Weekend Mathematics／問題／問題54
５４．狂った天秤の問題
両皿天秤の両方の腕の長さが等しくなければ、正しくはかることはできません。 しかし、ここには両方の腕の長さが違う狂った天秤しかありません。 しかし、幸いなことに正しい分銅はそろっています。
問題１
牛肉の塊を左の皿にのせ、分銅ではかりますと、１１５２gありました。 次にこの肉を右の皿にのせ、分銅ではかりますと、１２５０gとなりました。 この肉の塊の正しい重さはいくらでしょうか？
問題２
この天秤を使って、２kgの肉をはかってください。
数学パスルランド／田村三郎著／講談社ブルーバックス
（ペンネ−ム：sho ）
え〜数学ですが、物理のモーメントで考えます（笑
天秤の真ん中と左の間の長さをL、右との間をＲ、肉の重さをmと置くと、
Ｌ・Ｍ＝1152・Ｒ・・・@
Ｌ・1250＝Ｍ・Ｒ・・・A
AよりR＝1250L/M 代入して整理するとM=1200 ・・・・・答
（ペンネ−ム：水の流れの申し子）
問題１
左側の天秤の長さをX 右側の天秤の長さをYとおき肉の重さをAとすると
A・X＝１１２５・Y ,１２５０・Ｘ＝Ａ・Ｙとなるので、これを解くと
Ａ２・Ｙ＝１１２５・１２５０・Ｙ
Ａ２＝１１２５・１２５０
ゆえに Ａ＝１２００
よって牛肉１２００グラム
問題２
問題１よりＸ：Ｙ＝２４：２５となるのでおもりの重さをＴとすると
左に肉を置いたとすると
２０００・２４＝２５・Ｔ よってＴ＝１９２０（ｇ）
同様に右に置くと
Ｔ＝２０８３、３３３３・・・・・（ｇ）
（ペンネ−ム：kiyo）
支点から右側の長さ（Ｘ）、支点から左側の長さ（Ｙ）とする。
牛肉の塊をＺgとする。てこの原理より、
１）
| １１５２・Ｘ | ＝Ｚ・Ｙ |
| Ｚ・Ｘ | ＝１２５０・Ｙ |
| Ｚ２ | ＝１１５２・１２５０ |
| Ｚ | ＝１２００ |
２）
Ｘ：Ｙ＝２５：２４
左の皿に２０００gを牛肉の塊を測れるようにする。
右の皿に載せる分銅をＸｇとする。
２０００・２４＝Ｘ・２５
Ｘ＝１９２０
すなわち、右の皿に１９２０ｇの分銅を載せ、
左の皿に釣り合うだけの牛肉の塊を載せると、
２０００ｇ測れることになる。
（右の皿に牛肉の塊を載せる方法だと左の皿に載せる分銅が整数gとならない。）
（ペンネ−ム：海坊主）
問題１
Ｘ Ｙ ＋−−−−−−−−−−−−−−＋ ｜ △ ｜ １２５０ 肉：Ｚ 肉：Ｚ １１５２
問題２
α＝１として
２４ ２５ ＋−−−−−−−−−−−−＋ ｜ △ ｜ ２０００ Ｘ Ｙ ２０００
先ず ２０００・２４＝２５・Ｘ
Ｘ＝２０００・２４／２５＝８０・２４＝１９２０ｇ
次に ２０００・２５＝２４・Ｙ
Ｙ＝２０００・２５／２４＝５００００／２４≒２０８３ｇである。
（ペンネ−ム：阿津志）
仮定：腕の長さは違っているがその状態で釣り合っている。
そうでないといくら正しい分銅があっても量れない（と思う）
問題１
肉の重さをｘ、支点から左の皿までの長さをａ、右をｂとする
天秤は（腕の長さ）×（重さ）が、左右で等しい場合に釣り合うので
（小学校の時に実験をした記憶がある）
条件から
ａｘ＝１１５２ｂ …式１
１２５０ａ＝ｂｘ …式２
三元連立一次方程式なので、式が２つでは解けないが
この場合ａとｂの比さえ解ればいいのでとりあえずこのまま解くと
式１より ｘ＝１１５２ｂ／ａ
式２より ｘ＝１２５０ａ／ｂ
１１５２ｂ／ａ＝１２５０ａ／ｂ
（ｂ／ａ）２＝１２５０／１１５２
ｂ＝（２５／２４）ａ …式３
式３を式１に代入して
ａｘ＝１１５２×（２５／２４）ａ
ｘ＝１２００
答．肉は１２００ｇ
問題２
左にのせるものの重さをｙ、右をｚとすると、
ａｙ＝ｂｚ …式４
が成立する場合に釣り合う。
式３を式４に代入して
