Weekend Mathematics／問題／問題83



８３．トランプタワーの問題

この写真のようにトランプでタワーを作って遊んだことはありませんか？
さて、今月の問題はトランプ１組(ジョーカーを入れて５４枚)で最大何段のタワーが作れるでしょうかというのが問題です。 （組み上げてから途中のカードを抜いていくというのはなしですよ、そういうゲームもありますが・・・。） 次に、トランプ２組ではいかがでしょうか？














答えと解説





答えと解説

解答・その1

（ペンネ−ム：巷の夢）

３段以上の組み立ては以下の様にやればトランプの使用数が最小で済む。

　　

この考えに基づきトランプ枚数の一覧表を作ると、

　　
上からの段数トランプ枚数トランプ枚数合計
１段２２
水平１段１３
２段４７
水平２段２９
３段６１５
水平３段３１８
４段８２６
水平４段４３０
５段１０４０
水平５段５４５
６段１２５７
水平６段６６３
７段１４７７
水平７段７８４
８段１６１００
水平８段８１０８


（１）上の表からトランプ一組の場合は５段

（２）同様にトランプ二組の場合は８段

となる事が分かる。



解答・その2

（ペンネ−ム：Toru）

写真は２段ということでしょうか、これを３段にする時は、一番下の段に２枚、下か ら２段目に底の一枚を含めて３枚、３段目にも３枚加えて、３×２＋２＝８枚増える。
同様にＮ段の時の枚数をF(N)とするとF(N+1)=F(N)+3N+2　F(1)=2 N=1,2,---とすると、
F(2)=7,F(3)=15,F(4)=26,F(5)=40,F(6)=57,F(7)=77,F(8)=100,F(9)=126
よって５４枚では５段まで、１０８枚では８段まで可能。



解答・その3

（ペンネ−ム：aa）

１段目は　Λ　ですからトランプは２枚必要。
２段目は、 − の５枚がさらに必要。
　　　　　　　ΛΛ
３段目は、−− の８枚が必要。
　　　　　　　ΛΛΛ
１段増えるごとに２−５−８というように３枚増えていく。
2+5+8+11+14=40、2+5+8+11+14+17=57なので、トランプ１組では５段。

いや、まてよ、問題は「タワーを作る」ってなっていて、ピラミッド型にしろとかかいてないぞ。 そうすると、
1段目は　Λの２枚。
２段目以降は、 − の５枚ですむ。
　　　　　　　　　ΛΛ
２＋５×１０＝５２なので、１１段が可能




解答・その4

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

答え
５４枚　　５段です
１０８枚　８段です

　使用枚数合計
段　段初め段終わり
１段２０枚４枚　　
２段５５枚１２枚　　　　　　　
３段８１３枚２３枚　　　　　　　　
４段１１２４枚３７枚　　　　　　　　
５段１４３８枚５４枚　　　　　　　　
６段１７５５枚７４枚　　　　　　　　　
７段２０７５枚９７枚　　　　　　　　　
８段２３９８枚１２３枚　　　　　　　　　　
９段２６１２４枚１５２枚

今回もCASIO（カシオ）　FX―８７０P　 CASIO（カシオ）　FX―８９０P　 のポッケトコンピューター（ポケコン）で次のようなBasicプログラムを作って見ました。

トランプタワーのプログラム

１０　ＰＲＩＮＴ“トランプタワー”
２０　ＩＮＰＵＴ“ナンマイ”；Ａ
３０　Ｊ=０　：　H=８．５
４０　ＦＯＲ　N=1　ＴＯ　３０００
５０　Ｐ=２＋３＊（N−１）：J=J+Ｐ
６０　ＩＦ　Ｊ―３＞＝Ａ　　ＴＨＥＮ　ＢＥＥＰ　：
　　　N=N−１：H=Ｈ+Ｎ／１００：
　　　ＰＲＩＮＴ　Ｎ；“ダン　タカサハ”；Ｈ；“メートル　デス”；ＩＮＴ（−Ａ／５４）＊（−１）；“クミ　ヒツヨウデス”：
　　　ＧＯＴＯ２０
７０　ＴＥＸＴ　Ｎ
８０　ＢＥＥＰ：ＰＲＩＮＴ“マイスウガ　オオスギマス”
９０　ＧＯＴＯ　２０

