Weekend Mathematics／問題／問題74

７４．面積の等しい三角形

図のように、三角形を５つの面積の等しい三角形に分割します。底辺の長さを15cmとすると、ｘの長さは何cmでしょうか。

解答・その１

（ペンネ−ム：ばんちゃん）

図の様に三角形の高さをＨ、三角形�@の底辺をＡとします。
三角形�@の面積は全体の三角形の面積の１／５なので
Ａは１５×１／５＝３ｃｍとなります。
又、三角形�Aも面積が１／５なので�Aの部分のＡも３ｃｍとなります。
ここで、Ｈ１を考えると
Ｈ１＝３／（１５−３）×Ｈ＝１／４Ｈとなります。
故に、三角形�Bの高さは三角形�@の高さの３／４倍となります。
三角形�Bの面積が三角形�@と同じになる為には、
底辺が三角形�@の４／３倍にならなければならない。
故に、底辺Ｘは
Ｘ＝３×４／３＝４ｃｍとなる。

解答・その２

（ペンネ−ム：figo）

長さ15の辺を底辺とする三角形の高さをh₁, 長さxの辺の左の辺の長さをyとすると, 長さ15の辺を底辺とする三角形は面積の等しい三角形を 5個含んでいるので

　　5*y*h₁/2 = 15*h₁/2

よって　y = 3

また,xを底辺とする三角形の高さをh₂, 長さxの辺の右の辺の長さをzとすると, 長さx+zの辺を底辺とし,高さh₂の三角形は 面積の等しい三角形を3個含んでいるので

　　3*x*h₂/2 = (x+z)*h₂/2

よって z = 2x

また

　　x+y+z = x+3+2x = 3x+3 = 15

であるので

　　x = 4

解答・その３

（ペンネ−ム：杖のおじさん）

△ABCの高さをh₁、底辺をyとする。
△GCDの高さをh₂、底辺をxとする。
△ABEの面積は、

　　S=15×h₁/2=7.5h₁　cm²

５つに分けた１つの三角形の面積は、

　　7.5h₁/5=1.5h₁　cm²

△ABCの面積が、1.5h₁　cm²であるから底辺yを求めると、

　　y・h₁/2=1.5h₁　　　y=3　cm

△GCEの面積は、1.5h₁×3=4.5h₁であるのでこの三角形の高さは次の様に求めることができます。

　　(15-3)×h₂/2=4.5h₁　cm²

　　h₂=(3/4)4.5h₁　cm

△GCDの面積は、x×(3/4)h₁/2=1.5h₁　となります。

　　x×(3/4)h₁=3h₁

底辺x=4　cmです。

解答・その４

（ペンネ−ム：午年のうりぼう）

底辺ＢＣとＡ，Ａ´の高さをそれぞれＨ，ｈとおく。

△ＡＢＣ	＝　１／２　×　１５　×　Ｈ　＝　１５Ｈ／２
△ＡＢＢ´	＝　１／５　△ＡＢＣ
	＝　３Ｈ／２
	＝　１／２　×　３　×　Ｈ　　　　　　　　∴　ＢＢ´＝　３（�p）

	△Ａ´Ｂ´Ｂ´´＝　１／２　×　ｘ　×　ｈ　＝　３Ｈ／２
⇔	ｘｈ　＝　３Ｈ　…　�@
	△Ａ´Ｂ´´Ｃ　＝　１／２　×　（１２−ｘ）　×　ｈ　＝　３Ｈ
⇔	（１２−ｘ）ｈ　＝　６Ｈ　…　�A

ｘ≠０，Ｈ≠０，ｈ≠０　だから、　�A／�@　より、

	（１２−ｘ）／ｘ　＝　２
⇔	ｘ　＝　４

　

また、これを�@に代入して、　　ｈ　＝　３Ｈ／４
従って、ｘ＝４（�p）　…（答）
ちなみに、Ｂ´´Ｃ＝８（�p）

解答・その５

（ペンネ−ム：aa）

一番左の小さい三角形が、元の大きな三角形の面積の1/5ということは、この２つの三角形の高さは同じなので、底辺が元の三角形の1/5ということです。すなわち。３cm。
よって、一番右側の小さい三角形の底辺は、12-xになります。
左から3番目の三角形と、右から1番目と２番目を一緒にした三角形は高さが同じなので、その高さをhとすると、面積は、それぞれxh/2、(12-x)h/2になります。各三角形は同じ面積なので

