Weekend Mathematics／問題／問題80



８０．高校野球の問題

高校野球の季節になりました。今年も地方大会を勝ち抜いた４９校が全国大会に出場します。 ご存知の通り、トーナメント方式で優勝チームを決めていきます。そこで問題です。

(1)試合数はいくつですか？
(2)１回戦から出場したとして、何試合勝てば優勝できますか？
(3)高校野球のトーナメントの組み方は、何チームかを１回戦免除とし、２回戦以降は、半分、半分となって 決勝戦に至ります（１回戦調整方式と呼びましょう）。この場合、１回戦を免除される（不戦勝となる）チームは何チームになりますか？
(4)最初から２チームずつ対戦させ、半端がでたときだけ１チーム不戦勝という組み方（途中調整方式と呼びましょう）をすると、試合を免除される（不戦勝となる）チームはのべ何チームになりますか？

激戦区神奈川大会では、今年１９８校が出場し、甲子園への切符を争いました。 同じように神奈川大会の場合も考えてみてください。









答えと解説





答えと解説

解答・その1

（ペンネ−ム：やなせ）

１）ですが１試合で１チームが消えます。４９チーム参加で優勝するのは１チームで すから

　　４９−１＝４８で答えは４８試合

２）一回勝ってベスト３２、二回勝ってベスト１６この調子で８。４．２，１ですか ら少なくても６回勝てば優勝ですね

３）トーナメント方式の場合、きっちり行くなら２．４．８．１６．３２．６４チー ム参加ですね
ところが４９チームなのでこれを３２チームまでに絞らなくてはなりませんから ４９−３２＝１７で１７試合一回戦を行わなければなりませんので、 試合数の倍のチームが一回戦を行わなくてはなりません。 つまり３４チームが一回戦に参加残りの１５チームは免除ですね。 答えは１５チームです。

４）一回戦は４９÷２＝２４・・・１
　 二回戦は（２４＋１）÷２＝１２・・・１
　 三回戦は（１２＋１）÷２＝６・・・１
　 四回戦は（６＋１）÷２＝３・・・・１
　 五回戦は（３＋１）÷２＝２・・・・０（笑） 　 決勝戦は２÷２＝１・・・・・０(爆笑)

この結果、のべチーム数ですので各式の余りを合計した物が答えですね ４チームじゃないかな



解答・その2

（ペンネ−ム：巷の夢）

(1) １試合やると必ず１チームが消えていきます。因って優勝者からみれば自分以外の４８チームが消えてくれれば良いので、４９−１＝４８試合

(2) 決勝の方から溯り、残りのチーム数を考えると、

決勝準決勝準々決勝ベスト１６ベスト３２
２チーム４チーム８チーム１６チーム３２チーム

出場チーム数は４９なので３２になる前に不戦勝調整をしていると分かる。即ち一回戦から出場するチームは上記表に更に一回戦いが加わるので６試合となる。

(3)今、一回戦から出場するチーム数をX、不戦勝チーム数をYとすると、

　　　X＋Y＝４９、（X/2）+Y＝３２

の連立方程式が成立する。これよりX＝３４、Y＝１５
即ち、求める不戦勝チーム数は１５である。

(4)以下の様に表解してみると、　

試合参加チーム実戦チーム不戦勝チーム勝利チーム
一回戦４９４８１２５
二回戦２５２４１１３
三回戦１３１２１７
準々決勝７６１４
準決勝４４０２
決勝２２０１

これより求めるものは４チームとなる。
これですと（1/49）×（1/25）×（1/13）×（1/7）という現実には起こらない確率で、くじ運が良ければ一回も戦わずに準決勝まで勝ち上がれるのですね。この様な方式を取らない理由が分かりました。非常に勉強になりました。

【おまけの問題】
神奈川大会も上記と全く同様にして

(1) １９７
(2) ８
(3) ５８
(4) ４　　　出場チーム数に関係なく４回？計算してみます。
私も神奈川県に住んでおりますので１９８校の頂点である横浜商大付属高校には頑張ってもらいたいし、エールを送ります。




