Weekend Mathematics／問題／問題96



９６．四角形の面積

たて4cm、横6cmの長方形ＡＢＣＤがあります。 図のように、それぞれに辺の上に点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈをとり、 Ｈ、Ｆを結んだ線の上に点Ｐをとり、Ｅ、Ｇと結びます。



四角形ＡＥＰＨの面積が5cm2のとき、 四角形ＰＦＣＧの面積を求めなさい。




問題の出典


算数オリンピックに挑戦
'00〜'03年度版
算数オリンピック委員会編
2000年第9回算数オリンピックトライアル問題




答えと解説





答えと解説

解答・その1

（ペンネ−ム：米ぽん）

関数（座標）で考えました。もっといい方法があると思うですが・・・・。

Bを座標原点として、線分HF上の点PをP(x,y)とする。
直線HFを一次関数として、P(x,y)は、

　　　　y=-2x+8 ・・・・・・・・・（１）

また、四角形ABFH=(2+4)*4/2=12、四角形AEPH=5より、
四角形EBFP=四角形ABFH-四角形AEPH=12-5=7

点Pから線分BCへおろした垂線と線分BCとの交点をQとして、
四角形EBFP=四角形EBQP+三角形PQF=(1+y)x/2+(4-x)y/2=7

これをまとめると、

　　　　x+4y=14　・・・・・・・・（2）

（1）（2）から、

　　　　点P（x,y）=(18/7 , 20/7)　・・・・・・・（3）

三角形HPD=(4*(4-20/7))/2=16/7
三角形DPG=(1*(6-18/7))/2=12/7

四角形PFCG=四角形FCDH-三角形HPD-三角形DPG

四角形FCDHは、

　　　　四角形FCDH=(2+4)*4/2=12

よって、四角形PFCGは、

　　　　四角形PFCG=四角形FCDH-三角形HPD-三角形DPG=12-16/7-12/7=8

答えは8ｃｍ２




解答・その2

（ペンネ−ム：内海　育）

（答）8cm2

（過程）点Ｐを通り長方形の辺に平行な線とＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡとの交点をＱ， Ｒ，Ｓ，Ｔとし、ＰＱ＝ａ[cm]，ＰＴ＝ｂ[cm]，四角形ＰＦＣＧの面積=ｘ[cm2]と置 く。
題意より (3a+2b)/2=5。∴3a+2b=10
ｘ={3(6-a)+2(4-b)}/2={26-(3a+2b)}/2=8







解答・その3

（ペンネ−ム：＜匿名＞）

AEPH面積＝三角面積AHE+三角面積EPH
三角面積AHE＝3
三角面積EPH＝2
EとGからそれぞれHFに垂足する線　ER、GQを作る
ER長さ=GQ長さ
三角面積EPH＝三角面積GPH＝2
PFCG面積＝CDHF面積−三角面積DGH−三角面積GPH＝12―2−2＝8　







