Weekend Mathematics／問題／問題56
５６．正方形？の問題
正方形らしき四角形の紙があります。 それが正方形であることを、紙を折ることによって確かめたいと思います。
- 向かい合った辺の中点を結ぶ横の線で折ったところ、きっちり重なりました。 そうすると、この四角形はどんな図形でしょうか。
- もう１度、中点を結ぶ縦の線で折ったところ、やはりきっちり重なりました。 すると、これはどんな四角形でしょうか。
- 上の問題とは別の四角形を、２本の対角線で折ったところ、どちらの場合もきっちり重なりました。 この四角形はどんな四角形でしょうか。
- 四角形の紙が正方形であることを確かめるには、最低何回折れば確かめられるでしょうか。
数学パスルランド／田村三郎著／講談社ブルーバックス
（ペンネ−ム：kiyo）
（ペンネ−ム：やなせ ）
問題１）については 長方形、正方形、左右の辺が等しい長さの台形
問題２）こうくると 長方形、正方形だけになります
問題３）ここでひっかかてはいけません（笑） 正方形と、４辺の長さが等しい平行四辺形（菱形だってね）
問題４）おこたえでぇ〜〜す（自信がない・・）
詰まるところ、問い１）か問い２）のどちらかの条件を満たし
なおかつ問い３）の条件を満たせばいいのですから
折り曲げる回数は最低でも２回、
どうよどうよ
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん ）
１ 等脚台形です。
向かい合った辺の中点を結ぶ横の線で折って、重なるということは、
この横の線が、辺AD、BCの垂直二等分線になっているということです。
すると、AD // BC となります。ここまでで、台形ということが分かりますが、
ABとDCも重なっているのですから等脚台形になります。
２ 長方形です。
向かい合った辺の中点で折って重なれば、その２辺が平行ということが１番より分か
ります。２番は向かい合う２組の辺がそれぞれ平行なのですから、
ここまでで平行四辺形ということが分かります。
さらにこの横の線と縦の線が直交しているのですから長方形になります。
３ 菱形です。
対角線で折って重なるということは、対角線が向かい合う二つの内角
(AとC)の二等分線になっているということです。
隣り合う２組の二辺 ABとAD、CBとCDがそれぞれ等しくなります。
ここまでで凧型と分かりますが、２つの対角線で折って重なるということは、
４辺が等しいということになるので、菱形になります。
４ ２回です。
向かい合った辺の中点で折って重なるということは、
a 隣り合う２角が等しい（∠A＝∠D、∠B＝∠C）
ｂ 向かい合う２辺が等しい（AB＝DC） ということです。
また、対角線で折って重なるということは、BR>
ｃ 隣り合う２辺が等しい（AB＝AD、CB＝CD）
ｄ 向かい合う２角が等しい（∠Ｂ＝∠D） ということです。
ａとｄより、４角が等しいことが分かり、ｂとｄより、４辺が等しいことが分かるからです。
（ペンネ−ム：ＢｏｓｓＦ）
以下折り目の線を、軸と呼びます
（ペンネ−ム：yokodon）
件の四角形の４頂点を時計回りにＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとする。
(1）辺ＡＢ、辺ＣＤの中点を各々Ｍ、Ｎとする。
題意より、四角形ＡＭＮＤと四角形ＢＭＮＣは合同であり、四角形ＡＢＣＤは線分
ＭＮに関して対称となる。
そのような四角形は、等脚台形、長方形、正方形である。…（答）
（2）四角形ＡＭＮＤに関して同様の考察をすることで（辺ＡＤ、線分ＭＮの中点を
各々Ｐ，Ｑとすると、四角形ＡＭＮＤは線分ＰＱに関して対称）、（1）の３者のう
ち等脚台形の可能性は排除される。
当てはまる四角形は、長方形、正方形である。…（答）
（3）この場合は、三角形ＡＢＤと三角形ＢＣＤが合同であり、且つ三角形ＡＢＣと
三角形ＡＣＤが合同であれば良い。
当てはまる四角形は、ひし形、正方形である。…（答）
（4）四角形ＡＢＣＤが正方形であるための必要十分条件は、件の四角形が長方形で
