Weekend Mathematics／問題／問題93



９３．おうぎ形の面積

　下の図のような、半径が20cm、中心角が144°のおうぎ形があります。 点エ、オ、カ、キ、ク、ケ、コは、おうぎ形の弧イウ（曲線の部分イウ）を ８等分する点です。このとき、斜線部分の面積の和を求めなさい。 ただし、円周率は3.14とします。






問題の出典


算数オリンピックに挑戦
'00〜'03年度版
算数オリンピック委員会編
2001年第10回算数オリンピックトライアル問題




答えと解説





答えと解説

解答・その1

（ペンネ−ム：teki）



答え　２５１.２ｃｍ２　　　（半円の面積の２/５）

解法　勘です(^^;;




解答・その2

（ペンネ−ム：Mr.X）

ドーム（イ、キ、ウ）−ドーム（エ、キ、コ）＋ドーム（オ、キ、ケ）
　　　−ドーム（カ、キ、ク）
＝４００π（144/360-108/360+78/360-36/360）
　　　−２００（sin144°-sin108°+sin72°-sin36°）
＝８０π
＝２５１.２cm2





　

解答・その3

（ペンネ−ム：yokodon）

［解法１］高校以上の範囲の知識を用いるやり方

　半径 r 、中心角θの弓形（扇形から、その円弧部分の両端と半径２つを結んで出 来る２等辺三角形を除いた図形）の面積は

　　1/2・r2・(θ - sinθ)

で与えられます（導出は容易だと思うので、省略します）。これを用いると、求める図形の面積 S は、以下のように表現できます（単位：cm2）。

　　S ＝ {1/2・202・(2π/5 - sin(2π/5)) - 1/2・202・(π/5 - sin(π/5))} + {1/2・202・(4π/5 - sin(4π/5)) - 1/2・202・(3π/5 - sin(3π/5))}

　いずれも、大きな弓形の面積から小さい弓形の面積を引いたものです。ところで、

　　sin(2π/5) ＝ sin(3π/5) 、sin(π/5) ＝ sin(4π/5)

ですから、これを用いて

S ＝ 1/2・202・{(2π/5 - π/5) + (4π/5 - 3π/5)}
＝ 202・π/5
＝ 80π (cm2)　・・・(答)


・・・となります。数値計算すると S ≒ 251.2 (cm2) です。

［解法２］小学生でもできるやり方
　とはいえ、解法１の方法で出来る小学生は、kirkland さんのところのＡ君を含め？ごく少数でしょう。
　僕みたいなアタマの平凡な大人は、使える知識を制限されると、困ってしまいます。(ｗ

　しかし、上で三角関数を用いて三角形の面積を出している（弓形の面積を出すとき に、この考え方を用いている）ことに着目すると、何だかうまくいきそうです。実際 、点アと点キを結ぶ線分と線分カク、線分オケ、線分エコ、線分イウとの交点を順に サ、シ、ス、セとすると、実は△アカサ≡△アイセ、△アオシ≡△アエスなどが成り 立っています（これが、解法１の sin(2π/5) ＝ sin(3π/5) 、sin(π/5) ＝ sin(4 π/5) と対応している様に見えます）。

　以上を用いて、改めて題意の面積 S を求める式を書いてみると、三角形アカサの 面積を△アカサと書くことにして、

S ＝ {(1/2・202・2π/5 - △アオケ) - (1/2・202・π/5 - △アカク)} + {(1/2・202・4π/5 - △アイウ) - (1/2・202・3π/5 - △アエコ)}

・・・ですが、

　　△アオケ＝△アエコ＝ 2 ×△アオシ
　　△アカク＝△アイウ＝ 2 ×△アカサ

・・・を用いて整理すると、

　　S ＝ 1/2・202・{(2π/5 - π/5) + (4π/5 - 3π/5)}

・・・となり、以下解法１に同じです。




解答・その4

（ペンネ−ム：anik）

144度＝4π/5
144度/8＝18度＝π/10

扇形アカク＝(1/2)*202*(π/5)＝40π
三角形アカク＝(1/2)*202*sin(π/5)＝200sin(π/5)

扇形アオケ＝(1/2)*202*(2π/5)＝80π
三角形アオケ＝(1/2)*202*sin(2π/5)＝200sin(2π/5)

カオケク
＝(扇形アオケ−三角形アオケ)−(扇形アカク−三角形アカク)
＝(200sin(2π/5)−80π)−(200sin(π/5)−40π)
＝40π−200(sin(2π/5)−sin(π/5))

扇形アエコ＝(1/2)*202*(3π/5)＝120π
三角形アエコ＝(1/2)*202*sin(3π/5)＝200sin(3π/5)