解答・その3

（ペンネ−ム：桂おとこ）

トーナメント（すなわち勝ち抜き）方式だと、引き分けがないから試合があれば必ず其の試合での負けチームがある、すなわち試合には負けたチームが１対１に対応している。それで敗退するチーム数は、出場全校の中から優勝校を除いたチーム数となる。すなわち　出場チーム数をＮとすれば、Ｎ−１が優勝チームが決定するまでの総試合数です。
ところで、出場チーム数が２の累乗の場合だと　２ｎチームを一列に並べて端から２つずつ組を作っていく次に其の勝ち残ったチームを　また端から順に２つずつ組を作っていく、これを繰り返していくと最後に１チームが勝ち残って優勝するまで一度も　不戦勝を作らんですむ。
出場チームが２の累乗でない場合には不戦勝を作ることになるが、第２回戦以降に不戦勝が出ないようにするには　第１回戦で勝ち残るチーム数を２の累乗にする必要があるわけで、そこで出場チーム数　Ｎ　に対して

　　Ｎ＞２ｎ

である最大の２ｎを選ぶと

　 　　Ｎ−２ｎ＝Ｐ

でＰが第１回戦試合数で、２ｎーＰが　第１回戦の不戦勝チーム数となる。
で、第２回戦出場チーム数は、Ｐ＋２ｎーＰから２ｎ　であり、 この後試合数は　半分、半分に減っていくから
　　第２回戦試合数は　　２ｎ−１
　　第３回戦試合数は　　２ｎ−２
　　・・・・・・・・・・　
でもって　総試合数　Ｓ　は
　
Ｓ＝Ｐ＋２ｎ−１＋２ｎ−２＋・　・　・＋２＋１
＝Ｎ−２ｎ＋２ｎ−１＋２ｎ−２＋・・・・・＋２＋１
　　　　但し　ｎ＝０，１，２，３、・・・・
そこで　Ｔ＝２ｎ−１＋２ｎ−２＋・・・・・・＋２＋１　とおいて
両辺に　２を掛けて　　辺々引くと Ｔ＝２ＴーＴ＝２ｎ−１　となるから
　
Ｓ＝Ｎ−２ｎ＋（２ｎ−１）
＝Ｎ−１　　　となるわけです。

そこで４９校が出場するトーナメントの総試合数は　　４９−１＝４８　で　　　４８試合
４９＞２ｎを満たす最大のｎは　５だから
４９−２５＝１７
２５−１７＝１５となって
１７が第１回戦試合数、１５が第１回戦不戦勝チーム数
次に　　Ｓ＝１７＋２４＋２３＋２２＋２１＋２０　から
　　第１回戦　１７試合
　　第２回戦　１６試合
　　第３回戦　　８試合
　　第４回戦　　４試合
　　第５回戦　　２試合
　　第６回戦　　１試合
となって第６回戦が決勝戦になるから、６回勝てば優勝です

次に途中調整方式を考える
４９校で各回戦ごとに　　２つずつ組を作っていくと　　試合数は、
　　第１回戦は　　４９÷２＝２４　　　余り１が不戦勝
　　第２回戦は　　２５÷２＝１２　　　余り１が不戦勝
　　第３回戦は　　１３÷２＝６　　　　余り１が不戦勝
　　第４回戦は　　7÷２＝　３　　　　余り１が不戦勝
　　第５回戦は　　４÷２＝２
　　第６回戦は　　２÷２＝１
となって　不戦勝は合計４で　　延べ４チームが免除されるわけです。

同様に　１９８校出場の神奈川大会を考えてみると
１９８−１＝１９７
１９８＞２ｎ　　　　　　　ｎ＝７で　　２７＝１２８
１９８−１２８＝７０　　　　　　　１２８−７０＝５８
Ｓ＝７０＋２６＋２５＋２４＋２３＋２２＋２１＋２０より　第８回戦まであるから、８回勝って優勝
そして　５８が不戦勝チーム数ですな
次に途中調整方式では
　　１９８÷２＝９９
　　９９÷２＝４９　＋不戦勝　１
　　５０÷２＝２５
　　２５÷２＝１２　＋不戦勝　１
　　１３÷２＝６　　＋不戦勝　１
　　７÷２　＝３　　＋不戦勝　１
　　４÷２＝２
　２÷２＝　１　　　　　　となって不戦勝数は　やっぱり　４
　　



