Weekend Mathematics／問題／問題69



６９．素数と因数分解

Ａには４つの数、１、２、４、８
Ｂには４つの数、１、３、９、２７
Ｃには４つの数、１、５、２５、１２５
Ｄには４つの数、１、７、４９、３４３

があります。ＡからＤのそれぞれから１つずつ数を選び、それらを すべてかけ合わせて数を作ります。
たとえば、Ａから４、Ｂから１、Ｃから１、 Ｄから４９を選べば、４×１×１×４９＝１９６ができます。

問１．全部で何通りの数ができますか。

問２．１以上の整数１、２、３・・・のうち、作れない数を小さい方から順に３つ答えなさい。

問３．作ることのできる数のうちでいちばん大きい数を、１０番目に大きい数で割ると いくらになりますか。







問題の出典


ピーター先生と中学入試の算数に挑戦！
ピーター・フランクル
新潮社
淳心学院中学校2001年度入試






答えと解説





答えと解説

解答・その１

（ペンネ−ム：テモ）

問１．256通り

問２．11, 13, 16

問３．10




解答・その２

（ペンネ−ム：スモークマン）

1.
Aは、20〜23までの4こ。
Bは、30〜33までの4こ。
Cは、50〜53までの4こ。
Dは、70〜73までの4こ。
で、すべて素数だから、こと なるものをかけても重ならないので、44=256こ。




解答・その３

（ペンネ−ム：モルモット大臣）

1) 4×4 ×4 ×4=256
　　　256通り

2) まず11以上の素数は作れないので求める答は11,13,17と思いきや、各グループの N乗数(Nは4以上の整数) 2N, 3N, 5N, 7Nも作れないので、 この時17の手前の16=24が最初のこれにあたる。 よって求める答は11,13,16
答) 11,13,16

3) 最大数をNとすると大きいほうから1番目がNである。
よって大きい方から1番目,2番目,3番目,4番目.....と順にN/1,N/2,N/3,N/4.....
と表せる。また1から10まではすべて表せるので求める10番目の数はN/10
よってN/(N/10)=10
　　　答10




解答・その４

（ペンネ−ム：やなせ）

問い１の答え
Ａ×Ｂ×Ｃ×Ｄで各４種類だから　
４×４×４×４＝256通り←答え
同じ答えの積は有りませんでした、全て手作業で確認

問い２の答え
１１　１３　１６←答え
１３の次は１７かなと思っていましたが２と８が同じグループなので １６はできません

問い３
ＭＡＸの積は８×２７×１２５×３４３＝９２６１０００
そこで３４３は使用するものと考えて（深い説明はできませんが） Ａ．Ｂ．Ｃそれぞれから１つずつ数を選び、それらを全て掛け合わせて 数を作り大きい方から１０番目の数に３４３をかけると９２６１００になります ９２６１０００／９２６１００＝１０
答えは１０です




解答・その５

（ペンネ−ム：高橋　道広）

答え
(1)　256　　　(2)　11,13,16　　(3)　10

解説
(1)
作られる数は2a×3b×5c×7dの形で　０≦a,b,c,d≦３
a,b,c,dはそれぞれ４通りの場合の数であるから、
４×４×４×４=256

(2)
(1)からわかるように素因数分解して、2,3,5,7以外の素因数 を持つ数を考えることになる。つまり11,13,17,19…の倍数を 考える事になる。 よって　11,13,17　と思うでしょ。 しか〜し　２3までしかだめなんですよね。 ということで11,13,16が答えなのでした。 一度　ひっかかってしまいました。やられた〜っ。

(3)
一番大きな数を10番目に大きな数で割ると、作る事のできる 10番目に小さな数になる。
n番目に大きな数をa(n)と書くと　i＜ｊのとき　a(i)＜a(j) であり　a(1)/a(i)＞a(1)/a(j)となります。
a(1)/a(i)もまた作る事のできる数になっているからです。 そこで、小さい数で2,3,5,7のみを因数に持つ数を並べるとい いことになります。7より大きい一番小さい素数が11なので 1から10までは作る事ができますから答えは10になります。



解答・その６

（ペンネ−ム：文誠）

問　1.
　　　4ｘ4ｘ4ｘ4＝256　　　　　答　256通り

問　2.
　　　A　の数字は2のゼロ乗から3乗までの数､
　　　B　の数字は3のゼロ乗から3乗までの数､
　　　C　の数字は5のゼロ乗から3乗までの数､
　　　D　の数字は7のゼロ乗から3乗までの数　である
従ってこれら　2,3,5,7の4つの数を因数としてもたない数を探すべく1から順番に検証していくと 　11、　13、　16が見つかる。
　　　答　11　13　16

