Weekend Mathematics問題/問題65



65.高度なつるかめ算

10円玉、50円玉、100円玉が合わせて67枚あり、 その合計金額は3420円です。 三郎君がそれぞれの枚数を数えて合計金額を計算したところ、 2種類の硬貨の枚数を入れかえて計算したので3120円になりました。
10円玉、50円玉、100円玉はそれぞれ何枚ずつありましたか?








問題の出典


ピーター先生と中学入試の算数に挑戦!
ピーター・フランクル
新潮社
甲陽学院中学校2001年度入試






答えと解説





答えと解説

解答・その1

(ペンネ−ム:勝浦捨てる造)

百円23枚 50円17枚 10円27枚です。

3420−3120=300円で100−50=50    100−10=90    50−10=40だから
百円玉と五拾円玉を一組入れ替えるごとに50円変わるから 300÷50=6で 6組入れ替えたわけです。 ところで今入れ替えて300円減じたから結果、 百円玉の方が五拾円玉より6枚多いことがわかる。 其の6枚600円を減じた2820円では百円玉と五拾円玉は同数です。 で、その6枚を減じた61枚が2820円なわけですな。 ところで今百円玉、五拾円玉各々20枚、十円玉21枚と仮定すると 2000+1000+210=3210となって 3210−2820=390で 390円多い。 ところで百円玉と50円玉は同数だから(100+50)円マイナス、 (10+10)プラスとなって 390÷130=3で 結局のところ  十円玉は (10+10)×3=60円増えて十円玉の正しい枚数は27枚。 61−27=34   34÷2=17  17+6=23だから
百円玉 23枚  五拾円玉17枚  十円玉27枚です。 



解答・その2

(ペンネ−ム:モルモット大臣)

さすがに鶴亀算ではできませんがお許しください。方程式です。
10円玉、50円玉、100円玉の枚数をそれぞれ枚とします(p,q,r 自然数)
題意からまずp+q+r=67, 10p+50q+100r=3420-----(*)です。
2種類の硬貨の枚数を入れ替えて3120円、と合計金額が減り、全体の枚数が不変であ ることから可能性のある入れ替えた組み合わせは

1)10円玉と50円玉ただし(q>p)
2)50円玉と100円玉ただし(r>q)
3)10円玉と100円玉ただし(r>p)
の3種類。そこでそれぞれの場合を考える。

1)10円玉と50円玉ただし(q>p)の場合
pとqを入れ替えるので10q+50p+100r=3120、それと(*) p+q+r=67
10p+50q+100r=3420から40(q-p)=300と変形。 これからq-p=15/2で最初の仮定に矛盾する。よって1)は不適

2)50円玉と100円玉ただし(r>q)の場合
rとqを入れ替えるので10p+50r+100q=3120、それと(*) p+q+r=67
10p+50q+100r=3420からこの連立方程式を解いて50(r-q)=300, 40r-90q=2450などより
r=23, q=17,p=27

3)10円玉と100円玉ただし(r>p)の場合
rとpを入れ替えるので10r+50q+100p=3120、それと(*) p+q+r=67
10p+50q+100r=3420から 90(r-p)=300と変形。これからr-p=10/3で最初の仮定に矛盾 する。よって3)も不適

以上から求める枚数は それぞれ10円玉(27枚), 50円玉(17枚), 100円玉(23枚) としました。



解答・その3

(ペンネ−ム:judas)

10円玉、50円玉、100円玉の数をそれぞれX, Y, Zとする。

50円玉を使わず10円玉と100円玉のみで問題の前段を満たすことができるかを考える。
連立方程式 X+Z=67 10X+100Z=3420 を解く。
X=328/9となり、整数にならないので題意を満たさず、50円玉は少なくとも1枚あることがわかる。・・・@
67枚が全部50円玉だとすると3420円にとどかないから、100円玉も少なくとも1枚あることがわかる。
10円玉が少なくとも2枚必要なのは明らか。

