Weekend Mathematics／問題／問題77



７７．タイルの問題

たて、よこの長さがそれぞれ　9cm、13cmの長方形のタイルを、下の図のように　1cmあけて、 正方形に並べました。並べたタイルは、もっとも少なくしたとき何枚ですか。







問題の出典


算数100の難問・奇問
中村義作
講談社ブルーバックス
（早稲田中）





答えと解説





答えと解説

解答・その１

（ペンネ−ム：ばんちゃん）

最初に縦方向を考えます。
タイルの枚数をＮとすると、縦方向の長さは　９Ｎ＋Ｎ−１　となります。
Ｎを１から順に代入すると ９、１９、２９、３９、４９、５９、６９、・・・となります。
この結果から分かることは第１位は９である。
それ以外は全てが出現する。（故に、第１位だけ考えれば良い）

次に横方向を考えます
タイルの枚数を同じくＮとすると、横方向の長さは　１３Ｎ＋Ｎ−１　となります。
Ｎを１から順に代入すると １３、２７、４１、５５、６９、・・・となります。
この結果から分かることは増分は１４である。
ここで第１位だけを考えてみると ３、７、１、５、９、３、　となり５回で元に戻ります。

結論
横方向の長さの第１位が９の場合は全て正方形になる。
横方向で第１位が９になるのはタイルが５の倍数の場合である。
故に、最小枚数は横方向が５枚の場合である。（長さは６９となる）
縦方向が６９の時は７枚必要です。

従ってタイル枚数は５×７＝３５枚である。

以下、正方形になるケースは
横方向が５の整数倍（５、１０、１５、２０、・・・）の時で
縦方向は７の整数倍（７、１４、２１、２８、・・・）の時である。



解答・その２

（ペンネ−ム：teki）

答え　３５枚（縦７枚×横５枚）

＜解法＞
縦ｎ枚×横ｍ枚を並べた場合の縦横の長さは、それぞれ、１０ｎ-１、１４ｍ-１となります。
これをこのまま１０ｎ-１＝１４ｍ-１として解いても、１０と１４の最大公約数の２で割ってｎ＝７、ｍ＝５が求まるのですが、もっと小学生的に解こうとすると、縦の長さの１の位に着目することで、小学生低学年の人にも解けます。
縦の長さは１０ｎ-１ですので、１の位は必ず９で、しかも全ての１の位が９の自然数が 該当することが解ります。
従って、１４ｍ−１の１の位を９にする最小のｍを求めればいいことになります。
よって、ｍ＝５、この時、ｎ＝７で、枚数は５×７＝３５枚です。



解答・その３

（ペンネ−ム：mhayashi）

たてに x 枚，よこに y 枚並べるとすると


よって正方形になるためには

　　　　　　10x-1=14y-1
　　　　⇔　5x=7y

x および y が正の整数かつ最小なのは x=7 , y=5 のときである．

求めるタイルの枚数は xy すなわち 7*5=35
よって 35 枚のときタイルはもっとも少ない．



解答・その４

（ペンネ−ム：kiyo）

たて　Ｘ枚　よこ　Ｙ枚　とする。

９*Ｘ+（Ｘ-１）＝１３*Ｙ+（Ｙ-１） 　　　　　　　　Ｙ＝（５/７）*Ｘ

　最小は、Ｘ＝７　Ｙ＝５
　答え　３５枚。




解答・その５

（ペンネ−ム：やなせ）

問題のままの図式でお答えしますね
縦の長さは　９ｃｍ×数Ａ＋Ａ−１＝１０Ａ−１になります
横の長さは　１３ｃｍ×数Ｂ＋Ｂ−１＝１４Ｂ−１になります
正方形って事なので

　　　１０Ａ−１＝１４Ｂ−１
　　　１０Ａ＝１４Ｂ

もっとも少ない数ってことなので詰まるところ １０と１４の最小公倍数を求め１ｃｍを引けば 正方形の一辺の長さになります （最小公倍数の求め方はとばしちゃいますね）
ここから正方形の辺の長さは６９ｃｍ
タイルの数は縦６９÷９＝７余り６
横は６９÷１３＝５余り４
合計は７×５＝３５
最終答え３５枚です。




解答・その６

（ペンネ−ム：三角定規）

《解》
タイルを、縦にｍ枚、横にｎ枚並べるとすると、
正方形の縦の長さは、９ｍ＋ｍ−１　…@
　　　　横の長さは、13ｎ＋ｎ−１　…A
正方形になるのだから@Aは等しく、
　　10ｍ＝14ｎ　∴ ５ｍ＝７ｎ　　 …B
Bを満たし、ｍｎが最も小さくなるのはBR> 　　ｍ＝７，ｎ＝５ の　ｍｎ＝35　 …［答］



