Weekend Mathematics／問題／問題65

６５．高度なつるかめ算

１０円玉、５０円玉、１００円玉が合わせて６７枚あり、 その合計金額は３４２０円です。 三郎君がそれぞれの枚数を数えて合計金額を計算したところ、 ２種類の硬貨の枚数を入れかえて計算したので３１２０円になりました。
１０円玉、５０円玉、１００円玉はそれぞれ何枚ずつありましたか？

解答・その１

（ペンネ−ム：勝浦捨てる造）

百円２３枚　５０円１７枚　１０円２７枚です。

３４２０−３１２０＝３００円で１００−５０＝５０　　　　１００−１０＝９０　　　　５０−１０＝４０だから
百円玉と五拾円玉を一組入れ替えるごとに５０円変わるから ３００÷５０＝６で　６組入れ替えたわけです。 ところで今入れ替えて３００円減じたから結果、 百円玉の方が五拾円玉より６枚多いことがわかる。 其の６枚６００円を減じた２８２０円では百円玉と五拾円玉は同数です。 で、その6枚を減じた６１枚が２８２０円なわけですな。 ところで今百円玉、五拾円玉各々２０枚、十円玉２１枚と仮定すると ２０００＋１０００＋２１０＝３２１０となって ３２１０−２８２０＝３９０で　３９０円多い。 ところで百円玉と５０円玉は同数だから（１００＋５０）円マイナス、 （１０＋１０）プラスとなって　３９０÷１３０＝３で　結局のところ　 十円玉は　（１０＋１０）×３＝６０円増えて十円玉の正しい枚数は２７枚。 ６１−２７＝３４　　　３４÷２＝１７　　１７＋６＝２３だから
百円玉　２３枚　　五拾円玉１７枚　　十円玉27枚です。　

解答・その２

（ペンネ−ム：モルモット大臣）

さすがに鶴亀算ではできませんがお許しください。方程式です。
10円玉、50円玉、100円玉の枚数をそれぞれ枚とします(p,q,r 自然数)
題意からまずp+q+r=67, 10p+50q+100r=3420-----(*)です。
２種類の硬貨の枚数を入れ替えて3120円、と合計金額が減り、全体の枚数が不変であ ることから可能性のある入れ替えた組み合わせは

1)10円玉と50円玉ただし(q＞p)
2)50円玉と100円玉ただし(r＞q)
3)10円玉と100円玉ただし(r＞p)
の3種類。そこでそれぞれの場合を考える。

1)10円玉と50円玉ただし(q＞p)の場合
pとqを入れ替えるので10q+50p+100r=3120、それと(*) p+q+r=67
10p+50q+100r=3420から40(q-p)=300と変形。 これからq-p=15/2で最初の仮定に矛盾する。よって1)は不適

2)50円玉と100円玉ただし(r＞q)の場合
rとqを入れ替えるので10p+50r+100q=3120、それと(*) p+q+r=67
10p+50q+100r=3420からこの連立方程式を解いて50(r-q)=300, 40r-90q=2450などより
r=23, q=17,p=27

3)10円玉と100円玉ただし(r＞p)の場合
rとpを入れ替えるので10r+50q+100p=3120、それと(*) p+q+r=67
10p+50q+100r=3420から 90(r-p)=300と変形。これからr-p=10/3で最初の仮定に矛盾 する。よって3)も不適

以上から求める枚数は それぞれ10円玉(27枚), 50円玉(17枚), 100円玉(23枚) としました。

解答・その３

（ペンネ−ム：judas）

10円玉、50円玉、100円玉の数をそれぞれX, Y, Zとする。

50円玉を使わず10円玉と100円玉のみで問題の前段を満たすことができるかを考える。
連立方程式　X+Z=67　10X+100Z=3420　を解く。
X=328/9となり、整数にならないので題意を満たさず、50円玉は少なくとも1枚あることがわかる。・・・�@
67枚が全部50円玉だとすると3420円にとどかないから、100円玉も少なくとも1枚あることがわかる。
10円玉が少なくとも2枚必要なのは明らか。

100円玉の数をZとすると10円玉と50円玉の数の合計は67-Zとなる。
�@より50円玉が少なくとも一つあることから、この67-X枚をすべて10円玉にすると3420円にとどかない。
逆に考えると、100円玉を除いた残額3420-100Zを全部10円玉にすると、合計枚数が67-Zをはるかに超えてしまう。
このとき、10円玉の数を5枚引いて50円玉を1枚追加する、という調整で3420円となれば前段を満たす。・・・�A