３０行のＨは段の高さの変数です。高さが８．５となっています。高さが９cmなら Ｈ＝９に変更してください。 ４０行のＴＯの後ろの３０００は３０００段まで計算できると言うことです。 ５０００段までなら数字を変更してください。 ６０行、８０行のＢＥＥＰは音を鳴らします。ＢＥＥＰはＢＥＥＰ０とＢＥＥＰ１があり 高音、低音の２種類を出せます。ＢＥＥＰと指定するとＢＥＥＰ０と指定した事になります。

上のプログラムを実行して見てください。 実行するとトランプタワーと表示されます。 EXE　キーを押すと　ナンマイ？　と聞いてきます。５４と入力し EXE　キーを押すと５ダン　０．４２５メートル　デス　１クミヒツヨウデスと表示されます。続いてナンマイ？と聞いてきますので１０８と入力しEXEキーを押すと８ダン 　０．６８メートルデス　２　クミヒツヨウデス　と表示されます。

遊びに１０００００００と入力しました。 EXEキーを押すと ２５８１ダン　タカサハ　２１９．３８５メートル　デス　１８５１８６　クミヒツヨウデスと表示されます。 ＥＸＥを押してから結果が出るまで２分５０秒かかりました。ＢＥＥＰ音で知らせてくれるのでそれまでコーヒーでも飲んで待ってました。エクセルだとすぐ出ますね！ 数学って面白いですね！




解答・その5

（ペンネ−ム：SOU）

三角に立てる部分を、左右で1セットとします。1セットに必要なカードの枚数は2枚です。
一番上を一段目とします。
一段目には1セット、二段目には2セット、・・・、n段目にはnセットの三角があります。
まず、この三角の部分の構成に必要な枚数を数えると、
n段目までのセット数→1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2
となり、この時カードの枚数は

　　　n(n+1) ・・・@

となります。

次に、n段目までに必要な間に水平にはさむしきいの枚数を数えます。 これは、(n-1)段目まではそれぞれセット数と同じ枚数だけ必要なので、(n段目は必要 ない)

　　　1+2+3+・・・+(n-1)=n(n-1)/2 ・・・A

となります。 @、Aの合計が54以下である時の、最大の自然数nがいくつかを考えればよいので、

n(n+1)+n(n-1)/2≦54
⇔3n2/2+n/2-54≦0
⇔3n2+n-108≦0
⇔n＜6　　(途中計算:方程式3n2+n-108=0の解利用)
⇔n＝5　　(nは自然数)　　　・・・答１


同様に、2セット使うなら

n(n+1)+n(n-1)/2≦108
⇔3n2+n-216≦0
⇔・・・　(中略)
⇔＜9
⇔n＝8　　　・・・答２


余談：n=5の時、40枚使用し、n=8の時100枚使用する。



解答・その6

（ペンネ−ム：teki）

答え　１組：５段　２組：８段

＜解法＞
ｎ段の場合の斜めのカードの数は、２×Σｎ、間に入る水平のカードの数はΣ（ｎ-１） 枚です。

これを計算すると、ｎ（ｎ+１）+ｎ（ｎ-１）/2＝（３ｎ２+ｎ）/２となります。
よって、５４枚の場合は、５段、１０８枚の場合は８段できますね。



解答・その7

（ペンネ−ム：リナライ）

解答:まず、トランプタワーを作るのに必要な枚数を確認しましょう
上からｎ段目を組むときに必要な枚数をan、anの和をSnとおくと、 ｎ段のタワーを作るのに必要な枚数は

