Weekend Mathematics問題/問題74



74.面積の等しい三角形

図のように、三角形を5つの面積の等しい三角形に分割します。底辺の長さを15cmとすると、xの長さは何cmでしょうか。











問題の出典


パズルより面白い中学入試の算数
ピーター・フランクル
講談社
芝中学校'88入試・改題





答えと解説





答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:ばんちゃん)

図の様に三角形の高さをH、三角形@の底辺をAとします。
三角形@の面積は全体の三角形の面積の1/5なので
Aは15×1/5=3cmとなります。
又、三角形Aも面積が1/5なのでAの部分のAも3cmとなります。
ここで、H1を考えると
H1=3/(15−3)×H=1/4Hとなります。
故に、三角形Bの高さは三角形@の高さの3/4倍となります。
三角形Bの面積が三角形@と同じになる為には、
底辺が三角形@の4/3倍にならなければならない。
故に、底辺Xは
X=3×4/3=4cmとなる。





解答・その2

(ペンネ−ム:figo)

長さ15の辺を底辺とする三角形の高さをh1, 長さxの辺の左の辺の長さをyとすると, 長さ15の辺を底辺とする三角形は面積の等しい三角形を 5個含んでいるので

  5*y*h1/2 = 15*h1/2

よって y = 3

また,xを底辺とする三角形の高さをh2, 長さxの辺の右の辺の長さをzとすると, 長さx+zの辺を底辺とし,高さh2の三角形は 面積の等しい三角形を3個含んでいるので

  3*x*h2/2 = (x+z)*h2/2

よって z = 2x

また

  x+y+z = x+3+2x = 3x+3 = 15

であるので

  x = 4






解答・その3

(ペンネ−ム:杖のおじさん)

△ABCの高さをh1、底辺をyとする。
△GCDの高さをh2、底辺をxとする。
△ABEの面積は、

  S=15×h1/2=7.5h1 cm2

5つに分けた1つの三角形の面積は、

  7.5h1/5=1.5h1 cm2

△ABCの面積が、1.5h1 cm2であるから底辺yを求めると、

  y・h1/2=1.5h1   y=3 cm

△GCEの面積は、1.5h1×3=4.5h1であるのでこの三角形の高さは次の様に求めることができます。

  (15-3)×h2/2=4.5h1 cm2

  h2=(3/4)4.5h1 cm

△GCDの面積は、x×(3/4)h1/2=1.5h1 となります。

  x×(3/4)h1=3h1

底辺x=4 cmです。




解答・その4

(ペンネ−ム:午年のうりぼう)

底辺BCとA,A´の高さをそれぞれH,hとおく。

△ABC= 1/2 × 15 × H = 15H/2
△ABB´= 1/5 △ABC
= 3H/2
= 1/2 × 3 × H        ∴ BB´= 3(p)

△A´B´B´´= 1/2 × x × h = 3H/2
xh = 3H … @
△A´B´´C = 1/2 × (12−x) × h = 3H
(12−x)h = 6H … A

x≠0,H≠0,h≠0 だから、 A/@ より、

(12−x)/x = 2
x = 4

 

また、これを@に代入して、  h = 3H/4
従って、x=4(p) …(答)
ちなみに、B´´C=8(p)





解答・その5

(ペンネ−ム:aa)

一番左の小さい三角形が、元の大きな三角形の面積の1/5ということは、この2つの三角形の高さは同じなので、底辺が元の三角形の1/5ということです。すなわち。3cm。
よって、一番右側の小さい三角形の底辺は、12-xになります。
左から3番目の三角形と、右から1番目と2番目を一緒にした三角形は高さが同じなので、その高さをhとすると、面積は、それぞれxh/2、(12-x)h/2になります。各三角形は同じ面積なので

  2×xh/2=(12-x)h/2
  2xh=12h-xh
  3xh=12h

よって、x=4(cm)です。




解答・その6

(ペンネ−ム:マセがき)

分割された三角形の面積はそれぞれ等しいため、△ABDの面積は△ABCの面積の5分の1となる。また、△ABDの高さと△ABCの高さはいずれもHとなり等しい。これらのことから底辺BDの長さは、BCの5分の1となることがわかる。
よって、BD=15÷5=3、DC=15−3=12
BDは3cm、DCは12cmとなることが求められる。
ここで、△EDCに着目してみると、この三角形は分割された3個の三角形で構成されているため△EDFの面積は、△EDCの面積の3分の1となる。また、△EDFの高さと△EDCの高さはいずれもhとなり等しい。これらのことから求めるx、底辺DFの長さは、DCの3分の1となることがわかる。
よって、DF=12÷3=4
xは4cm・・・(答え)