この�Aの方法だと1回調節するごとに合計枚数が4枚減ることになる。
つまり、Zと残りを全て10円玉としたときの合計と67との差が4の倍数であればこの調整が可能となる。・・・�B
式にすると、Z+(3420-100Z)/10-67=4n　が成り立つZを考える。
→　Z+342-10Z-67=4n
→　275-9Z=4n　を満たすZを考える。
Zが奇数なのは明らかなので、Z=1のとき275-9=266となり4の倍数とならない。
Z=3のとき275-27=248となり4の倍数となる。
これ以降はZの増加による9Zの増加分が4の倍数となればいいから、36ずつ、 つまりZは4ずつ増やせばよい。
Z=7 275-63=212
Z=11 275-99=176
Z=15 275-135=140
Z=19 275-171=104
Z=23 275-207=68
Z=27 275-243=32
以上の7つの場合に調整が可能となり、各場合についてのこりのXとYについて連立方程式でそれぞれの枚数も求められる。
(2,62,3)
(7,53,7)
(12,44,11)
(17,35,15)
(22,26,19)
(27,17,23)
(32,8,27)
のとき、合計枚数が67枚かつ合計額が3420円となる。

この3種類の硬貨のうち2つの枚数を入れ替えて計算すると合計額が3120円となる。
このとき、入れ替え方は10円玉と50円玉、10円玉と100円玉、50円玉と100円玉の3通りしかない。

10円玉をどれかと入れ替えると仮定する。
端数の20円ということから、入れ替えた後の10円玉の枚数は5n+2とならなければならない。
これを満たすYおよびZを含む組み合わせは
(2,62,3)のY
(7,53,7)のZ
(27,17,23)のY
(32,8,27)のZ
の5通りある。
また、入れ替え後に合計額が下がったことから、入れ替えるもう一方の硬貨の枚数は減ることになる。
すなわち、5n+2を満たすYまたはZはXより大きくなければならない。
同じ場合には入れ替えても変化がないことは言うまでもない。
この2つの条件を満たす組み合わせは(2,62,3)となるが、入れ替え後の合計額が
62*10+2*50+3*100=1020となり、題意を満たさない。
したがって、10円玉は入れ替えないことがわかる。・・・�C

50円玉と100円玉を入れ替える際にも、入れ替え後に合計額が下がることから、 100円玉の枚数が減る、すなわちY これを満たす組み合わせは(27,17,23)(32,8,27)の2つ。
これを当てはめてみると、
27*10+23*50+17*100=3120
32*10+27*50+8*100=2470

∴以上により、それぞれの枚数は27枚、17枚、23枚である。

解答・その４

（ペンネ−ム：ＤＤＴ）

［状況調べと言い訳］
つるかめ算なので、文字式を使えば簡単になるはず。 でも、つるかめ算でそれはご法度・・・。 でもでも文字式を使っても本質はつるかめ算と同じ発想のはず・・・というか、 つるかめ算を目に見える形にしたのが文字式。というわけでご容赦を・・・。

［実行］
10円玉をx枚，50円玉をy枚，100円玉をz枚とする。x，y，zは0以上の整数。共通条件は、

　　10x＋50y＋100z＝3420 (1)
　　　x＋ y＋ z＝ 67 (2)

1. 10円玉と50円玉を取り違えた場合
   
   　　50x＋10y＋100z＝3120 (3-1)
   
   が必要。(1)−(3-1)は、
   
   　　−40x＋40y＝300
   　　40(−x＋y)＝300 (4-1)
   
   となり、(−x＋y)は整数なので300は40の倍数であることが必要。これは不可。
   
   
2. 10円玉と100円玉を取り違えた場合
   
   　　100x＋50y＋10z＝3120 (3-2)
   
   が必要。(1)−(3-2)は、
   
   　　−90x＋90z＝300
   　　90(−x＋z)＝300 (4-2)
   
   となり、(−x＋z)は整数なので300は90の倍数であることが必要。これも不可。
   
   
3. 50円玉と100円玉を取り違えた場合
   
   　　10x＋100y＋50z＝3120 (3-3)
   
