Weekend Mathematics／問題／問題55
５５．正方形の問題
１．円に内接する正方形の面積と、その円に外接する正方形の面積との比を求めてください。
２．(簡単すぎる・・・と言う方に)
正三角形や、正五角形、正六角形ではどうでしょう。
数学パスルランド／田村三郎著／講談社ブルーバックス
（ペンネ−ム：菜実）
赤線の正方形を４５度回転して対角線を引いてみると・・・アラ、
外側の緑の正方形を４等分しているじゃないの。それでその4等分してつ
くられた正方形を赤線がそれぞれ2分の1に分けているのだから、そう、そうなのね、
面積は2分の１なんだわ！
（ペンネ−ム：mhayashi）
「円と、それに内接する正方形との接点」を
「円と、それに外接する正方形との接点」と接するように
正方形を回転させると
（つまり問題文の図で言うと、赤い正方形を４５度回転させると）、
明らかに面積比は１：２となる。
（ペンネ−ム：やなせ ）
内接する円の半径をＲとすると
その円に外接する正方形の１辺の長さは ２Ｒになります。
よってその正方形の面積は２Ｒ×２Ｒ＝４Ｒ２ですよね。
次にその円に内接する正方形の１辺の長さは
三角形の定理から２Ｒ÷ルート２ になります。
面積は（２Ｒ÷ルート２） ×（２Ｒ÷ルート２） ＝４Ｒ２ ÷２＝２Ｒ２
ほんでもって 外接する正方形が２で内接する正方形が１で２：１が答えです。
（ペンネ−ム：海坊主）
円に内接する正方形は正方形の対角線と円の直径が同じであるよって
Ｄ＝２Ｒとすると内接する正方形の１辺の長さは
１辺：１辺：対角線＝１：１：√２より
１：√２＝Ｘ：２Ｒ → Ｘ・√２＝２Ｒ → 辺Ｘ＝Ｒ・√２
よって内接する正方形の面積は
Ｘ・Ｘ＝２・Ｒ２ となる。
円に外接する正方形の１辺と円の直径は同じであるよって
Ｙ・Ｙ＝２Ｒ・２Ｒ＝４・Ｒ２ となる。
上記より 内接する正方形：外接する正方形は
２・Ｒ２：４・Ｒ２＝１：２となる。
円に内接する正三角形の重点は円の中心点となるから
三角形の底辺から引かれた垂線の長さは２：３＝Ｒ：Ｘより
Ｘ＝３Ｒ／２となる。
これより底辺の長さは√３：２＝３Ｒ／２：Ｌより
Ｌ・√３＝３Ｒ → Ｌ＝Ｒ・√３となる
これより内接する三角形の面積は
（Ｒ・√３）・（３Ｒ／２）・（１／２）＝（３・Ｒ２・√３）／４
円に外接する正三角形の重点はも円の中心点となるから
三角形の底辺から引かれた垂線の長さは１：３＝Ｒ：Ｘより
Ｘ＝３Ｒとなる
これより底辺の長さは√３：２＝３Ｒ：Ｌより
Ｌ＝２Ｒ・√３となる。
これより外接する三角形の面積は
３Ｒ・（２Ｒ・√３）・１／２＝３・Ｒ２・√３
上記より内接する三角形：外接する三角形は
（３・Ｒ２・√３）／４：３・Ｒ２・√３＝１：４となる。
円に外接する正六角形も同じ大きさの正三角形を６こ組み合わせたものである。
この場合正三角形の底辺に対する垂線の長さがＲである。
よって２：√３＝Ｘ：Ｒ → Ｘ＝（２Ｒ・√３）／３
これより三角形の面積は
Ｒ・（２Ｒ・√３）／３・１／２＝（Ｒ２・√３）／３
円に外接する正六角形はこれを６倍したものとなる。
上記より内接する六角形：外接する六角形は
（Ｒ２・√３）／４：（Ｒ２・√３）／３＝３：４となる。
（ペンネ−ム：kiyo）
正Ｎ角形のとき、
相似比 COS(180/N) ：１
面積比 COS２(180/N)：１
Ｎ＝４のとき １/２：１＝１：２
Ｎ＝３のとき １/４：１＝１：４
・・・
Ｎ＝8110のとき .9999998
Ｎ＝8111のとき .9999998