解答・その4

（ペンネ−ム：リナライ）

解答（1）：これは、全部の試合数を言えば良いのですよね?
1試合終わる毎に1チーム敗退し、最終的には1チームが優勝するので、出場チーム数-1試合あります
49-1＝48試合

神奈川：198-1＝197

（2）：一回戦終わる毎にチームが半分に減ります

よって、26＞49＞25なので、6試合勝てば優勝できます
神奈川：28＞198＞27なので、8試合勝てば優勝できます

（3）：2nにすれば、そのあと半端なく試合が進むので （2）より49から25＝32にするには17校が敗退しなければいけません
なので、34チームが参加すればいいわけですから49-34＝15チームが一回戦不戦勝になります

神奈川：（2）より198から27＝128にするには70チームが敗退しなければいけません
なので、140チームが参加すれば良いわけですから198-140＝58チームが一回戦不戦勝になります

（4）：方法より2で割りつづけて奇数になった時に-1して最終的に1にすればいい
この場合、-1した場合は割った後に+1しなければなりません
不戦勝は、一チーム一回までとした時、-1した回数＝不戦勝になったチーム数となります
49⇒25⇒13⇒7⇒4→2→1（⇒の時-1したとする）
4回半端が出たので、4チームが不戦勝となりました

神奈川：198→99⇒45⇒23⇒12→6→3⇒2→1
4回半端が出たので、4チームが不戦勝となりました




解答・その5

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

４９校の場合

（１）４８試合です。

トーナメント方式の場合、最後まで負けないチームが１つ残ります。試合数は 他のチームが１回ずつ負ける回数となります。つまり参加チーム数から１を引い た数です。

（２）６試合です。
決勝戦から１回戦にさかのぼっていくと、チーム数が倍々に増えます。チーム 数は、初項１、公比２の等比数列になるので｛１，２，４，８，１６，３２，６ ４，１２８，２５６，・・・｝となります。優勝に必要な勝利数は、項の間のカ ンマ”，”を数えていき初めて参加チームを越えるときです。

（３）１５チームです。
１回戦調整方式で１回戦を免除されるチームは、（２）の等比数列でチーム数 を越える最小の項から参加チーム数を引いた値です。つまり６４−４９＝１５で す。残りの４９−１５＝３４チームは１回戦を戦って半数の３４÷２＝１７チー ムとなります。１回戦免除の１５チームと１回戦を勝ち上がった１５＋１７＝３ ２チームで２回戦を行います。

（４）４チームです。
参加チーム数を２で割っていくとき余りが出た回数が試合を免除される回数で す。商と余りを加えてこの計算を繰り返していき最後に商が１になるまでに余り が何回出たかを数えます。
　１回戦：４９÷２＝２４・・・１　　２回戦：２５÷２＝１２・・・１
　３回戦：１３÷２＝　６・・・１　　４回戦：　７÷２＝　３・・・１
　５回戦：　４÷２＝　２　　　　　　６回戦：　２÷２＝　１


１９８校の場合

（１）１９７試合です。
（２）８試合です。
（３）２５６−１９８＝５８チームです。
（４）４チームです。

　１回戦：１９８÷２＝９９　　２回戦：９９÷２＝４９・・・１
　３回戦：　５０÷２＝２５　　４回戦：２５÷２＝１２・・・１
　５回戦以降は４９校の場合と同じなので、あと２チーム増えることが分かりま す。




解答・その6

（ペンネ−ム：Y.M）

(1)

1試合するごとに1チーム負けていくわけであり、 最後に残った1チームが優勝するので、

　　　49-1=48

Ans.48試合

(2)



自分：赤とします。　勝ち進むのは、自分のチームです。
@→2チームのうち、1チーム勝ち上がる。
A→上に上がれるのは4チームのうち1チーム。
Bでは8チーム中1チーム。Cでは16チーム中1チーム。・・・とやっていけば、
Dでは32チーム中1チーム。(32<49)
Eでは64チーム中1チーム。(49<64)
即ち、5試合では優勝には不十分、6試合目まで勝ち続ければ良いということになります。