解答・その4

（ペンネ−ム： 浜田　明巳）

解答その１．
　次のVISUAL BASICのプログラムにより，面積は８cm２であることが解ります．



Option Explicit
Sub Form_Load()
    Dim waku As Double
    waku = 1
    Picture1.Scale (-waku, 5 + waku)-(6 + waku, -1 - waku)
    Picture1.BackColor = vbWhite
    Picture2.BackColor = vbWhite
    Picture2.Picture = LoadPicture("gazou96a.gif")
    Picture3.BackColor = vbWhite
End Sub
Sub Command1_Click()
    Dim Ax As Double
    Dim Ay As Double
    Dim Bx As Double
    Dim By As Double
    Dim Cx As Double
    Dim Cy As Double
    Dim Dx As Double
    Dim Dy As Double
    Dim Ex As Double
    Dim Ey As Double
    Dim Fx As Double
    Dim Fy As Double
    Dim Gx As Double
    Dim Gy As Double
    Dim Hx As Double
    Dim Hy As Double
    Dim Px As Double
    Dim Py As Double
    Dim Pxx As Double
    Dim Pyy As Double
    Dim Px_min As Double
    Dim Px_max As Double
    Dim Px_min0 As Double
    Dim Px_max0 As Double
    Dim kizami As Double
    Dim menseki As Double
    Dim a(1) As Double
    Dim b(1) As Double
    Dim c(1) As Double
    Dim h(1) As Double
    Dim HE As Double
    Dim GF As Double
    Dim PFCG As Double
    Dim sa As Double
    Dim min As Double
    Dim dankai As Integer
    Dim j As Integer
    '
    Ax = 0
    Ay = 4
    Bx = 0
    By = 0
    Cx = 6
    Cy = 0
    Dx = Cx
    Dy = Ay
    Ex = 0
    Ey = Ay - 3
    Fx = 4
    Fy = 0
    Gx = Dx
    Gy = Dy - 1
    Hx = 2
    Hy = Ay
    HE = Sqr((Ex - Hx) * (Ex - Hx) + (Ey - Hy) * (Ey - Hy))
    GF = Sqr((Fx - Gx) * (Fx - Gx) + (Fy - Gy) * (Fy - Gy))
    Px_min0 = Hx
    Px_max0 = Fx
    'HE:y=(Ey-Hy)/(Ex-Hx)*(x-Hx)+Hy -> a0*x+b0*y+c0=0
    a(0) = Hy - Ey
    b(0) = Ex - Hx
    c(0) = Hx * Ey - Ex * Hy
    'GF:y=(Fy-Gy)/(Fx-Gx)*(x-Gx)+Gy -> a1*x+b1*y+c1=0
    a(1) = Gy - Fy
    b(1) = Fx - Gx
    c(1) = Gx * Fy - Fx * Gy
    kizami = 0.1
    min = 10000
    For dankai = 1 To 14
      If dankai = 1 Then
        Px_min = Px_min0
        Px_max = Px_max0
      Else
        Px_min = max2(Pxx - kizami, Px_min0)
        Px_max = min2(Pxx + kizami, Px_max0)
        kizami = kizami * 0.1
      End If
      For Px = Px_min To Px_max Step kizami
        Py = (Fy - Hy) / (Fx - Hx) * (Px - Hx) + Hy
        For j = 0 To 1
          h(j) = Abs(a(j) * Px + b(j) * Py + c(j)) / Sqr(a(j) * a(j) + b(j) * b(j))
        Next j
        sa = Abs(0.5 * (Hx - Ax) * (Ay - Ey) + 0.5 * HE * h(0) - 5)
        If min > sa Then
          min = sa
          Pxx = Px
          Pyy = Py
          PFCG = 0.5 * (Cx - Fx) * (Gy - Cy) + 0.5 * GF * h(1)
          Picture3.Cls
          Picture3.Print "四角形PFCG="; PFCG; "cm2(?), ｜四角形AEPH-5｜="; min
        End If
        Picture1.Cls
        Picture1.Line (Ex, Ey)-(Pxx, Pyy), vbGreen
        Picture1.Line -(Gx, Gy), vbGreen
        Picture1.Line (Ax, Ay)-(Bx, By), vbBlack
        Picture1.Line -(Cx, Cy), vbBlack
        Picture1.Line -(Dx, Dy), vbBlack
        Picture1.Line -(Ax, Ay), vbBlack
        Picture1.Line (Hx, Hy)-(Fx, Fy), vbBlue
        Picture1.Line (Ex, Ey)-(Px, Py), vbBlue
        Picture1.Line -(Gx, Gy), vbBlue
        Picture1.CurrentX = Ax
        Picture1.CurrentY = Ay
        Picture1.Print "A"
        Picture1.CurrentX = Bx
        Picture1.CurrentY = By
        Picture1.Print "B"
        Picture1.CurrentX = Cx
        Picture1.CurrentY = Cy
        Picture1.Print "C"
        Picture1.CurrentX = Dx
        Picture1.CurrentY = Dy
        Picture1.Print "D"
        Picture1.CurrentX = Ex
        Picture1.CurrentY = Ey
        Picture1.Print "E"
        Picture1.CurrentX = Fx
        Picture1.CurrentY = Fy
        Picture1.Print "F"
        Picture1.CurrentX = Gx
        Picture1.CurrentY = Gy
        Picture1.Print "G"
        Picture1.CurrentX = Hx
        Picture1.CurrentY = Hy
        Picture1.Print "H"
        Picture1.CurrentX = Px
        Picture1.CurrentY = Py
        Picture1.Print "P"
      Next Px
    Next dankai
    Picture3.Cls
    Picture3.Print "四角形PFCG="; PFCG; "cm2, ｜四角形AEPH-5｜="; min
    Picture1.Cls
    Picture1.Line (Ax, Ay)-(Bx, By), vbBlack
    Picture1.Line -(Cx, Cy), vbBlack
    Picture1.Line -(Dx, Dy), vbBlack
    Picture1.Line -(Ax, Ay), vbBlack
    Picture1.Line (Hx, Hy)-(Fx, Fy), vbBlue
    Picture1.Line (Ex, Ey)-(Pxx, Pyy), vbBlue
    Picture1.Line -(Gx, Gy), vbBlue
    Picture1.CurrentX = Ax
    Picture1.CurrentY = Ay
    Picture1.Print "A"
    Picture1.CurrentX = Bx
    Picture1.CurrentY = By
    Picture1.Print "B"
    Picture1.CurrentX = Cx
    Picture1.CurrentY = Cy
    Picture1.Print "C"
    Picture1.CurrentX = Dx
    Picture1.CurrentY = Dy
    Picture1.Print "D"
    Picture1.CurrentX = Ex
    Picture1.CurrentY = Ey
    Picture1.Print "E"
    Picture1.CurrentX = Fx
    Picture1.CurrentY = Fy
    Picture1.Print "F"
    Picture1.CurrentX = Gx
    Picture1.CurrentY = Gy
    Picture1.Print "G"
    Picture1.CurrentX = Hx
    Picture1.CurrentY = Hy
    Picture1.Print "H"
    Picture1.CurrentX = Pxx
    Picture1.CurrentY = Pyy
    Picture1.Print "P"
End Sub
Sub Command2_Click()
    Unload Me
End Sub
Private Function min2(ByVal x As Double, ByVal y As Double) As Double
    If x < y Then
      min2 = x
    Else
      min2 = y
    End If
End Function
Private Function max2(ByVal x As Double, ByVal y As Double) As Double
    If x > y Then
      max2 = x
    Else
      max2 = y
    End If
End Function