あり且つひし形であることである。
長方形は（3）の条件を満たさず、ひし形は（1）の条件を満たさないから、四角形
ＡＢＣＤが両者の条件を同時に満たすことを調べるには対角線の一方（例えばＡＣ）
と線分ＭＮに関して対称であるか否かを調べればよい。
よって、求める回数は２回。…（答）
（ペンネ−ム：浜田 明巳）
１．四角形ＡＢＣＤにおいて，ＡＤ，ＢＣの中点をそれぞれＥ，Ｆとする．
ＥＦを横の線とし（縦，横が違うぞ，とは言わないで下さい），この線で折って重なるとする．
条件から，ＡＢ＝ＤＣ，∠Ａ＝∠Ｄ，∠Ｂ＝∠Ｃ
また，∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＦ，∠ＢＦＥ＝∠ＣＦＥであるから，
∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＦ＝９０°，∠ＢＦＥ＝∠ＣＦＥ＝９０°
∴∠ＡＥＦ＝∠ＣＦＥ
∴ＡＤ//ＢＣ
故に四角形ＡＢＣＤは等脚台形である．
２．１から，ＡＤ//ＢＣ，ＡＢ//ＤＣであるから，四角形ＡＢＣＤは平行四辺形．
また∠Ａ＝∠Ｄであるから，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°
故に四角形ＡＢＣＤは長方形である．（この時点では正方形と限定することは出来ない）
３．ＡＣで折って重なることから，
ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＤＣ
ＢＤで折っても重なるので，
ＡＢ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＣＤ
故に４辺が等しいので，四角形ＡＢＣＤはひし形である．
（この時点では正方形と限定することは出来ない）
４．１回折っただけでは，明らかに正方形と限定することは出来ない．
２回折れば，正方形と限定することは可能である．これを示す．
まずＥＦで折り，重なることによって，
ＡＢ＝ＤＣ，∠Ａ＝∠Ｄであることが分かる．
ＡＣで折って重なることによって，
ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＤＣ
故に４辺が等しいので，四角形ＡＢＣＤはひし形である．
したがってＡＢ//ＤＣであるから，同側内角の和は１８０°である．
∴∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°
∠Ａ＝∠Ｄから，∠Ａ＝９０°
故にひし形ＡＢＣＤは正方形である．
（ペンネ−ム：judas）
1.
四角形の頂点を左上から逆時計回りにA,B,C,Dとする。
「向かい合った辺の中点を結ぶ横の線」で折ったところきっちり重なったということ
は、ABの中点MとCDの中点Nを結ぶ線で線対称となる四角形である。
すなわちAM＝BM、CN＝DN、AD＝BC、∠A＝∠B、∠C＝∠D、∠AMN＝∠BMN＝∠CNM＝
∠DNM＝90°となる。
これが成り立つためには四角形は等脚台形であることが必要十分条件（←言葉の使い
方あってますよね？）となる。（AB‖CD。つまり横向き。）
2.
1.の四角形を今度は中点を結ぶ縦の線で折ったところきっちり重なった。（一度開い
てから再度折る、ということですよね？）
ADの中点OとBCの中点Pを結ぶ線で線対称となる。
すなわちAO＝DO、BP＝CP、∠A＝∠D、∠B＝∠Cとなる。
1.の条件とまとめると∠A=∠B=∠C=∠D＝90°となる。
したがって、これが成り立つためには長方形であることが必要十分条件となる。
3.
四角形の頂点を左上から逆時計回りにA,B,C,Dとする。
対角線AC、BDそれぞれについて線対称の四角形となる。
ACについて、AB＝AD、BC＝CD、∠B＝∠Dとなる。
BDについて、AB＝BC、AD＝CD、∠A＝∠Cとなる。
まとめると、すべての辺の長さは等しく、向かいあった角の大きさが同じ四角形となる。
これを満たすにはひし形であることが必要十分条件となる。
4.