　　2×xh/2=(12-x)h/2
　　2xh=12h-xh
　　3xh=12h

よって、x=4(cm)です。

解答・その６

（ペンネ−ム：マセがき）

分割された三角形の面積はそれぞれ等しいため、△ABDの面積は△ABCの面積の５分の１となる。また、△ABDの高さと△ABCの高さはいずれもHとなり等しい。これらのことから底辺BDの長さは、BCの５分の１となることがわかる。
よって、ＢＤ＝１５÷５＝３、ＤＣ＝１５−３＝１２
ＢＤは３ｃｍ、ＤＣは１２ｃｍとなることが求められる。
ここで、△ＥＤＣに着目してみると、この三角形は分割された３個の三角形で構成されているため△ＥＤＦの面積は、△ＥＤＣの面積の３分の１となる。また、△ＥＤＦの高さと△ＥＤＣの高さはいずれもｈとなり等しい。これらのことから求めるｘ、底辺DＦの長さは、ＤCの３分の１となることがわかる。
よって、ＤＦ＝１２÷３＝４
ｘは４ｃｍ・・・（答え）

解答・その７

（ペンネ−ム：nuno）　→ご連絡をお待ちしています。

a=(15h/2)÷5=1.5h
1.5h=(1/2)yh　　　→　　　3h=yh　　　→　　　y=3
c=d=e　　　c=(1/3)△ABC
BC=15-3=12
(12h'/2)÷3=c　　　→　　　c=2h'
c=xh'/2に代入　　2h'=xh'/2　　　→　　　4h'=xh'
x=4

解答・その８

（ペンネ−ム：サダちゃん）

これは同一の高さをもつ三角形の面積の比は、 その底辺の比であることが分かれば楽勝！ですね。

以下、問題の図面上の位置をもとに、もとの５等分する まえの三角形において相対的に上部、底辺と定義します。 さらに、三角形をそれぞれの重心が左から a,b,c,d,e とします。

まず、三角形(a)と三角形(b+c+d+e)は問題の図形 における上部の共通する頂点からの垂線を高さとした場合に、 底辺の比はその面積の比と同じになります。 今、三角形a,b,c,d,eの面積は同一なので、両三角形の 面積比は１：４となります。これは底辺が１：４であることになり、 もう一つの共通の頂点（全体の三角形における図面上での底辺 上にある）は、全体三角形の底辺を１：４に内分する点となり、 b+c+d+e 部分の三角形の底辺は１２cmとなります。

同様に、三角形(c)と三角形(d+e）を比較します。 底辺は、１：２となり、問題のxは、前述の12cmを １：２に内分するうちの１になります。 答えは、４cmです。

解答・その９

（ペンネ−ム：マナティー）

５つの三角形を、大きい三角形の右下の頂点に近い方からそれぞれ△A,△B,△C,△D,△Eと名前をつけ、それぞれの三角形の底辺を底辺A,底辺B,底辺C,底辺D,底辺Eと呼ぶ。
また、各三角形を合わせた三角形は、それぞれの名前をつなげて命名するとする。
（例：△Aと△Bを合わせた三角形は、△ABと呼ぶ。）
△Cと△ABは底辺が同じ線上にあり、かつ、高さが同じ。
面積の比は１：２なので、底辺の長さ比は１：２である。
　　　　辺C×２＝辺A‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥（１）
△Eと△ABCDも、底辺が同じ線上にあり、かつ、高さが同じ。面積の比は１：４なので、底辺の長さの比は１：４である。
　　　　辺E×４＝辺C＋辺A‥‥‥‥‥‥‥‥‥（２）
題意より、
　　　　辺E＋辺C＋辺A＝１５ｃｍ‥‥‥‥‥‥‥（３）
（１）（２）（３）より、
　　　　辺A＝８ｃｍ、辺C＝４ｃｍ、辺E＝３ｃｍ
答え　　　　 Ｘ＝４ｃｍ

