Weekend Mathematics／問題／問題68
６８．棒を立てる問題
Ａ，Ｂ２つの地点をまっすぐな線で結び、この線の上に次のようにして棒を立てます。
１．Ａ，Ｂの２つの地点に目印の棒を立てる。（図１）
２．Ａ，Ｂのまん中の地点に６４cmの棒を立てる。（図２）
３．２つの棒にはさまれたまん中の地点に３２cmの棒を立てる。（図３）
４．２つの棒にはさまれたまん中の地点に１６cmの棒を立てる。（図４）
以上の作業を(1/16)cmの棒を立てるまでくりかえします。そのあと目印の棒２本をとりのぞいて作業を 終わります。ただし立てる棒の長さは、２→３→４→・・・と進むごとに半分になるものとします。
問１．(1/4)cmの棒は何本立っていますか。
問２．立っている棒全部の長さの和は何cmですか。
問３．Ａの方から２０００番目の棒の長さは何cmですか。
ピーター先生と中学入試の算数に挑戦！
ピーター・フランクル
新潮社
土佐中学校2001年度入試
（ペンネ−ム：スモークマン）
1. 2の6乗〜2の-4乗まで。二乗が一つ下がるごとに、2倍ずつ本数が増えるから、
6-（-2）=8より、2の8乗=256本。
2. 大きさが1/2になるが、本数は、2倍になるため、
合計では、64ｃｍ。だから、64ｘ11=704ｃｍ。
（ペンネ−ム：モルモット大臣）
今回は時間がなく解答だけで失礼します。
(1) 256 本
(2) 704 cm
(3) 1 cm
（ペンネ−ム：やなせ）
問い１、（１／４）ｃｍの棒は何本立っていますか？
棒の長さが半分になるときには棒の本数は２倍になっていきますので
６４→３２→１６→８→４→２→１→1/2→1/4・・・なので
１＊２＊２＊２＊２＊２＊２＊２＊２で２の８乗＝２５６本です
問い２、立っている棒全体の長さの和は何ｃｍですか？
問い１の答えを求める式？から各長さの本数は
６４→１。３２→２。１６→４・・・・・1/16→１０２４です
おわかりのように各長さに各本数を掛け合わせた長さは
いずれの場合も６４cmになります、棒の種類は１１種類になるので
６４ｃｍ×１１＝７０４ｃｍになります。
問い３、Ａの方から２０００番目の棒の長さは何ｃｍですか？
各棒の本数を合計すると
１＋２＋４＋８・・・・・・・２５６＋５１２＋１０２４＝２０４７
Ａから２０００番目はＢの方からは４８番目になります
ここからが私らしくしこしこと（いつもこればっかり、でも報われなくて間違いも多いのですが）
やりましたところ長さ１ｃｍの棒が立っていました
お答えは１ｃｍです
（ペンネ−ム：ドラ）
まず、問題より、
６４ｃｍの棒は１本
３２ｃｍの棒は２本
１６ｃｍの棒は４本
・
・
・
（１/１６）ｃｍの棒は１０２４本
つまり、棒の長さは
初項６４, 公比1/2, 項数１１の等比数列 ・・・(1)
棒の本数は
初項１, 公比２, 項数１１の等比数列 ・・・(2)
のようになることは明らか。
問１
（解）
(1)より、９番目にできる棒が1/4になるので、
その棒の本数は(2)より、５１２本。
問２
(解）
６４×１＋３２×２＋・・・・・・とやっていってもよいが、
結局は６４を１１回足すことになると途中で気づくので、
６４×１１＝７０４
問３
(解）
(2)と等比数列の和の公式より、すべての棒の本数は２０４７。
ここで、この図は６４ｃｍの棒について対称な図形になっているから、
Aから２０００番目の棒の長さ＝Bから４８番目の棒の長さ＝Aから４８番目の棒の長
さである。
次に、Aに近い部分の図だけを書いてみる。
すると、最も左にある1/2ｃｍの棒よりも左には、７本の棒がある。
そして、最も左にある１ｃｍの棒よりも左は、
1/2の棒をに関して対称になっており、１５本の棒がある。
同様に最も左にある２ｃｍの棒よりも左には３１本の棒がある。
２ｃｍの棒よりも右には図のような棒の配置になる。
２cmの棒はAから３２本目だから、
２cmの棒の右隣にある１cmの棒はAから４８番目。
よって、Ａの方から２０００番目の棒の長さは１ｃｍ。
（ペンネ−ム：こざっぱ）
問１．(1/4)cmの棒は何本立っていますか。