100円玉の数をZとすると10円玉と50円玉の数の合計は67-Zとなる。
@より50円玉が少なくとも一つあることから、この67-X枚をすべて10円玉にすると3420円にとどかない。
逆に考えると、100円玉を除いた残額3420-100Zを全部10円玉にすると、合計枚数が67-Zをはるかに超えてしまう。
このとき、10円玉の数を5枚引いて50円玉を1枚追加する、という調整で3420円となれば前段を満たす。・・・A

このAの方法だと1回調節するごとに合計枚数が4枚減ることになる。
つまり、Zと残りを全て10円玉としたときの合計と67との差が4の倍数であればこの調整が可能となる。・・・B
式にすると、Z+(3420-100Z)/10-67=4n が成り立つZを考える。
→ Z+342-10Z-67=4n
→ 275-9Z=4n を満たすZを考える。
Zが奇数なのは明らかなので、Z=1のとき275-9=266となり4の倍数とならない。
Z=3のとき275-27=248となり4の倍数となる。
これ以降はZの増加による9Zの増加分が4の倍数となればいいから、36ずつ、 つまりZは4ずつ増やせばよい。
Z=7 275-63=212
Z=11 275-99=176
Z=15 275-135=140
Z=19 275-171=104
Z=23 275-207=68
Z=27 275-243=32
以上の7つの場合に調整が可能となり、各場合についてのこりのXとYについて連立方程式でそれぞれの枚数も求められる。
(2,62,3)
(7,53,7)
(12,44,11)
(17,35,15)
(22,26,19)
(27,17,23)
(32,8,27)
のとき、合計枚数が67枚かつ合計額が3420円となる。

この3種類の硬貨のうち2つの枚数を入れ替えて計算すると合計額が3120円となる。
このとき、入れ替え方は10円玉と50円玉、10円玉と100円玉、50円玉と100円玉の3通りしかない。

10円玉をどれかと入れ替えると仮定する。
端数の20円ということから、入れ替えた後の10円玉の枚数は5n+2とならなければならない。
これを満たすYおよびZを含む組み合わせは
(2,62,3)のY
(7,53,7)のZ
(27,17,23)のY
(32,8,27)のZ
の5通りある。
また、入れ替え後に合計額が下がったことから、入れ替えるもう一方の硬貨の枚数は減ることになる。
すなわち、5n+2を満たすYまたはZはXより大きくなければならない。
同じ場合には入れ替えても変化がないことは言うまでもない。
この2つの条件を満たす組み合わせは(2,62,3)となるが、入れ替え後の合計額が
62*10+2*50+3*100=1020となり、題意を満たさない。
したがって、10円玉は入れ替えないことがわかる。・・・C

50円玉と100円玉を入れ替える際にも、入れ替え後に合計額が下がることから、 100円玉の枚数が減る、すなわちY これを満たす組み合わせは(27,17,23)(32,8,27)の2つ。
これを当てはめてみると、
27*10+23*50+17*100=3120
32*10+27*50+8*100=2470

∴以上により、それぞれの枚数は27枚、17枚、23枚である。



解答・その4

(ペンネ−ム:DDT)

[状況調べと言い訳]
つるかめ算なので、文字式を使えば簡単になるはず。 でも、つるかめ算でそれはご法度・・・。 でもでも文字式を使っても本質はつるかめ算と同じ発想のはず・・・というか、 つるかめ算を目に見える形にしたのが文字式。というわけでご容赦を・・・。

[実行]
10円玉をx枚,50円玉をy枚,100円玉をz枚とする。x,y,zは0以上の整数。共通条件は、

  10x+50y+100z=3420 (1)
   x+ y+ z= 67 (2)

  1. 10円玉と50円玉を取り違えた場合

      50x+10y+100z=3120 (3-1)

    が必要。(1)−(3-1)は、

      −40x+40y=300
      40(−x+y)=300 (4-1)

    となり、(−x+y)は整数なので300は40の倍数であることが必要。これは不可。

  2. 10円玉と100円玉を取り違えた場合

      100x+50y+10z=3120 (3-2)