Ｎ＝8112のとき .9999999
Ｎ＝8113のとき .9999999
正８１１２角形でほぼ１。
（ペンネ−ム：ＢｏｓｓＦ）
fig.1,2より明らかに正方形では2：1、
正三角形では4：1です
n角形の場合fig3の様に点を取リ、円の半径をrとすると
AH=r tanθ BH=r sinθ だから
相似比は tanθ:sinθ=1:cosθ
因って面積比は 1：cos2θ
(ただし θ=π/n)
（ペンネ−ム：ＤＤＴ）
正ｎ角形のほうでいきます。
［方針］
正ｎ角形と円なので、例えば正３角形で考えればじゅうぶん。
図-1のように、正ｎ角形の中心（重心）から頂点までの距離を正ｎ角形の半径，
正ｎ角形の中心から辺までの垂直距離を短径と、（勝手に）定義します。
そうすると題意より、半径と短径の等しい正ｎ角形の面積比を求めよ、という意味になる。
［実行］
@ 図-1より、外接半径と外接短径の比は、cos(π/n)．
A 図-2より、内接半径は外接短径に等しい．
B よって、外接半径と内接半径の比はcos π/nで、面積比はcos2(π/n)．
答え．（内接正ｎ角形の面積）／（外接正ｎ角形の面積）＝cos2(π/n)
（ペンネ−ム：けんたん）
左図のように円に内接する正ｎ角形の頂点と外接する正ｎ角形と円の接点を重ねる。
内接する正ｎ角形の面積と外接する正ｎ角形の面積比は
中心Ｏより各正ｎ角形に下ろした垂線と交わる点をＰ，Ｑとすると
｜ＯＰ ｜２：｜ＯＱ｜２となる。
そこで、∠ＰＯＱ＝３６０°／２ｎ＝１８０／ｎ だから
｜ＯＱ｜＝｜ＯＰ｜／ｃｏｓ（１８０／ｎ）
| ∴面積比 | ＝｜ＯＰ ｜２：｜ＯＱ｜２ |
| ＝｜ＯＰ ｜２：（｜ＯＰ｜／ｃｏｓ（１８０°／ｎ））２ | |
| ＝１：１／ｃｏｓ２ （１８０°／ｎ） |
そこで、正方形の場合は
| 面積比 | ＝１：１／ｃｏｓ２ （１８０°／４） |
| ＝１：１／ｃｏｓ２４５° | |
| ＝１：（√２）２＝１：２ |
正三角形の場合は
| 面積比 | ＝１：１／ｃｏｓ２ （１８０°／３） |
| ＝１：１／ｃｏｓ２６０° | |
| ＝１：２２＝１：４ |
正五角形の場合は
| 面積比 | ＝１：１／ｃｏｓ２ （１８０°／５） |
| ＝１：１／ｃｏｓ２３６° | |
| ＝ｃｏｓ２３６°：１ |
正六角形の場合は
| 面積比 | ＝１：１／ｃｏｓ２ （１８０°／６） |
| ＝１：１／ｃｏｓ２３０° | |
| ＝１：（２／√３）２＝３：４ |
（ペンネ−ム：yokodon）
（1）
円の半径を R とする。
内接する正方形の一辺の長さは 21/2×R。
外接する正方形の一辺の長さは 2R 。
なので、各々の面積は、内接する正方形が 2R2 、外接する正方形が 4R2 。
よって、面積比は、（外接）：（内接）＝2：1。
（2）
一般の正ｎ角形の場合について考える。
内接する分に関しては、正ｎ角形の一辺と外接円（半径 R）の中心が作る二等辺三
角形に関して、
底辺の長さが 2Rsin(π/n)、高さが Rcos(π/n)
よって、内接する正ｎ角形の面積Ｓは、
n×{(底辺)×(高さ)}/2＝ nR2×sin(π/n)cos(π/n)
外接する分に関しても同様に考えて、三角形一つあたりで
底辺の長さが 2Rtan(π/n)、高さが R
よって、外接する正ｎ角形の面積Ｔは、
n×{(底辺)×(高さ)}/2＝ nR2×tan(π/n)
以上より、
| Ｓ：Ｔ | ＝sin(π/n)cos(π/n)：tan(π/n) |