棒は、半分の長さになるたびに、本数は倍になって行くので、
結局、同一の長さの棒の長さの合計は常に６４ｃｍになります。
なので、長さ１／４ｃｍの長さの棒の本数は、
６４ ÷ １／４＝２５６［本］ です。 Ａ．２５６本
問２．立っている棒全部の長さの和は何cmですか。
各長さとその本数の関係は以下の通りです。
| 長さ | ６４ | ３２ | １６ | ８ | ４ | ２ | １ | １／２ | １／４ | １／８ | １／１６ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 本数 | １ | ２ | ４ | ８ | １６ | ３２ | ６４ | １２８ | ２５６ | ５１２ | １０２４ |
| 全体本数 | １ | ３ | ７ | １５ | ３１ | ６３ | １２７ | ２５５ | ５１１ | １０２３ | ２０４７ |
問３．Ａの方から２０００番目の棒の長さは何cmですか。
この問題が良くわからないのですが。。。。
棒は、真ん中に６４ｃｍが一本立っていて、左右対称で、本数が２０４７本なので、
Ａから２０００番目の棒は、Ａから４８番目の棒と同じ長さのはずです。
あとは、４８番目の棒の長さを力作業で数えてみました。
一番、Ａに近いのは、１／１６ｃｍの棒で、２番目は１／８ｃｍの棒、のように考えると、、
１／１６の棒は １，３，５，７，９，１１，１３・・・・番目
１／８の棒は ２，６，１０，１４・・・・・・・・・・番目
１／４の棒は ４，１２，２０・・・・・・・・・・・・番目
４８番目は長さ１ｃｍの棒になります。 Ａ．１ｃｍの棒
（ペンネ−ム：柿本 浩）
（共通解）
問題の通りに棒を並べていくと、６４ｃｍ：１本、３２ｃｍ：２本、１６ｃｍ：４
本、・・・と
手順を進める毎に棒の長さは前の半分、本数は前の２倍になっていく事が分かるので
１／１６ｃｍになるまでの、それぞれの長さの棒（便宜上ａ〜ｋのアルファベットで
表す）の本数は
| （ａ） | ６４ｃｍ | ：１本 |
| （ｂ） | ３２ｃｍ | ：２本 |
| （ｃ） | １６ｃｍ | ：４本 |
| （ｄ） | ８ｃｍ | ：８本 |
| （ｅ） | ４ｃｍ | ：１６本 |
| （ｆ） | ２ｃｍ | ：３２本 |
| （ｇ） | １ｃｍ | ：６４本 |
| （ｈ） | １／２ｃｍ | ：１２８本 |
| （ｉ） | １／４ｃｍ | ：２５６本 |
| （ｊ） | １／８ｃｍ | ：５１２本 |
| （ｋ） | １／１６ｃｍ | ：１０２４本 |
問１．
共通解より、１／４ｃｍの棒（ｉ）は２５６本となる。
問２．
共通解のａ〜ｋの棒で、長さ×本数の合計を取れば良いのだが
ａ→ｂ、ｂ→ｃと進む毎に長さが１／２倍、本数が２倍となっていくため
長さと本数の積は変化しない事に気づく。つまりａ〜ｋまでの全ての棒は
長さ×本数＝６４であり、その合計は６４×１１＝７０４ｃｍだと分かる。
問３．
共通解より、ａ〜ｋの棒を全て合計すると２０４７本であり
「Ａから数えて２０００番目の棒」＝「Ｂから数えて４８番目の棒」だと分かる。
ここで、棒の並び順を考えてゆくと（以下図参照）
・２０４７本の中央にあるのはａの棒で、その両側に１０２３本ずつの棒が並んでいる
→ ａの右側の１０２３本を考えると、中央にあるのはｂの棒で、その両側に５１１本ずつの棒が並んでいる
→ ｂの右側の５１１本を考えると、中央にあるのはｃの棒で、その両側に２５５本ずつの棒が並んでいる
→ ｃの右側の２５５本を考えると、中央にあるのはｄの棒で、その両側に１２７本ずつの棒が並んでいる
→ ｄの右側の１２７本を考えると、中央にあるのはｅの棒で、その両側に６３本ずつの棒が並んでいる
→ ｅの右側の６３本を考えると、中央にあるのはｆの棒で、その両側に３１本ずつの棒が並んでいる
つまり、この“３１本・ｆ・３１本”が、最も右側（最もＢ寄り）の６３本の棒の並
びなので
「Ｂから数えて４８番目の棒」は「このｆの棒の左側にある３１本のうち、右から数
えて１６番目の棒」だと分かる。
→ ｆの左側にある３１本を考えると、中央にあるのはｇの棒で、その両側に１５本
