Weekend Mathematics問題/問題77



77.タイルの問題

たて、よこの長さがそれぞれ 9cm、13cmの長方形のタイルを、下の図のように 1cmあけて、 正方形に並べました。並べたタイルは、もっとも少なくしたとき何枚ですか。













問題の出典


算数100の難問・奇問
中村義作
講談社ブルーバックス
(早稲田中)





答えと解説





答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:ばんちゃん)

最初に縦方向を考えます。
タイルの枚数をNとすると、縦方向の長さは 9N+N−1 となります。
Nを1から順に代入すると 9、19、29、39、49、59、69、・・・となります。
この結果から分かることは第1位は9である。
それ以外は全てが出現する。(故に、第1位だけ考えれば良い)

次に横方向を考えます
タイルの枚数を同じくNとすると、横方向の長さは 13N+N−1 となります。
Nを1から順に代入すると 13、27、41、55、69、・・・となります。
この結果から分かることは増分は14である。
ここで第1位だけを考えてみると 3、7、1、5、9、3、 となり5回で元に戻ります。

結論
横方向の長さの第1位が9の場合は全て正方形になる。
横方向で第1位が9になるのはタイルが5の倍数の場合である。
故に、最小枚数は横方向が5枚の場合である。(長さは69となる)
縦方向が69の時は7枚必要です。

従ってタイル枚数は5×7=35枚である。

以下、正方形になるケースは
横方向が5の整数倍(5、10、15、20、・・・)の時で
縦方向は7の整数倍(7、14、21、28、・・・)の時である。



解答・その2

(ペンネ−ム:teki)

答え 35枚(縦7枚×横5枚)

<解法>
縦n枚×横m枚を並べた場合の縦横の長さは、それぞれ、10n-1、14m-1となります。
これをこのまま10n-1=14m-1として解いても、10と14の最大公約数の2で割ってn=7、m=5が求まるのですが、もっと小学生的に解こうとすると、縦の長さの1の位に着目することで、小学生低学年の人にも解けます。
縦の長さは10n-1ですので、1の位は必ず9で、しかも全ての1の位が9の自然数が 該当することが解ります。
従って、14m−1の1の位を9にする最小のmを求めればいいことになります。
よって、m=5、この時、n=7で、枚数は5×7=35枚です。



解答・その3

(ペンネ−ム:mhayashi)

たてに x 枚,よこに y 枚並べるとすると


よって正方形になるためには

      10x-1=14y-1
    ⇔ 5x=7y

x および y が正の整数かつ最小なのは x=7 , y=5 のときである.

求めるタイルの枚数は xy すなわち 7*5=35
よって 35 枚のときタイルはもっとも少ない.



解答・その4

(ペンネ−ム:kiyo)

たて X枚 よこ Y枚 とする。

9*X+(X-1)=13*Y+(Y-1)         Y=(5/7)*X

 最小は、X=7 Y=5
 答え 35枚。




解答・その5

(ペンネ−ム:やなせ)

問題のままの図式でお答えしますね
縦の長さは 9cm×数A+A−1=10A−1になります
横の長さは 13cm×数B+B−1=14B−1になります
正方形って事なので

   10A−1=14B−1
   10A=14B

もっとも少ない数ってことなので詰まるところ 10と14の最小公倍数を求め1cmを引けば 正方形の一辺の長さになります (最小公倍数の求め方はとばしちゃいますね)
ここから正方形の辺の長さは69cm
タイルの数は縦69÷9=7余り6
横は69÷13=5余り4
合計は7×5=35
最終答え35枚です。




解答・その6

(ペンネ−ム:三角定規)

《解》
タイルを、縦にm枚、横にn枚並べるとすると、
正方形の縦の長さは、9m+m−1 …@
    横の長さは、13n+n−1 …A
正方形になるのだから@Aは等しく、
  10m=14n ∴ 5m=7n   …B
Bを満たし、mnが最も小さくなるのはBR>   m=7,n=5 の mn=35  …[答]



解答・その7

(ペンネ−ム:巷の夢)