    が必要。(1)−(3-2)は、

      −90x+90z=300
      90(−x+z)=300 (4-2)

    となり、(−x+z)は整数なので300は90の倍数であることが必要。これも不可。

  3. 50円玉と100円玉を取り違えた場合

      10x+100y+50z=3120 (3-3)

    が必要。(1)−(3-3)は、

      −50y+50z=300
      50(−y+z)=300 (4-3)

    となり、(−y+z)は整数なので300は50の倍数であることが必要。これはOKで、

       −y+z=6 (3)

    となる。

  4. 3種類の硬貨なので、1〜3以外の取り違えはありえない。

  5. 1〜4より、枚数の決定方程式は以下となる。

      10x+50y+100z=3420 (1)
       x+ y+ z= 67 (2)
         −y+ z= 6 (3)


[解く]
(3)より、z=y+6 (3')
(3')を(1)と(2)に代入し、

  10x+150y=2820 (1')
   x+ 2y= 61 (2')

を得る。 (2')より、

  x=−2y+61 (2'')

(2'')を(1')に代入し、

   10x+150y=10(−2y+61)+150y
       =−20y+610+150y
       =130y+610 =2820

で、

  130y+610=2820
     13y= 221
      y= 17 (4)
(4)を(2'')と(3')に代入し、

  x=−2y+61=−34+61=27
  z= y+ 6= 17+ 6=23

となる。

答え.10円玉27枚,50円玉17枚,100円玉23枚.(でも卑怯な解答でした)



解答・その5

(ペンネ−ム:煤j

10円玉の枚数をn、50円玉の枚数をm、100円玉の枚数をkとおく

  n+m+k=67 10n+50m+100k=3420

すると入れ替えてしまったのは

  10m+50n+100k=3120・・・@
  10k+50m+100n=3120・・・A
  10n+50k+100m=3120・・・B

の3通りである。
@,Aでは解が自然数でないため。
Bで解くと

  n=27 m=17 k=23
答え10円玉27枚50円玉17枚100円玉23枚




解答・その6

(ペンネ−ム:yohe)

10円玉をx,50円玉をy,100円玉をzして、方程式をつくる。
    x+5y+10z=342…(1)
    x+y+z=67………(2)
次に2つの式のx,y,zをそれぞれ連立して解く。
    4y+9z=275……(3)
    5z-4x=7………(4)
    9x+5y=328……(5)
今度は,@の式からx,y,zのうち2つを入れ替えると、
    z+5y+10x=312…(6)
    y+5x+10z=312…(7)
    x+5z+10y=312…(8)
の3つの式がなる。このうち1つの式が正しいから、それぞれの式を(2)の式と連立さ せて解く。
(6)は9x+4y=245。これに(5)の式を連立して解くと、y=83となってしまいyの限度を超 えるので違う。
(7)は4x+9z=245。これに(4)の式を連立して解くと、x=83/4となり、自然数でないの で違う。
(8)は9y+4z=245。これに(3)の式を連立して解くと、y=17、z=23となるので、 (2)の式からx=27が分かる。
これを(1)、(8)に代入しても、あっているので、 よって、10円玉27枚、50円玉17枚、100円玉23枚




解答・その7

(ペンネ−ム:ドラ)

10円玉をx枚,50円玉をy枚,100円玉をz枚とすると、 x,y,zはすべて整数になる。

(@)10円玉と50円玉の枚数を入れかえて計算したとすると
x+y+z=67
10x+50y+100z=3420
50x+10y+100z=3120

この時、解はすべて整数にならないので、不適。

(A)50円玉と100円玉の枚数を入れかえて計算したとすると
x+y+z=67
10x+50y+100z=3420
10x+100y+50z=3120

解は x=27,y=17,z=23

(B)10円玉と100円玉の枚数を入れかえて計算したとすると
x+y+z=67
10x+50y+100z=3420
100x+50y+10z=3120
この時、解はすべて整数にならないので、不適。