　　　　Sn=a1+a2+……+an

また、anは

　　　　an=3(n-1)+2=3n-1

とおく事ができます 試しに、n=1、2、3を入れてみると

　　　　ｎ＝1……3-1＝2
　　　　ｎ＝2……6-1＝5
　　　　ｎ＝3……9-1＝8

実際にタワーを建てるのに必要な枚数はSn必要なので、試しに入れてみると

　　　　ｎ＝1……2枚
　　　　ｎ＝2……2+5＝7枚
　　　　ｎ＝3……7+8＝15枚

この事は、実際に組んで見て使った枚数を数えてもらえばわかるとおもいますので、これ以上の説明は省きます では、実際にこの通り計算していくと……

　　　　ｎ＝4……12-1＝11……11+15＝26
　　　　ｎ＝5……15-1＝14……26+14＝40
　　　　ｎ＝6……18-1＝17……40+17＝57

以上より、S5＜54＜S6なので、トランプ一組の時は5段作れて14枚余ります 更に続けてみると……

　　　　ｎ＝7……21-1＝20……57+20＝77
　　　　ｎ＝8……24-1＝23……77+23＝100
　　　　ｎ＝9……27-1＝26……100+26＝126

以上より、S8＜108（トランプ2組分の枚数）＜S9なので、 トランプ2組の時8段作れて8枚余ります



解答・その8

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

トランプタワーを作るとき、その土台の上になるべく高くなるよう、順番を次の ように積み重ねることにします。下から上に向かって段を数えることにします。

　４段目       10
　３段目      ６ ９
　２段目     ３ ５ ８
　１段目   １ ２ ４ ７

１段目の各順番の位置を積み重ねるのに必要な枚数は２枚です。
２段目から上は１枚を横に敷いてから２枚を斜めに合わせるので３枚必要です。
ｎ段目まで積み重ねるのに必要な枚数を ａn とします。（ ａ1＝２ ）
さらにもう１段積み重ねるには、２＋３×ｎ 個のトランプが必要なので、

　　　　ａn+1＝ａn ＋(３ｎ＋２)

という漸化式ができます。ですから、一般項は、




すると、

　　　ａ1＝２、ａ2＝７、ａ3＝１５、ａ4＝２６、ａ5＝４０、
　　　ａ6＝５７、ａ7＝７７、ａ8＝１００、ａ9＝１２６ ．

ですからトランプ１組（５３枚）では５段まで、２組（１０６枚）では８段まで 積み重ねることができます。



解答・その9

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

ｎ段の場合の全カード数をｆ(ｎ)とする．ｆ(１)＝２は明らか．
次にｆ(ｎ＋１)をｆ(ｎ)で表す．
ｎ段の右横（左横でも可）にそれぞれカード２枚と，新たな一番上の段のカード２枚， 及び一番上の段から下から２番目の段までの下にひくそれぞれカード１枚が新たに必要と なるので，

　　　ｆ(ｎ＋１)＝ｆ(ｎ)＋２(ｎ＋１)＋ｎ＝ｆ(ｎ)＋３ｎ＋２

ｎ≧２のとき，

ｆ(ｎ)＝ｆ(１)＋Σ(1≦k≦n-1){ｆ(ｋ＋１)−ｆ(ｋ)}
＝２＋Σ(1≦k≦n-1)(３ｋ＋２)
＝２＋３・(ｎ−１)ｎ／２＋２(ｎ−１)
＝(３ｎ2＋ｎ)／２