解答その２．

　GRAPESで作図して面積８cm２を求めました．ポイントは，点の座標の計算をすべてダミー点上でやっていることでしょうか．



f(x)=(E.y-H.y)/(E.x-H.x)*(x-I.x)+I.y
P(S.y-R.y)/(R.x-S.x), R.x*P.x+R.y)
Q(5-.5*2*3, Q.x*2/len(H,E), Q.y/3*len(H,E))
　Q.x:△PHE, Q.y:PからHEに降ろした垂線の長さ, Q.r:HI
R((F.y-H.y)/(F.x-H.x), R.x*(-H.x)+H.y)
　直線HFの係数を表す:y=a*x+b, a=R.x, b=R.y
S((E.y-H.y)/(E.x-H.x), S.x*(-I.x)+I.y)
　Iを通り,HEに平行な直線の係数を表す:y=c*x+d, c=S.x, d=S.y
T(-0.71, 6.41)
　答を表示する点:四角形PFCG=!{.5*(C.x-F.x)*(G.y-C.y)+.5*len(G,F)*M.r}cm2
A(0, 4)
B(0, 0)
C(6, 0)
D(6, 4)
E(0, 1)
F(4, 0)
G(6, 3)
H(2, 4)
I(2+Q.r, 4)
M((F.y-G.y)/(F.x-G.x), M.x*(-G.x)+G.y, abs(-M.x*P.x+1*P.y-M.y)/Sqrt((-M.x)*(-M.x)+1*1))
　直線GFの係数を表す:y=a*x+b, a=M.x, b=M.y