ａｙ＝（２５／２４）ａｚ
ｙ＝（２５／２４）ｚ …式５
天秤は普通左の皿の重さを固定して右の皿の重さを変えて量るから、
右の皿に肉をのせ、肉を増減して２ｋｇとするように考えると、
ｙ＝（２５／２４）×２０００
＝６２５０／３
＝２０８３＋１／３
１／３ｇという分銅があれば問題解決ですが、たぶん無いでしょう。
しょうがないので、天秤の左右を入れ替えて考えると、
２０００＝（２５／２４）ｚ
ｚ＝１９２０
今度はうまくいきました。しかもより軽い分銅でことは足りました。
答．右の皿に１９２０ｇの分銅をのせて左の皿に肉をのせる
（ペンネ−ム：浜田 明巳）
問題１：
左右の腕の長さをそれぞれｘ，ｙ，牛肉の正しい重さをＢｇとすると，条件から，
Ｂ・ｘ＝１１５２・ｙ，１２５０・ｘ＝Ｂ・ｙ
∴Ｂ＝１１５２ｙ／ｘ＝１２５０ｘ／ｙ……(1)
∴(ｙ／ｘ)2＝１２５０／１１５２＝(２５／２４)2
ｙ／ｘ＞０から，
ｙ／ｘ＝２５／２４
(1)から，
Ｂ＝１１５２・２５／２４＝１２００
故に牛肉の正しい重さは１２００ｇである．
問題２：
左に２sの肉をのせると，右の重さは，
２０００・ｘ／ｙ＝２０００・２４／２５＝１９２０（ｇ）
右に２sの肉をのせると，左の重さは，
２０００・ｙ／ｘ＝２０００・２５／２４＝６２５０／３（ｇ）
故に左にのせ，右の重さが１９２０ｇになるようにはかればよい．
（ペンネ−ム：けんたん）
問題１の解答
右図のように、天秤の右腕の長さを１、左腕の長さをａ
ａｘ＝１１５２・１
１２５０ａ＝ｘ・１
上式よりａを消去して
ｘ２＝１１５２・１２５０
∴ｘ＝１２００
よって、牛肉の塊の重さは１２００ｇ
問題２の解答
分銅の重さをｐ（ｇ）とすると
問題１の解答より
ａ＝１１５２／１２００
∴２０００ａ＝ｐ・１
∴ｐ＝１１５２／１２００・２０００＝１９２０
よって、２キログラムの肉の塊を計りとるには、右の皿に
１９２０グラムの分銅をおいて、左の皿に肉をおいてつりあう
時の肉の重さが２キログラムになります。
（ペンネ−ム：shino）
問1
右の図で、左右がつりあったとすると、
右の重さ：左の重さ=Y：X
牛肉の重さを”Z”とすると、
Y：X=Z：1125=1250：Z
Z2＝1440000
∴Z＝1200
A牛肉は1200グラム
問2
Y：X＝1250：1200
Y：X＝25：24
左側に2000グラムの肉をのせ、右側にWグラムの分銅をのせるとすると、
25：24＝2000：W
∴W＝1920
A右側に1920グラムの分銅をのせ、左側に肉をのせて、
つりあったら、肉の重さは2キログラムです。
（ペンネ−ム：TAKAYA ）
天秤の左腕をa、右腕をｂ、肉をxとします。（a,b,xとも正の整数）
当然、 1152a=bx・・・@
ax=1250b
が得られます。
ｘを消去すると、 1152a2=1250b2
1152=32･27
1250=54･2
なので a:b=25:24が得られます。
ここで問題になるのは天秤の腕の比なのでaが25、bが24という長さにしても全然構わないわけです。
（分かりやすいのでこの長さで。）
すると@は、1152･25=24･xとなり
x=1200
肉は1200gです。
2000gを計る場合、@のｘを2000にすれば重りは1920g。
計算は要らないでしょう。
（ペンネ−ム：パコ）
Question #1
Suppose L and R are the length of the left and right arms of the balance
and x is the weight of meat, one may get two equations;
x*L=1152*R ...(1) and x*R=1250*L... (2).
