Weekend Mathematics／問題／問題62

６２．どちらが大きい？

８８８・・・８８×３３３・・・３３と４４４・・・４４×６６６・・・６７ではどちらが大きいでしょうか？
(桁数は４つの数すべて２００２桁とします)

解答・その１

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）

A=888・・・88×333・・・33、　B=444・・・44×666・・・67　とおきます。

A	=888・・・88×333・・・33
	=444・・・44×2×333・・・33
	=444・・・44×666・・・66

B	=444・・・44×666・・・67
	=444・・・44×(666・・・6+1)
	=444・・・44×666・・・66 + 444・・・44
	=A + 444・・・44

となるのでBの方が 444・・・44 だけ大きい。

解答・その２

（ペンネ−ム：judas）

888・・・88×333・・・33=8×111・・・11×3×111・・・11=111・・・11^２×24
444・・・44×666・・・67=4×111・・・11×6.000・・・1×111・・・11=111・・・11^２×24.000・・・04
※6.000・・・の最小位桁の数字は適当です。
後者の方がほんのちょっぴり大きいかな。

解答・その３

（ペンネ−ム：こざっぱ）

２００２桁っていうのは８８８・・８８や３３３・・・３３の部分それぞれが ２００２桁なのでしょうか。それとも計算した結果それぞれが２００２桁なの でしょうか。前者だとした場合に

	８８８・・・８８×３３３・・・３３
＝	２（４４４・・・４４）×３３３・・・３３
＝	４４４・・・４４４×２（３３３・・・３３）
＝	４４４・・・４４×６６６・・・６６　＜　４４４・・・４４×６６６・・６７

は明らかですね。 なので、計算した結果がそれぞれ２００２桁あるものとして考えて見ます。

解答・その４

（ペンネ−ム：kiyo）

４４４・・・４４×６６６・・・６７も８８８・・・８８×３３３・・・３３も ２００２桁の数であるから、
以下の式しかない。

	４４４・・・４４×６６６・・・６７-８８８・・・８８×３３３・・・３３
＝	４４４・・・４４×（６６６・・・６６+１）-８８８・・・８８×３３３・・・３３
＝	４４４・・・４４×６６６・・・６６+４４４・・・４４-８８８・・・８８×３３３・・・３３
＝	８８８・・・８８×３３３・・・３３+４４４・・・４４-８８８・・・８８×３３３・・・３３
＝	４４４・・・４４

したがって、　
４４４・・・４４×６６６・・・６７の方が大きい。

解答・その５

（ペンネ−ム：teki）

答え　44・・・44×66・・・67＞88・・・88×33・・・33
　　　（その差は、44・・・44です。）

＜解法＞
44・・・44＝4×11・・・11
66・・・67＝6×11・・・11＋1
88・・・88＝8×11・・・11
33・・・33＝3×11・・・11
より、左辺＝24×（11・・・11）²＋44・・・44＞ 24×（11・・・11）²＝右辺

＜コメント＞
因数分解で解けば簡単ですね。 循環小数に置き換えて解くと、罠にはまりそうですが...。
循環小数が有限ではないということを認識させるための問題ですね。
それにしては、88・・・88を何故88・・・89にしなかったのか理解に苦しみますが...。
88・・・89とした場合は、差は11・・・11となります。（蛇足ですが...。）

解答・その６

（ペンネ−ム：Ｊｕｎｂｏｕ）

問題をみて最初に「なぜ444・・・44×666・・・67？444・・・44×666・・・66じゃないの？」 と思いました。そのことに着目すればおもしろい結果になりました。 ただ、桁数がどちらも2002桁という言葉の意味が気になりました。 私の解釈で良かったのでしょうか？

(解答)
まず888・・・88×333・・・33−�@と444・・・44×666・・・66−�A の大小を比べてみます。
桁数がどちらも2002桁であることに注意して�@−�Aを調べてみると
888・・・88×333・・・33−444・・・44×666・・・66＝444・・・44×333・・・33(２−２)＝０
つまり888・・・88×333・・・33＝444・・・44×666・・・66
問題では444・・・44×666・・・67だから
明らかに444・・・44×666・・・66＜444・・・44×666・・・67
故に888・・・88×333・・・33＜444・・・44×666・・・67