ずつの棒が並んでいる
よって、この３１本の中で右から１６番目の棒は、３１本の中央にあるｇの棒だと分
かる。これが即ち「Ａから２０００番目の棒」であり、その長さは１ｃｍである。
（ペンネ−ム：岡田）
まず、すべての立っている棒の数を数える。
長さは1/2ずつ短くなり、数は2倍ずつ増えるから。
(64cm １本)、(32cm ２本)、(16cm 4本)、(8cm ８本)、(4cm 16本)、
(2cm 32本)、(1cm 64本)、(1/2cm 128本）、(1/4cm 256本)、
(1/8cm 512本)、(1/16cm 1024本)となる。
(1) 256本
(2) それぞれの棒の長さと数をかけた数はすべて64cmになる。
これがこれが１１本あるので、棒全部の長さの和は704cmとなる。
(3) それぞれの立っている棒の間隔を式にすると、
1/16cmがy=2x-1、 1/8cmがy=4x-2、 1/4cmがy=8x-4、……と、
決まった変化をする式になる。これから、yが2000となる式をさがすと、
1cmのy=32x-16のときで、ｙに2000を代入するとｘが６３となる。
よって答えは1cm
（ペンネ−ム：勝浦捨てる造）
ＡＢのまん中に、６４cmの棒を１本立てると２分割される。その２分割されたそれぞれの
中央に３２cmの棒を１本ずつ立てると４分割され、その４分割されたそれぞれのまん中に１６cmの
棒を１本ずつ立てると８分割される。
以下同様の操作を1/16cm棒を立てるところまで行うと以下の表のようになります。
| ６４cm棒 | １本立てる | ＡＢを２分割 |
| ３２cm棒 | ２本立てる | ＡＢを４分割 |
| １６cm棒 | ４本立てる | ＡＢを８分割 |
| ８cm棒 | ８本立てる | ＡＢを１６分割 |
| ４cm棒 | １６本立てる | ＡＢを３２分割 |
| ２cm棒 | ３２本立てる | ＡＢを６４分割 |
| １cm棒 | ６４本立てる | ＡＢを１２８分割 |
| 1/2cm棒 | １２８本立てる | ＡＢを２５６分割 |
| 1/4cm棒 | ２５６本立てる | ＡＢを５１２分割 |
| 1/8cm棒 | ５１２本立てる | ＡＢを１０２４分割 |
| 1/16cm棒 | １０２４本立てる | ＡＢを２０４８分割 |
ところで、たてる棒の長さは、６４→３２→１６→８→４→・・・→1/8→1/16と1/2になっているが、
棒の本数は、１→２→４→８→・・・と２倍ずつになっているので、結局は各棒の総全長（？）は
、６４cmで一定です。
問１
６４÷(1/4)＝２５６（本）
問２
棒の長さの違う種類は１１なので、６４×１１＝７０４(cm)
問３
これは、６４本立てた１cm棒のうちの一番右端に立てた１本付近
の拡大図です。
図から一番右端の1/16cm棒は、
１番目→３→５→７→９・・・と並んでいるからｎ番目は２ｎー１
1/8cm棒は、２→６→１０→１４→１８・・・２(２ｎ−１)
1/4cm棒は、４→１２→２０→２８・・・２２(２ｎ−１)
1/2cm棒は、８→２４→４０→５６・・・２３(２ｎ−１)
以上のことから、１cm棒から６４cm棒までは次のように予想されます。
立てた棒の各々のｎ番目
| 1/16cm棒 | ２ｎー１ |
| 1/8cm棒 | ２(２ｎ−１) |
| 1/4cm棒 | ２２(２ｎ−１) すなわち ４(２ｎ−１) |
| 1/2cm棒 | ２３(２ｎ−１) すなわち ８(２ｎ−１) |
| １cm棒 | ２４(２ｎ−１) すなわち １６(２ｎ−１) |
| ２cm棒 | ２５(２ｎ−１) すなわち ３２(２ｎ−１) |
| ４cm棒 | ２６(２ｎ−１) すなわち ６４(２ｎ−１) |
| ８cm棒 | ２７(２ｎ−１) すなわち １２８(２ｎ−１) |
| １６cm棒 | ２８(２ｎ−１) すなわち ２５６(２ｎ−１) |
| ３２cm棒 | ２９(２ｎ−１) すなわち ５１２(２ｎ−１) |
| ６４cm棒 | ２１０(２ｎ−１) すなわち １０２４(２ｎ−１) |
各々の棒のｎのとりうる値は立てた本数を限度とする。