解答・その７

（ペンネ−ム：巷の夢）

設置するタイルの横の枚数をｘ、縦の枚数をｙとすると、全体の形が正方形になるので

　　　　14(x-1)＋13 ＝ 10(y-1)+9 が成立する。

この方程式を解くと、 7x = 5yとなり、x､yを満たす最小の整数は x = 5 、y = 7となる。 因って求める枚数は xy = 35 枚である。



解答・その８

（ペンネ−ム：柿本　浩）

縦にｎ枚のタイルを並べた時の高さを考えると
まずタイルの高さの合計は　タイルの高さ×枚数　＝　９×ｎ　[ｃｍ]

そしてタイルとタイルの間には１ｃｍずつの隙間があけてあり
その隙間の数は　タイルの枚数−１　となるため
隙間の高さの合計は　隙間の高さ×隙間の数　＝　１×（ｎ−１）　＝　ｎ−１[ｃｍ]

よって全体としての高さは
タイルの高さ合計＋隙間の高さ合計　＝　９ｎ＋ｎ−１　＝　１０ｎ−１[ｃｍ]

同様に横にｍ枚のタイルを並べた時の幅は
　　　（１３×ｍ）＋（ｍ−１）　＝　１４ｍ−１[ｃｍ]

タイルの並びが正方形になる、即ち縦横の長さが一致する
　　　１０ｎ−１　＝　１４ｍ−１
の式を満たす最小のｎ，ｍは
ｎ＝７　，　ｍ＝５　となり
縦に７枚、横に５枚で　７×５　＝　３５[枚]　並べた場合に
６９ｃｍ　×　６９ｃｍ　で最も小さい正方形となる事が分かる。



解答・その９

（ペンネ−ム：たけぐみの番）


縦の枚数をｘ　横の枚数をｙとすると縦と横の長さが等しく、隙間は双方の枚数よりそれぞれ１箇所少ないため、

　　　9x+(x-1)=13y+(y-1)
　　　10x-1=14y-1
　　　10x=14y
　　　5x=7y

５と７の最小公倍数＝３５
よって　x=7　y=5　x×y＝7×5=35



解答・その10

（ペンネ−ム：shihants）

Xを縦に並べるタイルの数、Yを横に並べるタイルの数とすると、 縦の辺と横の辺が等しい場合は、

　　　9X+(X-1)=13Y+(Y-1)

となる。（X-1,Y-1はそれぞれタイルの間の１ｃｍの幅を表す。）
これを簡単にすると、Y=(5/7)Xとなる。
グラフを描くと簡単だが、この式でX,Yが両方正の整数になるもっとも低い点は(7,5)である。 よって、縦に七枚、横に五枚並べればいいので、7x5=35で、35枚。

9x7+6=69,13x5+4=69で両辺は等しく、正方形であることが確認できる。



解答・その11

（ペンネ−ム：Underbird）

タイルを横にm枚、縦にｎ枚並べたとすると、 横は、13*m+(m-1)、縦は、9*n+(n-1)より

　　14*m-1=10*n-1
　　7*m=5*n

よって、m=5*k , n=7*k (k=1,2,3....)となるので 最も少ない枚数はm=5 , n=7より
35枚・・・（こたえ）



解答・その12

（ペンネ−ム：信三）

タイルの形を縦横それぞれ１ずつ大きくしたものを考えると、これを密着して敷 き詰めて正方形を作る問題になります。横１４、縦１０のタイルを横に何枚か並 べた長さと、縦に何枚か並べた長さが等しくなる長さは、１４と１０の最小公倍 数となります。これは７０です。従って、横に５枚、縦に７枚並ぶことになり、 全部で３５枚使います。なお、出来上がる正方形の辺の長さは、６９（センチ） になります。



解答・その13

（ペンネ−ム：リナライ）

まず、縦横双方の長さが幾つになるかと言うと、縦に並べるタイルの枚数をｎ、横に並べるタイルの枚数をｍとすると

　　　縦……9ｎ（タイルだけにした時の長さ）+ｎ-１（隙間の長さ）＝10ｎ-１
　　　横……13ｍ（タイルだけにした時の長さ）+ｍ-1（隙間の長さ）＝14ｍ-1

となります正方形に並べるために

　　　10ｎ-1＝14ｍ-1
　　　10ｎ＝14ｍ
　　　５ｎ＝7ｍ

よって、タイルの枚数が最小になるのはｎ＝７、ｍ＝５
7×５＝35枚並べれば良い訳です



解答・その14

（ペンネ−ム：yokodon）

題意のタイルを横に x 枚、縦に y 枚並べて、題意のやり方で正方形を作ることを 考えます。
1 m のすき間が、横には x - 1 ヶ所、縦には y - 1 ヶ所出来るので、辺の長さに 関して、