解答その３．
　私が一番やってはいけない算数で解きました．
　まず問題の条件から，△ＡＥＨ，△ＢＦＥ，△ＣＧＦ，△ＤＨＧの面積を求めます．



　次に，四角形ＡＥＰＨの面積が５であることから，△ＨＥＰの面積を求めます．



　ＨＦによって，この長方形ＡＢＣＤは二等分されており，△ＨＧＦと△ＦＥＨは合同なので，台形ＨＦＣＤ，△ＨＧＦの面積が求められます．



　△ＨＧＰと△ＨＥＰの面積は等しいので，△ＰＧＦの面積が求められます．



　故に四角形ＰＦＣＧの面積は８cm２です．




解答・その5

（ペンネ−ム：小学名探偵）

答え　８平方センチメートル

長方形ＡＢＣＤの対角にある直角△ＡＥＨ≡△ＣＧＦ、
よって四角形ＥＦＧＨは平行四辺形、
対角線ＨＦは長方形ＡＢＣＤの中心を通り、それを２等分します。

△ＥＰＨ＝四角形ＡＥＰＨ−△ＡＥＨ＝５−３＝２

台形ＡＢＦＨ＝長方形ＡＢＣＤ÷２＝２４÷２＝１２

△ＥＦＨ＝台形ＡＢＦＨ−（△ＡＥＨ＋△ＢＥＦ）＝１２−（３＋２）＝７

△ＦＧＰ＝△ＥＦＰ＝△ＥＦＨ−△ＥＰＨ＝７−２＝５

四角形ＰＦＣＧ＝△ＦＧＰ＋△ＣＧＦ＝５＋３＝８（平方センチメートル）







解答・その6

（ペンネ−ム：ＦＩＶＥＩＬＡＮＤ）



長方形ＡＢＣＤの面積は６×４＝２４cm2

次に△ＥＦＨと△ＧＨＦについてＦＨ＝ＨＦ、ＥＦ＝ＧＨ（△ＢＦＥ≡△ＤＨＧ証明略）、 ＨＥ＝ＦＧ（△ＡＥＨ≡△ＣＧＦ証明略）
∴△ＥＦＨ≡△ＧＨＦ
これから△ＥＰＨ＝△ＧＨＰ、△ＥＦＰ＝△ＧＰＦ

□ＡＥＰＨの面積は５cm2だから△ＥＰＨの面積は５−３＝２cm2
△ＧＰＦ×２＝長方形ＡＢＣＤ（２４）−△ＡＥＨ（３）×２−△ＥＰＨ（２）×２−△ＤＨＧ（２）×２ △ＧＰＦ＝５cm2
□ＰＦＣＧ＝△ＧＰＦ（５）+△ＣＧＦ（３）＝８cm2

解答　８cm2



解答・その7

（ペンネ−ム：Mr.X）

EGとFHの交点をQと置く。
四角形AEQHの面積と四角形CFQGの面積の和は１３
(なぜなら、長方形全体の」面積は２４。 長方形から角の４枚の直角三角形を 除いて平行四辺形ＥＦＧＨができます。 その面積は
２４−２×２×３/２−２×１×４/２＝１４
四角形AEQHの面積と四角形CFQGの面積の和は
２×２×３/２＋１４/２＝１３)

HQの延長上にPQ=QRである点Rをとると
四角形AEPHの面積と四角形CFPGの面積の和も
四角形AEQHの面積と四角形CFQGの面積の
それぞれに平行四辺形EPGRの４分の１を削除、
追加したものの和であり、１３
従って、四角形CFPGの面積＝８

正調で解答！！







　

解答・その8

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え　　８cm２です



図の点の説明
点Pは対角線HF上の任意のとする。点Qは対角線HFの中間点です。
点Rは対角線EGに対して点Pから垂直に下した点です。
従って∠PRE=∠PRG＝９０°（直角）です。

□HEFG（平行四辺形）について
対角線HFを引くと△HEFと△HFGは合同で面積が同じです
対角線の中間に点Qがあった場合△EQH＝△FQGである。
任意の点Pにした時、△EQP＝△GQPの面積が等しいことを証明します。
点Pから対角線EGに垂直に線PRを引く、
底辺はEQ=GQ　高さはPRで同じです、従って面積も同じです
三角形の面積は底辺×高さ÷２なので、両三角形の面積を計算して見ます。
点Pを移動することで△EQPの増減した面積は△FQGに増減しますので
常に△EPH+△FPGは同じです。
△EPH+△FPG＝□EFGH／２となります。

面積を計算します
□ABCDの面積＝４×６＝２４cm２
△ＡＨＥ＋△ＣＦＧ＋△EBF＋△GDH＝（３×２÷２＋４×１÷２）×２＝１０cm２
□EFGH＝２４−１０＝１４cm２　　△HPE+△FPG=１４cm２／２＝７cm２
△HPE＝□AEPH５cm２―△AEH３cm２＝２cm２
△FPG=７cm２―２cm２＝５cm２
求める□FCGP=△FCG３cm２＋△FPG５cm２＝８cm２