設置するタイルの横の枚数をx、縦の枚数をyとすると、全体の形が正方形になるので

    14(x-1)+13 = 10(y-1)+9 が成立する。

この方程式を解くと、 7x = 5yとなり、x、yを満たす最小の整数は x = 5 、y = 7となる。 因って求める枚数は xy = 35 枚である。



解答・その8

(ペンネ−ム:柿本 浩)

縦にn枚のタイルを並べた時の高さを考えると
まずタイルの高さの合計は タイルの高さ×枚数 = 9×n [cm]

そしてタイルとタイルの間には1cmずつの隙間があけてあり
その隙間の数は タイルの枚数−1 となるため
隙間の高さの合計は 隙間の高さ×隙間の数 = 1×(n−1) = n−1[cm]

よって全体としての高さは
タイルの高さ合計+隙間の高さ合計 = 9n+n−1 = 10n−1[cm]

同様に横にm枚のタイルを並べた時の幅は
   (13×m)+(m−1) = 14m−1[cm]

タイルの並びが正方形になる、即ち縦横の長さが一致する
   10n−1 = 14m−1
の式を満たす最小のn,mは
n=7 , m=5 となり
縦に7枚、横に5枚で 7×5 = 35[枚] 並べた場合に
69cm × 69cm で最も小さい正方形となる事が分かる。



解答・その9

(ペンネ−ム:たけぐみの番)


縦の枚数をx 横の枚数をyとすると縦と横の長さが等しく、隙間は双方の枚数よりそれぞれ1箇所少ないため、

   9x+(x-1)=13y+(y-1)
   10x-1=14y-1
   10x=14y
   5x=7y

5と7の最小公倍数=35
よって x=7 y=5 x×y=7×5=35



解答・その10

(ペンネ−ム:shihants)

Xを縦に並べるタイルの数、Yを横に並べるタイルの数とすると、 縦の辺と横の辺が等しい場合は、

   9X+(X-1)=13Y+(Y-1)

となる。(X-1,Y-1はそれぞれタイルの間の1cmの幅を表す。)
これを簡単にすると、Y=(5/7)Xとなる。
グラフを描くと簡単だが、この式でX,Yが両方正の整数になるもっとも低い点は(7,5)である。 よって、縦に七枚、横に五枚並べればいいので、7x5=35で、35枚。

9x7+6=69,13x5+4=69で両辺は等しく、正方形であることが確認できる。



解答・その11

(ペンネ−ム:Underbird)

タイルを横にm枚、縦にn枚並べたとすると、 横は、13*m+(m-1)、縦は、9*n+(n-1)より

  14*m-1=10*n-1
  7*m=5*n

よって、m=5*k , n=7*k (k=1,2,3....)となるので 最も少ない枚数はm=5 , n=7より
35枚・・・(こたえ)



解答・その12

(ペンネ−ム:信三)

タイルの形を縦横それぞれ1ずつ大きくしたものを考えると、これを密着して敷 き詰めて正方形を作る問題になります。横14、縦10のタイルを横に何枚か並 べた長さと、縦に何枚か並べた長さが等しくなる長さは、14と10の最小公倍 数となります。これは70です。従って、横に5枚、縦に7枚並ぶことになり、 全部で35枚使います。なお、出来上がる正方形の辺の長さは、69(センチ) になります。



解答・その13

(ペンネ−ム:リナライ)

まず、縦横双方の長さが幾つになるかと言うと、縦に並べるタイルの枚数をn、横に並べるタイルの枚数をmとすると

   縦……9n(タイルだけにした時の長さ)+n-1(隙間の長さ)=10n-1
   横……13m(タイルだけにした時の長さ)+m-1(隙間の長さ)=14m-1

となります正方形に並べるために

   10n-1=14m-1
   10n=14m
   5n=7m

よって、タイルの枚数が最小になるのはn=7、m=5
7×5=35枚並べれば良い訳です



解答・その14

(ペンネ−ム:yokodon)

題意のタイルを横に x 枚、縦に y 枚並べて、題意のやり方で正方形を作ることを 考えます。
1 m のすき間が、横には x - 1 ヶ所、縦には y - 1 ヶ所出来るので、辺の長さに 関して、

   13x + (x - 1) = 9y + (y - 1)

が成り立ちます。これを整理して、

   7x = 5y

となります。これを満たす自然数 x, y の最小値の組み合わせは

   (x, y) = (5, 7)

です。従って、求める枚数は 5×7 = 35 枚…(答)、です。
テーマは、整数の「互いに素」でしょうか?



