じですよね。
これを微分すると、Ｓ'(ｒ)＝２πｒとなり、これは外周の長さです。
先程と同じように考えると、
導関数の定義より、
Ｓ'(ｒ)＝lim(h→0){Ｓ(ｒ＋ｈ)−Ｓ(ｒ)}／ｈ
ここで、Ｓ(ｒ＋ｈ)−Ｓ(ｒ)の図形的意味を考えると、
左の図の水色の部分になります。
このド−ナツ部分の面積は、
外側の外周の長さを１辺とし、
もう１辺をｈとする長方形よりは小さいけれど、
内側の外周の長さを１辺とし、
もう１辺をｈとする長方形よりは大きいわけです。
ですから、次の不等式が成り立ちます。
２πｒｈ＜Ｓ(ｒ＋ｈ)−Ｓ(ｒ)＜２π(ｒ＋ｈ)ｈ
これらをｈ＞０でわると、
２πｒ＜{Ｓ(ｒ＋ｈ)−Ｓ(ｒ)}／ｈ＜２π(ｒ＋ｈ)
h→0の極限を考えたときに、
外側の半径もｒに近づくわけですから、
Ｓ'(ｒ)＝lim(h→0){Ｓ(ｒ＋ｈ)−Ｓ(ｒ)}／ｈ＝２πｒ
が言えるわけです。
先程と同じに感覚的な話をすると、 円の面積、ｒをほんの少し(ｈ)増やして、 その幅(ｈ)を限りなく０に近ずけると円周の長さになるのです。
積分でみれば、円の半径ｒを少しずつ増やしながら、
円周の長さを足していくと面積になるのです。
球の体積についても、同じように説明できると思います。
半径ｒの球の体積をＶ(ｒ)とすると、
Ｖ(ｒ)＝(４／３)πｒ３
これを微分すると、
Ｖ'(ｒ)＝４πｒ２となり、
これは半径ｒの球の表面積を与える式となります。
微分で考えると、球の体積、ｒをほんの少し(ｈ)増やして、 その幅(ｈ)を限りなく０に近ずけると表面積になるのです。
積分で言えば、円の半径ｒを少しずつ増やしながら、
表面積を足していくと体積になるのです。
NO.117 6/5 ヴァー 円に関する微分（６）
「円に関する微分」に対する意見ですが、
この考え方はいろいろな図形に応用できますね。
ここでは例として、
(1)長方形
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たて「a」横「b」の長方形の面積「S」は S=ab です。 右の図のように座標軸「a」「b」を取っておくと微分すると言う意味がわかりやすいと思います。 |
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このSを「aの関数」だと思って「aで微分」すると、 dS/da = b
となり、これは横の長さを表します。 |
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またSを「bの関数」だと思って「bで微分」すると、 dS/db = a
となり、これは縦の長さを表します。 |
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底面の円の半径「r」、高さ「h」の円柱の体積「V」は V=πr2h です。 h軸とr軸は右の図のように取っておきましょう。 |
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この体積を「rの関数」だと思って「rで微分」すると、 dV/dr = 2πrh
となり、これは円柱の側面積を表します。 |
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またVを「hの関数」だと思って「hで微分」すると、 dV/dh = πr2
となり、これは円柱の底面積を表します。 |
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底面積「S」、高さ「h」の円すいの体積「V」は V= Sh/3
です。 dV/dh = S/3
になります。 |
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NO.118 6/6 Junko ４桁の問題（２）
３桁については、いろいろやってみると必ず最後は「４９５」に
たどりつくようです。これを示します。
３桁の数字を大きい順に並べ替えた状態で「ａｂｃ」と表記されていたとします。
（ａ≧ｂ≧ｃ、ただしａ＝ｂ＝ｃは除く）
「ａｂｃ」−「ｃｂａ」 ＝(１００ａ＋１０ｂ＋ｃ)−(１００ｃ＋１０ｂ＋ａ) ＝９９(ａ−ｃ)ここで、ａ−ｃ＝ｋとおくと、
「９(９−ｋ)ｋ」−「ｋ(９−ｋ)９」
＝{９００＋１０(９−ｋ)＋ｋ}−{１００ｋ＋１０(９−ｋ)＋９}
＝９９(９−ｋ)
ｋ＝０，１，２，３，４ですから、具体的には、
「９(９−ｌ)ｌ」−「ｌ(９−ｌ)９」
＝{９００＋１０(９−ｌ)＋ｌ}−{１００ｌ＋１０(９−ｌ)＋９}
＝９９(９−ｌ)
ｌ＝１，２，３，４ですから、具体的には、
「９(９−ｍ)ｍ」−「ｍ(９−ｍ)９」
＝{９００＋１０(９−ｍ)＋ｍ}−{１００ｍ＋１０(９−ｍ)＋９}
＝９９(９−ｍ)
ｍ＝２，３，４ですから、具体的には、
「９(９−ｎ)ｎ」−「ｎ(９−ｎ)９」
＝{９００＋１０(９−ｎ)＋ｎ}−{１００ｎ＋１０(９−ｎ)＋９}
＝９９(９−ｎ)
ｎ＝３，４ですから、具体的には、
９５４−４５９ ＝４５９となり、たかだか６回の操作ですべて「４５９」に帰着します。
２桁については、最後はサイクリックになるようです。
これを示します。
２桁の数字を大きい順に並べ替えた状態で「ａｂ」と表記されていたとします。
（ａ＞ｂ）
「ａｂ」−「ｂａ」 ＝(１０ａ＋ｂ)−(１０ｂ＋ａ) ＝９(ａ−ｂ)ここで、ａ−ｂ＝ｋとおくと、
「(９−ｋ)ｋ」−「ｋ(９−ｋ)」
＝{１０(９−ｋ)＋ｋ}−{１０ｋ＋(９−ｋ)}
＝９(９−２ｋ)
９−２ｋ＝ｌと置き直すと、ｋ＝０，１，２，３，４より、
ｌ＝９，７，５，３，１となり、具体的には
４桁については、６１７４に帰着し、
カプリカ数というのだそうですが、よくわかりません。
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