Ans.6試合

(3)



優勝の1チームから順に増やしていきます。
単純に2倍、2倍していって最大32チーム。
1回戦の2チームのうち1チームをシードさせて48チーム。
1チーム分をどこかに補い49チーム。
このとき1回戦免除のチームは、15チーム。

Ans.15チーム

(4)

32チームは完全に端数を出すことなく戦えるので、 残り17チームで考えてみました。



よってのべ4チーム

Ans.4チーム



解答・その7

（ペンネ−ム：柿本　浩）

＜ケース１：甲子園４９チームの場合＞

１．
“トーナメント形式”の基本的な運用について考えてみると
「グスン(T_T)。うちの学校、試合してないのに脱落しちゃったよ。」
『おいおいそんなハズないだろ。試合で負けない限り脱落はないよ。』

「今日の試合は負けちゃったけど、また明日頑張ればいいよね。」
『おいおい何言ってんだよ。負けたらそこでおしまいじゃんか。』

つまりは
　　“１試合行われる毎に１チームずつ脱落していく”
　　“ある１チーム以外の全てのチームが脱落すると優勝チームが決まる”
と考えられるので
　　総試合数＝総チーム数−１　と見なせる。
甲子園でのバトルはもちろん４８試合行われた時点で４８チームが脱落し 最後に残った１チームが優勝となる事が分かる。

２．
これに関しては、試合数の調整方式、不戦勝の扱いによって 変わってくるかもしれませんので先に３番、４番を解いちゃいましょう。

３．
決勝に残るのは２チーム、準決勝に残るのはその２倍で４チーム 準々決勝に残るのは更にその２倍で８チーム・・・ と考えていくと、チーム数が２のｎ乗（ｎは自然数）であった場合 不戦勝による試合数の調整を行う必要がない事が分かる。
となると、最初にいるのが４９チームだから ４９以下で２のｎ乗となる最大の数字は・・・２５＝３２である事が分かり １試合目が終わった時点で３２チーム残っていれば それ以降は不戦勝による調整の必要がない事が分かる。
ここで問１の解答の「試合数＝減るチーム数」を思い出すと １回戦で１７試合行われれば、４９−１７＝３２で ２回戦にちょうど３２チーム残る事が分かり １７試合行う　→　１７×２＝３４チームが試合を行う事が分かり １回戦で不戦勝となるチーム数は４９−３４＝１５チームである事が分かる。

４．
現在残っているチーム数をもとに 次の試合数、不戦勝チーム数、試合結果の残りチーム数を考えると

【現在のチーム数が偶数であった場合】
次の試合数＝現在のチーム数÷２
不戦勝チーム数＝０
試合結果残りチーム数＝現在のチーム数−次の試合数＝現在のチーム数÷２

【現在のチーム数が奇数であった場合】
次の試合数＝（現在のチーム数−１）÷２
不戦勝チーム数＝１
試合結果残りチーム数＝現在のチーム数−次の試合数
となる事が分かるので、４９をこの規則に当てはめて計算すると
　試合数不戦勝数残りチーム数
１回戦２４１２５
２回戦１２１１３
３回戦６１７
４回戦３１４
５回戦２０２
６回戦１０１

の表が得られるため、第６試合が終わった時点で１チーム残り（優勝し） 第１〜第４試合で１チームずつ、のべ４チームが不戦勝扱いとなる事が分かる。

ここで問２に戻って考えて見ると、問３のルールで行った場合は
　試合数不戦勝数残りチーム数
１回戦１７１５３２
２回戦１６０１６
３回戦８０８
４回戦４０４
５回戦２０２
６回戦１０１

この表が得られるため「１回戦から出場した」という条件では ６試合すべてに勝利した時点で優勝できる事が分かる。

しかし、問４のルールで試合を行った場合は
　試合数不戦勝数残りチーム数
１回戦２４１２５
２回戦１２１１３
３回戦６１７
４回戦３１４
５回戦２０２
６回戦１０１