すなわち1/16cm棒は、１０２４本だから、１０２４×２ー１＝２０４７ で、
最後の1/16棒は、２０４７番目です。６４cm棒だと１本だから１０２４番目
ところで立てた棒は完全に左右（？）対象的に並んでいるので、ＡからでもＢからでも同じ順番で並んでいる。
そして問３の２０００番目ですが、各々の棒のｎ番目を求める式にイコール２０００とおいて正の
整数解が得られるものがそれです。
すなわち １６(２ｎ−１)＝２０００でｎ＝６３となるから、２０００番目は、６４本立っている
１cm棒の６３本目です。
答え １cm棒
因みに左から２０００番目は(総数２０４７の)右から４８番目だから、
１６(２ｎ−１)＝４８で、ｎ＝２となって左からの６３本目と合致する。
（ペンネ−ム：kiyo）
問１．
６４cmの棒を(1/4)cmづつに分割することになるから、
６４÷(1/4)＝２５６
２５６本。
問２．
| １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | ９ | １０ | １１ |
| ６４ | ３２ | １６ | ８ | ４ | ２ | １ | １/２ | １/４ | １/８ | １/１６ |
問３．
立てた棒の総本数は、
(６４÷(1/16))×２-１＝２０４７(本)
左のAの棒から１番と番号をつけていくとBの棒は２０４９番となる。
Ａの方から２０００番目の棒は２００１番の棒に相当する。
６４cmの棒は、(２０４９+１)÷２＝１０２５(番)
Ｂ側の３２cmの棒は、(２０４９+１０２５)÷２＝１５３７(番)
Ｂに近い１６cmの棒は、(２０４９+１５３７)÷２＝１７９３(番)
Ｂに近い８cmの棒は、(２０４９+１７９３)÷２＝１９２１(番)
Ｂに近い４cmの棒は、(２０４９+１９２１)÷２＝１９８５(番)
Ｂに近い２cmの棒は、(２０４９+１９８５)÷２＝２０１７(番)
(１９８５+２０１７)÷２＝２００１(番)
この棒の長さは１cmとなる。
１cm。
２００１年の問題らしいですね。
（ペンネ−ム：巷の夢）
題意から条件を整理すると、２の累乗がポイントですので、
以下の表のようにまとめられる。
| NO. | 棒の長さ | 本数 | AB間の間隔をLとした時の棒の立つ間隔の分母数 |
|---|---|---|---|
| 1 | 26 | 20 | 21=2 |
| 2 | 25 | 21 | 22=4 |
| 3 | 24 | 22 | 23=8 |
| 4 | 23 | 23 | 24=16 |
| 5 | 22 | 24 | 25=32 |
| 6 | 21 | 25 | 26=64 |
| 7 | 20 | 26 | 27=128 |
| 8 | 2-1 | 27 | 28=256 |
| 9 | 2-2 | 28 | 29=512 |
| 10 | 2-3 | 29 | 210=1024 |
| 11 | 2-4 | 210 | 211=2048 |
この表から、
問１． 長さ1/4はNO.9であるから本数は 28=256本となる。
問２． 求めるものは、棒の長さ×本数であるから、26×11＝704cmとなる。
問３． 2000番ということは2000／2048＝125／128＝125／27 である。
分母が 27であるから、棒の長さは 20＝1である。
（ペンネ−ム：水の流れ）
１．64ｃｍが１本、32ｃｍが２本、16ｃｍが４本 、
・・・で長さと棒の本数の積が一定の６４に気がつく。
よって、1／4ｃｍのときの棒の本数をｘ本とすると、(1／4)ｘ＝６４
したがって、ｘ＝２５６ 答 ２５６本
２．この作業は最初、長さが64ｃｍ棒が何本かあって、１回の作業で１本づつ必要です。
よって、（1/16)ｃｍの長さになるまで、１１回の作業になります。
したがって、長さが64ｃｍ棒が１１本使用されたから、１１×６４＝７０４（ｃｍ）
３．（1/16)ｃｍの長さの棒を立て終わったときを考えます。
奇数番目がすべて、（1/16)ｃｍの長さの棒です。
このことに着目して、2000番目は偶数だから、（1/16)ｃｍ 以外の棒