   が必要。(1)−(3-3)は、
   
   　　−50y＋50z＝300
   　　50(−y＋z)＝300 (4-3)
   
   となり、(−y＋z)は整数なので300は50の倍数であることが必要。これはOKで、
   
   　　　−y＋z＝6 (3)
   
   となる。
   
   
4. ３種類の硬貨なので、1〜3以外の取り違えはありえない。
   
   
5. 1〜4より、枚数の決定方程式は以下となる。
   
   　　10x＋50y＋100z＝3420 (1)
   　　　x＋ y＋ z＝ 67 (2)
   　　　　　−y＋ z＝ 6 (3)
   
   

［解く］
(3)より、z＝y＋6 (3')
(3')を(1)と(2)に代入し、

　　10x＋150y＝2820 (1')
　　　x＋ 2y＝ 61 (2')

を得る。 (2')より、

　　x＝−2y＋61 (2'')

(2'')を(1')に代入し、

　　　10x＋150y＝10(−2y＋61)＋150y
　　　　　　　＝−20y＋610＋150y
　　　　　　　＝130y＋610 ＝2820

で、

　　130y＋610＝2820
　　　　　13y＝ 221
　　　　　　y＝ 17 (4)
(4)を(2'')と(3')に代入し、

　　x＝−2y＋61＝−34＋61＝27
　　z＝ y＋ 6＝ 17＋ 6＝23

となる。

答え．10円玉27枚，50円玉17枚，100円玉23枚．（でも卑怯な解答でした）

解答・その５

（ペンネ−ム：�煤j

10円玉の枚数をｎ、50円玉の枚数をｍ、100円玉の枚数をｋとおく

　　ｎ＋ｍ＋ｋ＝67 10ｎ＋50ｍ＋100ｋ＝３４２０

すると入れ替えてしまったのは

　　10ｍ＋50ｎ＋100ｋ＝3120・・・�@
　　10ｋ＋50ｍ＋100ｎ＝3120・・・�A
　　10ｎ＋50ｋ＋100ｍ＝3120・・・�B

の３通りである。
�@，�Aでは解が自然数でないため。
�Bで解くと

　　ｎ＝27 ｍ＝17 ｋ＝23
答え10円玉27枚50円玉17枚100円玉23枚

解答・その６

（ペンネ−ム：yohe）

10円玉をx,50円玉をy,100円玉をzして、方程式をつくる。
　　　　x+5y+10z=342…(1)
　　　　x+y+z=67………(2)
次に2つの式のx,y,zをそれぞれ連立して解く。
　　　　4y+9z=275……(3)
　　　　5z-4x=7………(4)
　　　　9x+5y=328……(5)
今度は,�@の式からx,y,zのうち2つを入れ替えると、
　　　　z+5y+10x=312…(6)
　　　　y+5x+10z=312…(7)
　　　　x+5z+10y=312…(8)
の3つの式がなる。このうち1つの式が正しいから、それぞれの式を(2)の式と連立さ せて解く。
(6)は9x+4y=245。これに(5)の式を連立して解くと、y=83となってしまいyの限度を超 えるので違う。
(7)は4x+9z=245。これに(4)の式を連立して解くと、x=83/4となり、自然数でないの で違う。
(8)は9y+4z=245。これに(3)の式を連立して解くと、y=17、z=23となるので、 (2)の式からx=27が分かる。
これを(1)、(8)に代入しても、あっているので、 よって、10円玉27枚、50円玉17枚、100円玉23枚

解答・その７

（ペンネ−ム：ドラ）

１０円玉をｘ枚，５０円玉をｙ枚，１００円玉をｚ枚とすると、 ｘ，ｙ，ｚはすべて整数になる。

（�@）１０円玉と５０円玉の枚数を入れかえて計算したとすると
ｘ＋ｙ＋ｚ＝６７
１０ｘ＋５０ｙ＋１００ｚ＝３４２０
５０ｘ＋１０ｙ＋１００ｚ＝３１２０

この時、解はすべて整数にならないので、不適。

（�A）５０円玉と１００円玉の枚数を入れかえて計算したとすると
ｘ＋ｙ＋ｚ＝６７
１０ｘ＋５０ｙ＋１００ｚ＝３４２０
１０ｘ＋１００ｙ＋５０ｚ＝３１２０

解は　ｘ＝２７，ｙ＝１７，ｚ＝２３

（�B）１０円玉と１００円玉の枚数を入れかえて計算したとすると
ｘ＋ｙ＋ｚ＝６７
１０ｘ＋５０ｙ＋１００ｚ＝３４２０
１００ｘ＋５０ｙ＋１０ｚ＝３１２０
この時、解はすべて整数にならないので、不適。