となり、２回戦〜４回戦でも不戦勝のチームが１チームずつあるため 「１回戦から出場」したとしても、２〜４回戦で運良く不戦勝になれば ３試合に勝利しただけで優勝、といったケースも考えられるのである。 つまり解答は　３、４、５、６試合のいずれかとなる。

＜ケース２：神奈川大会１９８チームの場合＞

１．
これは甲子園のケースと同様に考えられ、１９７試合となる。

３．
１９８以下で２のｎ乗となる最小の値は　２７＝１２８ すなわち、１試合目が終わった時点で１２８チーム残っていれば良いので １９８−１２８＝７０　で、１回戦で７０試合が行われれば（＝１４０チームが戦え ば）ちょうど２回戦では１２８チーム残るので １９８−１４０＝５８　で５８チームが１回戦で不戦勝となる。

４．
甲子園のケースと同様に考えると
　試合数不戦勝数残りチーム数
１回戦９９０９９
２回戦４９１５０
３回戦２５０２５
４回戦１２１１３
５回戦６１７
６回戦３１４
７回戦２０２
８回戦１０１

で、のべ４チームが不戦勝となる。

２．
１回戦調整方式の場合は
　試合数不戦勝数残りチーム数
１回戦７０５８１２８
２回戦６４０６４
３回戦３２０３２
４回戦１６０１６
５回戦８０８
６回戦４０４
７回戦２０２
８回戦１０１

で、１回戦から出場したなら８試合勝てば優勝となる。

途中調整方式の場合は
　試合数不戦勝数残りチーム数
１回戦９９０９９
２回戦４９１５０
３回戦２５０２５
４回戦１２１１３
５回戦６１７
６回戦３１４
７回戦２０２
８回戦１０１

１回戦から出場しても、２・４・５・６回戦で不戦勝となれば ４試合勝つだけで優勝となるケースも考えられるため 解答は　４、５、６、７、８試合のいずれかとなる。




解答・その8

（ペンネ−ム：aa）

（1）(引き分け再試合がない場合）１試合行うと、１校が敗退します。
48校敗退すると、残った１校が優勝です。
で、答えは、引き分け再試合などがない場合は、48試合。

（2）
(I)回戦数を最小にする組み合わせ
これは、シード校を極力少なくすること。
最後の１校（優勝校）を決めるためには、２校による戦いが必要。
２校の戦いのためには、４校による試合が必要というように考えて、
参加できる校数は、１−２−４−８−１６−３２−６４となるから、
６回試合勝てば優勝できる。

(II)回戦数を最大にする組み合わせ
シード校を最大にすると、

-----+
  　 +---+
-----+   +---+
---------+   +---+
-------------+   +---
-----------------+

のように、最初の１試合だけが１回戦となる。 このようなトーナメント表で１回戦から出場すると、４８回勝たないと 優勝できない。 よって、求める試合数は、６〜４８試合でしょうか？
（これは、A君を意識した回答です。（笑い））

（3）１回戦が終わった段階で３２校が残っている状態にしたいから、 １回戦で４９−３２＝１７校を敗退させる必要がある。 １７校敗退のためには、３４校による試合が必要なので、１回戦免除は、 ４９−３４＝１５校。

（4）実際に計算してみると、

n回戦全体のチーム数不戦勝勝ち残ったチーム数
１４９１２４
２２５１１２
３１３１６
４７１３
５４０２
６２０１

よって、４チーム。



解答・その9

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

高校野球４９校の場合
　（１） 試合数は　　　　　　　　　　４９−１＝４８　　　４８試合です
　（２） １回戦から出て何試合勝てば優勝か　　　　　　　　6勝です
　（３） 不戦勝は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１５チームです
　（４） 途中調整方式　　不戦勝となるチーム数は　　４チームです

神奈川大会１９８校の場合
　（１） 試合数は　　　　　１９８−１＝１９７　　　　　１９７試合です
　（２） １回戦から出て何試合勝てば優勝か　　　　　　　８勝です
　（３） 不戦勝は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５８チームです
　（４） 途中調整方式　　不戦勝となるチーム数は　　４試合です