解答・その15

(ペンネ−ム:モルモット大臣)

題意から縦9cm,横13cmのタイルを縦にX枚、横にY枚(X,Yは自然数)並べるとすると
縦の長さは9X+1×(X-1)=10X-1、横の長さは 13Y+1×(Y-1)=14Y-1
正方形となることから縦=横だから 10X-1= 14Y-1
よって10X=14YからX=7Y/5より最小のY=5、この時X=7
以上より求める枚数は5×7=35
答 35枚



解答・その16

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

答は、35枚です。
並べ終わった状態のタイルの枚数をたてa枚、よこb枚とします。
すると正方形の一辺をたてで考えると、タイルのたての長さが9cm、タイルとタ イルの間が (a−1) 個あるので、
9a+(a−1)=10a−1 cm です。
同様によこで考えると、タイルのよこの長さが13cm、タイルとタイルの間が (b−1)個あるので、
13b+(b−1)=14b−1 cm です。
この二つの長さが等しいので 10a−1=14b−1
整理すると 5a=7b
この方程式を満たす最小の自然数は、5と7が互いに素なので、(7,5)とな ります。
よって最小の枚数は 7×5=35 枚です。




解答・その17

(ペンネ−ム:浜田 明巳)

縦7,横5,辺の長さ69,枚数35枚となります.

Option Explicit
Const A As Integer = 9
Const B As Integer = 13
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = "縦"
    Cells(1, 2).Value = "横"
    Cells(1, 3).Value = "長さ"
    Cells(1, 4).Value = "枚数"
    Range("D2").Select
    '
    Dim tate As Integer
    Dim yoko As Integer
    Dim tate_nagasa As Integer
    Dim yoko_nagasa As Integer
    Dim owari As Integer
    yoko = 1
    tate = 1
    yoko_nagasa = B
    tate_nagasa = A
    owari = 0
    While owari = 0
      If yoko_nagasa < tate_nagasa Then
        yoko = yoko + 1
        yoko_nagasa = yoko_nagasa + 1 + B
      ElseIf tate_nagasa < yoko_nagasa Then
        tate = tate + 1
        tate_nagasa = tate_nagasa + 1 + A
      Else
        owari = 1
      End If
      Cells(2, 1).Value = tate
      Cells(2, 2).Value = yoko
      Cells(2, 3).Value = tate_nagasa
      Cells(2, 4).Value = tate * yoko
    Wend
End Sub
Sub Macro2()
    Sheets("Sheet2").Select
    Cells(1, 1).Value = "縦"
    Cells(1, 2).Value = "横"
    Cells(1, 3).Value = "長さ"
    Cells(1, 4).Value = "枚数"
    Cells(1, 5).Value = 0
    Range("D2").Select
    '
    Dim tate As Integer
    Dim yoko As Integer
    Dim tate_nagasa As Integer
    Dim yoko_nagasa As Integer
    Dim owari As Integer
    yoko = 1
    tate = 1
    yoko_nagasa = B
    tate_nagasa = A
    owari = 0
    While owari = 0
      If yoko_nagasa < tate_nagasa Then
        yoko = yoko + 1
        yoko_nagasa = yoko_nagasa + 1 + B
        ElseIf tate_nagasa < yoko_nagasa Then
        tate = tate + 1
        tate_nagasa = tate_nagasa + 1 + A
      ElseIf tate <= 200 Then
        Cells(1, 5).Value = Cells(1, 5).Value + 1
        Cells(Cells(1, 5).Value + 1, 1).Value = tate
        Cells(Cells(1, 5).Value + 1, 2).Value = yoko
        Cells(Cells(1, 5).Value + 1, 3).Value = tate_nagasa
        Cells(Cells(1, 5).Value + 1, 4).Value = tate * yoko
        yoko = yoko + 1
        yoko_nagasa = yoko_nagasa + 1 + B
        tate = tate + 1
        tate_nagasa = tate_nagasa + 1 + A
      Else
        owari = 1
      End If
    Wend
End Sub