2000÷2=1000 より、偶数番目だから、（1/8)ｃｍ 以外の棒
次に、1000÷2＝500 より、偶数番目だから、（1/4)ｃｍ 以外の棒
また、500÷2＝250 より、偶数番目だから、（1/2)ｃｍ 以外の棒
さらに、250÷2＝125 より、奇数番目だから、１ｃｍ の棒 となる。
したがって、２で割って、順に奇数番目の棒を取り除いて作業を反対に
考えてたのです。
＊ 2000の２進法の表し方と関係しているみたい。
（ペンネ−ム：BossF）
問い1 どの長さの棒も、長さの合計は64cmですから
64÷(1/4)=256本…答
問い2 1本の長さは 26〜2-4 の11通りですから
64x11=704cm…答
2ｎ cm の棒を＜ｎ＞とあらわし
Aからn番目を、便宜的にn+1号といいかえます
すると目標の2000番目は2001号です
さて、2001号までの＜-4＞は、全ての偶数号にあり、これを全部抜くと
2001÷2=1000…1 ですから、2001号は1001号にかわります。
この時、1001号までの＜-3＞も、全ての偶数号にあり、これを全部抜くと
1001÷2=500…1 ですから、1001号は501号にかわります。
以下同様の手順を繰り返すと
＜-2＞を抜く⇒ 501号→251号
＜-1＞を抜く⇒ 251号→126号
ここで、「元の2001号」が偶数号に変わりました
すなわち、2000番目は20=1cm です。 …答
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）
次のような表を作ります。棒の長さは、ステップが進むごとに半分になりま
す。棒を１本立てるごとにその棒の左右（つまり２カ所）に新たに棒を立てるス
ペースができます。ですから棒の本数は２倍になっていきます。
| 番号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 棒の長さL | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 1/2 | 1/4 | 1/8 | 1/16 |
| 棒の本数n | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| L×n | 64 | 64 | 64 | 64 | 64 | 64 | 64 | 64 | 64 | 64 | 64 |
| 棒の本数の累計 | 1 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 | 255 | 511 | 1023 | 2047 |
問１ （1/4）cmの棒は、表より２５６本
問２ ６４×１１＝７０４cm
問３
棒の本数の累計を見ると、２０００番目は11番目のステップで棒を立てて
はじめてできます。さて、次のように１回ステップが進むと棒の通し番号がどう
変わるかを考えます。すると、新しく棒を立てたことで今まで立っていた棒の通
し番号は偶数、新しく立てた棒の通し番号は奇数になります。２０００は偶数な
ので今までにすでに立っていた棒です。
| 今まで立ってる棒の通し番号 | ０ | １ | ２ | ３ | ・・・ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 今まで立ってる棒 | Ａ | ｜ | ｜ | ｜ | ・・・ | |||
| 新たに立てる棒 | ＾ | ＾ | ＾ | ・・・ | ||||
| 新しい棒の通し番号 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ・・・ |
（ペンネ−ム：teki）
１) ２５６本
２) ７０４ｃｍ
３) １ｃｍ
＜解法＞
要するに２の累乗の問題ですね。
１は、２６から２-２までの段階が９段階あるので、
２９-１＝２８で２５６本となります。
２は、各段階の長さと本数を掛ければ、全て６４になるので、合計11段階の
長さの合計は、６４×１１＝７０４ｃｍとなります。
３が少々複雑ですが、Ａから２０００本目ということは、対称性から、Ｂから