今回もCASIO（カシオ）　FX―８７０P　 CASIO（カシオ）　FX―８９０P　のポッ ケトコンピューター（ポケコン）でプログラムを作り調べました。

プログラムは次の通りです

１０　INPUT“トチュウチョウセイー１，トーナメントー２”；M
２０　IF　M=1　THEN　１２０
３０　INPUT“チーム　スウ”；A
４０　FOR　L=1　TO　１０
５０　IF　２＾L＝＞A　THEN　７０
６０　NEXT　L
７０　PRINT“シアイ　スウ”；A-1
８０　PRINT“フセンショウチームスウ”；２＾L−A
９０　PRINT”ユウショマデノ　シアイスウ”；L
１００　IF　INKEY$=“”　THEN　１００
１１０　GOTO３０
１２０　PRINT“トチュウチョウセイ”
１３０　D=０：C=０：B=０：INPUT“チーム　スウ”；Ａ
１４０　IF　Ａ＝１　ＴＨＥＮ　ＰＲＩＮＴ“イレナオシテクダサイ”：ＧＯＴＯ　１３０
１５０　B=A
１６０　IF　B＝＜１　ＴＨＥＮ　ＰＲＩＮＴ“ユウショウマデ”；D；“シアイーフセンショウチームスウ”；C
　　　　：ＧＯＴＯ　１３０
１７０　PRINT　B；
１８０　IF　FRAC(B／２)＞０　ＴＨＥＮ　Ｂ＝ＩＮＴ（−（Ｂ／２）＊（−１）：
　　　　Ｃ＝Ｃ＋１：Ｄ＝Ｄ＋１：GOTO　２００
１９０　Ｂ＝Ｂ／２：Ｄ＝Ｄ＋１
２００　GOTO　１６０

このプログラムを実行します
トチュウチョウセイー１，トーナメントー２　と　聞いてきますので２と入力して EXE　を押し実行します。
チーム　スウ？　と聞いてきますので　高校の場合なので　４９　と入力します。
瞬時に答えが次のように出ます。
　　　　シアイ　スウ　　　 ４８
　　　　フセンショウチームスウ　　１５
　　　　ユウショウマデ　ノ　シアイスウ　 ６

EXEを押すと　チーム　スウ？　と聞いてきますので　神奈川大会の場合なので１９８ と入力します
瞬時に答えが次のように出ます。
　　　　シアイ　スウ　　 　１９７
　　　　フセンショウチームスウ　　５８
　　　　ユウショウマデ　ノ　シアイスウ　 　８

次に最初から２チームを組むとどのようになるか調べます
トチュウチョウセイー１，トーナメントー２　と　聞いてきますので１と入力して EXE　を押し実行します。

チーム　スウ？　と聞いてきますので　高校の場合なので　４９　と入力します。 瞬時に答えが次のように出ます。
４９　２５　１３　７　４　２　　　ユウショウマデ６シアイーフセンショウチーム スウ４　と表示されます

チーム　スウ？　と聞いてきますので　神奈川大会の場合なので　１９８　と入力 します。
瞬時に答えが次のように出ます。
１９９　９９　５０　２５　１３　７　４　２　ユウショウマデ８シアイーフセン ショウチームスウ４　と表示されます

プログラム中１８０行のFRACは小数点以下の値を返す関数です。
したがって　　　　　　FRAC（B／２）と　B／２−ＩＮＴ（Ｂ／２）は同じ値が出ま す
小数点以下があるか、どうかで奇数、偶数の判断をしています。
MOD関数はエクセルにありますが割り算の余りを出します。２で割るので余りがある ことは奇数と判断します。
エクセルのユーザーフォームでプログラムを作る場合はB／２−ＩＮＴ（Ｂ／２）を 使うのが良いでしょう。
ＩＮＰＵＴはVal(TextBox1.Text)で入力しＰＲＩＮＴはLabel1.Caption で出力します（VisualBasicでは TextBox1.Text はText1.text となります）
このプログラムをCommandButton１のコードに記述し実行します
今は、NEC　PCー8201（ハンドヘルドコンピュータ）も総動員して問題に取り組んで います。