扇形アイウ＝(1/2)*202*(4π/5)＝160π
三角形アイウ＝(1/2)*202*sin(4π/5)＝200sin(4π/5)

エイウコ
＝(扇形アイウ−三角形アイウ)−(扇形アエコ−三角形アエコ)
＝(200sin(6π/5)−160π)−(200sin(3π/5)−120π)
＝40π−200(sin(4π/5)−sin(3π/5))

よって求めたい面積＝カオケク＋エイウコ
＝40π−200(sin(2π/5)−sin(π/5))＋40π−200(sin(4π/5)−sin(3π/5))
＝80π−200(sin(2π/5)−sin(π/5))−200(sin(4π/5)−sin(3π/5))

sin(π/5)＝sin(4π/5)、sin(2π/5)＝sin(3π/5)から

＝80π−200(sin(2π/5)−sin(π/5))−200(sin(π/5)−sin(2π/5))
＝80π＝80*3.14＝251.2

　　Ａ．251.2cm2



解答・その5

（ペンネ−ム： 浜田　明巳）

座標系を導入する．



とすると，求める面積Ｓは，





　　Ｓ＝２{∫(２π／５，３π／１０)２０sinθ(−２０sinθ)ｄθ−∫(π／５，π／１０)２０sinθ(−２０sinθ)ｄθ}
　　　＝８００{∫(３π／１０，２π／５)sin２θｄθ−∫(π／１０，π／５)sin２θｄθ}
　　　＝４００{∫(３π／１０，２π／５)(１−cos２θ)ｄθ−∫(π／１０，π／５)(１−cos２θ)ｄθ}
　　　＝２００{[２θ−sin２θ](３π／１０，２π／５)−[２θ−sin２θ](π／１０，π／５)}
　　　＝２００<[２(２π／５−３π／１０)−{sin(４π／５)−sin(３π／５)}]＋[２(π／５−π／１０)−{sin(２π／５)−sin(π／５)}]>
　　　＝２００[{２・π／１０−２cos(７π／１０)sin(π／１０)}＋{２・π／１０−２cos(３π／１０)sin(π／１０)}]
　　　＝４００{π／５−cos(７π／１０)sin(π／１０)−cos(３π／１０)sin(π／１０)}
　　　＝４００[π／５−{cos(７π／１０)＋cos(３π／１０)}sin(π／１０)]
　　　＝４００[π／５−{−cos(３π／１０)＋cos(３π／１０)}sin(π／１０)]
　　　＝８０π（cm２）



　ＰＳ．算数の問題に積分を使ってはだめですね．




解答・その6

（ペンネ−ム：巷の夢）



左右対称なので左半分で考える。
まず垂直線アキと４本の水平線イウ、エコ、オケ、カクとの交点を各々Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄとする。
すると図形アイカＤ−△アイＡ−図形ＢエオＣ＝斜線部分の面積
ところで△アイＡ≡△カアＤ
図形ＢエオＣ＝図形アエオＣ−△アエＢ
ところで△アエＢ≡△オアＣであるから
図形ＢエオＣ＝扇形アエオ
因って求める扇形アイオ＝（１/２）×２０×２０×（π/５）となる。
この値より求める斜線部の面積は２倍して８０π、即ち、２５１．２となる。





解答・その7

（ペンネ−ム：杖のおじさん）



図１を参照
△ カサアと△アイセは合同なので同じ面積です。
合同の証明
△カアサについて
∠カサア＝９０°　∠サアカ＝１８°　　∠サカア＝７２°カアの長さ＝２０cm
△アイセについて
∠アセイ＝９０°　∠セイア＝１８°　　∠セアイ＝７２　アイの長さ＝２０cm
△アセソの面積（赤の部分　図１を参照）をｘとすると、同じ面積の三角形から同じ面積のｘを引くので △アイソと台形カサソセは同じ面積であることが分かります。

また、△オシアと△エスアは合同なので同じ面積です。
合同の証明
△オシアについて
∠オシア＝９０°　∠オアシ＝３６°　　∠シオア＝５４°アオの長さ＝２０cm
△エスアについて
∠エスア＝９０°　∠アエス＝３６°　　∠エアス＝５４°　アエの長さ＝２０cm
△タスアの面積（赤の部分＋黄色の部分　図１を参照）をyとすると、同じ面積の三角形から同じ面積のyを引くので △アエオと台形オタスシは同じ面積であることが分かります。

◎　求める面積は
図２の面積（緑の部分）はおうぎ形アイカの２倍の面積（面積イカクウ、緑の部分＋黄色の部分） からおうぎ形アエオの２倍の面積（面積オエコケ、黄色の部分）を引いたものになります。