(@)(A)(B)より、
10円玉27枚,50円玉17枚、100円玉23枚。



解答・その8

(ペンネ−ム:こざっぱ)

10円=27枚、50円=17枚、100円=23枚

枚数  =27+17+23=67 合計金額=10*27+50*17+100*23=3420円
50円と100円の枚数を入れ替えて
合計金額=10*27+50*23+100*17=3120円
と思います。

解法は。。。。
合計金額の100円未満の部分が20円になりますので、10円の枚数は
2枚、7枚、12枚、17枚・・・・・・62枚、67枚
のいずれかのはずです。

それぞれのケースで表を作り、合計枚数67枚、合計金額3420円となる ように50円、100円の枚数を調整しました。それと同時に、10円と50円、 10円と100円、50円と100円の枚数を入れ替えた時の合計金額も計算し ました。その結果、50円と100円の枚数を入れ替えたときに3120円とな ることがわかりました。
表はEXCEL2000で作成しましたので添付します。





解答・その9

(ペンネ−ム:浜田 明巳)

答は,10円玉27個,50円玉17個,100円玉23個です.
50円玉と100円玉の個数を変えると3120円になります.
エクセルのマクロで解きました.面白くない解答ですみません.

Option Explicit
Sub Macro1()
    Dim 百 As Integer
    Dim 五十 As Integer
    Dim 十 As Integer
    Dim a As Integer
    Cells(1, 1).Value = 0
    Range("A1").Select
    For 百 = 1 To Application.Min(67 - 1 - 1, (3420 - 50 - 10) / 100)
      For 五十 = 1 To Application.Min(67 - 百 - 1, (3420 - 100 - 10) / 50)
        十 = 67 - 百 - 五十
        If 100 * 百 + 50 * 五十 + 10 * 十 = 3420 Then
          If 100 * 五十 + 50 * 百 + 10 * 十 = 3120 Then
            a = 1
          ElseIf 100 * 十 + 50 * 五十 + 10 * 百 = 3120 Then
            a = 2
          ElseIf 100 * 百 + 50 * 十 + 10 * 五十 = 3120 Then
            a = 3
          Else
            a = 0
          End If
          If a > 0 Then
            Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
            Cells(Cells(1, 1).Value, 4).Value = 百
            Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = 五十
            Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = 十
            Select Case a
              Case 1
                Cells(Cells(1, 1).Value, 5).Value = "100<-->50"
              Case 2
                Cells(Cells(1, 1).Value, 5).Value = "100<-->10"
              Case Else
                Cells(Cells(1, 1).Value, 5).Value = "50<-->10"
            End Select
          End If
        End If
      Next 五十
    Next 百
End Sub




解答・その10

(ペンネ−ム:mhayashi)

2種類の硬貨の枚数を入れ替える前の合計金額は3420円、 入れ替えた後の合計金額は3120円なので、 合計金額の差は300円。

「2種類の硬貨」の選択肢は

  (1)10円玉と50円玉
  (2)50円玉と100円玉
  (3)10円玉と100円玉

の3通りあるがここで2種類の硬貨の差に注目してみると

  (1)の場合、50−10=40円
  (2)の場合、100−50=50円
  (3)の場合、100−10=90円

となる。

2種類の硬貨の枚数を入れ替えると合計金額の差が300円になったので 2種類の硬貨の差の倍数が300でなければならない。 これを満たすのは上の(2)の場合のみ。 つまり「2種類の硬貨」とは50円玉と100円玉だったことがわかる。

後は10円玉,50円玉,100円玉の枚数を それぞれ x,y,z とおいて3元連立方程式

  10x+50y+100z=3420
  10x+100y+50z=3120
  x+y+z=67

を解いて x=27, y=17, z=23 を得る。
よって10円玉,50円玉,100円玉は それぞれ27枚,17枚,23枚あった。



解答・その11

(ペンネ−ム:スモークマン)

a+b+c=67
a+5b+10c=342 の時、

b+5a+10c=312 なら、4(b-a)=30 だからだめ。
c+5b+10a=312 なら、9(c-a)=30 だからだめ。
a+5c+10b=312 なら、5(c-b)=30 から、c-b=6 より、
b=c-6,a=73-2c となり、
73-2c+5(c-6)+10c=342 から、c=23,b=17,a=27 とわかる。