解答・その10

（ペンネ−ム：teki）

（１）　４８試合
（２）　６試合
（３）　１５チーム
（４）　４チーム

＜考え方＞
（１）は超有名な問題で、１試合行う度に１チームが負けて消えるので、優勝チーム を除いて、必ず１つ負けることになります。 よって、試合数は、参加チーム数−１となります。

（２）は、４９チームでトーナメントを行った場合、１回戦からの参加だと、２６＝６４ なので６試合行うことになります。
一般的には、参加チーム数をNとすると、２ｎ-１＜N＝＜２ｎとなるｎが試合数です。

（３）は、１回戦終了時に３２チームが残るような組合せとなるので、６４−４９＝１５ チームが１回戦不戦勝となります。
（逆の考え方で言うと、１回戦を全て行うのに必要なチーム数は６４ですので、架空 の１回戦を行った時の架空の１回戦参加チーム数とも言えます。）

（４）は、４９チームで実施した場合、最初に１、次に１、・・・のように数えてもできますが ２進法表記にすれば、もっと簡単にわかります。
４９を２進法表記にすると、１１０００１　となりますが、１と１の間にある０の数+１ が答えですね。（但し、１が１つしかない場合は０チームと考えます。）

神奈川県大会では
試合数は、１９７試合
１回戦から参加すると、８試合戦うことになります。
また、１回戦調整方式の不戦勝チーム数は、５８チーム、途中調整方式の不戦勝
チーム数は、４チームですね。



解答・その11

（ペンネ−ム：Toru）

（１） 例によって、引き分けはないものとすると、一試合ごとに負けた一つのチー ムが対応し、優勝校だけが負けないので

　　　４９―１＝４８

４８試合となります。

（２）（３）の方式とすると２５＝３２、２６＝６４ですから

　　　４９→３２→１６→８→４→２→１

と計６回勝つ必要があることになります。

（３） 一回戦の勝者と免除者をあわせて３２となるようにするわけですから免除さ れるチーム数をXとして

　　　X＋（４９―X）／２＝３２

を解いて、X＝１５、あるいは幻のチーム６４―４９＝１５チームを加えて６４チームと考えて、みんな一回戦をやると考えれば、幻チームと対戦するチームが不戦勝となりますから１５チーム

（４） ４９＝２４x２＋１（２５チーム残る、不戦勝は１チーム）以下同様に

　２５＝１２x２＋１　１３＝６x２＋１　７＝３x２＋１　４＝２x２　２＝１x２

ということから不戦勝のチームはのべ４チームということになります。また（３）と同様に 奇数になったら必ず負ける幻のチームを１チームたすと考えた方がよいかもしれませ ん。

（５） 神奈川県大会の場合も同様に
　（１）１９７試合（２）８回（３）５８チーム（４）４チーム

（６） 途中調整方式は以前似た問題があったような気がしますが、結局１を加える か、２で割るということになって、２進法で書くと見通しがよくなるようです。例え ば４９を二進法では

　　　４９=110001=100000-1111

から幻のチームが４チーム必要。

　　　１９８=11000110=100000000-111010

でやはり４チーム。




解答・その12

（ペンネ−ム：小学名探偵）

（１）１試合毎に１チーム消えていくので、４９−１＝４８試合です。

（２）２６＞４９＞２５から６試合です。

（３）２６-４９＝１５チームです。

（４）４９＝２４*２+１，２５＝１２*２+１，１３＝６*２+１，７＝３*２+１， ４＝２*２，２＝１*２から+１の数である４チームです。

問い（４）について、
問い（３）から２６-４９＝１５となり、この１５を２進数で表わすと、 １１１１となります。この１の数は４であり、４チームが不戦勝チームの 合計です。
第１ラウンドで１チームが不戦勝となり、 第２ラウンドでも１チームが不戦勝になりますが、このチームは２チームの勝ち上がりチームなので ２チームを不戦勝の機会が与えられたチーム＝不戦勝候補チームと呼ぶとその数は２です。同様にして、 第３ラウンド、第４ラウンドの不戦勝チーム数はそれぞれ４、８チームとなります。 つまり、トーナメント表に書いた場合、１+２+４+８チームは、５回勝てば優勝できます。 その意味で１回戦調整方式の不戦勝チームの数１５と同じです。



