８．魚屋の問題
よしこさんは魚屋さんで次の魚をどれも１尾以上、 ちょうど３６００円分買いました。
さて、よしこさんはあじを何尾買ったことになるでしょうか。
- さば （１尾あたり １３０円）
- あじ （１尾あたり １７０円）
- いわし（１尾あたり ７８円）
- さんま（１尾あたり １０４円）
問題の出典
算数オリンピック第１回予選問題
算数オリンピックに挑戦
雅 孝司編
講談社・ブル−バックス
答えと解説
回答・その１
（ペンネ−ム：ＦＬＡＳＨ！）
いわしとさんまの100の位がちょうどになるのは、
いわし 156円(2) 312円(4) 468円(6) 624円(8) さんま 1144円(11) 2288円(22) 832円(8) 1976円(19) 計 1300円 2600円 1300円 2600円 の４つ。
残金 3600円-1300円=2600円
さばとあじの合計が2300円となるのは、
さば 260円(2) あじ 2040円(12) 計 2300円
つまり、 いわし 156円(2) さんま 1144円(11) さば 260円(2) あじ 2040円(12) 計 3600円
従って答え、あじは１２匹買った。
回答・その２
（ペンネ−ム：はなフムフム）
全部の魚を１尾ずつ買うから
3600-(130+170+78+104)=3118
計算しやすいように、２で割る。
3118 1559 130 65=5×13 170 85=5×17 78 39=3×13 104 52=4×13 とする。
1559=13x+17y(x≦119、y≦91)
さらに、yは必ず５の倍数だから、y=5､10､15､20･･･90 と代入し、xが整数になる組み合わせを探す。
y=55、x=48の時のみ。
よって、あじは1+11=12。
回答・その３
（ペンネ−ム：コレクトコ−ルは１０６番！）
問題文は「あじ」についてのみ問うている。 何故かと考え、「あじ」の価格の数値の特徴が他の魚の価格の 特徴と何か違うのではないか、と考えた。 で、素因数分解してみた。
さば 130=2×5×13 あじ 170=2×5×17 いわし 78=2×3×13 さんま 104=23×13 合計額 3600=24×32×52と、「あじ」の数値にのみ「17」が含まれ、 他の数値には「13」が含まれていることがわかった。
これは、
[3600-(170×a)]÷13=b
ここで、3600は合計金額、170は「あじ」の価格、 aは「あじ」の尾数、13は他の魚の素因数、 bは他の魚の各々の尾数×価格÷13、の合計
上の式の数値bが整数であればよいということになるのでは と思ったが、じゃ、どうやってaやbを求めればよいか。
これといった方法は思いつかなかった。
aについて見てみると、これは尾数であるから、 いうまでもなく正の整数であり、bも正の整数でなければならないため、
[3600-(170×a)]÷13>0 として不等式を解くと、
a<21+3/17となり、
aは0<a≦21を満たす整数となる。
ここまでわかったので、あとは電卓でひとつひとつ検証していった結果、
[3600-(170×12)]÷13=120
となり、他にはなかった。とにかくa=12が判明。
少々こじつけ気味ではあるが、あじは１２尾。
回答・その３・コメント
なぜ「あじ」か、というアプロ−チがすごい！
正解者（ペンネ−ム）
S.I.
ｓｈｉｂａ−ｓｈｉｂａ
一行エロ日記
masa
ＦＬＡＳＨ！
コレクトコ−ルは１０６番！
おかめなっとう
はなフムフム
まとめ
この問題で作ることのできる方程式は、
130×a+170×b+78×c+104×d=3600
未知数４つに対して、式が１つしかないのでお手上げです。
しかしながら、ここで注目してほしいことは未知数a、b、c、dすべてが
１以上の整数でなければならないということで、
これはかなり強い条件です。
さらにそれぞれの魚の価格130,170,78,104を見ると、
あじの価格170だけが因数13を持っていない、
ということに気づくと一気に答えが出ます。
先程の130×a+170×b+78×c+104×d=3600
という式を13で割った余りに注目して考えます。
さて、合同式の書き方を確認しましょう。
たとえば、14≡1(mod13)
つまり、13の剰余類で同じグル−プに属するということ、
もう少し平たく言うと13で割ったあまりが同じということ。
６月１日≡６月８日(mod7)つまり、同じ曜日だということ。
(左辺)＝130×a+170×b+78×c+104×d ＝13×10×a+(13×13+1)×b+13×6×c+13×8×d ＝13×(10×a+13×b+6×c+8×d)+b ≡b(mod13) 170以外は皆13で割り切れます。170の13による剰余は１ですから。 一方、 (右辺)＝3600 ＝13×276+12 ≡12(mod13) 従って、 b≡12(mod13) つまり、b=12､25､37･･･
ところが、あじを25尾買ってしまうとそれだけで3600円を越えてしまい、 他の魚が買えない！！（１以上の整数というのが強い条件だという所以） それでは困る。と、いうわけで買ったあじは１２尾。
寄せられた回答の中には、「答えをみ−つけた！」 というのがいくつかありました。 答えの存在性をいうならそれでいいわけですが、 一般に「方程式を解く」というのは、 与えられた条件を満たす解をすべて求めることを 意味します。 この問題の場合もこれにあたると思いますから、 解の一意性（これ以外に解はない）を示さないと厳密にはだめですね。
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