小学生はどうやって解くのかなー。




解答・その12

(ペンネ−ム:yokodon)

僕はそんなに頭が良くなくて、暗算で鶴亀算の出来るような代物ではないので、オ ーソドックスに泥臭く連立方程式で解いてしまいます。10円玉、50円玉、100円玉の 枚数をそれぞれ x 、y 、z とします。
与条件から、まず以下の2式が成り立ちます。

x + y + z = 65  ・・・[1]
10x + 50y + 100z = 3420  ・・・[2]

さて、入れ替えて数えた場合ですが、以下の3通りがあります。

(i)10円玉と50円玉を入れ替えた場合、
  50x + 10y + 100z = 3120  ・・・[3]

(ii)10円玉と100円玉を入れ替えた場合、
   100x + 50y + 10z = 3120  ・・・[4]

(iii)50円玉と100円玉を入れ替えた場合、
  10x + 100y + 50z = 3120  ・・・[5]

以下、各々の場合を考えます。

(i)の場合に関して:{[2] - [3]}÷10 から、次式を得ます。
  4・(y - x) = 30
x 、y は整数なので y - x も整数であり、この場合は不適です。

(ii)の場合に関して:{[2] - [4]}÷10 から、次式を得ます。
  9・(z - x) = 30
x 、z は整数なので z - x も整数であり、この場合も不適です。

(iii)の場合に関して:{[2] - [5]}÷10 から、次式を得ます。
  5・(z - y) = 30
よって z - y = 6 ([6] 式とします)となり、この場合は適します。

[1] 且つ [2] 且つ [5] は、 [1] 且つ [2] 且つ [6] と同値なので、この3式から結局
  x = 27 、y = 17 、z = 23
を得ます。

で、結論は、
  10円玉:27枚、50円玉:17枚、100円玉:23枚 …(答)
です。
#本物の鶴亀算では、どんな感じなのでしょう?(^^;




解答・その13

(ペンネ−ム:kiyo)

3420-3120=300
300円少なくなっている。

  1. 10円玉と100円玉を間違えた場合 90円の差  
  2. 10円玉と50円玉を間違えた場合  40円の差
  3. 50円玉と100円玉を間違えた場合  50円の差

300を割り切るのは(3)の場合である。
10円玉をX枚、50円玉をY枚とすると、100円玉は(Y+6)枚となる。
X+Y+(Y+6)=67              −> X+2Y=61
10X+50Y+100*(Y+6)=3420     -> X+15Y=282
    13Y=221
      Y=17
      X=27

答え 10円玉、27枚 50円玉、17枚 100円玉、23枚
  



解答・その14

(ペンネ−ム:高橋 道広)

3420-3120=300ですから入れ替えると300円の差ができます。
たとえばa円玉とB円玉の枚数を取り替えるとします。
a円玉がX枚、b円玉がY枚あるとすると取り替えたときの増減は
(aY+bX)-(aX+bY)=(a-b)(Y-X)となり(a-b)円の倍数になります。
10円玉と50円玉なら40の倍数になり
50円玉と100円玉なら50の倍数になり
10円玉と100円玉なら90の枚数になります。
300は50の倍数でありほかの場合に当てはまらないので取り替えたのは 50円玉と100円玉であることがわかります。
また300÷50=6より その枚数の差が6枚であることもわかります。
このとき 10円玉の枚数をX、50円玉の枚数をYとすると取り替えて お金が減ったので100円玉の枚数はY+6枚で、
10X+50Y+100(Y+6)=3420 X+Y+Y+6=67の連立方程式を解いてX=27 Y=23

よって10円玉 27枚 50円玉 17枚 100円玉 23枚となります。



解答・その15

(ペンネ−ム:teki)