解答・その10

（ペンネ−ム：三角定規）

右図のように各点を定める。

よって，ＤＣ＝15−3＝12
△ＧＤＣ について

解答・その11

（ペンネ−ム：リナライ）

まず、元の三角形の高さと1番左の三角形は高さが共通なので、面積を1/5にするには底辺を1/5にする必要があります。元の三角形の底辺が15ｃｍですから

　　　15÷5＝3

左端の三角形を除くと

　　　15-3＝12

なので、残りの底辺は12ｃｍで分割される三角形が4つです。ここで、右の3つを見てみると、元の三角形よりも2/5分面積の小さい三角形ができます。よって、最初と同じように、ここから底辺を1/3すればｘがでます。

　　　12÷3＝4

よってｘ=4ｃｍです。

解答・その12

（ペンネ−ム：teki）

答え　４ｃｍ
＜解法＞
一番左の三角形については、高さは元の三角形と同じで、面積は1/5ですので、底辺は　15×1/5＝３ｃｍ　です。
次の三角形は、高さは元の三角形の4/5で、面積は1/5ですから、底辺は1/4となります。
問われているのは、次の三角形の底辺ですから、高さが3/4、面積が1/5の三角形の底辺を求めればいいことになります。
よって、答えは、15×1/5×4/3＝４ｃｍ　となります。
底辺の長さは、左から順に、３、４、８ｃｍ　です。

解答・その13

（ペンネ−ム：仮面Ｘ）

面積が５等分されたので 底辺は３、ｘ、２ｘに分けられます。
３＋ｘ＋２ｘ＝１５
３ｘ＝１２
ｘ＝４
　　　　　　　　　　　　答え　４ｃｍ

解答・その14

（ペンネ−ム：kiyo）

図の右下２個分の３角形の底辺の長さは、２ｘとなる。
（ｘ+２ｘ）：１５＝４：５
１５ｘ＝６０
ｘ＝４
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　４cm

解答・その15

（ペンネ−ム：夢夜（むよ））

三角形の面積は「底辺×高さ÷２」です。
５つの三角形の面積が等しい・・・ということは、底辺について、求める長さxの左側（yとしましょう）の三角形とxを含めた残り全部の長さ（zとしましょう）で２つの三角形に切断できます。 この時、高さが一定であることを考慮すると面積比が1:4ですので、 y:z＝1:4かつy＋z＝15、すなわちz=12cmです。
ここで、最初の三角形で頂点を占めていた三角形を取り除くと、３つの三角形が残ります。 ところが、先ほどと同じように底辺をxと12-xで考えた場合、今度は面積比は1:2ですから、x:12-x=1:2ですのでこれを解いてx=4を得られます。（証明終了）

　　　　答え x=4（cm）

解答・その16

（ペンネ−ム：mhayashi）

答え： 底辺が x の三角形と，その右にある二つの三角形の面積比は 1:2 なので 「右にある二つの三角形」の底辺は 2x (cm)である． よって一番左の三角形以外の四つの三角形の底辺は 3x (cm) となる． 今一番左の三角形とそれ以外の四つの三角形の面積比は 1:4 であり， 五つの三角形の底辺は 15 (cm) であることより 3x*5/4=15 が成り立つ． よって x=4 cm となる．

解答・その17

（ペンネ−ム：理一郎坊ちゃん）

与えられた三角形を、ＡＢＣとする。ＢＣ上に、Ｄ，Ｅをとり、ＤＥ＝ｘとする。ＣＡ上に、Ｆ，Ｃをとる。
三角形ＧＤＣにおいて、ＧＤＥ：ＧＥＣ＝１：２　よって、ＥＣ＝２ｘ　
三角形ＡＢＣにおいて、ＡＢＤ：ＡＤＣ＝１：４　
よって、ＢＤ：ＤＣ＝１５−３ｘ：３ｘ
１：４＝１５−３ｘ：３ｘ　これより、ｘ＝４
　　　　　　　　　　

解答・その18

（ペンネ−ム：たかまつ　ろろ）

答え　４ｃｍ
5等分した左端の三角形は元の三角形と高さが等しいので底辺を１／５すればよく３ ｃｍとなる。
次に、左端から２つ分三角形を切り離す（元の三角形から２／５切り離す）と残りの 三角形を３等分すればよい。Ｘを底辺とする三角形は残りの三角形の高さと等しいの で残りの三角形の底辺（１５−３＝１２）を１／３すればよいので４ｃｍとなる。 よってＸは４ｃｍ。