問　3
この問題は問2と関連している。10までの数は作れるのだから
　　　73X52X33X22
が10番目に大きい数である。これは最大数の1/10　従って　　答　10



解答・その７

（ペンネ−ム：kirkland）

問１
　 作られる整数は、２ｐ×３ｑ×５ｒ×７ｓ （ｐ、ｑ、ｒ、ｓは０以上３以下の整数）と表され、 ２，３，５，７は互いに素なので、４４＝256通り

問２
２，３，５，７のすべてと互いに素な数の倍数は表せない。
　　　11の倍数、13の倍数、17の倍数、19の倍数、……
また、ｐ≦３より16(＝２４)の倍数も表せない。
同様に、81の倍数、625の倍数、2041の倍数も表せない。
このような数を小さい方から３つ挙げると、11、13、16

問３
作ることのできる整数はすべて、最大の数２３×３３×５３×７３の約数なので、最大の数を10番目に大きい数で割ると、10番目に小さい数になる。
従って、10




解答・その８

（ペンネ−ム：Banyanyan）

Ｘ＝２×２×２×３×３×３×５×５×５×７×７×７ とおくと、これは、Ｘの約数の問題です。

問１
Ｘの約数の個数
　　４×４×４×４＝２５６個（通り）

問２
以下の数はＸの約数ではない。
　　７より大きい素数
　　２を４回以上かけた数とその倍数
　　３を４回以上かけた数とその倍数
　　５を４回以上かけた数とその倍数
　　７を４回以上かけた数とその倍数
　実際に書き出してみると、

○○ ○○ ○○ ○○ ○○ ×○ ×○ ○× ×○ ・・・
１２ ３４ ５６ ７８ ９１０ １１１２ １３１４ １５１６ １７１８ ・・・

よって、
　　１１、１３、１６

問３
問２で見たように、もっとも小さい約数は１、 １０番目に小さい約数は１０であるから、
　もっとも大きい約数はＸそのものである。
　ここで１０番目に大きい約数をＹとすると、１０×Ｙ＝Ｘとなるから、
　　Ｘ÷Ｙ＝１０




解答・その９

（ペンネ−ム：kiyo）

問１．全部で何通りの数ができますか。
　　　４×４×４×４＝２５６
　　　　　　　　　　　　　　　　　２５６通り。

問２．１以上の整数１、２、３・・・のうち、作れない数を小さい方から順に３つ答 えなさい。
　　　　１１、１３、１６




解答・その８

（ペンネ−ム：勝浦捨てる造）

Ａ群２０２１２２２３
Ｂ群３０３１３２３３
Ｃ群５０５１５２５３
Ｄ群７０７１７２７３

まず与えられた表をこのように書き改めてみると条件通りに作ることのできる
　　最大数は、２３・３３・５３・７３＝９２６１０００
　　最小数は、２０・３０・５０・７０＝１
その他の数も２、３、５、７から成り立っているから結局作ることのできる数はすべて最大数 ２３・３３・５３・７３の約数になっている。 (但し１および最大数自身も約数と考える)
ところで正の整数Ａの素因数分解が、
Ａ＝ｐα・ｑβ・・・ｒγとすれば、 Ａの約数は　ｐｓ・ｑｔ・・・ｒｕの形になる。
ここで、ｓ、ｔ、・・・ｕはそれぞれ
０≦ｓ≦α、０≦ｔ≦β、０≦ｕ≦γを満たす任意の整数です。
Ａの約数は、ただ１通り　ｐｓ・ｑｔ・・・ｒｕ の形に表されるから、約数の個数は上の不等式を満たす整数の組（ｓ、ｔ、・・・ｕ）の数に等しい。
ｓ、ｔ、・・・ｕはそれぞれ１＋α、１＋β、・・・、１＋γ個の値をとる。
従って場合の数の積の法則により求める約数の数は、
(１＋α)(１＋β)・・・(１＋γ)になる。
以上から(1)で求める数は、９２６１０００＝２３・３３・５３・７３から
(１＋３)(１＋３)(１＋３)(１＋３)＝２５６
　　　　　答　　２５６通り