（�@）（�A）（�B）より、
１０円玉２７枚，５０円玉１７枚、１００円玉２３枚。

解答・その８

（ペンネ−ム：こざっぱ）

１０円＝２７枚、５０円＝１７枚、１００円＝２３枚

枚数　　＝２７＋１７＋２３＝６７ 合計金額＝１０＊２７＋５０＊１７＋１００＊２３＝３４２０円
５０円と１００円の枚数を入れ替えて
合計金額＝１０＊２７＋５０＊２３＋１００＊１７＝３１２０円
と思います。

解法は。。。。
合計金額の１００円未満の部分が２０円になりますので、１０円の枚数は
２枚、７枚、１２枚、１７枚・・・・・・６２枚、６７枚
のいずれかのはずです。

それぞれのケースで表を作り、合計枚数６７枚、合計金額３４２０円となる ように５０円、１００円の枚数を調整しました。それと同時に、１０円と５０円、 １０円と１００円、５０円と１００円の枚数を入れ替えた時の合計金額も計算し ました。その結果、５０円と１００円の枚数を入れ替えたときに３１２０円とな ることがわかりました。
表はＥＸＣＥＬ２０００で作成しましたので添付します。

解答・その９

（ペンネ−ム：浜田　明巳）

答は，１０円玉２７個，５０円玉１７個，１００円玉２３個です．
５０円玉と１００円玉の個数を変えると３１２０円になります．
エクセルのマクロで解きました．面白くない解答ですみません．

Option Explicit
Sub Macro1()
    Dim 百 As Integer
    Dim 五十 As Integer
    Dim 十 As Integer
    Dim a As Integer
    Cells(1, 1).Value = 0
    Range("A1").Select
    For 百 = 1 To Application.Min(67 - 1 - 1, (3420 - 50 - 10) / 100)
      For 五十 = 1 To Application.Min(67 - 百 - 1, (3420 - 100 - 10) / 50)
        十 = 67 - 百 - 五十
        If 100 * 百 + 50 * 五十 + 10 * 十 = 3420 Then
          If 100 * 五十 + 50 * 百 + 10 * 十 = 3120 Then
            a = 1
          ElseIf 100 * 十 + 50 * 五十 + 10 * 百 = 3120 Then
            a = 2
          ElseIf 100 * 百 + 50 * 十 + 10 * 五十 = 3120 Then
            a = 3
          Else
            a = 0
          End If
          If a > 0 Then
            Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
            Cells(Cells(1, 1).Value, 4).Value = 百
            Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = 五十
            Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = 十
            Select Case a
              Case 1
                Cells(Cells(1, 1).Value, 5).Value = "100<-->50"
              Case 2
                Cells(Cells(1, 1).Value, 5).Value = "100<-->10"
              Case Else
                Cells(Cells(1, 1).Value, 5).Value = "50<-->10"
            End Select
          End If
        End If
      Next 五十
    Next 百
End Sub

解答・その10

（ペンネ−ム：mhayashi）

２種類の硬貨の枚数を入れ替える前の合計金額は３４２０円、 入れ替えた後の合計金額は３１２０円なので、 合計金額の差は３００円。

「２種類の硬貨」の選択肢は

　　(1)１０円玉と５０円玉
　　(2)５０円玉と１００円玉
　　(3)１０円玉と１００円玉

の３通りあるがここで２種類の硬貨の差に注目してみると

　　(1)の場合、５０−１０＝４０円
　　(2)の場合、１００−５０＝５０円
　　(3)の場合、１００−１０＝９０円

となる。

２種類の硬貨の枚数を入れ替えると合計金額の差が３００円になったので ２種類の硬貨の差の倍数が３００でなければならない。 これを満たすのは上の(2)の場合のみ。 つまり「２種類の硬貨」とは５０円玉と１００円玉だったことがわかる。