解答・その７

（ペンネ−ム：とうがらし）

８８８・・・８８×３３３・・・３３	＝（８×１１１・・・１１）×（３×１１１・・・１１）
	＝２４×（１１１・・・１１×１１１・・・１１）
	＝（４×１１１・・・１１）×（６×１１１・・・１１）
	＝４４４・・・４４×６６６・・・６６
	＜４４４・・・４４×６６６・・・６７

で、どう？

解答・その８

（ペンネ−ム：Ｎと〜）

ベタベタな解答

	８８８・・・８８×３３３・・・３３
＝	（（102002-1）・8/9）×（（102002-1）・3/9）
＝	（102002-1）/9×（102002-1）/9×２４

	４４４・・・４４×６６６・・・６７
＝	（（102002-1）・4/9）×（（102002-1）・6/9+1）
＝	（102002-1）/9×（102002-1）/9×２４＋（102002-1）・4/9

以上より、
８８８・・・８８×３３３・・・３３＜４４４・・・４４×６６６・・・６７

解答・その９

（ペンネ−ム：モルモット大臣）

解説より８８８・・・８８、３３３・・・３３、４４４・・・４４、６６６・・・６ ７の桁数はそれぞれ2002桁と理解してよろしいでしょうか。
そうしますと

８８８・・・８８=8×(111・・11)=8×(10²⁰⁰²-1)/9

と変形し、以下同様に

３３３・・・３３=3×(111・・11)=3×(10²⁰⁰²-1)/9
４４４・・・４４=4×(111・・11)=4×(10²⁰⁰²-1)/9
６６６・・・６７=6×(111・・11)+1=6×(10²⁰⁰²-1)/9 +1

桁数はいずれも2002桁よって

	８８８・・・８８、３３３・・・３３
=	8/9×(102002-1)×3/9(102002-1)
=	8/27(102002-1)2

	４４４・・・４４×６６６・・・６７
=	4/9×(102002-1)×[6/9(102002-1)+1]
=	8/27(102002-1)2+4/9×(102002-1)

よって4/9×(10²⁰⁰²-1)=４４４・・・４４(2002桁)分だけ
８８８・・・８８、３３３・・・３３より４４４・・・４４×６６６・・・６７が大 きいことになる。

答え
８８８・・・８８×３３３・・・３３＜４４４・・・４４×６６６・・・６７

解答・その10

（ペンネ−ム：ＢｏｓｓＦ）

111…11=A(Aは2002桁)とします。
888…88x333…33=8Ax3A=24A²
444…44x666…67=4Ax(6A+1)=24A²+4A
よって後者が4Ａだけ大きい　

解答・その11

（ペンネ−ム：やなせ）

３３．．．３３×８８．．．８８より ４４．．．４４×６６．．．６７の方が４だけ大きい
両方とも途中まで２４の倍数ですが最後の一桁のかけ算が 違ってきます。
そのときの答え一桁目は ３×８は４になり、４×７は８になります。
すこし、無理っぽいですがこんなもんでいかが（笑）

解答・その12

（ペンネ−ム：ミヤジ）

８８・・８８×３３・・３３を ４４・・４４×６６・・６６で 割ってみると１になる。 だから
８・・８×３・・３＜４・・４×６・・６７ となる

解答・その13

（ペンネ−ム：とし）

８８８・・・８＝８（１０^２００２−１）／９　と　３３３・・・３＝３（１０^２００２−１）／９の積と
４４４・・・４＝４（１０^２００２−１）／９　と６６６・・・６＝６（１０^２００２−１）／９の積が等しいです。
よって

８８８・・・８ｘ３３３・・・３＜４４４・・・４ｘ６６６・・・７

となります。

解答・その14

（ペンネ−ム：yokodon）

前者の数を a 、後者の数を b とし、 1 + 10 + 100 + 1000 +...+ 10²⁰⁰¹ を Nとおきます。
このもとで、a および b は、以下のように表せます。
a ＝ 8N × 3N ＝ 24 × N²
b ＝ 4N × (6N + 1) ＝ 24 × N² + 4N
よって、結論は a ＜ b です。…(答)