(2)作ることのできる数を小さい方から並べると

２０・３０・５０・７０＝１
２１・３０・５０・７０＝２
２０・３１・５０・７０＝３
２２・３０・５０・７０＝４
２０・３０・５１・７０＝５
２１・３１・５０・７０＝６
２０・３０・５０・７１＝７
２３・３０・５０・７０＝８
２０・３２・５０・７０＝９
２１・３０・５１・７０＝10
　　11　できない（素数）
２２・３１・５０・７０＝12
　　13　できない（素数）
２１・３０・５０・７１＝14
２０・３１・５１・７０＝15
　　16　できない（２４だから）
　　17　できない（素数）
２１・３２・５０・７０＝18
　　19　できない（素数）
２２・３０・５１・７０＝20
　　・・・
２３・３３・５３・７３＝(210)3

以上から、作れない数は、小さい方から
　　　１１、１３、１６、１７、１９、・・・

(3)次に作ることのできる数を大きい方から並べると

２３・３３・５３・７３　最大
２２・３３・５３・７３　２番目に大きい
２３・３２・５３・７３　３番目に大きい
２１・３３・５３・７３　４番目に大きい
２３・３３・５２・７３　５番目に大きい
２２・３２・５３・７３　６番目に大きい
２３・３３・５３・７２　７番目に大きい
２０・３３・５３・７３　８番目に大きい
２３・３１・５３・７３　９番目に大きい
２２・３３・５２・７３　10番目に大きい
となるから、最大数÷10番目に大きい数は、
２３・３３・５３・７３/ ２２・３３・５２・７３＝ ２１・３０・５１・７０＝10

　　答　　　１０

(＊)
ところでここでの１０という数は、１０番目に小さい数(約数)だから、
最大数２３・３３・５３・７３を１０番目に 小さい数(約数)で割ると１０番目に大きい数が出てくる。
と言うことは、２番目に小さい数に２番目に大きい数をかけても、 ３番目に小さい数に３番目に大きい数をかけても、 ４番目に小さい数に４番目に大きい数をかけても すべて最大数になるということか？
これを利用して大きい方の数を並べてみました。



解答・その11

（ペンネ−ム：ときん）

問１：
A,B,C,Dからそれぞれ４通りの選び方があるので

　　4*4*4*4=256

ところでA,B,C,Dはそれぞれ2,3,5,7（素数）のべき乗なので、それぞれの 組み合わせで同じ数が2通り以上重なることはない。
よって256通りが答えである。

問２：
2,3,5,7と素数であることに着目すると、11,13,17,19・・・と候補に あがるので、11,13,17と答えそうだが、16=24なので16もこのルールで は作成することができない。よって11,13,16が答えである。

ちなみに、

1=1*1*1*1,2=2*1*1*1,3=1*3*1*1,4=4*1*1*1,5=1*1*5*1
6=2*3*1*1,7=1*1*1*7,8=8*1*1*1,9=1*9*1*1,10=2*1*5*1
11= × ,12=4*3*1*1,13= × ,14=2*1*1*7,15=1*3*5*1
16= × ,17= × ,18=2*9*1*1,19= × ,20=4*1*5*1

問３：
以下の法則に気づけば簡単。（これに気づくのが解けるかの鍵だと思う）

 小さい順大きい順小さい順＊大きい順
11*1*1*123*33*53*738*27*125*343
22*1*1*122*33*53*738*27*125*343
31*3*1*123*32*53*738*27*125*343
 :::
102*1*5*122*33*52*738*27*125*343
 :::

一番大きい数を１０番目に大きい数で割ると、10番目に小さい数 すなわち2*1*5*1=10が答えである。



解答・その12

（ペンネ−ム：巷の夢）

議論を分かり易くするため数を全て累乗で表す。

数　値
A20212223
B30313233
C50515253
D70717273

問１．
A〜Dのカテゴリー全てに４個の数値があるので、４×４×４×４＝256

問２．
累乗に注意して数値表を見ていくと、１〜10の値はある事が分かる。 しかし、11はない。12は３×４で表中の数値で作ることが出来る。 13はない。14＝２×７、15＝３×５しかし、 16＝１×16、２×８、４×４であり表中の数値では作れない。 因って作れない数値の小さい方から３番目は16である。

問３．
一番大きな数値は　23×33×53×73
次に大きな数値は２の累乗を一つ減らしたもの、 即ち、一番大きな数値の1/2、次は３の累乗を一つ減らした1/3、このように考えてくると、 順次1/4、1/5、と考えていけば良く、累乗数を減らすことにより連続的に1/10までの数値を作ること が出来る。この1/10が大きい順の10番目の数であるから、求める商は10である。