４８本目ですので、それぞれの長さの棒が立っている位置の法則が以下のように
なることから、計算できます。
| 1/16 | ２ｎ+1番目 |
| 1/8 | ４ｎ+２番目 |
| 1/4 | ８ｎ+４番目 |
| 1/2 | １６ｎ+８番目 |
| １ | ３２ｎ+１６番目 |
| ２ | ６４ｎ+３２番目 |
| ４ | １２８ｎ+６４番目 |
| ８ | ２５６ｎ+１２８番目 |
| １６ | ５１２ｎ+２５６番目 |
| ３２ | １０２４ｎ+５１２番目 |
| ６４ | １０２４番目 |
（ペンネ−ム：kirkland）
問１
棒の長さが半分になると、本数が２倍になるので、
(棒の長さ)×(その長さの棒の本数)は64ｃｍで一定。
というわけで、64÷(1/4)＝256本
問２
棒の長さは64ｃｍ、32ｃｍ、……、(1/16)ｃｍの11種類あるので、
長さの総和は64×11＝704ｃｍ
問３
2000を２進数で表すと11111010000(２)で、下から５桁目に初めて１が現れる。
これは左から2000本目の棒が５番目に短い棒であることを表しています。
というわけで、長さは１ｃｍ
（ペンネ−ム：高橋 道広）
解答
問１ 256本
問２ 704cm
問３ 1/2cm
解説
問１
ある長さの棒を立てると区間は前回の２倍になり、棒の本数も２倍
必要になる。しかし棒の長さは半分になるので加える棒の長さの総
和は変わらない。
64cm １本 計64cm
32cm ２本 計64cm
1/4cm 64÷1/4=256本となります。
問２
長さが64=26から1/16=2-4まで6-(-4)+1
１１種類で上に書いたことから総和は11×64=704cm
問３
64cmはABを２等分 32cmはABを４等分 ...1/16はABを128÷1/16=
2048等分するのでAに0 Bに2048 その間の棒に1から順に番号を付け
ると、2進法で10000000000のところに64cm 1000000000 11000000000
のところに32cm...という風に棒を立てると考えられます。
このようにして最後は 1 11 101 111...のところに1/16の棒を立
てることになります。 つまり下の位から数えて初めて１が出るところを
考え1なら1/16 10なら1/8 100なら1/4...の棒を立てるのですから
2000を２進法で表すとよいのです。でも面倒なので 2048-2000=48を
2進法で表します。左右対称ですから同じ長さの棒を立てることになりま
すからね。で 48=32+16=110000（２進法）ですから 1cmの棒が立っ
てるはずです。
（ペンネ−ム：浜田 明巳）
(1) 256本
(2) 704cm
(3) 1cm
Excelのマクロ
Option Explicit
Sub Macro1()
Sheets("Sheet1").Select
Dim kotae1 As Long
Dim kotae20 As Long
Dim kotae21 As Long
Dim kotae30 As Long
Dim kotae31 As Long
Dim bunshi As Integer
Dim bumbo As Integer
Dim a(10000, 1) As Integer
Dim b(10000, 1) As Integer
Dim bounokazu As Long
Dim owari As Integer
Dim gcd As Long
Dim j As Long
'
bunshi = 64
bumbo = 1
bounokazu = 1
a(1, 0) = 64
a(1, 1) = 1
While bumbo < 16
If bunshi > 1 Then
bunshi = bunshi / 2
Else
bumbo = bumbo * 2
End If
For j = 1 To 2 * bounokazu + 1
If j Mod 2 Then
b(j, 0) = bunshi
b(j, 1) = bumbo
Else
b(j, 0) = a(j / 2, 0)