後は１０円玉，５０円玉，１００円玉の枚数を それぞれ x,y,z とおいて３元連立方程式

　　10x+50y+100z=3420
　　10x+100y+50z=3120
　　x+y+z=67

を解いて x=27, y=17, z=23 を得る。
よって１０円玉，５０円玉，１００円玉は それぞれ２７枚，１７枚，２３枚あった。

解答・その11

（ペンネ−ム：スモークマン）

a+b+c=67
a+5b+10c=342　の時、

b+5a+10c=312　なら、4（b-a）=30　だからだめ。
c+5b+10a=312　なら、9（c-a）=30　だからだめ。
a+5c+10b=312　なら、5（c-b）=30　から、c-b=6 より、
b=c-6,a=73-2c　となり、
73-2c+5(c-6)+10c=342　から、c=23,b=17,a=27　とわかる。

小学生はどうやって解くのかなー。

解答・その12

（ペンネ−ム：yokodon）

僕はそんなに頭が良くなくて、暗算で鶴亀算の出来るような代物ではないので、オ ーソドックスに泥臭く連立方程式で解いてしまいます。10円玉、50円玉、100円玉の 枚数をそれぞれ x 、y 、z とします。
与条件から、まず以下の２式が成り立ちます。

x + y + z ＝ 65 　・・・[1]
10x + 50y + 100z ＝ 3420 　・・・[2]

さて、入れ替えて数えた場合ですが、以下の３通りがあります。

（i）10円玉と50円玉を入れ替えた場合、
　　50x + 10y + 100z ＝ 3120 　・・・[3]

（ii）10円玉と100円玉を入れ替えた場合、
　　　100x + 50y + 10z ＝ 3120 　・・・[4]

（iii）50円玉と100円玉を入れ替えた場合、
　　10x + 100y + 50z ＝ 3120 　・・・[5]

以下、各々の場合を考えます。

（i）の場合に関して：｛[2] - [3]｝÷10 から、次式を得ます。
　　4・(y - x) ＝ 30
x 、y は整数なので y - x も整数であり、この場合は不適です。

（ii）の場合に関して：｛[2] - [4]｝÷10 から、次式を得ます。
　　9・(z - x) ＝ 30
x 、z は整数なので z - x も整数であり、この場合も不適です。

（iii）の場合に関して：｛[2] - [5]｝÷10 から、次式を得ます。
　　5・(z - y) ＝ 30
よって z - y ＝ 6 （[6] 式とします）となり、この場合は適します。

[1] 且つ [2] 且つ [5] は、 [1] 且つ [2] 且つ [6] と同値なので、この３式から結局
　　x ＝ 27 、y ＝ 17 、z ＝ 23
を得ます。

で、結論は、
　　10円玉：27枚、50円玉：17枚、100円玉：23枚　…(答)
です。
#本物の鶴亀算では、どんな感じなのでしょう？(^^;

解答・その13

（ペンネ−ム：kiyo）

３４２０-３１２０＝３００
３００円少なくなっている。

1. １０円玉と１００円玉を間違えた場合　９０円の差　　
2. １０円玉と５０円玉を間違えた場合　 ４０円の差
3. ５０円玉と１００円玉を間違えた場合 　５０円の差

答え　１０円玉、２７枚　５０円玉、１７枚　１００円玉、２３枚
　　

解答・その14

（ペンネ−ム：高橋 道広）

3420-3120=300ですから入れ替えると300円の差ができます。
たとえばa円玉とB円玉の枚数を取り替えるとします。
a円玉がX枚、b円玉がY枚あるとすると取り替えたときの増減は
(aY+bX)-(aX+bY)=(a-b)(Y-X)となり(a-b)円の倍数になります。
10円玉と50円玉なら40の倍数になり
50円玉と100円玉なら50の倍数になり
10円玉と100円玉なら90の枚数になります。
300は50の倍数でありほかの場合に当てはまらないので取り替えたのは 50円玉と100円玉であることがわかります。
また300÷50=6より　その枚数の差が6枚であることもわかります。
このとき　10円玉の枚数をX、50円玉の枚数をYとすると取り替えて お金が減ったので100円玉の枚数はY+6枚で、
10X+50Y+100(Y+6)=3420　X+Y+Y+6=67の連立方程式を解いてX=27　Y=23

よって10円玉　27枚　50円玉　17枚　100円玉　23枚となります。

解答・その15

（ペンネ−ム：teki）

答え　１０円２７枚、５０円１７枚、１００円２３枚
＜解法＞

1. 合計金額の１０円台が２０であることから、１０円の枚数は、５ｎ+２枚
   
2. 間違って数えた時の金額が、本当の金額より３００円少ないことから １００円の枚数は５０円の枚数より６枚多いことがわかる。
   （５０円と１０円及び１００円と１０円では、差が４０、９０となるため、３００を割り切れない）
   