答え 10円27枚、50円17枚、100円23枚
<解法>

  1. 合計金額の10円台が20であることから、10円の枚数は、5n+2枚
  2. 間違って数えた時の金額が、本当の金額より300円少ないことから 100円の枚数は50円の枚数より6枚多いことがわかる。
    (50円と10円及び100円と10円では、差が40、90となるため、300を割り切れない)
  3. 後は10円の枚数を基準に表を作成しました。





解答・その16

(ペンネ−ム:やなせ)

今月の問題ですが、あさはかな私としましては 総当たりで合計枚数67枚、総金額3420円になる 組み合わせを抽出しました。
10の位が20なので10円玉の数一桁めの数は2か7になり 2の時は50円玉の一桁めの数字は偶数に7の時は奇数になります。 ただし10円玉の数が36枚以上になると合計金額が3420円を下回る そんなこんなをソロバンを使って(嘘です)どがちゃがやったところ 結局は全部で7通り

100円玉50円玉10円玉
2732
231727
192622
153517
114412
537 
62

ヒント2から入れ替えて合計すると300円少なくなるので 10円と50円の場合は一枚あたりの差額が40円なのでこれはダメ
又10円と100円の場合も同じ様な理由でダメ
残るところ入れ替えたのは100円と50円なので少なくなった金額を 差額で割ると6になります。つまり100円玉の方が50円玉より6枚多い 組み合わせになる・・よね
先ほどの組み合わせの中からこの条件に当てはまるのは 100円玉23枚。50円玉17枚。10円玉27枚これだけになります。
う〜んと、合計金額あってますよね

正しい合計金額100*23+50*17+10*27= 2300+850+270=3420・・ビンゴ!

入れ替えた場合の合計金額50*23+100*17+10*27= 1150+1700+270=3120・・これまたビンゴ!

んでもってお答えです 10円玉27枚。50円玉17枚。100円玉23枚です。



解答・その17

(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)

その1
(100円玉,50円玉,10円玉)は、(23,17,27)枚ずつです。
100円玉,50円玉,10円玉の枚数をそれぞれx,y,zとおくと、
   100x+50y+10z=3420 ・・・(1)
   x+y+z=67 ・・・・・・・・(2)
(1)において、100円玉と50円玉の枚数を入れかえたもの、50円玉と10円玉 の枚数を入れかえたものはそれぞれ
   100y+50x+10z ・・・・・・(3)
    100x+50z+10y ・・・・・・(4)
さて、(1の左辺)−(3)=50(x−y)、(1の左辺)−(4)=40(y−z)です。 合計金額と2種類の硬貨の枚数を入れかえて計算したものとの差 3420−3120=300 は、50の倍数なので、100円玉と50円玉を入れかえて計算した ことになります。(3の場合)
   50(x−y)=300より
   x−y=6 ・・・・・・・・・・・・(5)
上の(1),(2),(5)を連立して解くと x=23,y=17,z=27 となります。

その2
100円玉,50円玉,10円玉の枚数をそれぞれx,y,zとおきます。 また、(100円玉,50円玉,10円玉)はそれぞれの枚数の硬貨の合計金額とします。
まず、100円玉と10円玉を何枚かあわせたものと50円玉何枚かが、金額と枚数 が同じになるように考えると、
   100x+10z=50y ・・・(6)
   x+z=y ・・・・・・(7)
(6),(7)を連立させると、x=4,y=9,z=5. つまり、100円玉を4枚と10円玉を5枚減らしても、50円玉を9枚増やせば金額と枚 数に変化はありません。
次に、合計金額と2種類の硬貨の枚数を入れかえて計算したものとの差は、
   3420−3120=300
これは、50の倍数なので、硬貨の枚数の入れかえは、100円玉と50円玉についてです。
   (100x+50y+10z)−(100y+50x+10z)
   =50(x−y)=300  ・・・(8)
(8)より x=y+6
つまり、100円玉の枚数は50円玉の枚数より6枚多いということです。
上の2つのことを頭において問題を考えていきます。硬貨67枚が全部10円玉と してみましょう。(0,0,67)=670.すると、 3420−670=2750 円不足です。 ここで、10円玉を100円玉と交換すると1枚あたり 90円 増えます。
   2750÷90=30あまり50
ですから10円玉を30枚100円玉と交換します。(30,0,37)=3370.でもまだ50 円(あまりの分)不足です。10円玉を50円玉と交換すると40円増えますが50円に はなりません。そこで不足の額が40の倍数になるように100円玉を10円玉に1枚ず つ戻していきます。
   50+90+90+90+・・・・
すると100円玉を3枚戻したところで320円不足になり40の倍数になります。
(27,0,40)=3100.
   320÷40=8.
そこで10円玉を8枚50円玉と交換して、とりあえず合計が3420円になります。 (27,8,32)=3420.この場合は100円玉と50円玉の枚数の差は19枚なので、同 金額でその差が6枚になるようにします。(23,17,27)=3240.もちろん (17,23,27)=3120となります。