解答・その7

(ペンネ−ム:nuno) →ご連絡をお待ちしています。

a=(15h/2)÷5=1.5h
1.5h=(1/2)yh   →   3h=yh   →   y=3
c=d=e   c=(1/3)△ABC
BC=15-3=12
(12h'/2)÷3=c   →   c=2h'
c=xh'/2に代入  2h'=xh'/2   →   4h'=xh'
x=4





解答・その8

(ペンネ−ム:サダちゃん)

これは同一の高さをもつ三角形の面積の比は、 その底辺の比であることが分かれば楽勝!ですね。

以下、問題の図面上の位置をもとに、もとの5等分する まえの三角形において相対的に上部、底辺と定義します。 さらに、三角形をそれぞれの重心が左から a,b,c,d,e とします。

まず、三角形(a)と三角形(b+c+d+e)は問題の図形 における上部の共通する頂点からの垂線を高さとした場合に、 底辺の比はその面積の比と同じになります。 今、三角形a,b,c,d,eの面積は同一なので、両三角形の 面積比は1:4となります。これは底辺が1:4であることになり、 もう一つの共通の頂点(全体の三角形における図面上での底辺 上にある)は、全体三角形の底辺を1:4に内分する点となり、 b+c+d+e 部分の三角形の底辺は12cmとなります。

同様に、三角形(c)と三角形(d+e)を比較します。 底辺は、1:2となり、問題のxは、前述の12cmを 1:2に内分するうちの1になります。 答えは、4cmです。




解答・その9

(ペンネ−ム:マナティー)

5つの三角形を、大きい三角形の右下の頂点に近い方からそれぞれ△A,△B,△C,△D,△Eと名前をつけ、それぞれの三角形の底辺を底辺A,底辺B,底辺C,底辺D,底辺Eと呼ぶ。
また、各三角形を合わせた三角形は、それぞれの名前をつなげて命名するとする。
(例:△Aと△Bを合わせた三角形は、△ABと呼ぶ。)
△Cと△ABは底辺が同じ線上にあり、かつ、高さが同じ。
面積の比は1:2なので、底辺の長さ比は1:2である。
    辺C×2=辺A‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1)
△Eと△ABCDも、底辺が同じ線上にあり、かつ、高さが同じ。面積の比は1:4なので、底辺の長さの比は1:4である。
    辺E×4=辺C+辺A‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2)
題意より、
    辺E+辺C+辺A=15cm‥‥‥‥‥‥‥(3)
(1)(2)(3)より、
    辺A=8cm、辺C=4cm、辺E=3cm
答え     X=4cm





解答・その10

(ペンネ−ム:三角定規)


右図のように各点を定める。


よって,DC=15−3=12
△GDC について







解答・その11

(ペンネ−ム:リナライ)

まず、元の三角形の高さと1番左の三角形は高さが共通なので、面積を1/5にするには底辺を1/5にする必要があります。元の三角形の底辺が15cmですから

   15÷5=3

左端の三角形を除くと

   15-3=12

なので、残りの底辺は12cmで分割される三角形が4つです。ここで、右の3つを見てみると、元の三角形よりも2/5分面積の小さい三角形ができます。よって、最初と同じように、ここから底辺を1/3すればxがでます。

   12÷3=4

よってx=4cmです。




解答・その12

(ペンネ−ム:teki)

答え 4cm
<解法>
一番左の三角形については、高さは元の三角形と同じで、面積は1/5ですので、底辺は 15×1/5=3cm です。
次の三角形は、高さは元の三角形の4/5で、面積は1/5ですから、底辺は1/4となります。
問われているのは、次の三角形の底辺ですから、高さが3/4、面積が1/5の三角形の底辺を求めればいいことになります。
よって、答えは、15×1/5×4/3=4cm となります。
底辺の長さは、左から順に、3、4、8cm です。





解答・その13

(ペンネ−ム:仮面X)

面積が5等分されたので 底辺は3、x、2xに分けられます。
3+x+2x=15
3x=12
x=4
            答え 4cm





解答・その14

(ペンネ−ム:kiyo)

図の右下2個分の3角形の底辺の長さは、2xとなる。
(x+2x):15=4:5
15x=60
x=4
                   答え 4cm





解答・その15

(ペンネ−ム:夢夜(むよ))