@　図２のイカクウの面積（緑色の部分＋黄色の部分）を求めます
面積＝２０×２０×３．１４×５４/３６０×２＝３７６．７９９９８＝３７６．８
A　同じ方法で斜線の面積オエコケを求めます
面積＝２０×２０×３．１４×１８/３６０×２＝１２５．５９９９９＝１２５．６

求める部分の面積は次の通りです
@―A＝３７６．８−１２５．６＝２５１．２　ｃｍ２

エクセルのユーザーフォームでも作りました。次のフォームです。



このフォームの作り方は私のホームぺージで解説いたします。

答え　　　２５１．２　ｃｍ２



解答・その8

（ペンネ−ム：Toru）

キとアを直線で結んで直線カク、オケ、エコ、イウとの交点を順に、サ、シ、ス、 セとする。
　斜線のうちの（カオケク）の面積は（カオシサ）の２倍で

　　　　（カオシサ）＝扇形（アオカ）＋Δ（カアサ）―Δ（オアシ）

斜線のうちの（エイウコ）の面積は（エイセス）の２倍で

　　　　（エイセス）＝扇形（アイエ）＋Δ（エアス）―Δ（イアセ）

　　　　扇形（アオカ）≡扇形（アイエ）

∠イアセ＝∠アカサ＝７２°などからΔ（カアサ）≡Δ（アイセ）
∠オアシ＝∠アエス＝３６°などからΔ（オアシ）≡Δ（アエス）
よって求める面積は

　　　　２x（（カオシサ）＋（エイセス））＝４x扇形（アイエ）
　　　　　　　　＝4x20x20x3.14x18/360=251.2

答え　251.2 cm2




解答・その9

（ペンネ−ム：蜘蛛の巣城）


三角形アイウと三角形アカクの面積は等しく、三角形アエコと三角形アオケの面積も等しい。 なぜならθ＝18°とすれば（5θ＝90°）それぞれ斜辺の長さが等しく内角が θ､4θ､5θと2θ､3θ,5θの直角三角形を接合した形だから。

以下、面積の関係を確認。（三日月形と言えばいいのでしょうか。でも形は違いますよね。）

浮島形カキク＝扇形アカキク−三角形アカク･･･@
浮島形オキケ＝扇形アオキケ−三角形アオケ･･･A
浮島形エキコ＝扇形アエキコ−三角形アエコ･･･B
浮島形イキウ＝扇形アイキウ−三角形アイウ･･･C

求める面積SはC−B＋A−@であるから
S=扇形アイキウ−扇形アエキコ＋扇形アオキケ−扇形アカキク
　　　　　　　　　　　　−三角形アイウ＋三角形アエコ−三角形アオケ＋三角形アカク

冒頭に述べた理由から三角形の面積は消滅し、 また扇形の面積は結局のところ中心角θのものが4つ分。 即ち中心角72°の扇形の面積に等しい。



解答・その10

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

この問題は「円周率を3.14とする」というのがヒントになっています。

144度を8等分すると、1つの角が18度になります。 θ＝18°とすると、5×18°＝90°なので、90°−2θ＝3θです。 そこで、
　　sin(90°−2θ)＝sin(3θ)
　　cos(2θ)＝sin(3θ)
　　1−2sin2θ＝3sinθ−4sin3θ
　　4sin3θ−2sin3θ −3sinθ＋1＝0
　　(sinθ−1)(4sin2θ＋2sinθ−1)＝0

これを解いて、sinθ＝(−1＋√5)／4
などとしたのでは、√5の扱いが、πと比べてうまくありません。
結果に√5が現れないのだと見当がつきます。

さて、半円の中心アに集まっている角は、すべて18度です。（図１）

図１



次の図の色を付けた部分の面積をそれそれ、Ｓ1、Ｓ2、Ｓ3、Ｓ4とします。

図２　　　　　　　　　　　　　　　　　図３

　　　

図４



図５



それぞれの面積は、扇形から中心アを頂点とする二等辺三角形を引いて求めます。
二等辺三角形は、直角三角形の２倍です。
縦線アキの右側にある４つの直角三角形には次のような合同の関係があります。

　　△アクサ ≡ △ウアセ、
　　△アケシ ≡ △コアス

クサ＝アセ＝ａ、アサ＝ウセ＝ｂ、ケシ＝アス＝ｃ、アシ＝コス＝ｄとおき、
中心角の18度の扇形の面積をＡとおくと、

図６　　　　　　　　　　　　　　　　　図７

　　　