解答・その13

（ペンネ−ム：BossF）

問１．積は　2ax3bx5cx7d (a〜d=0,1,2,3) ですから
　　　　4x4x4x4=256通り…答

問２．2、3、5、7以外の因数を持つか、又は2、3、5、7の４乗以上の因数 を持つものは作れませんから、小さい方から順に 11、13、16、17、19…
　　　　答11、13、16

問３．(これは、まともに、１０番目に大きい数を求めに行くと、 地獄になりそう…（＾＾；；、ということで楽な道へ進みます)
作ることのできる数のうちでいちばん大きい数を、 １０番目に大きい数で割った数も 2ax3bx5cx7d (a〜d=0,1,2,3)の形になります。 さて積を小さい方から、書き出しますと 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、14… 最初の1は作ることのできる数のうちで1番大きい数を、それ自身で割った答 2は、作ることのできる数のうちでいちばん大きい数を、2番目に大きい数で割った答…ですから 求める数は　10…答 ■




解答・その14

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

問１　２５６通りです。
なぜならＡは２、Ｂは３、Ｃは５、Ｄは７という素数のべき乗の形をして いるので組み合わせ方が違うと積が異なります。それぞれ４通りの場合があるので ４の４乗で答えがでます。

問２　１１、１３、１６です。
７より大きな素数、１１・１３・１７が候補になります。４乗の形をして いる１６・８１・６２５も候補になります。 また、２の４乗以上１６・３２・６４も候補になります。 しかし、次のような表をつくれば明らかです。

n12 34 56 78 910 1112 1314 1516 1718 1920
A12 14 12 18 12 x4 x2 1x x2 x4
B11 31 13 11 91 x3 x1 3x x9 x5
C11 11 51 11 15 x1 x1 5x x1 x1
D11 11 11 71 11 x1 x7 1x x1 x1

問３　１０です。
Ａを８、Ｂを２７、Ｃを１２５、Ｄを３４３でそれぞれ割ったものを考え ます。

Ａ’は1/8、1/4、1/2、1です。
Ｂ’は1/27、1/9、1/3、1です。
Ｃ’は1/125、1/25、1/5、1です。
Ｄ’は1/343、1/49、1/7、1です。
Ａ’、Ｂ’、Ｃ’、Ｄ’の中から１つを選んで掛けあわせたものは最大値 が１です。元の問題のままではなくて １／(8・27・125・343) 倍に小さくして考えま す。こうすると分子は必ず１になります。だから大きな数を考えるのは分母が小さい ものを考えると言うことになります。そうすれば問２の表を分母の値としてそのま ま利用できます。表を読んで１０番目に大きいのは１／１０の場合になります。 だから答えは逆数をとって１０です。




解答・その15

（ペンネ−ム：teki）

答え　１。２５６通り　　２。１１、１３，１６　　３。１０

＜解法＞

１は４×４×４×４＝２５６通りです。

２は、ひっかけですね。２つめまでは、素数ですが、３つめは２の４乗＝１６がＡグループ にないので、これは作れません。

３は、１０番目に大きな数を探すと手間ですが、小さいほうから１０番目の数を見つければ いいことに気がつけば、２が使えます。 つまり、作れない数の最小が１１ですので、１から１０までは作れることが解ります。 従って、最大の数を１０番目に大きい数で割った結果は、１０となります。



解答・その16

（ペンネ−ム：VILL）

問１
Aには２の，Ｂには３の，Ｃには５の，Ｄには７の累乗の数がありますね。 どんな選び方をしても４つの数は互いに素ですから，同じ数はできません。 A，B，C，Dそれぞれから４通りの選び方がありますから，
　　４×４×４×４＝２５６（通り）
です。多分。

問２
題意を満たす数は，２，３，５，７と互いに素か，または２，３，５，７の４乗以上 を因数に持つ数であればよいので， 小さい方から考えると，
　　１１，１３，１６
です。多分。

問３
最大数は
　　８×２７×１２５×３４３
ですね。じゃあ２番目にできる大きい数は？ 与えられた数の中で，１を除いて最小の因数が２ですから，
　　（最大数）÷２
ですね。この２は２番目にできる小さい数でもあります。 じゃあ３番目は？…同様に，
　　（最大数）÷３
です。この３は３番目にできる小さい数です。 このパターンを考えると，
　　（ｎ番目にできる大きい数）＝（最大数）÷（ｎ番目にできる小さい数）
となっています。（ｎは２５６までの自然数です。）ということは，
　　（１０番目にできる大きい数）＝（最大数）÷（１０番目にできる小さい数）
なので，
　　（最大数）÷（１０番目にできる大きい数）＝（１０番目にできる小さい数）
ですね。さて，じゃあ１０番目にできる小さい数は？
問２を見ますと，作ることのできない最小の数が１１ですから１０までは作れること がわかっています。 つまり，１０番目に小さい数は１０です。ですから答は１０です。多分。