3. 後は１０円の枚数を基準に表を作成しました。
   

解答・その16

（ペンネ−ム：やなせ）

今月の問題ですが、あさはかな私としましては 総当たりで合計枚数６７枚、総金額３４２０円になる 組み合わせを抽出しました。
１０の位が２０なので１０円玉の数一桁めの数は２か７になり ２の時は５０円玉の一桁めの数字は偶数に７の時は奇数になります。 ただし１０円玉の数が３６枚以上になると合計金額が３４２０円を下回る そんなこんなをソロバンを使って（嘘です）どがちゃがやったところ 結局は全部で７通り

１００円玉	５０円玉	１０円玉
２７	８	３２
２３	１７	２７
１９	２６	２２
１５	３５	１７
１１	４４	１２
７	５３	７
３	６２	２

ヒント２から入れ替えて合計すると３００円少なくなるので １０円と５０円の場合は一枚あたりの差額が４０円なのでこれはダメ
又１０円と１００円の場合も同じ様な理由でダメ
残るところ入れ替えたのは１００円と５０円なので少なくなった金額を 差額で割ると６になります。つまり１００円玉の方が５０円玉より６枚多い 組み合わせになる・・よね
先ほどの組み合わせの中からこの条件に当てはまるのは １００円玉２３枚。５０円玉１７枚。１０円玉２７枚これだけになります。
う〜んと、合計金額あってますよね

正しい合計金額１００＊２３＋５０＊１７＋１０＊２７＝ ２３００＋８５０＋２７０＝３４２０・・ビンゴ！

入れ替えた場合の合計金額５０＊２３＋１００＊１７＋１０＊２７＝ １１５０＋１７００＋２７０＝３１２０・・これまたビンゴ！

んでもってお答えです １０円玉２７枚。５０円玉１７枚。１００円玉２３枚です。

解答・その17

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

その１
（100円玉，50円玉，10円玉）は、（23,17,27）枚ずつです。
100円玉，50円玉，10円玉の枚数をそれぞれｘ，ｙ，ｚとおくと、
　　　100ｘ＋50ｙ＋10ｚ＝3420　・・・（１）
　　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝６７　・・・・・・・・（２）
（１）において、100円玉と50円玉の枚数を入れかえたもの、50円玉と10円玉 の枚数を入れかえたものはそれぞれ
　　　100ｙ＋50ｘ＋10ｚ　・・・・・・（３）
　 　 100ｘ＋50ｚ＋10ｙ　・・・・・・（４）
さて、（１の左辺）−（３）＝50（ｘ−ｙ）、（１の左辺）−（４）＝40（ｙ−ｚ）です。 合計金額と２種類の硬貨の枚数を入れかえて計算したものとの差 3420−3120＝300 は、50の倍数なので、100円玉と50円玉を入れかえて計算した ことになります。（３の場合）
　　　50（ｘ−ｙ）＝300より
　　　ｘ−ｙ＝６　・・・・・・・・・・・・（５）
上の（１），（２），（５）を連立して解くと ｘ＝23，ｙ＝17，ｚ＝27 となります。