解答・その18

(ペンネ−ム:aa)

10円玉、50円玉、100円玉をそれぞれx枚、y枚、z枚とすると、

   x+y+z=67 .............. (1)
   10x+50y+100z=3420 ..... (2)

さて、10円と50円の枚数を入れ替えると、合計額で40n(nは、10円と50円の枚数の差)の相違が出る。
同様に、10円と100円では、90n、50円と100円では、50n。

この差(40n、90n、50nのいずれか)が、300円なので、 「入れ替えたのは、50円と100円。6枚の差がある。」こと、また、 入れ替えたことによって300円減ったので、100円の枚数の方が50円よりも多い ことがわかる。よって、

   y+6=z .................. (3)

(3)を(1)(2)に代入して、

   x+2y=61 ................ (4)
   10x+150y=2820 .......... (5)

(4)から x=61-2y なので、これを(5)に代入して、

   610-20y+150y=2820
   130y=2210
   y=17

よって、(4)から x=61-2*17=27
(3)から z=17+6=23

10円27枚(270円)+50円17枚(850円)+100円23枚(2300円)で、67枚(3420円)

確認してみると、50円と100円の枚数を入れ替えて、
10円27枚(270円)+50円23枚(1150円)+100円17枚(1700円)で、67枚(3120円)



解答・その19

(ペンネ−ム:kirkland)

枚数を入れかえて300円減ったので、入れかえたのは50円玉と100円玉で、 100円玉が50円玉よりも6枚多い。 (10円玉と50円玉だと差が40の倍数になり、10円玉と100円玉だと差が9 0の倍数になるので不適)
100円玉6枚を除くと、残り61枚で2820円。

次の操作が大胆不敵!
100円玉と50円玉が同数あるので、100円玉の4分の1を削って50円玉に くっつけてしまい(違法行為だ!)、 全部75円玉にする!?

すると、10円玉、75円玉あわせて61枚で2820円。 後は普通の鶴亀算なので、詳細は省略。

10円玉・・・27枚、50円玉・・・17枚、100円玉・・・23枚



解答・その20

(ペンネ−ム:BossF)

3420-3120=300
100-50=50,100-10=90,50-10=40
(このなかで300を割り切れるのは50です だから取り違えたのは100円と50円)
300÷50=6
(これが、100円と50円の枚数の差 ですから100円と50円を同数にそろえた 10円、50円、100円合わせて61枚の合計は)
3420-100x6=2820
2820=150x18+10x12…18x2+12=48枚
=150x17+10x27…17x2+27=61枚
(発見!)
17+6=23

答.100円23枚 50円17枚 10円27枚



解答・その21

(ペンネ−ム:wasmath)

まず,入れかえた2種類を特定します。

10円玉と50円玉を入れかえると差額は40円。
10円玉と100円玉を入れかえると差額は90円。
50円玉と100円玉を入れかえると差額は50円。
このうち,3420−3120=300円の約数は50円だけなので,