解答・その9

（ペンネ−ム：巷の夢）

まずE,F,G,Hの四点を結ぶと、△AEH≡△GCF、△EBF≡△GDHよりこの四角形は平行四辺形になります。又、HFは対角線ですから、この線上ならPをどこにとろうが△PEHと△GPFの和は一定、即ちこの平行四辺形の面積の半分となります。ところで、この平行四辺形の面積は長方形ABCDの面積から四つの三角形、△AEH、△GCF、△EBF及び△GDHの面積を加えたものを引いたものになるため、 平行四辺形EFGH＝24−(3+3+2+2)=14　となり、この面積の半分ですから７となります。
又、四角形AEPHの面積は５ですから、△EPHの面積は△AEHの面積３を引いた２となります。因って、△FGPの面積は５となり△FCGの面積３を加えた８が四角形PFCGの面積となります。 以上より求めるものは８cm2となります。







解答・その10

（ペンネ−ム：ｋ９）

ＥＦ、ＦＧ、ＧＨ、ＨＥを結ぶと、
△ＥＰＨ＝２cm２
△ＥＦＰ＝５cm２
となる。
ＥからＦＨへの垂線の長さとＧからＦＨへの垂線の長さは等しいから、
△ＧＦＰ＝△ＥＦＰ＝５cm２
△ＧＦＣ＝３cm２だから、
四角形ＰＦＣＧの面積は、８cm２







解答・その11

（ペンネ−ム：mhayashi）

答え：
三角形ＡＥＨ＝３cm2より三角形ＰＥＨ＝２cm2
三角形ＥＢＦ＝２cm2より三角形ＰＥＦ＝５cm2
四角形ＥＦＧＨは平行四辺形なので三角形ＰＦＧ＝５cm2
三角形ＣＦＧ＝３cm2より四角形ＰＦＣＧ＝８cm2







解答・その12

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

答は、８cm2 です。



長方形ＡＢＣＤの面積は、４×６＝２４ です。
ＨＦで、この長方形は、合同な２つの台形に分かれます。（台形の面積は１２）
元の長方形の角を含む三角形の面積は、簡単に求まります。（３と２）
順にＥＦＧＨを結ぶと、平行四辺形になります。（面積は、２４−２×（３＋２）＝１４）
平行四辺形は、向かい合う辺の長さが等しいので、△ＥＦＨと△ＧＨＦは合同です。
（それぞれの面積は、７）
それぞれの三角形の底辺をＦＨと考えると、面積が等しいので高さも等しくなります。
（高さは、ＥからＦＨにおろした垂線、ＧからＦＨにおろした垂線）
△ＥＦＨを頂点Ｅと底辺ＦＨ上の点Ｐとを結んで２つに分けるとそれぞれの三角形の面積は底辺の長さに比例します。
△ＡＥＰＨの面積が５になるためには、△ＥＰＨの面積が２であれば良いことになります。
△ＥＦＨの面積は７なので、ＨＦを２：５に内分する点がＰであれば良いことになります。
△ＧＨＦもＧＰで２つの三角形に分かれますが、面積は底辺の長さに比例します。

△ＰＦＣＧの面積は、△ＰＦＧと△ＦＣＧの和なので８となります。




解答・その13

（ペンネ−ム：やんま）

E、Gを結びHFとの交点をQとする。
FH上でFから長さHPと等しい点をRとする。
EとR、GとRを結ぶ。
EとF、FとG、GとHを結ぶ。

HからBCに垂線をおろし、その足をIとする。
QからBCに垂線をおろし、その足をJとする。
PからEHに垂線をおろし、その足をSとする。
FからEHに垂線をおろし、その足をTとする。
PからFGに垂線をおろし、その足をUとする。