| ＝cos2(π/n)：１ |
（ペンネ−ム：ねこ）
１．
内接正方形を４５度傾け、外接正方形の各辺の中点に頂点が来るようにするとわかり
やすい。
明らかに、面積比は１：２。
２．
１と同じように、外接多角形の各辺の中点を頂点とした多角形を考えればよい。
円の中心をＯとし、そこから、
外接多角形の頂点までの長さをａ、
内接多角形の頂点までの長さ＝外接多角形の辺の中点までの長さをｂ、
内接多角形の辺の中点までの長さをｃ
とする。中心角をΘ＝π／ｎとする。
内接多角形の面積Ｓ１は、Ｓ１＝ｎ(1/2)ｂｃ ｓｉｎΘ
外接多角形の面積Ｓ２は、Ｓ２＝n(1/2)ａｂ ｓｉｎΘ
両者の比は、Ｓ１：Ｓ２＝ｃ：ａ
となる。
ここで、ｂ＝ａ ｃｏｓΘ、ｃ＝ｂ ｃｏｓΘと言う関係から、
Ｓ１：Ｓ２＝ｃｏｓ2 Θ：１
＝ｃｏｓ2 （π／ｎ）：１となる。
これを用いて、
ｎ＝３・・・ｃｏｓ2（π／３）：１＝（１／２）2：１＝１：４
ｎ＝４・・・ｃｏｓ2（π／４）：１＝（１／√２）2：１＝１：２
ｎ＝５・・・ｃｏｓ2（π／５）：１＝（１＋√５／４）2：１＝３＋√５：８
ｎ＝６・・・ｃｏｓ2（π／６）：１＝（√３／２）2：１＝３：４
（ペンネ−ム：高橋 道広）
今回の問題は１は瞬殺です。円の中心を中心にして45度回転させて終わり。1:2で
す。
２は図のように考えると,正n角形を2n等分すると三角形BOCと三角形AOBの面積比を
調べると良いことになります。この三角形は相似ですから
OB=1 角AOB=ｘとすると, 相似比はOC:OB=cosx:1 より
面積比は (cosx)2:1 x=2π/2n=π/n
n=3のとき cosπ/3=1/2より 1/4:1=1:4
n=4のとき cosπ/4=1/√2より 1/2:1=1:2
ここまでは図を見たほうが早いですね。次に、
n=6のときcosπ/6=√3/2より 3/4
これは、平行線の補助線を引くことによって相似から面積比をだすこともできます
ね。
n=5のとき cosπ/5は2倍角3倍角を利用するか,36度72度72度の三角形の角の2等分線
を使うか,正5角形の対角線でできる図形の相似を使うか…
（ペンネ−ム：浜田 明巳）
正ｎ角形について考える．
図において，△Ａ'ＯＣ'∽△ＡＯＣであるから，相似比は
| Ｃ'Ｏ：ＣＯ | ＝Ｃ'Ｏ：Ａ'Ｏ＝cos∠Ａ'ＯＣ'：１ |
| ＝cos∠ＡＯＣ：１＝cos(２π／２ｎ)：１ | |
| ＝cos(π／ｎ)：１ |
正三角形の場合，
{１＋cos(２π／３)}：２＝１：４
正方形の場合（問題１の答），
{１＋cos(π／２)}：２＝１：２
正五角形の場合，
{１＋cos(２π／５)}：２＝(３＋√５)：８
正六角形の場合，
{１＋cos(π／３)}：２＝３：４
正七角形の場合，
{１＋cos(２π／７)}：２
正八角形の場合，
{１＋cos(π／４)}：２＝(１＋√２)：２√２
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん ）
１ 答えは１：２です。（正方形の場合）
２ 円に内接する正ｎ角形と外接する正ｎ角形の面積の比は、
１：１／cos2(π／ｎ)です。
半径１の円に、ｘ軸上に頂点がくるように２つの正ｎ角形が内接と外接をしているとします。
ｘ軸上の頂点をＡ、Ａ’とします。左回りに次の頂点をＢ，Ｂ’とします。
正ｎ角形は各頂点を中心と結ぶとｎ個の二等辺三角形ができます。
２つの正ｎ角形の面積の比は、この２つの二等辺三角形の面積の比と同じです。