結論から言うと2回です。
まず向かい合った辺の中点（縦でも横でもよい）で折り、重なれば等脚台形と確認で
きる。
横で折ったとすると（ABの中点MとCDの中点Nで折る）、∠A＝∠B、∠C＝∠D、AD＝BC
となる。
次に対角線（どちらでもよい）で折り、重なることを確認する。
ACで折ったとすると、AB＝AD、BC＝CD、∠B＝∠Dとなる。
以上をあわせると、∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°、AB＝BC＝CD＝ADとなり、正方形とな
る。
（ペンネ−ム：柿本 浩）
●向かい合った辺の中点を結ぶ横の線で折り、きっちり重なる場合
重なり合う部分を考えると、上下の隣り合った角の大きさが等しい事が分かる（図１）
全ての内角が直角である正方形・長方形がこの条件を満たすのは無論だが
台形であってもこの条件をを満たす場合がある（図２）
よってこの場合、四角形は正方形・長方形・平行でない２辺の長さが等しい台形（等脚台形）のいずれかだと分かる。
●更に中点を結ぶ縦の線で折り、きっちり重なる場合
今度は全ての角が重なりあうので、全ての内角の大きさが等しい事が分かる（図３）
この場合、３６０°÷４＝９０°で全ての角は直角となるので
四角形は正方形もしくは長方形だと分かる。
●１本の対角線で折り、きっちり重なる場合
この場合は、対角線を挟んで隣り合う辺の長さと
斜めに向かい合う角の大きさが等しい事が分かる（図４）
ただし、対角線を挟まずに隣り合っている辺（図４の青の辺と赤の辺）の長さが
等しい保証はなく、図５の様な四角形も考えられる。
●２本の対角線で折り、どちらもきっちり重なる場合
この場合は全ての辺の長さが等しい事になるが
角度に制限はないために、菱形であってもこの条件を満たす事が分かる（図６）
よってこの場合、四角形は正方形もしくは菱形だと分かる。
★最低何回折れば正方形である事を確かめられるか？
向かい合った辺の中点を結ぶ横の線で折り、きっちり重なるならば
正方形・長方形・平行でない２辺の長さが等しい台形のいずれかとなり、
紙を開いて今度は対角線で折り、きっちり重なるならば
この四角形は正方形だと分かる。
（長方形・台形は対角線で追ってもきっちり重なる事はない）
よって、最低２回折れば、四角形は正方形だと確認できる。
（ペンネ−ム：ＤＤＴ）
［問題１］
図-1の一般の四角形で、中線M1が折り返しに関する対称軸であるためには、
M1は辺a2，a4と直交する必要がある。よってa2，a4は平行。
この条件を満たす最も一般的な四角形は、中線M1を対称軸とする2等辺台形（図-2）。
この時、M1で折り返すと、辺a1とa3が重なるのは明らか。
［問題２］
図-2の2等辺台形の中線M2が対称軸ならば、a2＝a4。
また対称軸M1，M2に関して向かい合う頂点の角度は等しいので、
全ての頂点角は等しい（360/4＝90°）。よって向かい合う辺の長さが等しく、
頂点角は全て90°なので長方形。
［問題３］
問題１，２と同様に考えれば、正ひし形。
［問題４］
補1．四角形の形を一意に定める最低の折り返し数は、2。
［証明？］
四角形の頂点を平面座標で表せば、1頂点に2自由度で、2×4＝8自由度。平行移動（自由度2）と剛体回転（自由度1）の任意性，相似図形は同一視することから（自由度1）、形だけを定める自由度は、8−2−1−1＝4。
中線が対称軸の場合、両端点で辺に直行していなければならないので、1中線対称軸に対して、自由度に関する独立な制約条件が最大2個生じる（注．四角形に限る）。
対角線が対称軸の場合、両端点は、向かい合う2頂点の2等分線になっていなければならないので、1対角対称軸に対して、自由度に関する独立な制約条件が最大2個生じる（注．四角形に限る）。
よって最も効率良く行って、4/2＝2回の折り返しで、四角形の形は一意に定まる。
［証明？ 終わり］
［解答］
右図のように、対称軸M，Dがあるとする。
@対称軸Mより、
a1＝a3