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」です。
5つの三角形の面積が等しい・・・ということは、底辺について、求める長さxの左側(yとしましょう)の三角形とxを含めた残り全部の長さ(zとしましょう)で2つの三角形に切断できます。 この時、高さが一定であることを考慮すると面積比が1:4ですので、 y:z=1:4かつy+z=15、すなわちz=12cmです。
ここで、最初の三角形で頂点を占めていた三角形を取り除くと、3つの三角形が残ります。 ところが、先ほどと同じように底辺をxと12-xで考えた場合、今度は面積比は1:2ですから、x:12-x=1:2ですのでこれを解いてx=4を得られます。(証明終了)

    答え x=4(cm)





解答・その16

(ペンネ−ム:mhayashi)

答え: 底辺が x の三角形と,その右にある二つの三角形の面積比は 1:2 なので 「右にある二つの三角形」の底辺は 2x (cm)である. よって一番左の三角形以外の四つの三角形の底辺は 3x (cm) となる. 今一番左の三角形とそれ以外の四つの三角形の面積比は 1:4 であり, 五つの三角形の底辺は 15 (cm) であることより 3x*5/4=15 が成り立つ. よって x=4 cm となる.




解答・その17

(ペンネ−ム:理一郎坊ちゃん)

与えられた三角形を、ABCとする。BC上に、D,Eをとり、DE=xとする。CA上に、F,Cをとる。
三角形GDCにおいて、GDE:GEC=1:2 よって、EC=2x 
三角形ABCにおいて、ABD:ADC=1:4 
よって、BD:DC=15−3x:3x
1:4=15−3x:3x これより、x=4
          




解答・その18

(ペンネ−ム:たかまつ ろろ)

答え 4cm
5等分した左端の三角形は元の三角形と高さが等しいので底辺を1/5すればよく3 cmとなる。
次に、左端から2つ分三角形を切り離す(元の三角形から2/5切り離す)と残りの 三角形を3等分すればよい。Xを底辺とする三角形は残りの三角形の高さと等しいの で残りの三角形の底辺(15−3=12)を1/3すればよいので4cmとなる。 よってXは4cm。




解答・その19

(ペンネ−ム:モルモット大臣)

さて第74問の解答を送ります。
まず与えられた大きな三角形の3つの頂点を上から反時計回りにA,B,Cさらに線分BC上 の2点をB側からD,E そして線分CA上の 2点をC側からF,Gとおきます。 この時 三角形ABCの線分BCを底辺とした高さを2Hcmとします。 三角形ABC=15×2H÷2=15Hcm2でこれが等しい小さな三角形5個分ですから小さな三角 形の面積は15H÷5=3Hcm2です。
次に三角形DCGと三角形DEGに着目するとそれぞれの面積は三角形DCG=9Hcm2 三角形DEG=3Hcm2であり面積比は三角形DCG:三角形DEG=3:1である。ここで三角形DCG と三角形DEGでそれぞれDE,DCを底辺と考えるとその高さは共通だからDE:DC=1:3よっ てDC=3xcmとなります。
同様に三角形BDAと三角形DCAを考えるとそれぞれの面積は三角形BDA=3H cm2 三角形DCA=12Hcm2であり面積比は 三角形BDA:三角形DCA=1:4である。 ここで三角形BDAと三角形DCAでそれぞれBD,DCを底辺と考えるとその高さは共通だか らBD:DC=1:4よってBD=3x/4cmとなります。
以上よりBC=BD+DC= 3x/4+ 3x=15x/4=15を解きx=4cm
よって求める長さxは4cmです。




解答・その20

(ペンネ−ム:WU)

底辺15cmに全て底辺をそろえた5つの等積三角形を書けば, その底辺は3cmになるはず.一番左の三角形はこれと合致する. 従い,一番左の三角形を除いた底辺12cmの三角形の中の 4つの等積三角形の問題に置き換えられる. これと同様に,右の辺を底辺として考えた時,一番左の三角形 (元の図では左から2番目)が1/4の三角形に相当するから, 底辺12cmの右の3つの等積三角形の問題に置き換えられる. 3つの三角形の底辺を揃える事により

   x=12/3=4(cm)

が求められる.