解答・その13

（ペンネ−ム：高橋　道広）

(1)１試合ごとに１チームが敗退するので　48校が去るには48試合必要
神奈川大会は　197試合ですね。

(2)49より大きい最小の2nのやぐらを組むわけですから　32<49<64より 架空のチーム64-49=15チームを加え（架空のチームはかならず負けると 想定するのです）　15チームが2回戦から49-15=34チームが１回戦から 戦う事になります。64=26より　6試合します。
神奈川大会は　128＜198＜256なので　256=28から　8試合です

(3)　(2)で書いたように架空のチームと戦うと想定した15チームが不戦勝となります
神奈川大会の場合は256-198=58より58チームが不戦勝です。

(4) 奇数の時は　架空の１チームを連れてきて対戦、偶数のときはそのまま 2チームづつ対戦するという風に考えるのですから 奇数のときは１を足して２で割り、偶数のときは２で割ることを繰り返します。

　49→25→13→7→4→2→1　となり

１より大きい奇数の個数は4つなので４試合が不戦勝となります。

別解
49(10進法)=110001(2進法）を1000...0（２進法）にするには　 110001+1111=1000000なので4試合となります。 この方法について説明します。

＜＜1111の求め方について＞＞
すべての桁が1に成るには何を足すといいか考えます。 1110を足すことといいのですから（0の部分を１に　１の部分を0にする） ＋１して1111を得ます。

＜＜これで出る理由＞＞
１桁目が１回戦を表し　ここでは奇数なので１チームを連れてき ます。するとはじめのチーム数は110010チームであるときを考えると いう事になります。
今度は２桁目が2回戦目でこのとき奇数チームになりますから１チーム 連れてくることになりチーム数は110100をかんがえることと同じ。 ...と同様に考えていくと、どの桁かが１となるとき、その桁に１を足す （１チーム連れてくる=不戦勝）ということになることがわかります。 それで1000...000の形になるといいことがわかります。この方法では 1111は　１回戦2回戦3回戦4回戦で架空のチームが必要（不戦勝）という こともわかります。

198校のときは
解１
198→99→50→25→13→7→4→2→1　より１より大きな奇数は4つなので4試合

解２
198(10進法）=11000110（２進法）　11000110+111010=10000000より　４試合と なります。
上と同様に、この111010の簡単な出し方は　11000110+111001=11111111という ようにすべて１と成るものを見つけ　111001+1=111010によって数を得ることで 出せます。
解３
上の解１と解２の方法を理解すると　次のように出す事ができることが わかります。
128＜198＜256より　256-198=58　58(10進法）=111010(2進法）より　 4チームが不戦勝でそれは　2,4,5,6回戦目である。



正解者

teki 巷の夢 Toru
杖のおじさん やなせ aa
夜ふかしのつらいおじさん 桂おとこ 柿本　浩
高橋　道広 小学名探偵 リナライ
Y.M





まとめ

今年の夏の全国高校野球大会は、茨城県代表の常総学園の優勝で終わりました。 因みに常総学園の試合数は６試合でした。 神奈川県代表の横浜商大は残念ながら１回戦で負けてしまいました。残念！　
今回の問題は、キーワード、いやキーナンバーが「２」であることにお気づきでしょうか？
（４）については、チーム数と等しいかもしくは超える２の累乗（２ｎ）の中で最も小さい数からチーム数をひいた数、この問題の場合は、

　　　６４−４９＝１５

ですから１５になります。これを２進数にした時に並ぶ１の個数が答えになります。
１５というのは、Toruさんの解答にあるように幻のチーム数であり、この幻のチームと対戦するチームが不戦勝とを考えるとわかりやすいと思います。小学名探偵さんの解答も同様ですね。 高橋　道広さんの解答の中でも説明していただいていますので、参考になると思います。
トーナメント戦の組み方と２進法がつながるというのも、おもしろいですね！







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