解答・その18

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

横13cmのタイルをn枚並べた時の長さは、14n-1 cm
縦9cmのタイルをn枚並べた時の長さは、10n-1 cm

枚数10・・・n
1327 4155 6983 97111 125139 14n-1
9 19 29 39 4959 6979 8999 10n-1

この場合正方形となるのは、縦の長さの下一桁が9となることがわかりますので、 横の長さが下一桁目9となる枚数を計算します。上の表から見ても5枚とわかります。 従って答えは、横5枚、縦7枚、使用枚数は5×7=35枚となります。

正方形となる使用枚数は次の通りです。

 ・・・
横使用枚数510 1520 25・・・ 5n
縦使用枚数7 14 21 28 35・・・ 7n
総使用枚数35 140 315 560 875・・・ 35n2





解答・その19

(ペンネ−ム:テモ)

Excelで解きました。 小さい順に

   1番目は 5×7=35
   2番目は10×14=140
   3番目は15×21=315
   ・
   ・
   N番目は35×N×N

Excel は数学を解く上で非常に強力なツールになりますが、 一方余り考えなくても済むので、ちょっと弊害があるかも知れません。 なるべく鉛筆を持って昔からのやり方で解く方が頭の為には良いかもしれません。



解答・その20

(ペンネ−ム:Toru)

図のようにということで、タイルの向きは一定と考えて、縦にM個、横にN個、並べる と考えると、縦の長さは、すき間の(M−1)cmを加えて

   9M+(M−1)=10M−1(cm)

横の長さは同様に

   13N+(N−1)=14N−1(cm)

これが正方形になるためには、

   10M−1=14N−1

より、M=7N/5よってNは5の倍数で最小はN=5、 この時M=7よって求めるタイルの数は5×7=35個−−−−−答え

正方形とのことで、すき間があっても相殺されてしまって、問題にならないですが、 長方形ならどうかということを少し考えてみました。
縦:横=a:b(a,bは正の整数で互いに素)としてみると、

   (10M−1):(14N−1)=a:bより14aN―10bM=a−b

この不定方程式が整数解を持つ条件を考えると、a−bは2の倍数だから、a、bともに偶数あるいは奇数だが、a、b互いに素であるから、偶数は題意に合わず、ともに奇数、aが5の倍数の時、a−bも5の倍数となり、よってbも5の倍数となって不適、bが7の倍数の時も同様に不適。逆にa、bともに奇数、aは5の倍数でなく、bは7の倍数でないとすれば7aと5bは互いに素なので、 上の不定方程式(の全体を2で割ったもの)は必ず整数解をもつ、この1つを(No,Mo)とすれば(No+5bt, Mo+7at) (tは整数)も解となるので、必ず正の整数解の組をもつ。
たとえばa=3、b=5として考えてみると、25M−21N=1 M−N=N’ と すると4M+21N’=1 更にM+5N’=M’とすると4M’+N’=1よってM’=0、 N’=1は題意を満たし、これから逆に計算して、M=−5、N=−6、一般解は

   (M,N)=(21t−5,25t−6)

よってこの場合の最小のタイルの数はt=1として16×19=304



解答・その21

(ペンネ−ム:仮面X)

縦と横に1cmずつたして、10と14の最小公倍数70から
70÷10=7、70÷14=5、7×5=35
答  35枚




解答・その22

(ペンネ−ム:kirkland)

A君「こんなの、実際に書いていけば楽勝じゃないですか!」
先生「計算でやれ!」
A君「隙間の扱い方が面倒ですよ。タイルの数と隙間の数が違うし。」
先生「そろえろ!」
A君「おーっ、ナイスアイディア!もう1つ余分に隙間を作ればいいんですね。【下図】
縦横1cmずつのばしても正方形ですし、これだと、縦10cm、横14cmの長方形を1かたまりと考えることができますね。10と14の最小公倍数は70だから、のばしてできる正方形の一辺は70cmです。このとき、10cm×14cmの長方形は、縦に7個、横に5個並ぶので、合計35枚で〜す。」
先生「正解だ!」
A君「なんか、今日はご機嫌ななめですね。」
先生「安芸乃島が引退して落ち込んでいるんだ!」
A君「何県にある島ですか?」