b(j, 1) = a(j / 2, 1)
End If
Next j
bounokazu = 2 * bounokazu + 1
For j = 1 To bounokazu
a(j, 0) = b(j, 0)
a(j, 1) = b(j, 1)
Next j
Wend
'
kotae1 = 0
kotae20 = 0
kotae21 = 1
For j = 1 To bounokazu
Range("A" & j).Select
Cells(j, 1).Value = a(j, 0)
Cells(j, 2).Value = a(j, 1)
If a(j, 0) = 1 And a(j, 1) = 4 Then
kotae1 = kotae1 + 1
End If
'wa=kotae20/kotae21+a(j,0)/a(j,1)
' =(kotae20*a(j,1)+kotae21*a(j,0))/(kotae21*a(j,1))
kotae20 = kotae20 * a(j, 1) + kotae21 * a(j, 0)
kotae21 = kotae21 * a(j, 1)
gcd = GCM(kotae20, kotae21)
kotae20 = kotae20 / gcd
kotae21 = kotae21 / gcd
Next j
kotae30 = a(2000, 0)
kotae31 = a(2000, 1)
'
Range("D1").Select
Cells(1, 4).Value = kotae1
Cells(2, 4).Value = kotae20
If kotae21 > 1 Then
Cells(2, 5).Value = kotae21
End If
Cells(3, 4).Value = kotae30
If kotae31 > 1 Then
Cells(3, 5).Value = kotae31
End If
End Sub
Private Function GCM(ByVal a As Long, ByVal b As Long) As Long
If b = 0 Then
GCM = a
Else
GCM = GCM(b, a Mod b)
End If
End Function
| teki | 夜ふかしのつらいおじさん | モルモット大臣 |
| kiyo | やなせ | スモークマン |
| 巷の夢 | 高橋 道広 | 柿本 浩 |
| こざっぱ | 岡田 | BossF |
| ドラ | 浜田 明巳 | 勝浦捨てる造 |
| 水の流れ | kirkland |
規則性があるのはわかっているのですが、それをすっきりした形に抽象化するのは むずかしいという問題ですね。 全体の様子は、何人かの方がわかりやすく表にしてくださったので、それを見ていただければいいかと思います。 例えば勝浦捨てる造さんの表を使わせていただくと、 ２cmの棒は３２本あって、１０番目の２cm棒は全体としては６０８番目だというように 出せますね。 しかしながら、逆に３番の問題のように２０００番目は？ と聞かれると、表と式を頼りに探さなければなりません。
ストレートに２０００番目を探すにはどうしたらいいでしょうか。 高橋 道広さん、kirklandさんの解答にありますように ２進法表記に直し、下からたどって最初に１となる桁を探すのです。
(1/16)cm棒のいる場所は、１，３，５，・・・，(２ｎ−１)ですが、これらの数を２進数 表記に直すと、必ず最初の桁は１になります。
(1/8)cm棒のいる場所は、２，６，１０，・・・，２(２ｎ−１)ですが、これらの数を２進数 表記に直すと、必ず最初の桁は０、次は１になります。
以下同様ですね。 「２進法」ということばを使わないにしても、 アイディアはかなりそれに近い方もいらっしゃいます。 いずれにしても規則性をひとつの形にまとめるのは、むずかしいことだと思いますが、 結果を知るとその美しさに驚かされますね。
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