これはｆ(１)＝２を満たす．

トランプ１組では，ｆ(ｎ)≦５４となる最大の自然数ｎを求めればよい．
このとき，

　　　(３ｎ2＋ｎ)／２≦５４
　　　∴３ｎ2＋ｎ−１０８≦０

ｇ(ｎ)＝３ｎ2＋ｎ−１０８とすると，

　　　ｇ'(ｎ)＝６ｎ＋１＞０（∵ｎ≧１）

故にｇ(ｎ)は増加関数であり，

　　　ｇ(５)＝−２８＜０，ｇ(６)＝６＞０

故にｎの最大値は５である．
故に答は５段である．

トランプ２組では，ｆ(ｎ)≦５４×２となる最大の自然数ｎを求めればよい．
このとき，

　　　(３ｎ2＋ｎ)／２≦１０８
　　　∴３ｎ2＋ｎ−２１６≦０

ｈ(ｎ)＝３ｎ2＋ｎ−２１６とすると，問１と同様にｈ(ｎ)は増加関数であり，

　　　ｈ(８)＝−１６＜０，ｈ(９)＝３６＞０

故にｎの最大値は８である．
故に答は８段である．

エクセルのマクロで解くと次のようになる． ちなみにトランプの組数をいくらでも増やせるように作ってある．

Option Explicit
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Dim mondai As Integer '問題番号
    Dim a(100) As Integer '段を1つ増やした時に必要な枚数
    Dim card As Integer 'カード枚数
    Dim dan As Integer '段数
    Dim owari As Integer '終了判定用
    Dim j As Integer
    a(1) = 2
    For mondai = 1 To 10 '本当は2でいいのだが,...
      Range("A" & mondai).Select
      card = 2
      dan = 1
      owari = 0
      While owari = 0
        dan = dan + 1
        a(dan) = dan * 2 + (dan - 1)
        card = card + a(dan)
        If card > mondai * 54 Then '行き過ぎたので1つ戻る
          card = card - a(dan)
          dan = dan - 1
          owari = 1
        ElseIf card = mondai * 54 Then
          owari = 1
          Cells(mondai, 1).Value = dan
        Else
          Cells(mondai, 1).Value = dan
        End If
      Wend
      For j = 1 To dan '枚数表示用
        Cells(mondai, j + 2).Value = a(j)
      Next j
      Cells(mondai, dan + 4).Value = card '使用枚数表示
      Cells(mondai, dan + 5).Value = mondai * 54 - card '残り枚数表示
    Next mondai
End Sub




解答・その10

（ペンネ−ム：三角定規）

題意のようなトランプタワーがn段のとき，使用しているトランプの枚数をan枚とする。
これをn＋1段とするためには，
　　・水平のカードがn枚
　　・斜めのカードが2(n＋1) 枚
必要だから，次の漸化式を得る。

　　　a1＝2，an+1＝an＋3n＋2　(n≧1 )

これを逐次計算して，

　　　{ an }＝{ 2，7，15，26，40，57，77，100，… ｝

よって，トランプ1組(54枚)で作れるのは…　5 段
　　　　　　〃 　2組(108枚) 〃 …　8 段　　　［答］




解答・その11

（ペンネ−ム：yokodon）

全部で n 段出来るとして、k 段目（k ＝ 1, 2, ..., n）のカードの枚数をまず考 えます。なお、１番上を１段目とします。
k 段目のカードの枚数を a(k) とすると、(k + 1) 段目から k 段目に１段降りる 毎にカードが３枚増えるので、

　　　a(k + 1) - a(k) ＝ 3

・・・が成り立っています。a(1) ＝ 2 ですから、従って

　　　a(k) ＝ 2 + 3×(k - 1) ＝ 3k - 1

・・・を得ます。
カードの総数 N(n) は、

　　　N(n) ＝ Σa(k) ＝ 1/2 ×(3・n2 + n)

・・・です。
求める段数の最大値は、N(n) ≦ 54 を満たす n の最大値です。
ところで、N(n) は n ≧ 1 において n の単調増加関数なので、順番に n を代入して、

　　　N(5) ＝ 40 ＜ 54 、N(6) ＝ 72 ＞ 54

より、求める最大値は、トランプ１組（54 枚）の場合、５段です。
なお、トランプ２組（108 枚）の場合は、

　　　N(8) ＝ 100 ＜ 108 、 N(9) ＝ 126 ＞ 108

より、最大値は８段となります。



解答・その12

（ペンネ−ム：高橋　道広）

答え5段　８段

１段目が山２つ　２段目が横のカード１枚とと山２つ ３段目が横のカード２枚と山３つ…と考えると１段増えるごとに３枚増える。
等差数列になっているのでn段目は　2+（n-1)×3
このn段目までの和は　2n+(n-1)n/2×3=3n2+n
これを計算すると

12
27
315
426
540
657
777
8100
9126
このことから　トランプ１組では５段、２組では８段となる



解答・その13

（ペンネ−ム：午年のうりぼう）

段数１２３４・・・n
枚数筋交い２６１２２０・・・@
床０１３６・・・A
合計２７１５２６・・・B










正解者

巷の夢 teki yokodon
Toru 高橋　道広 浜田　明巳
杖のおじさん SOU 三角定規
aa 夜ふかしのつらいおじさん リナライ
午年のうりぼう





まとめ

何人かの方が、数列の一般項を求めてくださいました。 数学的にいうと、階差数列（数列の各項の差をとって、それをまた数列とみなす）が、 等差数列（各項の差が一定、この場合公差は３）になっている数列ということになります。

６段のトランプタワーを作るには５７枚のカードを必要とします。 トランプ１組（５４枚）では、３枚足りません。 左の写真は、ちょっとずるして６段作ったものです。

aaさん流のトランプタワーにも挑戦したのですが、 なかなかむずかしくて、実現できていません・・・。







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