解答・その23

(ペンネ−ム:Y.M)

縦にx枚、横にy枚並べたとします。
条件より、

   9x+(x-1)=13y+(y-1) 

が成り立ち、これを整理すると、

   10x-1=14y-1
  ⇔10x=14y 
  ⇔x:y=7:5

となります。
タイルの枚数x,yは共に自然数なので、 縦に7枚、横に5枚、即ち計35枚並べると、 最小の枚数で正方形が成立します。

   答え:35枚

、と何か中学的な解き方だったのでできるだけ小学校の範囲で解いてみました↓



上の図のように"縦10、横14"の架空のタイルで考えてみます。
すると、10と14の最小公倍数をとって 70。
即ち1辺70cm(実際は1辺69cmです)の正方形が、最小の正方形ということになります。

したがって、

   (70÷10)×(70÷14)=35

答え:35枚

何かわかり辛いですね…(笑



解答・その24

(ペンネ−ム:午年のうりぼう)

タイルの使用枚数のみを答えるのであるから、9cm×13cmの長方形のタイル(図1右)を並べることを考えるのではなく、10cm×14cmの長方形のタイル(図1左)を並べることにより、隙間の1cm(図2)を埋めて、隙間なく並べる(図3)ことを考える。

このようにしても、図3を図2に重ねた図 4よりも明らかであるが、求める答えは変わらない。


より少ない枚数でタイルを正方形に並べる のであるから、10と14との最小公倍数を まず求める。
  10=2×5
  14=2  ×7より、
  2×5×7=70
ゆえに、より少ないタイルで一辺が70cmの正方形を作ることができる。
よって、タイルの使用枚数は、
  70=10×7
  70=14×5より、
  7×5=35(枚) …(答)






解答・その25

(ペンネ−ム:高橋 道広)

今回の解答は…
14×10のタイルをすきまなく敷き詰めるということと同じです。 このときは1cm大きい正方形を得ることになります。 横にx個 たてにy個の長方形を並べたとき 横の長さ=縦の長さより

   14x=10yから7x=5y

xが5の倍数でなければならず x=5kであらわされます。 このとき y=7k であるから 最小の正の整数のペアは x=5 y=7の ときであり タイルの枚数は 35枚となる。
そのまま考えると(13+1)x-1=(9+1)y-1から  14x=10yと 同じ式になりますね。



正解者

巷の夢 浜田 明巳 kiyo
三角定規 teki 杖のおじさん
ばんちゃん やなせ リナライ
たけぐみの番 Y.M テモ
夜ふかしのつらいおじさん Toru Underbird
shihants 柿本 浩 高橋 道広
信三 モルモット大臣 yokodon
mhayashi kirkland 仮面X
午年のうりぼう





まとめ

「10n-1=14m-1」という方程式から、7と5の最小公倍数を答えていただければいいわけですね。
ところが、仮面XkirklandさんY.Mさん高橋 道広さん午年のうりぼうさんの解答にありますように、"縦10、横14"の架空のタイルを考えていただければ、面倒な方程式を立てずとも、14と10の最小公倍数、これなら暗算できますね。70、従ってできあがった正方形は1引いて1辺の長さが69cmです。

「10n-1=14m-1」という式を立てられた方は、次に「10n=14m」という式変形をある意味機械的にしていると思います。両辺に1を足しても等号が成り立つということですが、この式変形には別の意味がある(5人の方がなさったように正方形の外側に幅1cmの隙間を作って考えても同じこと) ということを考えると、単純な式変形も実はふかーい意味があるということを感じます。

また、Toruさんは長方形についての考察をしてくださいました。 正方形に比べると条件がむずかしいと思います。 結果、縦横比が任意の長方形を作ることができるということで、 大変興味深い結果だと思います。







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