解答・その21

(ペンネ−ム:Banyanyan)

高さの等しい三角形の底辺の比は、面積比と等しいから、図より、
BD:DC=△ABD:△ADC=1:4
DE:EC=△FDE:△FEC=1:2
よって、DE=BC×4/5×1/3=15×1/15=4cm





解答・その22

(ペンネ−ム:巷の夢)

各点を右図の様にとり、各々の面積をSとする。
今CDがxであるので、僂DGと僖EGの面積比よりDEは2xとなる。
因って、BCの長さは15−3x、CEの長さは3xである。
又、僊BCと僊CEの面積比は1:4であるから、
(15−3x)/3x =1/4が成り立つ。
この方程式を解き、x=4を得る。
因って、求める長さは4cmである。




解答・その23

(ペンネ−ム:yokodon)

図の三角形を△ABCとし、辺AC上に点P、Q(頂点Cに近い方がP)、辺BC 上に点R、S(頂点Cに近い方がR)があり、△CPR、△PQR、△RQS、△A QS、△ABSの面積が全て等しく、線分RSの長さが x であるとします。  図から、直ちに△RQCと△RQSの面積比が2:1で、面積比が底辺の長さの比 に等しいことから、CR= 2x を得ますね。また、同様に△ACSと△ABSの面積 比が4:1であることから、CS=15×4/5 =12 (cm) です。  他方、CS=CR+RS= 3x ですから、3x = 12 。これを解いて、x = 4 (cm) …(答) を得ます。




解答・その24

(ペンネ−ム:クライバー)

三分割された底辺の左辺の長さは3cm、なぜならそれを底辺とする三角形は全体の五分の一の面積を有するから。xを底辺とする三角形は、三分割された残りの辺を底辺とする三角形の二分の一の面積を有する。先に求めた3cmを15cmから減じると12cm。xは、それを三等分した値を持つゆえx=4。





解答・その25

(ペンネ−ム:やなせ)

与えられている条件から △ABCと△ACEの面積比は1:4になります。高さが同じなので
辺BCの長さはBE(15)÷5=3cm

次に△CDFと△DFEの面積比は1:2になるので同じように
辺CD(X)の長さは辺CE(15−3=12)÷3=4cm

答えXの長さは4cm




解答・その26

(ペンネ−ム:スモークマン)

一番左端の三角形の底辺は、15*1/5=3
残りの底辺は、面積の等しい三角形が3個なので、求める長さは、

(15-3)*1/3=4 cm ! になりますね。




解答・その27

(ペンネ−ム:Y,M)





解答・その28

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

答えは4cmです。
この問題の要点は、『頂点から対辺に引いた線分で三角形を2つの部分に分けたとき、面積の比と分割された辺の長さの比が一致する』ということです。 つまり図1で、 △OPX:△OQX=PX:QX です。


さて、問題は図2で、5つの三角形の面積が等しいのですから、 △ABE:△BDE=1:4=AB:BD です。つまり、AB=3cm、BD=12cmです。

次に、△BDFについて考えます。3つの三角形の面積が等しいのですから、 △BCF:△CDF=1:2=BC:CD です。つまり、BC=4cm、CD=8cmです。

蛇足ですが、同じ理由で、EF:FD=1:2,FG:GD=1:1 ですが、述べる必要がありません。また、頂点Eの位置がどこにあろうと、問題は成立します。



解答・その29

(ペンネ−ム:前髪)

まず三角形を、問題の図の上、左下、右下の順番にABCとし、 辺BC上の長さをそれぞれ左からa,b,c(bが答の値)とし、 辺AC上の長さをそれぞれ左からd,e,fとし、また 辺BC上の点を左からD、E 辺AC上の点を左からF、Gとする。
このとき、∠Cを共通の角として、面積の比が、

    △FEC:△GEC:△GDC:△ADC:△ABC=1:2:3:4:5

より、これは、

    fc:(e+f)c:(e+f)(b+c):(d+e+f)(b+c):(d+e+f)(a+b+c)=1:2:3:4:5

となる。(1/2sinCが全てに共通にあるので消しました。)これを解いて、

    d:e:f=2:3:4 、a:b:c=3:4:8

となります。a+b+c=15より、b=4(これがxの値)となります。

どうでしょうか(^^)おそらく補助線などでもっと簡単に出るのでは ないかと思うのですが、頭が硬くて・・・(笑)




解答・その30

(ペンネ−ム:小学名探偵)