他の点は問題と同様。
Sxxx、Sxxxxは添え字を結んだ三角形または四角形の面積とする。
四辺形EFGHとERGPは平行四辺形である。（証明略）

解答１
問題の面積SPFCGはSPFCG＝SPFG＋SGFC
SGFC ＝２×３÷２＝３(cm2)であるからSPFGの面積が計算できればよい。
SPFG＝
　　　

題意によりSAEPHは５cm2であり、SGFC＝SAEHであるからSEPHは

　　　SEPH = SAEPH −SAEH =5−3=２(cm2)

　　　

また　

ここで　　と置き、

　　　

この連立方程式を解くと

　　　

∴　四角形PFCGの面積は
　　　SPFCG＝SPFG＋SGFC＝５＋３＝８(cm2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　８　(cm2)

解答２
問題の面積SPFCGはSPFCG＝SPFG＋SGFC
SGFC ＝２×３÷２＝３(cm2)であるからSPFGの面積が計算できればよい。
SPFG＝
　　　

題意によりSAEPHは５cm2であり、SGFC＝SAEHであるからSEPHは

　　　SEPH = SAEPH −SAEH =5−3=２(cm2)

　　　

またSBFEは２(cm2)でありSABFHはSABFHの半分即ち１２(cm2)である。
∴　SEFH = SABFH −SAEH −SBFE =12−3−2=7 (cm2)



∴　四角形PFCGの面積は 　　　SPFCG＝SPFG＋SGFC＝５＋３＝８(cm2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　８　(cm2)

解答３（友人、竹内淳司氏の解）
△PEGと△REGに於いてEQ=GQであるから
SPEQ = SPGQ = SRGQ

Qは重心である。
∴QJ=２ (cm) 　BJ=3 (cm)
SPEQ ＝SPEBF −SQEBJ −SQJF
　　　＝(12−5)−4.5−１＝1.5 (cm2)
∴SPRG = 2SPEQ=3(cm2)
∴SPFCG = SPRG ＋SCGRF=3+5=8 (cm2)
答え　８　cm2



解答４
△HEGに於いてEQ=GQであるから
SHEQ = SHGQ
また△PEGに於いてもEQ=GQであるから
SPEQ = SPGQ
∴SHEP = SHGP
SHEP = SAEPH−SAEH =5−3=2 (cm2)
SDHG = 2 (cm2)
∴SPFCG = SFCDH −SHGP−SDHG=12−2−2=8 (cm2)
　　　　　　　　　　　　　　　　答え　８　cm2



解答５
SPEF＝SABFH −SAEPH−SEBF
SABFH＝12(cm2)、SAEPH ＝5 (cm2)、 SEBF =2 (cm2)
∴SPEF＝12−5−2＝5 (cm2)
EQ=GQ
∴SFEQ＝SFGQ、SPEQ＝SPGQ　
∴SPEF＝SPGF
∴SPFCG = SPGF ＋SCGF=5＋3=8 (cm2)
　　　答え　８　cm2







解答・その14

（ペンネ−ム：Toru）

EGを結んでHFとの交点をQとするとEQ=QGよりΔPEQ=ΔPQGだから点PをHF上で移動して も、四角形AEPHの面積と四角形PFCGの面積の和は一定。そこで例えばP=Hとしてこの 和を求めると

　　　　(四角形ABCD)×1/2＋ΔAEH−ΔHGD=12+3-2=13

よって(四角形PFCG)=13-5=8 答え　8 cm2







解答・その15

（ペンネ−ム：三角定規）

下図のようにEGとHFの交点をOとする。
四角形AEOHは <図１> のように分解できるから， 四角形AEOH＝2×2＋(2×1)/ 2＋(1×3)/ 2＝13 / 2
<図２> において EO＝GO だから △POE＝△POG。
故に，四角形AEPH＋四角形PFCG＝2×四角形AEOH＝13
よって，四角形AEPH＝5 のとき，四角形PFCG＝13−5＝8 [cm2] …［答］







解答・その16

（ペンネ−ム：高橋　道広）



右図のように長方形内に底辺が等しい２つの三角形を作ると、その三角形の面積の和は

　1/2×AE×AP+1/2×DG×PD=1/2×AE×AP+1/2×AE×PD=1/2×AE×(AP+PD)=1/2×AE×AD

となります。



この左右の三角形が右図のように等積変形されても面積の合計は変わりません。
さて　今回の問題は　PとA,Cを結ぶと　左右の赤い三角形が上に述べた状況に あり上下の青い三角形も同じ状況にあることがわかります。