解答・その17

（ペンネ−ム：仮面X）

問１．
４×４×４×４＝２５６。
　　　（答え｝２５６通り。

問２．
１＝１×１×１×１〜１０＝１×１×２×５は全部つくれます。
１１＝１×１１はダメ、１２＝１×１×３×４，１３＝１×１３はダメ、
１４＝１×１×２×７、１５＝１×１×３×５，１６＝２×２×２×２はダメ。
　　　（答え）１１，１３，１６。

問３．
１番大きい数は８×２７×１２５×３４３。
２番目は４×２７×１２５×３４３＝８×２７×１２５×３４３÷２、
３番目は８×９×１２５×３４３＝８×２７×１２５×３４３÷３、
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、
１０番目は４×９×２５×３４３＝８×２７×１２５×３４３÷（２×５）。
より、（１番）÷（１０番）＝２×５＝１０。
　　　（答え）１０。




解答・その18

（ペンネ−ム：AK）

1.ABCDそれぞれ４通りの選び方があるから、
　　　４×４×４×４=256通り。

2.ABCDそれぞれは素数｛２・３・５・７｝について排反なので ｛２・３・５・７｝以上の素数を述べれば良い。また、これらの素数の４乗以上の数は作れない． ここから、答えは11・13・16。

3.一番大きい数は210の３乗。10番目に大きい数を探す。 ABCDの数字からは、1〜10までの数字はすべて作れるので 10番目に大きい数は一番大きい数を10で割ることで作ることが出来る。 つまり、一番大きい数を10番目に大きい数で割ると、10が残る。



解答・その19

（ペンネ−ム：yokodon）

題意の数は、2a・3b・5c・7d （a,b,c,d はいずれも整数で 0 ≦ a,b,c,d ≦ 3 ）と表せます。これをもとにして、議論を進めます。

（1）（a,b,c,d） の可能な組み合わせの総数ですから、44 ＝ 256 通り。…(答)

（2）上記のように表現できない数ですから、2、3、5、7 のいずれとも互いに素な自 然数、又は a, b, c, d を4以上まで広げれば上記のように表せる数です。それを小 さい方から数え上げて、求める３つの数は 11,13,16 …(答)

（3)N ＝ 23・33・53・73とおく。
一連の数のうち、最大値は N で、10 番目に大きい数は N/10 である（∵2,3,5,7 各３個から適宜取り出す組み合わせで、1 から 10 まで作ることが出来る。そして、 1 で割ったもの、2 で割ったもの、...がそれぞれ 1 番目、2 番目、...に大きい数 となり、10 番目まで同様である）。
よって、題意のわり算の答えは、N/(N/10) ＝ 10 …(答)



解答・その20

（ペンネ−ム：Mit）

今月の問題はプログラムを書いてみました。
実行結果とソースは以下の通りです。

問１：256通り
問２：11, 13, 16
問３：10

import java.util.Arrays;

public class Question_9{
  
  public static void main(String[] args){
    
    int[]
      array_2 = {1, 2, 4, 8},
      array_3 = {1, 3, 9, 27},
      array_5 = {1, 5, 25, 125},
      array_7 = {1, 7, 49, 343},
      
      array;
    
    int
      count = 0,
      array_size = array_2.length * array_3.length * array_5.length * array_7.length;
    
    array = new int[array_size];
    
    for( int n1 = 0; n1 < array_2.length; n1++ )
    for( int n2 = 0; n2 < array_3.length; n2++ )
    for( int n3 = 0; n3 < array_5.length; n3++ )
    for( int n4 = 0; n4 < array_7.length; n4++ )
      array[count++] = array_2[n1] * array_3[n2] * array_5[n3] * array_7[n4];
    
    Arrays.sort(array);
    
    System.out.println("問１：" + array_size + "通り");
    System.out.println("問２：" + ans2(array));
    System.out.println("問３：" + array[array_size - 1] / array[array_size - 10]);
    
  }
  public static String ans2(int[] array){
    
    String str = "";
    
    weekend:
    for( int x = 0, y = 0, z = 0; x < array.length - 1; x++ ){
      
      for( int p = 1; p < (y = array[x + 1] - array[x]); p++ ){
        
        str += array[x + 1] - (y - p) + ", ";
        z++;
        if( z >= 3 ) break weekend;
        
