コロキウム室

水の流れさんが、ＨＰの「美しい数学の話」第２７話の中で回転体の表面積に関する話題を 提供されています。それによると、

定理：曲線ｙ＝ｆ(ｘ)をｘ軸のまわりに回転してできる立体の側面積は、下の式で表される。

pを素数、aとbは互いに素な自然数とするとき(a+bi)^pは実数にならないこと を何通りかの方法で証明して下さい。

c≡(a+bi)^p (mod a)とおく。
(a+bi)^pが実数と仮定すると c は実数

一方

c	≡(a+bi)p (mod a)
	≡(bi)p (mod a)
	≡(±bp)i (mod a) (∵pは奇素数）
	≠0 (∵(a,b)=1)

より c は実数でない。

三角数の数列：１，３，６，１０，１５，２１，２８，３６，４５，５５，６６，７８，９１，・・・ を自然数ｎで割ったときの余りを考える。
この余りの中に、ｎ個の整数　０，１，２，３，・・・、（ｎー１） のすべてが現れるのは、ｎがどのような値のときか。すべてのｎを求めてください。

プログラムを組んで、周期の位数と問題を推理してみました。
　　 ｎ＝2^m m:自然数

REM 三角数の法Ｎの剰余の周期と性質
OPTION BASE 0
LET  Z1=11   
LET  Z=2^Z1  ! 周期の位数の上限
DIM A(Z*2)
DIM B(Z)
REM 三角数の数列の生成
FOR I=1 TO Z*2
   LET  A(I)=(I*(I+1))/2
NEXT I
FOR I=2 TO Z
   FOR K=0 TO Z
      LET  B(K)=0
   NEXT K
   FOR J=1 TO Z
      LET  X=REMAINDER(A(J),I)
      LET  B(X)=1
   NEXT J
   LET  F=0
   FOR K=0 TO I-1
      IF B(K)=0 THEN
         LET  F=1
         EXIT FOR
      END IF
   NEXT K
   REM 条件を満たしているかの判定
   IF F=0 THEN
      PRINT I;
   END IF
NEXT I
END

第５９回数学的な応募問題

太郎さんの学校では、年に３回教室の床にワックスをかけて綺麗に磨きます。 そこで、机を廊下に移動して並べることになります。 廊下の左端から順に１列に、机を２段に積み上げます。 作業の効率を考えて、いつも太郎さんは、 左端から詰めながら、下段に机を置いてから上段に置きます。 ここで、生徒の椅子はないと考え、机は同じ物としてください。 （実際のワックスがけのときは、机と椅子を一緒に重ねて置きます。） また、机の数は２ｎ個があり、奇数個ではありません。

ここで、問題です。

問題１：
この机の積み方は一体何通りあるでしょう。 机が２個、４個、６個、・・・と考えて,下の参考図をみて実際に積んでみてください。

問題２：
もし３段積みにして、左端から詰めながら、下段に机を置いてから中段に、そして上段に置きます。 机は３ｎ個として、このような積み方は一体何通りあるでしょう。

理系への数学１０月本を読んでいたら、

イギリスとアメリカの出版社が ゴールドバッハの予想が解けたら１億円（正確には１００万ドル）の懸賞金を ２０００年３月にかけたと書いてありました。
　ケンブリッジ大学教授でフィールズ賞受賞者のアラン・ベーカーさんが 「ゴールドバッハの予想は証明されるかもしれない」と語ったと ニューヨーク・タイムスの記事にあります。とね。
　皆さんは、ゴールドバッハの予想は何であったかご存じの方も多いでしょう。
「４以上の任意の偶数は２個の素数の和となっている」という予想です。
　さらに、当然かもしれませんが、ゴールドバッハの予想はリーマン予想とも 関連があります。
　例えば、1997年に、「一般のリーマン予想」（代数体についてのリーマン予想にあたる） を仮定すると、７以上の任意の奇数が３個の素数の和として表されることが証明されて いるようです。ゴールドバッハの予想が正しければ当然これも正しくなるので、 是非ともはっきりさせたい大切な予想でした。
　反例探しにもつながるコンピュ−タによる計算も進められており、 ４００兆以下の偶数については確認済みだといいます。

昨日「イギリスとアメリカの出版社がゴールドバッハの予想が解けたら１億円 （正確には１００万ドル）の懸賞金を２０００年３月にかけた」と載せましたが、 理系への数学１０月号をよく読んでみると、対象者がアメリカかイギリスの国籍を有する人 と書いてあることを書き忘れました。 さらに、期限（２年？）つきだそうです。追加しておきます。

昔私が読んだ本で面白い問題があったのを思い出したので紹介します。

2つのツボがあります
黒い石と白い石がそれぞれ100個ずつ、混ざって入っています （ツボには100個ずつと言うわけではありません）
私はツボの中身の石をを自由に移動させる事ができ、 移動した後で目隠しをされ、ツボをシャッフルされます。 （この時ツボの中にかならず石が入っているように移動します）
その後好きな方のツボを選びツボの中の石を１つ取ります。 私は白を選びたいのですが、あなたならどのように ツボの中の石を移動しますか？

1999年２月号の数学セミナーにゴールドバッハの予想の原稿がありましたので、 ここから引用します。（一部前の原稿と整合性を持たせてあります）

ゴールドバッハ(1690〜1764)の予想について、歴史的な事を書きます。 1742年６月７日付けのオイラーへの手紙の中で、ゴールドバッハが述べた観察が、 後に『ゴールドバッハ予想』と呼ばれるようになった問題であり、 それは20世紀末に近い今日もなお、完全に解決されていない難問の１つである。

・・・任意の整数は２つの素数の和として表され、いくらでも多くの素数の和として表されるから、 ２より大きい整数は３つの素数の和として表される・・・

ただ、この時代は１も素数の１つとして考えていたのです。
６＝３＋３、６＝５＋１，６＝１＋１＋１＋１＋１＋１、６＝２＋２＋２、 ６＝３＋２＋１のように表していた。
９＝７＋２、９＝３＋３＋３、９＝５＋２＋２のようです。
これに対して、オイラーは、同年６月30日付けの返書の中で、 「４以上の任意の偶数は２個の素数の和となっている」が正しいなら、 ７以上の任意の奇数が３個の素数の和として表されることを証明が書きてありました。
それによると、「２ｎ＋１＝２（ｎー１）＋３から明らかであろう」とね。 今では、素数として１を認めないので、ゴールドバッハの予想を次のように述べ直しています。

�@　６以上の任意の偶数は、２個の奇素数の和として表される。
�A　９以上の任意の奇数は、３個の奇素数の和として表される。

そこで、�@ならば�Aであるから、�@を証明すれば良いのですが、歴史の流れはその逆で、 �Aの研究とその成功、そして�@への応用と未完成というのが現状です。
ゴールドバッハと同じように観察した人達は他にもいます。 デカルトも「整数は１個か２個、または３個の素数の和である」ことに気づいているし、 「ウェアリング」も、彼の著書（1770年）の中に�@と�Aについて述べている。 リュカも1891年の著書の中にも書いてあります。
オイラー以降、多くの数学者がゴールドバッハ予想に興味を引かれ考察を重ねて行ったが、 そのほとんどが数値的な実験、すなわち、かなり大きな数についてまで予想が正しいこと を検証するにしか達していなかった。
たとえば、カントールなどの素数表を作り、 1000以下の偶数について�@を検証(1894〜1895)しています。 続きは、次ぎにします。

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