その２
100円玉，50円玉，10円玉の枚数をそれぞれｘ，ｙ，ｚとおきます。 また、（100円玉，50円玉，10円玉）はそれぞれの枚数の硬貨の合計金額とします。
まず、100円玉と10円玉を何枚かあわせたものと50円玉何枚かが、金額と枚数 が同じになるように考えると、
　　　100ｘ＋10ｚ＝50ｙ　・・・（６）
　　　ｘ＋ｚ＝ｙ　・・・・・・（７）
（６），（７）を連立させると、ｘ＝4，ｙ＝9，ｚ＝5． つまり、100円玉を4枚と10円玉を5枚減らしても、50円玉を9枚増やせば金額と枚 数に変化はありません。
次に、合計金額と２種類の硬貨の枚数を入れかえて計算したものとの差は、
　　　3420−3120＝300
これは、50の倍数なので、硬貨の枚数の入れかえは、100円玉と50円玉についてです。
　　　（100ｘ＋50ｙ＋10ｚ）−（100ｙ＋50ｘ＋10ｚ）
　　　＝50（ｘ−ｙ）＝300 　・・・（８）
（８）より ｘ＝ｙ＋６
つまり、100円玉の枚数は50円玉の枚数より６枚多いということです。
上の２つのことを頭において問題を考えていきます。硬貨67枚が全部10円玉と してみましょう。（0，0，67）＝670．すると、 3420−670＝2750 円不足です。 ここで、10円玉を100円玉と交換すると1枚あたり 90円 増えます。
　　　2750÷90＝30あまり50
ですから10円玉を30枚100円玉と交換します。（30，0，37）＝3370．でもまだ50 円（あまりの分）不足です。10円玉を50円玉と交換すると40円増えますが50円に はなりません。そこで不足の額が40の倍数になるように100円玉を10円玉に1枚ず つ戻していきます。
　　　50＋90＋90＋90＋・・・・
すると100円玉を3枚戻したところで320円不足になり40の倍数になります。
（27，0，40）＝3100．
　　　320÷40＝8．
そこで10円玉を8枚50円玉と交換して、とりあえず合計が3420円になります。 （27，8，32）＝3420．この場合は100円玉と50円玉の枚数の差は19枚なので、同 金額でその差が6枚になるようにします。（23，17，27）＝3240．もちろん （17，23，27）＝3120となります。

解答・その18

（ペンネ−ム：aa）

10円玉、50円玉、100円玉をそれぞれx枚、y枚、z枚とすると、

　　　x+y+z=67 .............. (1)
　　　10x+50y+100z=3420 ..... (2)

さて、10円と50円の枚数を入れ替えると、合計額で40n(nは、10円と50円の枚数の差)の相違が出る。
同様に、10円と100円では、90n、50円と100円では、50n。

この差(40n、90n、50nのいずれか)が、300円なので、 「入れ替えたのは、50円と100円。6枚の差がある。」こと、また、 入れ替えたことによって300円減ったので、100円の枚数の方が50円よりも多い ことがわかる。よって、

　　　y+6=z .................. (3)

(3)を(1)(2)に代入して、

　　　x+2y=61 ................ (4)
　　　10x+150y=2820 .......... (5)

(4)から x=61-2y なので、これを(5)に代入して、

　　　610-20y+150y=2820
　　　130y=2210
　　　y=17

よって、(4)から x=61-2*17=27
(3)から z=17+6=23

10円27枚(270円)+50円17枚(850円)+100円23枚(2300円)で、67枚(3420円)

確認してみると、50円と100円の枚数を入れ替えて、
10円27枚(270円)+50円23枚(1150円)+100円17枚(1700円)で、67枚(3120円)

解答・その19

（ペンネ−ム：kirkland）

枚数を入れかえて３００円減ったので、入れかえたのは５０円玉と１００円玉で、 １００円玉が５０円玉よりも６枚多い。 （１０円玉と５０円玉だと差が４０の倍数になり、１０円玉と１００円玉だと差が９ ０の倍数になるので不適）
１００円玉６枚を除くと、残り６１枚で２８２０円。

次の操作が大胆不敵！
１００円玉と５０円玉が同数あるので、１００円玉の４分の１を削って５０円玉に くっつけてしまい（違法行為だ！）、 全部７５円玉にする！？

すると、１０円玉、７５円玉あわせて６１枚で２８２０円。 後は普通の鶴亀算なので、詳細は省略。

１０円玉・・・２７枚、５０円玉・・・１７枚、１００円玉・・・２３枚

解答・その20

（ペンネ−ム：ＢｏｓｓＦ）

3420-3120=300
100-50=50,100-10=90,50-10=40
(このなかで300を割り切れるのは50です だから取り違えたのは100円と50円)
300÷50=6
(これが、100円と50円の枚数の差 ですから100円と50円を同数にそろえた 10円、50円、100円合わせて61枚の合計は)
3420-100x6=2820
2820=150x18+10x12…18x2+12=48枚
=150x17+10x27…17x2+27=61枚
(発見！)
17+6=23

答．100円23枚　50円17枚　10円27枚

解答・その21

（ペンネ−ム：wasmath）

まず，入れかえた２種類を特定します。

１０円玉と５０円玉を入れかえると差額は４０円。
１０円玉と１００円玉を入れかえると差額は９０円。
５０円玉と１００円玉を入れかえると差額は５０円。
このうち，３４２０−３１２０＝３００円の約数は５０円だけなので，