また、相似の図形の面積は対応する長さの２乗に比例します。
そこで原点から正ｎ角形の辺までの距離を求めて２乗します。
外接する正ｎ角形の辺までの距離は１で簡単です。
上の図で角ＡＯＢの大きさを、θ（2π／ｎ）とします。
点Ａの座標は（１，０）、点Ｂの座標は（cosθ，sinθ）です。
２点Ａ、Ｂを通る直線の方程式は、
ｙ−0＝(0−sinθ)／(1−cosθ)･(ｘ−1)．
これを整理して、
sinθ･ｘ＋(1−cosθ)･ｙ−sinθ＝０．
原点とこの直線の距離ｄは、
| ｄ | ＝sinθ／sqrt(sin2θ＋(1−cosθ)2) |
| ＝sinθ／sqrt(2(1−cosθ))． |
| ｄ2：１2 | ＝sin2θ／2(1−cosθ)：１ |
| ＝１：2(1−cosθ)／sin2θ 【半角や２倍角の公式を使って】 | |
| ＝１：2･2sin2(θ/２)／｛2 sin(θ/２)cos(θ/２)｝2 | |
| ＝１：１／cos2(θ/２) | |
| ＝１：１／cos2(π／ｎ)． |
ｎ＝３のときは、１：４
ｎ＝４のときが、正方形のときです。（１：２）
ｎ＝５のときは、１：１６／(sqrt(5)＋１)2 【後に説明】
ｎ＝６のときは、１：４／３
ｎ→∞のときは、１：１に収束します。
【後の説明】
ｎ＝５のときは、結局cos72°を求めることに帰着します。
右の図のように、角Ａ＝36°、角Ｂ＝角Ｃ＝72°の二等辺三角形を考えます。
ＢＣ＝ＢＤとなるように補助線を引くと、△ＡＢＣ相似△ＢＣＤなので、
ＡＢ＝１、ＢＣ＝ｘとすると、１：ｘ＝ｘ：(１−ｘ) なので、
ｘ2＋ｘ−１＝０
ｘ＝{sqrt(５)−１}／２ 【ｘ＞０】
∴cos72°＝{sqrt(５)−１}／４
よって
| cos(θ/２) | ＝cos36°＝sqrt｛１／２・(１＋cos72°) } |
| ＝sqrt{１／２・(１＋(sqrt(5)−1)／４)} 【２重根号を開いて】 | |
| ＝(sqrt(５)＋１)／４ |
| kiyo | 夜ふかしのつらいおじさん | 高橋 道広 |
| やなせ | yokodon | 浜田 明巳 |
| けんたん | 菜実 | ねこ |
| ＢｏｓｓＦ | DDT | 海坊主 |
| mhayashi |
今回の問題は、同一の円に内接する正多角形と外接する正多角形との面積比を求める問題でした。
四角形については、菜実さん、mhayashiさんの解答のように４５度回転させれば、OKです。
三角形、五角形、六角形ときて、個々に考えるよりも、正ｎ角形として考えた方が案外わかりやすかったのではないかと思います。
何人かの方が導いてくださったので、改めての説明は省略しますが、結果はcos2(π/n)：１です。
kiyoさんのご指摘のように、ｎ→∞のとき、この比は１に収束します。
内接正ｎ角形の面積＜円の面積＜外接正ｎ角形の面積
ということと照らし合わせて考えれば、いわゆるはさみうちにより、
内接正ｎ角形の面積、円の面積、外接正ｎ角形の面積は、ともにｎ→∞のとき
同じ値Ｓに収束するということがわかります。
そして、このことから円周率πの値が求まるわけです。
これをシミュレーションできるサイトを紹介しましょう。
THE UNIVERSITY OF UTAH の Archimedes and the Computation of Pi
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