答え4cm
右端の三角形を一番目とし、水平の辺=1 斜辺=1 とします。
一番目の三角形までの面積の和S(1)、 二番目の三角形までの面積の和S(2)、n番目の三角形までの面積の和S(n)を 考えると、S(1),S(2),...,S(n)の比はそれぞれの水平の辺*斜辺の比です。
したがって、
  1*(0+1)=0+1,1*(1+1)=1+1,2*(1+1/2)=2+1,3/2*(2+2/3)=3+1,8/3*(3/2+3/8)=4+1,
のようになります。
水平の辺(1),斜辺(1),水平の辺(2),斜辺(2),...の数列は、
   (1,1,1),1/2,2/3,3/8,8/15,15/48,48/105,...
のようになり
  奇数番目は(2*4*...*2n)/(1*3*5*...*(2n+1))

  偶数番目は(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*...2n)
となります(ただし、n=1のとき奇数番目=2/3、偶数番目=1/2に対応します)。
数列からとった1、1/2、3/8が水平の辺の比です。その合計は、 8/8+4/8+3/8=15/8となり、分子に15が現れたので答えは二番目の分数の分子です。 




解答・その31

(ペンネ−ム:Toru)

一番左の三角形の底辺は15×1/5=3 問 題のXを含む三角形は高さが一番左の三角形の3/4になっているので15×1/5 ×4/3=4(答)となります。
  これは一般に底辺aの三角形を図のような方法でN等分した時にも同様に三角形に 右から順番に1,2,3,-------,N と番号をつけると、k番目の三角形の底辺の長さは(k はNが奇数なら奇数、偶数なら偶数)

      a×((N-1)(N-3)・・・(k+1)/N(N-2)(N-4)・・・k)

これはちょうど上の三角形を 分子に下の三角形を分母にもってきた形でちょっときれいですね。
また、逆に一番右の三角形の底辺を1として(図の場合は8ですが)図のように左 に向かって等面積の三角形をつくりながら、どんどん線を引いていき、底辺の長さを 右からX0,X1,----Xnとするとこれは1,2/4,6/16,20/64,70/256,----,2nn/22n と(2項係数の中央の値)/(2項係数の和)の形になってこれもきれいですね。




解答・その32

(ペンネ−ム:kirkland)

A君「面積が5等分なので、15cmの5分の1で3cm!!」
先生「相変わらず、短絡的だねぇ。線分FD、DG、GEを無視すると」
A君「△ABFと△AFCの面積比が1:4で高さが等しいので、底辺BFとFCの比も1:4です。従って、FCはBC の5分の4で12cmです。」
先生「そうそう」
A君「次は、△DFGと△DGCの面積比が1:2で高さが等しいので、底辺FGとGCの比も1:2。従って、FGは FCの3分の1で4cmです!」
先生「よくできたね、少年A。」
A君「犯罪者みたいな呼び方はやめて下さい!そろそろ、僕にも名前をつけたらどうかって小島先生がおっしゃってるんで すけど。」
先生「Aだから、あ太郎っていうのはどうだ?」
A君「そんなモーレツな名前はイヤですよ。ここはかっこよく、アンソニーっていうのはどうですかねぇ。」
先生「何で外人なんだよ!アユムっていうのはどうだ?」
A君「それじゃぁ、チンパンジーと同じじゃないですか!」
先生「そんなにレベル変わらないだろ!阿Qっていうのはどうだ?」
A君「死刑にされたくないです。」
先生「どうも文句が多いな。面倒だから当分の間、A君のままでいったら?」
A君「そうですね。しかし残念!アンソニーは気に入っていたのに……」





正解者

teki たかまつ ろろ kiyo
小学名探偵 モルモット大臣 午年のうりぼう
巷の夢 夜ふかしのつらいおじさん Banyanyan
三角定規 マナティー Toru
ばんちゃん 杖のおじさん figo
マセがき WU 理一郎坊ちゃん
前髪 スモークマン やなせ
yokodon Y,M aa
リナライ クライバー 夢夜(むよ)
サダちゃん nuno kirkland
仮面X mhayashi





まとめ

本当にたくさんの方から解答をいただきました。図を添えていただいた方も多く、心から感謝いたします。
一見条件が少ないような感じもしますが、「面積を等分している」というのがかなり強い条件になります。三角形の面積を比較するには、底辺と高さの比を考えればよいということに思いいたれば、この問題は案外シンプルなものだということにお気づきだと思います。なかなかいい問題ですよね!!
この問題は5つの三角形ですが、それを一般化するとどうなるか、小学名探偵さんToruさんが考えてくださいました。 そしてここにもいろいろな数学の要素が見え隠れしています。奥が深いですね!







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