解答・その19

（ペンネ−ム：モルモット大臣）

さて第74問の解答を送ります。
まず与えられた大きな三角形の3つの頂点を上から反時計回りにA,B,Cさらに線分BC上 の2点をB側からD,E　そして線分CA上の 2点をC側からF,Gとおきます。 この時 三角形ABCの線分BCを底辺とした高さを2Hcmとします。 三角形ABC=15×2H÷2=15Hcm²でこれが等しい小さな三角形5個分ですから小さな三角 形の面積は15H÷5=3Hcm²です。
次に三角形DCGと三角形DEGに着目するとそれぞれの面積は三角形DCG=9Hcm² 三角形DEG=3Hcm²であり面積比は三角形DCG:三角形DEG=3:1である。ここで三角形DCG と三角形DEGでそれぞれDE,DCを底辺と考えるとその高さは共通だからDE:DC=1:3よっ てDC=3xcmとなります。
同様に三角形BDAと三角形DCAを考えるとそれぞれの面積は三角形BDA=3H cm² 三角形DCA=12Hcm²であり面積比は 三角形BDA:三角形DCA=1:4である。 ここで三角形BDAと三角形DCAでそれぞれBD,DCを底辺と考えるとその高さは共通だか らBD:DC=1:4よってBD=3x/4cmとなります。
以上よりBC=BD＋DC= 3x/4＋ 3x=15x/4=15を解きx=4cm
よって求める長さxは4cmです。

解答・その20

（ペンネ−ム：WU）

底辺１５ｃｍに全て底辺をそろえた５つの等積三角形を書けば， その底辺は３ｃｍになるはず．一番左の三角形はこれと合致する． 従い，一番左の三角形を除いた底辺１２ｃｍの三角形の中の ４つの等積三角形の問題に置き換えられる． これと同様に，右の辺を底辺として考えた時，一番左の三角形 （元の図では左から２番目）が１／４の三角形に相当するから， 底辺１２ｃｍの右の３つの等積三角形の問題に置き換えられる． ３つの三角形の底辺を揃える事により

　　　ｘ＝１２／３＝４（ｃｍ）

が求められる．

解答・その21

（ペンネ−ム：Banyanyan）

高さの等しい三角形の底辺の比は、面積比と等しいから、図より、
ＢＤ：ＤＣ＝△ＡＢＤ：△ＡＤＣ＝１：４
ＤＥ：ＥＣ＝△ＦＤＥ：△ＦＥＣ＝１：２
よって、ＤＥ＝ＢＣ×４／５×１／３＝１５×１／１５＝４ｃｍ

解答・その22

（ペンネ−ム：巷の夢）

各点を右図の様にとり、各々の面積をSとする。
今CDがｘであるので、�僂DGと�僖EGの面積比よりDEは２ｘとなる。
因って、BCの長さは15−３ｘ、CEの長さは３ｘである。
又、�僊BCと�僊CEの面積比は１：４であるから、
(15−３ｘ)／３ｘ　＝１／４が成り立つ。
この方程式を解き、ｘ＝４を得る。
因って、求める長さは４cmである。

解答・その23

（ペンネ−ム：yokodon）

図の三角形を△ＡＢＣとし、辺ＡＣ上に点Ｐ、Ｑ（頂点Ｃに近い方がＰ）、辺ＢＣ 上に点Ｒ、Ｓ（頂点Ｃに近い方がＲ）があり、△ＣＰＲ、△ＰＱＲ、△ＲＱＳ、△Ａ ＱＳ、△ＡＢＳの面積が全て等しく、線分ＲＳの長さが x であるとします。 　図から、直ちに△ＲＱＣと△ＲＱＳの面積比が２：１で、面積比が底辺の長さの比 に等しいことから、ＣＲ＝ 2x を得ますね。また、同様に△ＡＣＳと△ＡＢＳの面積 比が４：１であることから、ＣＳ＝15×4/5 ＝12 (cm) です。 　他方、ＣＳ＝ＣＲ＋ＲＳ＝ 3x ですから、3x ＝ 12 。これを解いて、x ＝ 4 (cm) …(答) を得ます。