      }
      
    }
    
    return str;
    
  }
}




解答・その21

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

問１．出来上がる数は，
　　２a×３b×５c×７d， ａ〜ｄは３以下の非負整数となる．
ａ〜ｄの選び方は，それぞれ４通りずつなので，全部で４4＝２５６通りとなり， これが答である．

問２．１より大きく，２，３，５，７を因数としない数か， あるいは２4，３4，５4，７4を因数とする数を，小さい方から選べばよいので，
　　１１，１３，１６
の３つである．

問３．大きな数から書き並べると，
　　一番大きな数，一番大きな数÷二番目に小さな数，一番大きな数÷三番目に小さな数，・・・
となる．故に，答は十番目に小さな数の１０である

＜別解＞

問１．256

問２．11,13,16

問３．10 

エクセルのマクロ
Option Explicit
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Dim A(4) As Long
    Dim B(4) As Long
    Dim C(4) As Long
    Dim D(4) As Long
    Dim seki(256) As Long '4^4=256
    Dim j1 As Integer
    Dim j2 As Integer
    Dim j3 As Integer
    Dim j4 As Integer
    Dim kotae1 As Integer
    Dim kotae2 As Integer
    Dim dame As Integer
    A(1) = 1
    B(1) = 1
    C(1) = 1
    D(1) = 1
    For j1 = 2 To 4
      A(j1) = A(j1 - 1) * 2
      B(j1) = B(j1 - 1) * 3
      C(j1) = C(j1 - 1) * 5
      D(j1) = D(j1 - 1) * 7
    Next j1
    kotae1 = 0
    For j1 = 1 To 4
      For j2 = 1 To 4
        For j3 = 1 To 4
          For j4 = 1 To 4
            kotae1 = kotae1 + 1
            seki(kotae1) = A(j1) * B(j2) * C(j3) * D(j4)
          Next j4
        Next j3
      Next j2
    Next j1
    For j1 = 1 To 256 - 1
      For j2 = j1 + 1 To 256
        If seki(j1) > seki(j2) Then
          Cells(1, 1).Value = seki(j1)
          seki(j1) = seki(j2)
          seki(j2) = Cells(1, 1).Value
        End If
      Next j2
    Next j1
    j1 = 1
    While j1 < kotae1
      If seki(j1) = seki(j1 + 1) Then
        For j2 = j1 + 1 To kotae1 - 1
          seki(j2) = seki(j2 + 1)
        Next j2
        kotae1 = kotae1 - 1
      Else
        j1 = j1 + 1
      End If
    Wend
    Cells(1, 1).Value = kotae1
    Range("A1").Select
    For j1 = 1 To kotae1
      Cells(j1, 2).Value = seki(j1)
    Next j1
    kotae2 = 0
    j1 = 1
    While kotae2 < 3 And j1 <= seki(kotae1)
      dame = 0
      j2 = 1
      While dame = 0 And j2 <= kotae1
        If j1 = seki(j2) Then
          dame = 1
        Else
          j2 = j2 + 1
        End If
      Wend
      If dame = 0 Then
        kotae2 = kotae2 + 1
        Cells(kotae2 + 2, 1).Value = j1
      End If
      j1 = j1 + 1
    Wend
    If kotae1 >= 10 Then
      Cells(7, 1).Value = Cells(kotae1, 2).Value / Cells(kotae1 - 9, 2).Value
    End If
End Sub




正解者

kiyo モルモット大臣 夜ふかしのつらいおじさん
teki スモークマン 巷の夢
浜田　明巳 AK yokodon
BossF やなせ VILL
仮面X ときん テモ
Mit 勝浦捨てる造 高橋 道広
文誠 kirkland Banyanyan





まとめ

今回はたくさんの方から解答を寄せていただきました。 初めてという方も何人かいらっしゃいまして、大変ありがたいことだとうれしく思っています。 これをご縁にこれからもよろしくお願いします。
さて今回の問題ですが、案外２番でひっかかってしまった方がいらっしゃいましたね・・・、私もそのうちの一人です。”素数”に目がくらんで、「１６」を見落としてしまうのです・・・。何人かの方がやっておられるように、早とちりせずにきちんと検証しないといけませんね。
３番については、「Ｎ番目に小さい数と、Ｎ番目に大きい数との積は常に 最大数　23×33×53×73である」 ということに気づけば、簡単ですね。







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