　　　13x + (x - 1) ＝ 9y + (y - 1)

が成り立ちます。これを整理して、

　　　7x ＝ 5y

となります。これを満たす自然数 x, y の最小値の組み合わせは

　　　(x, y) ＝ (5, 7)

です。従って、求める枚数は 5×7 ＝ 35 枚…（答）、です。
テーマは、整数の「互いに素」でしょうか？



解答・その15

（ペンネ−ム：モルモット大臣）

題意から縦9cm,横13cmのタイルを縦にX枚、横にY枚(X,Yは自然数)並べるとすると
縦の長さは9X+1×(X-1)=10X-1、横の長さは 13Y+1×(Y-1)=14Y-1
正方形となることから縦＝横だから 10X-1= 14Y-1
よって10X=14YからX=7Y/5より最小のY＝5、この時X=7
以上より求める枚数は5×7=35
答 35枚



解答・その16

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

答は、３５枚です。
並べ終わった状態のタイルの枚数をたてａ枚、よこｂ枚とします。
すると正方形の一辺をたてで考えると、タイルのたての長さが９cm、タイルとタ イルの間が （ａ−１） 個あるので、
９ａ＋（ａ−１）＝１０ａ−１ cm　です。
同様によこで考えると、タイルのよこの長さが１３cm、タイルとタイルの間が （ｂ−１）個あるので、
１３ｂ＋（ｂ−１）＝１４ｂ−１ cm です。
この二つの長さが等しいので　１０ａ−１＝１４ｂ−１
整理すると　５ａ＝７ｂ
この方程式を満たす最小の自然数は、５と７が互いに素なので、（７，５）とな ります。
よって最小の枚数は　７×５＝３５　枚です。




解答・その17

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

縦７，横５，辺の長さ６９，枚数３５枚となります． 

Option Explicit
Const A As Integer = 9
Const B As Integer = 13
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = "縦"
    Cells(1, 2).Value = "横"
    Cells(1, 3).Value = "長さ"
    Cells(1, 4).Value = "枚数"
    Range("D2").Select
    '
    Dim tate As Integer
    Dim yoko As Integer
    Dim tate_nagasa As Integer
    Dim yoko_nagasa As Integer
    Dim owari As Integer
    yoko = 1
    tate = 1
    yoko_nagasa = B
    tate_nagasa = A
    owari = 0
    While owari = 0
      If yoko_nagasa < tate_nagasa Then
        yoko = yoko + 1
        yoko_nagasa = yoko_nagasa + 1 + B
      ElseIf tate_nagasa < yoko_nagasa Then
        tate = tate + 1
        tate_nagasa = tate_nagasa + 1 + A
      Else
        owari = 1
      End If
      Cells(2, 1).Value = tate
      Cells(2, 2).Value = yoko
      Cells(2, 3).Value = tate_nagasa
      Cells(2, 4).Value = tate * yoko
    Wend
End Sub
Sub Macro2()
    Sheets("Sheet2").Select
    Cells(1, 1).Value = "縦"
    Cells(1, 2).Value = "横"
    Cells(1, 3).Value = "長さ"
    Cells(1, 4).Value = "枚数"
    Cells(1, 5).Value = 0
    Range("D2").Select
    '
    Dim tate As Integer
    Dim yoko As Integer
    Dim tate_nagasa As Integer
    Dim yoko_nagasa As Integer
    Dim owari As Integer
    yoko = 1
    tate = 1
    yoko_nagasa = B
    tate_nagasa = A
    owari = 0
    While owari = 0
      If yoko_nagasa < tate_nagasa Then
        yoko = yoko + 1
        yoko_nagasa = yoko_nagasa + 1 + B
        ElseIf tate_nagasa < yoko_nagasa Then
        tate = tate + 1
        tate_nagasa = tate_nagasa + 1 + A
      ElseIf tate <= 200 Then
        Cells(1, 5).Value = Cells(1, 5).Value + 1
        Cells(Cells(1, 5).Value + 1, 1).Value = tate
        Cells(Cells(1, 5).Value + 1, 2).Value = yoko
        Cells(Cells(1, 5).Value + 1, 3).Value = tate_nagasa
        Cells(Cells(1, 5).Value + 1, 4).Value = tate * yoko
        yoko = yoko + 1
        yoko_nagasa = yoko_nagasa + 1 + B
        tate = tate + 1
        tate_nagasa = tate_nagasa + 1 + A
      Else
        owari = 1
      End If
    Wend
End Sub