解答・その24

（ペンネ−ム：クライバー）

三分割された底辺の左辺の長さは3cm、なぜならそれを底辺とする三角形は全体の五分の一の面積を有するから。ｘを底辺とする三角形は、三分割された残りの辺を底辺とする三角形の二分の一の面積を有する。先に求めた3cmを15cmから減じると12cm。ｘは、それを三等分した値を持つゆえｘ＝4。

解答・その25

（ペンネ−ム：やなせ）

与えられている条件から △ＡＢＣと△ＡＣＥの面積比は１：４になります。高さが同じなので
辺ＢＣの長さはＢＥ（１５）÷５＝３ｃｍ

次に△ＣＤＦと△ＤＦＥの面積比は１：２になるので同じように
辺ＣＤ（Ｘ）の長さは辺ＣＥ（１５−３＝１２）÷３＝４ｃｍ

答えＸの長さは４ｃｍ

解答・その26

（ペンネ−ム：スモークマン）

一番左端の三角形の底辺は、15*1/5=3
残りの底辺は、面積の等しい三角形が3個なので、求める長さは、

（15-3）*1/3=4　ｃｍ　！　になりますね。

解答・その27

（ペンネ−ム：Y,M）

解答・その28

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

答えは４cmです。
この問題の要点は、『頂点から対辺に引いた線分で三角形を２つの部分に分けたとき、面積の比と分割された辺の長さの比が一致する』ということです。 つまり図１で、　△ＯＰＸ：△ＯＱＸ＝ＰＸ：ＱＸ　です。

さて、問題は図２で、５つの三角形の面積が等しいのですから、 △ＡＢＥ：△ＢＤＥ＝１：４＝ＡＢ：ＢＤ　です。つまり、ＡＢ＝３cm、ＢＤ＝１２cmです。

次に、△ＢＤＦについて考えます。３つの三角形の面積が等しいのですから、 △ＢＣＦ：△ＣＤＦ＝１：２＝ＢＣ：ＣＤ　です。つまり、ＢＣ＝４cm、ＣＤ＝８cmです。

蛇足ですが、同じ理由で、ＥＦ：ＦＤ＝１：２，ＦＧ：ＧＤ＝１：１　ですが、述べる必要がありません。また、頂点Ｅの位置がどこにあろうと、問題は成立します。

解答・その29

（ペンネ−ム：前髪）

まず三角形を、問題の図の上、左下、右下の順番にABCとし、 辺BC上の長さをそれぞれ左からa,b,c（ｂが答の値）とし、 辺AC上の長さをそれぞれ左からd,e,fとし、また 辺BC上の点を左からD、E 辺AC上の点を左からF、Gとする。
このとき、∠Cを共通の角として、面積の比が、

　　　　△FEC：△GEC：△GDC：△ADC：△ABC＝１：２：３：４：５

より、これは、

　　　　fc：（e+f）c：(e+f)(b+c)：(d+e+f)(b+c)：(d+e+f)(a+b+c)＝１：２：３：４：５

となる。（1/2sinCが全てに共通にあるので消しました。）これを解いて、

　　　　d：e：f＝２：３：４　、a：b：c＝３：４：８

となります。a+b+c=15より、ｂ＝４（これがｘの値）となります。

どうでしょうか（＾＾）おそらく補助線などでもっと簡単に出るのでは ないかと思うのですが、頭が硬くて・・・（笑）

解答・その30

（ペンネ−ム：小学名探偵）

答え4ｃｍ
右端の三角形を一番目とし、水平の辺＝１　斜辺＝１　とします。
一番目の三角形までの面積の和Ｓ（1）、　二番目の三角形までの面積の和Ｓ（2）、ｎ番目の三角形までの面積の和Ｓ（ｎ）を 考えると、Ｓ（1），Ｓ（2），．．．，Ｓ（ｎ）の比はそれぞれの水平の辺*斜辺の比です。
したがって、
　　1*（0+1）＝0+1，1*（1+1）＝1+1，2*（1+1/2）＝2+1，3/2*（2+2/3）＝3+1，8/3*（3/2+3/8）＝4+1，
のようになります。
水平の辺（1），斜辺（1），水平の辺（2），斜辺（2），．．．の数列は、
　　　（1，1，1），1/2，2/3，3/8，8/15，15/48，48/105，．．．
のようになり
　　奇数番目は（2*4*．．．*2ｎ）/（1*3*5*．．．*（2ｎ+1））