よって　赤の三角形の面積の和は　1/2×3×6=9
　　　　青の三角形の面積の和は　1/2×2×4=4
合計13cm2ですから　求める面積は　9+4-5=8cm2　となります。





解答・その17

（ペンネ−ム：kirkland）

先生「あたたたっ、頭痛い。昨日は忘年会で飲み過ぎたよ。」
Ａ君「僕もおとそを飲み過ぎて頭痛いんですよ。」

先生「何か意味不明だな。12月なのか？１月なのか？」

Ａ君「冗談に決まってるじゃないですか！図を描きました。」

先生「何か図が間違ってない？点Ｐの位置がおかしいのでは」

Ａ君「そんなの気にしなくてもいいんですよ。描き直すのが 面倒なのでそのままいきましょう。」

先生「まあいいか。

　
Ａ君「Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈを結ぶんですよ。 まず、△ＡＥＨ＝△ＣＧＦ＝３cm２です。 それから、四角形ＥＦＧＨは平行四辺形になります。」

　
先生「いいんじゃないかい。」

　
Ａ君「で、Ｐを通ってＥＨと平行な直線を引いて、等積変形するわけですよ。 つまりＰＱとＥＨは平行なので△ＰＥＨ＝△ＱＥＨです。 同様に△ＰＦＧ＝△ＱＦＧなので、△ＰＥＨ＋△ＰＦＧ＝△ＱＥＨ＋△ＱＦＧとなって、 △ＱＥＨ＋△ＱＦＧは平行四辺形ＥＦＧＨの面積の半分ですよね。」
先生「で、平行四辺形の面積はどうやって求めるの？」

　
Ａ君「なめてもらっちゃ困りますねぇ。長方形ＡＢＣＤから、 四隅の直角三角形を引けばいいだけじゃないですか。
２４−２−２−３−３＝１４だから、
△ＱＥＨ＋△ＱＦＧ＝７cm２です。
あとはまぁ適当にやると、四角形ＰＦＣＧ＝８cm２ですか？」

　
先生「頭がはたらいてないので、細かい計算ができないけど、 考え方はそんな感じでいいんじゃない。 今晩も忘年会があって忙しいから今日はここまで！」

Ａ君「またまた、いい加減な話ですねぇ。 頼みますから、来年こそはマジメに教えて下さいよ！ では、今月はギャグなしで終わりましょう。」






解答・その18

（ペンネ−ム：佐野允信）



点E,Gから線分HFにおろした垂線の足をそれぞれL,Mとする。

　　四角形ABFH＝四角形FCDH=12(cm2)
　　△AEH=△FCG=3(cm2)
　　△EBF=△GDH=2(cm2)

より、

　　△EFH=△FGH=7(cm2)

よって、

　　EL=GM



EL=GMより、

　　△EPH=△HPG

四角形AEPH=5(cm2)、かつ△AEH=3(cm2)　より

　　△EPH=2(cm2)

よって、

　　△HPG=2(cm2)

四角形FCDH=12(cm2)、かつ△GDH=2(cm2)　より

　　四角形PFCG=12ｰ2-2=8(cm2)　（答）




正解者

夜ふかしのつらいおじさん Toru 杖のおじさん
浜田　明巳 巷の夢 ｋ９
Mr.X 高橋　道広 米ぽん
＜匿名＞ ＦＩＶＥＩＬＡＮＤ 三角定規
小学名探偵 内海　育 やんま
kirkland mhayashi 佐野允信





まとめ

2004年、最後の問題にもたくさんの解答をお寄せいただきどうもありがとうございました。 補助線として、EFGHをつなぐとこれが平行四辺形になるということを利用した解答が多かったのですが、 それ以外にもいろいろユニークな解法をいただき、感謝しております。 本当にいろいろな解法があるものだと感心いたします。
三角形の面積は、

　　　　Ｓ＝（底辺）×（高さ）÷２

で求めることができます。従って、下図のように平行線の一方に三角形の底辺（BC)があり、もう一方の直線上に頂点Aがある場合、点Aが直線上のどこにあっても三角形の面積は等しくなります。あたりまえといえば、あたりまえですが、この性質をうまく使うと今回の問題はあっさり解くことができますね。





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