d1＝d2
d3＝d4
A対称軸Dより、
a1＝a4
a2＝a3
d1＝d3
B @，Aより、
a1＝a2＝a3＝a4（すべての辺が等しい）
d1＝d2＝d3＝d4（すべての頂点が等しく90°）
C Bより対称軸M，Dがある四角形は正方形。
補1.より、これ以上少ない折り返し数で四角形の形は一意に定まらない。
従って最低2回の折り返しが必要。
答え．２回
（ペンネ−ム：高橋 道広）
(1)横の線を軸に２組の頂点が点対称なので、等脚台形
(2)2つの向かい合う辺が平行で対称軸を有するので長方形
(3)
(4)2つ 横の線 と 対角線 で折る。
横の線により、等脚台形になることがわかる。
対角線で、隣り合う辺の長さがすべて同じになる。
ひし形で、横の線で対称なのは正方形
（ペンネ−ム：ねこ）
１．
ＡＢの中点とＣＤの中点で折ったものとすると、
∠Ａ＝∠Ｂ、∠Ｃ＝∠Ｄなる台形。
２．
１の条件に加え、∠Ａ＝∠Ｄ、∠Ｂ＝∠Ｃが成り立つので、
全ての内角が同じなので、長方形。
３．
１回目でＡＢ＝ＢＣ、ＣＤ＝ＤＡが成り立ち、
２回目でＢＣ＝ＣＤ、ＤＡ＝ＡＢが成り立つ。
全ての辺が同じ長さなので、菱形。
４．
１と、３の１回目の結果を用いると、
∠Ａ＝∠Ｂ、∠Ｃ＝∠Ｄ、ＡＢ＝ＢＣ、ＣＤ＝ＤＡより、
△ＡＢＤ≡△ＣＢＤが得られ、∠Ａ＝∠Ｃ。
したがって□ＡＢＣＤは長方形であるのでＡＤ＝ＢＣ。
全ての辺の長さが同じであるので正方形と分かる。
したがって、２回でよい。
| kiyo | やなせ | 夜ふかしのつらいおじさん |
| ＢｏｓｓＦ | yokodon | 浜田 明巳 |
| judas | 柿本 浩 | DDT |
| 高橋 道広 | ねこ |
四角形の中でも特殊な四角形の定義を整理してみます。
(定義と同等な性質もありますが・・・)
| 台形 | ・・・向かいあう１組の対辺が平行 |
| 平行四辺形 | ・・・向かいあう２組の対辺が平行 |
| 長方形 | ・・・４角がすべて直角 |
| ひし形 | ・・・４辺がすべて等しい |
| 正方形 | ・・・４角がすべて直角、かつ４辺がすべて等しい |
従って、たとえば２番の問題で「長方形」とかけば、それは「正方形」も含んでいることになります。
しかしある時、小学生向けの算数の問題で、
四角形がいくつか示されていて長方形はどれですか？ という問題を見る機会がありました。
解答を見ると、正方形は除かれていました。
小学校の算数では、そういう指導なのでしょうか？
私が偶然みかけたその問題がいけないのでしょうか？
さて、次に等脚台形です。
等脚台形の定義は？ と悩んでしまいました。
「台形、かつ平行でない１組の対辺の長さが等しい」でしょうか？
それとも「台形、かつ平行な辺の両端の角が等しい」でしょうか？
それによって、平行四辺形との包含関係が違ってきます。
仮に等脚台形の定義を「台形、かつ平行でない１組の対辺の長さが等しい」とします。
これには以下の(ア)、(イ)のような２つのタイプがあります。
(ア)のタイプは平行四辺形ですから、等脚台形は平行四辺形を包含することになります。
ベン図でかくと、以下のようになります。
この場合、問題１の答え方は大変複雑になります。
平行四辺形を除く等脚台形と長方形、という感じでしょうか。
一方、等脚台形の定義が、「台形、かつ平行な辺の両端の角が等しい」とします。
先程の図の(イ)のタイプです。
この場合、平行四辺形との包含関係はありませんが、
平行四辺形との交わりがちょうど長方形になります。
ベン図でかくと、以下のようになります。
この場合の問題１の答え方は、等脚台形ということになります。
私は漠然と前者の定義をイメージしていました。
でもこうして考えてみると、後者の定義が妥当だと思われます。
私の手元にはっきりと等脚台形の定義が記述されたものがありません。
どなたかおわかりでしたら、教えてください。
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