　　　入れかえたのは５０円玉と１００円玉 　　　枚数の差は３００÷５０＝６枚

”３４２０円”から１００円玉６枚，もしくは”３１２０円”から５０円玉６枚 を取り除いた”２８２０円”は合計が６１枚，５０円玉と１００円玉は同数 になっています。すべて１０円玉だとすると６１０円になるわけですが， １０円玉２枚を５０円玉１枚と１００円玉１枚に置き換えて行くと， １組置き換えるごとに１５０−２０＝１３０円ずつ増えるので，

　　　（２８２０−６１０）÷１３０＝１７組

置き換えればよいことになります。したがって，”３４２０円”の内訳は

　　　１０円玉は ６１−１７×２＝２７枚，
　　　５０円玉は １７枚， １００円玉は １７＋６＝２３枚 （答）

なお，”２８２０円”の内訳を考える代わりに， ”３４２０円”と”３１２０円” をあわせて，「合計が１３４枚，５０円玉と１００円玉は同数で， ”６５４０円”の内訳は１０円玉は求める枚数の２倍，５０円玉は 求める枚数の２倍＋６枚， １００円玉は求める枚数の２倍−６枚」 と考えることもできます。

いずれにせよ，「入れかわりの２種類を（整数論的考察により）特定 する」こととその２変数を「同数にして１変数化する」ことがポイント といったところでしょうか。 後半部分は，文字式で計算すると， あまり目立たないかも知れません。この問題で気づいたのですが， つるかめ算って行列の基本変形の原型だったんですね。

解答・その22

（ペンネ−ム：Ｎと〜）

２種類の硬貨を間違えて、金額の差が３００円。１０円と５０円でも、１０円と１００ 円でもなく、間違えたのは５０円と１００円だということがわかる。これさえわかれば３ 元一次連立方程式で解けるのだけれど、・・・。
５０円玉よりも１００円玉の方が６枚多い。
６７枚全部の価値を１０円ずつ減じると、３４２０−６７０＝２７５０円。４０円玉 （元５０円玉）と９０円玉（元１００円玉）をあわせて２７５０円になる。９０円玉の方 が６枚多いのだから、その６枚に消えてもらうと、２７５０円ー５４０円＝２２１０円。 ４０円玉と９０円玉の枚数が揃ったので、２２１０円÷１３０円＝１７・・・・４０円玉 は１７枚。９０円玉は１７枚＋６枚＝２３枚。０円玉（元１０円玉）は６７枚ー（１７枚 ＋２３枚）＝２７枚。
検算する。２３×１００＋１７×５０＋１０×２７＝３４２０（どーだっ！）

こたえ・・・１００円玉が２３枚。５０円玉が１７枚。１０円玉が２７枚。

これをＮと〜が名付けると、鶴亀算ではなく、『蛇蜥蜴算』となります。

私も含め、大人の発想は未知数３つの連立方程式でしょうか？
合計枚数が６７枚、合計金額が３４２０円、ここまではすぐに方程式にできます。
３つめの条件、２種類の硬貨の枚数を入れかえて計算したので３１２０円、 これを式にするには場合分け？
入れ替えた硬貨の差額が、３４２０−３１２０＝３００の約数になっていなければならないという ことに気づけば、入れ替えた硬貨は５０円玉と１００円玉だということ、 更に１００円玉の方が６枚多いということがわかります。
これで３つめの条件を式に表すことができます。もしくは２元連立方程式にできます。 （５０円玉の枚数をｙとすれば、１００円玉の枚数はｙ＋６です。）
２元連立方程式を解いてももちろんいいのですが、鶴亀算にこだわるなら、 具体的にはどうしたらいいか？　
ＢｏｓｓＦさんやwasmathさん、kirklandさんのように、 １００円玉６枚を除き、残り６１枚で２８２０円で 考えればいいわけですね。 kirklandさんは、７５円玉を作ってしまうという大胆なアイディアでしたが、 私は１５０円玉を作ってしまえばいいかな？　と思いました。 ＢｏｓｓＦさんやwasmathさんと同じ発想です。
更に大胆なアイディアがＮと〜さんの『蛇蜥蜴算』（注「へびとかげざん」と読みます。by　Junko）
蛇には足がありませんものね。

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