解答・そ15

（ペンネ−ム：k_nisch）

要するに、６６・・・・６７を（６６・・・６）＋１とすればただそれだけだと思います。
あとは・・・（ここから1が2002個並んだ数を（2002＿1）とします）

88・・・88＊33・・・33＝8＊（2002＿1）＊3＊（2002＿1）＝24＊（2002＿1）＊（2002＿1）

44・・・44＊66・・・67＝4＊（2002＿1）＊6（2002＿1）＋4（2002＿1）＝24（2002＿1）＋4（2002＿1）

また、（2002＿1）は正数であるために上の式から44・・・44＊66・・・67のほうが大きいと思われます。

解答・その16

（ペンネ−ム：edward）

8*...*8*3*...*3=4*...*4*6*...*6<4*...*4*6*...*7 ですか。

解答・その17

（ペンネ−ム：かつ）

正解は、４４４・・・４４×６６６・・・６７の方が大きいです。

	８８８・・・８８×３３３・・・３３
＝	２×４４４・・・４４×３３３・・・３３
＝	４４４・・・４４×６６６・・・６６

となり、

	４４４・・・４４×６６６・・・６７
＝	４４４・・・４４×（６６６・・・６６＋１）
＝	４４４・・・４４×６６６・・・６６＋４４４・・・４４

ですから ４４４・・・４４の分だけ大きくなります。

解答・その18

（ペンネ−ム：mhayashi）

８８８・・・８８×３３３・・・３３＝２４×１１１・・・１１^２
４４４・・・４４×６６６・・・６６＝２４×１１１・・・１１^２
また明らかに
４４４・・・４４×６６６・・・６６＜４４４・・・４４×６６６・・・６７
より，よって
８８８・・・８８×３３３・・・３３＜４４４・・・４４×６６６・・・６７

解答・その19

（ペンネ−ム：高橋 道広）

解答１

	888…88×333…33
=	888…88×0.333…33×102002
＜	888…88×1/3×102002
=	888…88/3×102002

一方　

	444…44×666…67
=	444…44×0.666…67×102002
＞	444…44×2/3×102002
=	888…88/3×102002

よって
888…88×333…33<888…88/3×10²⁰⁰²＜444…44×666…67より
888…88×333…33＜444…44×666…67

解答２

	888…88
=	8×102001+8×102000+…+800＋80＋8
=	a(2002)+a(2001)+…+a(2)+a(1)

	333…33
=	3×102001+3×102000+…+300＋30＋3
=	ｂ(2002)+ｂ(2001)+…+ｂ(2)+ｂ(1)

	444…44
=	4×102001+4×102000+…+400＋40＋4
=	ｃ(2002)+ｃ(2001)+…+ｃ(2)+ｃ(1)

	666…67
=	6×102001+6×102000+…+600＋60＋7
=	ｄ(2002)+ｄ(2001)+…+ｄ(2)+ｄ(1)

とおきます。
前者の積はΣa(i)×b(j)　後者の積はΣc(i)×d(j) となりますが

a(i)×b(j)=（8×10ⁱ）×(3×10^j）=24×10^i+j
c(i)×d(j)=（4×10ⁱ）×(6×10^j）=24×10^i+j
または　=（4×10ⁱ）×(7×10^j）=28×10^i+j

となり、展開した各項について、後者は前者より大きいか等しく、 c(1)×d(1)=28のように本当に大きい数が存在するから、 その総和は後者の方が大きい
よって888…88×333…33＜444…44×666…67

問題文が不明確でご迷惑をおかけしました。 この問題、桁数がそろっていればいいわけで、２００２という数に必然性はありません。 そういう意識があって、桁数の表現が誤解を招いてしまいました、申し訳ありませんでした。

Ｊｕｎｂｏｕさんのおっしゃるとおり、 「６６６・・・６６」ではなく、「６６６・・・６７」であるというところがポイントですね。 気づいてしまえばどうってことない問題ですね。簡単でしたでしょうか？

問題が簡単だと、なかなかユニークな解答というのが出にくいと思うのですが、 今回おもしろいなと思ったのが高橋 道広さんの解答１です。 これは味わい深い解答です、さすが。

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