　　偶数番目は（1*3*5*．．．*（2ｎ-1））/（2*4*．．．2ｎ）
となります（ただし、ｎ＝1のとき奇数番目＝2/3、偶数番目＝1/2に対応します）。
数列からとった1、1/2、3/8が水平の辺の比です。その合計は、 8/8+4/8+3/8＝15/8となり、分子に15が現れたので答えは二番目の分数の分子です。　

解答・その31

（ペンネ−ム：Toru）

一番左の三角形の底辺は１５×１／５＝３　問 題のXを含む三角形は高さが一番左の三角形の３／４になっているので１５×１／５ ×４／３＝４（答）となります。
　 これは一般に底辺ａの三角形を図のような方法でN等分した時にも同様に三角形に 右から順番に1,2,3,-------,N と番号をつけると、k番目の三角形の底辺の長さは（k はNが奇数なら奇数、偶数なら偶数）

　 　　　　ａ×（(N-1)(N-3)・・・(k＋1)／N(N-2)(N-4)・・・k）

これはちょうど上の三角形を 分子に下の三角形を分母にもってきた形でちょっときれいですね。
また、逆に一番右の三角形の底辺を１として（図の場合は８ですが）図のように左 に向かって等面積の三角形をつくりながら、どんどん線を引いていき、底辺の長さを 右からＸ₀,Ｘ₁,----Ｘ_nとするとこれは1,2/4,6/16,20/64,70/256,----,2_nＣ_n／2²ⁿ と（２項係数の中央の値）／（２項係数の和）の形になってこれもきれいですね。

解答・その32

（ペンネ−ム：kirkland）

Ａ君	「面積が５等分なので、15ｃｍの５分の１で３ｃｍ！！」
先生	「相変わらず、短絡的だねぇ。線分ＦＤ、ＤＧ、ＧＥを無視すると」
Ａ君	「△ＡＢＦと△ＡＦＣの面積比が１：４で高さが等しいので、底辺ＢＦとＦＣの比も１：４です。従って、ＦＣはＢＣ の５分の４で12ｃｍです。」
先生	「そうそう」
Ａ君	「次は、△ＤＦＧと△ＤＧＣの面積比が１：２で高さが等しいので、底辺ＦＧとＧＣの比も１：２。従って、ＦＧは ＦＣの３分の１で４ｃｍです！」
先生	「よくできたね、少年Ａ。」
Ａ君	「犯罪者みたいな呼び方はやめて下さい！そろそろ、僕にも名前をつけたらどうかって小島先生がおっしゃってるんで すけど。」
先生	「Ａだから、あ太郎っていうのはどうだ？」
Ａ君	「そんなモーレツな名前はイヤですよ。ここはかっこよく、アンソニーっていうのはどうですかねぇ。」
先生	「何で外人なんだよ！アユムっていうのはどうだ？」
Ａ君	「それじゃぁ、チンパンジーと同じじゃないですか！」
先生	「そんなにレベル変わらないだろ！阿Ｑっていうのはどうだ？」
Ａ君	「死刑にされたくないです。」
先生	「どうも文句が多いな。面倒だから当分の間、Ａ君のままでいったら？」
Ａ君	「そうですね。しかし残念！アンソニーは気に入っていたのに……」

本当にたくさんの方から解答をいただきました。図を添えていただいた方も多く、心から感謝いたします。
一見条件が少ないような感じもしますが、「面積を等分している」というのがかなり強い条件になります。三角形の面積を比較するには、底辺と高さの比を考えればよいということに思いいたれば、この問題は案外シンプルなものだということにお気づきだと思います。なかなかいい問題ですよね！！
この問題は５つの三角形ですが、それを一般化するとどうなるか、小学名探偵さん、Toruさんが考えてくださいました。 そしてここにもいろいろな数学の要素が見え隠れしています。奥が深いですね！

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