解答・その18

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

横13cmのタイルをn枚並べた時の長さは、14n-1　cm
縦9cmのタイルをn枚並べた時の長さは、10n-1　cm

枚数１２３４５６７８９10･･･n
横1327 4155 6983 97111 125139 14n-1
縦9 19 29 39 4959 6979 8999 10n-1

この場合正方形となるのは、縦の長さの下一桁が９となることがわかりますので、 横の長さが下一桁目９となる枚数を計算します。上の表から見ても５枚とわかります。 従って答えは、横５枚、縦７枚、使用枚数は５×７＝３５枚となります。

正方形となる使用枚数は次の通りです。

　１２３４５・・・ｎ
横使用枚数510 1520 25・・・ 5n
縦使用枚数7 14 21 28 35・・・ 7n
総使用枚数35 140 315 560 875・・・ 35n2





解答・その19

（ペンネ−ム：テモ）

Excelで解きました。 小さい順に

　　　1番目は　５×７＝３５
　　　２番目は１０×１４＝１４０
　　　３番目は１５×２１＝３１５
　　　・
　　　・
　　　Ｎ番目は３５×Ｎ×Ｎ

Excel　は数学を解く上で非常に強力なツールになりますが、 一方余り考えなくても済むので、ちょっと弊害があるかも知れません。 なるべく鉛筆を持って昔からのやり方で解く方が頭の為には良いかもしれません。



解答・その20

（ペンネ−ム：Toru）

図のようにということで、タイルの向きは一定と考えて、縦にM個、横にN個、並べる と考えると、縦の長さは、すき間の（M−１）cmを加えて

　　　９M＋（M−１）＝１０M−１（cm）

横の長さは同様に

　　　１３N＋（N−１）＝１４N−１（cm）

これが正方形になるためには、

　　　１０M−１＝１４N−１

より、M＝７N／５よってNは５の倍数で最小はN＝５、 この時M＝７よって求めるタイルの数は５×７＝３５個−−−−−答え

正方形とのことで、すき間があっても相殺されてしまって、問題にならないですが、 長方形ならどうかということを少し考えてみました。
縦：横＝ａ：ｂ（ａ，ｂは正の整数で互いに素）としてみると、

　　　（１０M−１）：（１４N−１）＝ａ：ｂより１４ａN―１０ｂM＝ａ−ｂ

この不定方程式が整数解を持つ条件を考えると、ａ−ｂは２の倍数だから、ａ、ｂともに偶数あるいは奇数だが、ａ、ｂ互いに素であるから、偶数は題意に合わず、ともに奇数、ａが５の倍数の時、ａ−ｂも５の倍数となり、よってｂも５の倍数となって不適、ｂが７の倍数の時も同様に不適。逆にａ、ｂともに奇数、ａは５の倍数でなく、ｂは７の倍数でないとすれば７ａと５ｂは互いに素なので、 上の不定方程式（の全体を２で割ったもの）は必ず整数解をもつ、この１つを（No,Ｍo）とすれば(No+5bt, Ｍo+7at) (tは整数)も解となるので、必ず正の整数解の組をもつ。
たとえばａ＝３、ｂ＝５として考えてみると、２５M−２１N＝１　Ｍ−Ｎ＝N’　と すると４M＋２１N’＝１　更にM＋５N’＝M’とすると４M’＋N’＝１よってM’＝０、 N’＝１は題意を満たし、これから逆に計算して、M＝−５、Ｎ＝−６、一般解は

　　　（M,N）＝（２１ｔ−５,２５ｔ−６）

よってこの場合の最小のタイルの数はｔ＝１として１６×１９＝３０４



解答・その21

（ペンネ−ム：仮面Ｘ）

縦と横に１ｃｍずつたして、１０と１４の最小公倍数７０から
７０÷１０＝７、７０÷１４＝５、７×５＝３５
答　　３５枚




解答・その22

（ペンネ−ム：kirkland）

Ａ君「こんなの、実際に書いていけば楽勝じゃないですか！」
先生「計算でやれ！」
Ａ君「隙間の扱い方が面倒ですよ。タイルの数と隙間の数が違うし。」
先生「そろえろ！」
Ａ君「おーっ、ナイスアイディア！もう１つ余分に隙間を作ればいいんですね。【下図】
縦横１ｃｍずつのばしても正方形ですし、これだと、縦10ｃｍ、横14ｃｍの長方形を１かたまりと考えることができますね。10と14の最小公倍数は70だから、のばしてできる正方形の一辺は70ｃｍです。このとき、10ｃｍ×14ｃｍの長方形は、縦に７個、横に５個並ぶので、合計35枚で〜す。」
先生「正解だ！」
Ａ君「なんか、今日はご機嫌ななめですね。」
先生「安芸乃島が引退して落ち込んでいるんだ！」
Ａ君「何県にある島ですか？」