   入れかえたのは50円玉と100円玉    枚数の差は300÷50=6枚

”3420円”から100円玉6枚,もしくは”3120円”から50円玉6枚 を取り除いた”2820円”は合計が61枚,50円玉と100円玉は同数 になっています。すべて10円玉だとすると610円になるわけですが, 10円玉2枚を50円玉1枚と100円玉1枚に置き換えて行くと, 1組置き換えるごとに150−20=130円ずつ増えるので,

   (2820−610)÷130=17組

置き換えればよいことになります。したがって,”3420円”の内訳は

   10円玉は 61−17×2=27枚,
   50円玉は 17枚, 100円玉は 17+6=23枚 (答)

なお,”2820円”の内訳を考える代わりに, ”3420円”と”3120円” をあわせて,「合計が134枚,50円玉と100円玉は同数で, ”6540円”の内訳は10円玉は求める枚数の2倍,50円玉は 求める枚数の2倍+6枚, 100円玉は求める枚数の2倍−6枚」 と考えることもできます。

いずれにせよ,「入れかわりの2種類を(整数論的考察により)特定 する」こととその2変数を「同数にして1変数化する」ことがポイント といったところでしょうか。 後半部分は,文字式で計算すると, あまり目立たないかも知れません。この問題で気づいたのですが, つるかめ算って行列の基本変形の原型だったんですね。



解答・その22

(ペンネ−ム:Nと〜)

2種類の硬貨を間違えて、金額の差が300円。10円と50円でも、10円と100 円でもなく、間違えたのは50円と100円だということがわかる。これさえわかれば3 元一次連立方程式で解けるのだけれど、・・・。
50円玉よりも100円玉の方が6枚多い。
67枚全部の価値を10円ずつ減じると、3420−670=2750円。40円玉 (元50円玉)と90円玉(元100円玉)をあわせて2750円になる。90円玉の方 が6枚多いのだから、その6枚に消えてもらうと、2750円ー540円=2210円。 40円玉と90円玉の枚数が揃ったので、2210円÷130円=17・・・・40円玉 は17枚。90円玉は17枚+6枚=23枚。0円玉(元10円玉)は67枚ー(17枚 +23枚)=27枚。
検算する。23×100+17×50+10×27=3420(どーだっ!)

こたえ・・・100円玉が23枚。50円玉が17枚。10円玉が27枚。

これをNと〜が名付けると、鶴亀算ではなく、『蛇蜥蜴算』となります。




正解者

tekikiyoこざっぱ
Nと〜モルモット大臣BossF
judasyohewasmath
勝浦捨てる造夜ふかしのつらいおじさんスモークマン
やなせDDT
高橋 道広aaドラ
浜田 明巳kirklandyokodon
mhayashi





まとめ

私も含め、大人の発想は未知数3つの連立方程式でしょうか?
合計枚数が67枚、合計金額が3420円、ここまではすぐに方程式にできます。
3つめの条件、2種類の硬貨の枚数を入れかえて計算したので3120円、 これを式にするには場合分け?
入れ替えた硬貨の差額が、3420−3120=300の約数になっていなければならないという ことに気づけば、入れ替えた硬貨は50円玉と100円玉だということ、 更に100円玉の方が6枚多いということがわかります。
これで3つめの条件を式に表すことができます。もしくは2元連立方程式にできます。 (50円玉の枚数をyとすれば、100円玉の枚数はy+6です。)
2元連立方程式を解いてももちろんいいのですが、鶴亀算にこだわるなら、 具体的にはどうしたらいいか? 
BossFさんwasmathさんkirklandさんのように、 100円玉6枚を除き、残り61枚で2820円で 考えればいいわけですね。 kirklandさんは、75円玉を作ってしまうという大胆なアイディアでしたが、 私は150円玉を作ってしまえばいいかな? と思いました。 BossFさんwasmathさんと同じ発想です。
更に大胆なアイディアがNと〜さんの『蛇蜥蜴算』(注「へびとかげざん」と読みます。by Junko)
蛇には足がありませんものね。






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