　　　　Ｓ1＝2Ａ−△アカク＝2Ａ−2△アクサ＝2Ａ−ａｂ
　　　　Ｓ2＝4Ａ−△アオケ＝4Ａ−2△アケシ＝4Ａ−ｃｄ
　　　　Ｓ3＝6Ａ−△アエコ＝6Ａ−2△アコス＝6Ａ−ｃｄ
　　　　Ｓ4＝8Ａ−△アイウ＝8Ａ−2△アウセ＝8Ａ−ａｂ

求める面積をＳとすると、

Ｓ＝（Ｓ2−Ｓ1）＋（Ｓ4−Ｓ3）
＝（（4Ａ−ｃｄ）−（2Ａ−ａｂ））＋（（8Ａ−ａｂ）−（6Ａ−ｃｄ））
＝（2Ａ−ｃｄ＋ａｂ）＋（2Ａ−ａｂ＋ｃｄ）
＝4Ａ

つまり、中心角 4×18度＝72度 の扇形の面積と一致します。

Ｓ＝（πｒ2）×（4／20）
＝（1／5）×（πｒ2）　　　（π＝3.14、ｒ＝20を代入）
＝251.2（cm2）




解答・その11

（ペンネ−ム：三角定規）

　勝手ですが，右図で考察します。
　B，C，D，Eは，4分円周AFの5等分点です。
　図のように色分けした部分の面積をS1，〜，S5，中心 角18°の扇形の面積をTとすると，









　与えられた原題が求める面積はこれの2倍で
　　　　20×20×3.14×4/20＝251.2 [cm2] …［答］




解答・その12

（ペンネ−ム：kirkland）

Ａ君「一気にいきまぁす！
扇形アオカ＋△アカク＋扇形アクケ−△アオケ＋扇形アイエ＋△アエコ＋扇形アウコ−△アイウ
なのですが、△アカク＝△アイウ、△アエコ＝△アオケなので、
結局、扇形アオカ＋扇形アクケ＋扇形アイエ＋扇形アウコ
ということで、全体の半分ですっと、うりゃ〜！以上！」



先生「えらく雑だね。そんなんじゃ、解答として認められんぞ。」
Ａ君「まぁ、こんな普通の解答は、ウォーミングアップということで。 実はね、もう一つの解き方がカッコいいんですよ！」
先生「意味もなく強気だね〜」
Ａ君「せっかくの算数オリンピックなんだから、頑張ってみましたよ。 ４年後は、僕は高校生なので、出場できませんからね。」
先生「算数オリンピックっていうのは、毎年あるんじゃないの。 それに残念ながら、４年後も君は小学６年生のままだと思うが。」
Ａ君「……。」
先生「さて、カッコいいのを始めてみなさいよ。」
Ａ君「うっしゃー！図を描くのが面倒なので、左半分だけで考えますね。まず、赤の三角形を青の三角形の部分に移動させ ます。（下図）何故、移動できるかって？どちらも90°、36°、54°の直角三角形だし、斜辺の長さがどちらも 扇形の半径だからで〜す！」



先生「ほうほう」
Ａ君「次にまた、赤の三角形を青の三角形の部分に移動させます。（下図）このとき、黄色の部分は２回重なっていることに注意しましょう！」



先生「ほうほう」
Ａ君「それでもって、またまた、赤い三角形を青い三角形の部分に移すと、ほ〜ら、うまくいったでしょう！」



先生「何故、移動できるの？」
Ａ君「１回目の移動から考えると、ピンクの部分の長さはどちらも同じなんですね〜。 だから、赤と青の三角形は合同なんですよ。」
先生「ふ〜ん、なるほど。ところで、今月はボケまくる予定じゃなかったの？」
Ａ君「そのつもりだったんですけどね、図を描くのに疲れちゃって、ギャグを考える暇がなかったんですよ〜。 TVを観なきゃいけないので、とっとと帰りまーす。では、さようなら〜」
先生「お〜い！お〜い！ あ〜行っちゃった。相変わらずおっちょこちょいな奴だね〜。肝心の答えを出さずに帰っちゃったよ。」





正解者

Mr.X Toru 浜田　明巳
teki 夜ふかしのつらいおじさん 杖のおじさん
yokodon 三角定規 巷の夢
蜘蛛の巣城 anik kirkland





まとめ

このような図形の問題に解答するのは、大変ですよね。イラストを添えて解答をいただいた方も 多く、どうもありがとうございました、感謝いたします。
この問題を考えるとき、中心角18°の扇形が絶妙だと私は感じました。 円周上の点と中心とを結んでいくと、18°の扇形が現れ、それと同時に合同な三角形が何組か姿を現します。 これをうまく使うと答えはすっきりした形になります。 三角定規さんの解答は、更に座標を導入することで、 更にすっきりわかりやすいものになっていると思います、感心いたしました。





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