解答・その23

（ペンネ−ム：Y.M）

縦にx枚、横にy枚並べたとします。
条件より、

　　　9x+(x-1)=13y+(y-1)　

が成り立ち、これを整理すると、

　　　10x-1=14y-1
　　⇔10x=14y　
　　⇔x:y=7:5

となります。
タイルの枚数x,yは共に自然数なので、 縦に7枚、横に5枚、即ち計35枚並べると、 最小の枚数で正方形が成立します。

　　　答え：35枚

、と何か中学的な解き方だったのでできるだけ小学校の範囲で解いてみました↓



上の図のように"縦10、横14"の架空のタイルで考えてみます。
すると、10と14の最小公倍数をとって 70。
即ち1辺70cm(実際は1辺69cmです)の正方形が、最小の正方形ということになります。

したがって、

　　　(70÷10)×(70÷14)=35

答え：35枚

何かわかり辛いですね…(笑



解答・その24

（ペンネ−ム：午年のうりぼう）

タイルの使用枚数のみを答えるのであるから、９ｃｍ×１３ｃｍの長方形のタイル（図１右）を並べることを考えるのではなく、１０ｃｍ×１４ｃｍの長方形のタイル（図１左）を並べることにより、隙間の１ｃｍ（図２）を埋めて、隙間なく並べる（図３）ことを考える。

このようにしても、図３を図２に重ねた図 ４よりも明らかであるが、求める答えは変わらない。


より少ない枚数でタイルを正方形に並べる のであるから、１０と１４との最小公倍数を まず求める。
　　１０＝２×５
　　１４＝２　　×７より、
　　２×５×７＝７０
ゆえに、より少ないタイルで一辺が７０ｃｍの正方形を作ることができる。
よって、タイルの使用枚数は、
　　７０＝１０×７
　　７０＝１４×５より、
　　７×５＝３５（枚）　…（答）






解答・その25

（ペンネ−ム：高橋　道広）

今回の解答は…
14×10のタイルをすきまなく敷き詰めるということと同じです。 このときは１cm大きい正方形を得ることになります。 横にx個　たてにy個の長方形を並べたとき　横の長さ=縦の長さより

　　　14x=10yから7x=5y

xが5の倍数でなければならず　x=5kであらわされます。 このとき　y=7k　であるから　最小の正の整数のペアは　x=5　y=7の ときであり　タイルの枚数は　35枚となる。
そのまま考えると(13+1)x-1=(9+1)y-1から　　14x=10yと　同じ式になりますね。



正解者

巷の夢 浜田　明巳 kiyo
三角定規 teki 杖のおじさん
ばんちゃん やなせ リナライ
たけぐみの番 Y.M テモ
夜ふかしのつらいおじさん Toru Underbird
shihants 柿本　浩 高橋　道広
信三 モルモット大臣 yokodon
mhayashi kirkland 仮面Ｘ
午年のうりぼう





まとめ

「10ｎ-1＝14ｍ-1」という方程式から、７と５の最小公倍数を答えていただければいいわけですね。
ところが、仮面Ｘ、kirklandさん、Y.Mさん、高橋　道広さん、 午年のうりぼうさんの解答にありますように、"縦10、横14"の架空のタイルを考えていただければ、面倒な方程式を立てずとも、１４と１０の最小公倍数、これなら暗算できますね。７０、従ってできあがった正方形は１引いて１辺の長さが６９cmです。

「10ｎ-1＝14ｍ-1」という式を立てられた方は、次に「10ｎ＝14ｍ」という式変形をある意味機械的にしていると思います。両辺に１を足しても等号が成り立つということですが、この式変形には別の意味がある（５人の方がなさったように正方形の外側に幅１cmの隙間を作って考えても同じこと） ということを考えると、単純な式変形も実はふかーい意味があるということを感じます。

また、Toruさんは長方形についての考察をしてくださいました。 正方形に比べると条件がむずかしいと思います。 結果、縦横比が任意の長方形を作ることができるということで、 大変興味深い結果だと思います。







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