Multiply both sides in (1) and (2), then one may get;
x2=1152*1250=(1200)2.
Therefore x=1200 (g).
Question #2
Since 1200*R=1250*L, L/R=1200/1250=0.96.
Therefore a load of 2000 g must be scaled to be 2000*0.96=1920 g
when it is put on the left pan.
（ペンネ−ム：ねこ）
問題１
左の腕の長さをａ、右の腕の長さをｂ、肉の重さをｍとする。
モーメントが等しいという釣り合いの条件より、
１１５２ａ＝ｂｍ
１２５０ｂ＝ａｍ
辺々掛け算して
１４４００００ａｂ＝ａｂｍ２
したがって
ｍ＝１２００（ｇ）
問題２
問題１より、ａとｂの比は
ｂ／ａ＝０．９６と分かる。
分銅の重さをｗとする。
（ｉ）肉を右のさらに乗せる場合
２０００ａ＝０．９６ａｗ
ｗ＝２０００／０．９６＝２０８３．３３３・・・となり、不適。
（ｉｉ）肉を左のさらに乗せる場合
２０００×０．９６ａ＝ａｗ
ｗ＝２０００×０．９６＝１９２０
となり、量ることができる。
（ペンネ−ム：ＤＤＴ ）
あえて泥まみれでやってみます。
［問題１］
問題の条件
w0： 本当の重さ（未知数）
w1： 左で計ったときのみかけの重さ（既知数，＝1152g）
w2： 右で計ったときのみかけの重さ（既知数，＝1250g）
L1： 天秤の左腕の長さ（未知数）
L2： 天秤の右腕の長さ（未知数）
支点に関するﾓｰﾒﾝﾄの釣り合いより、
w0 L1＝w1 L2 (1)
w2 L1＝w0 L2 (2)
状況調べ
@ 未知数は３個なのに、条件式は２本しかない。
一般論としては不定解で、未知数のw0，L1，L2うちの１個を、独立なパラメーターとして選べる。
A w0を独立なパラメーターとして選ぶと、任意のw0に対してL1とL2は、
式(1)，(2)を満たしながら、w0の変化に合わせて変化する。
B にも関わらず、w0は定まるという。ということは、w0はL1とL2の値とは無関係に定まる。
つまりL1，L2とw0に関数関係はない。
方針
@ L1，L2とw0に関数関係がないことを見るためには、代入消去法を使って、
L1とL2をw0で表そうとする努力をすれば良いはずだ。
A でもL1，L2とw0に関数関係はないのだから、その過程でL1とL2は消えるだろう。
そうでなければ、関数関係がついてしまう。
B L1とL2が消えた時には、未知数はw0しか残らないから、その関係式がw0＝定数と
いう隠れた関数関係に化けるに違いない。
実行
(1)よりL1を w0とL2で表す。
L1＝w1／w0・L2 (3)
(3)を(2)に代入してをL1消去し、L2に対するw0の表式を求めようとする。
| w2 L1 | ＝w0 L2 |
| w2・w1／w0・L2 | ＝w0 L2 |
| w2・w1／w0 | ＝w0 |
| w02 | ＝w1 w2 |
| w0 | ＝(w1 w2)1/2 |
| w0 | ＝(1152×1250)1/2 |
| ＝1200 g |
（ペンネ−ム：高橋 道広）
今回は、問題にはまっていました。というのは、天秤に重さがあって,最初は傾い
ていると仮定していたのです。しかし、これでは条件不足でできないようです。
できない問題は、何日かほおって置いて、時間が十分あるときに考えるようにしてい
ます。
で、今日考えました。天秤の重さは無視、または、腕の長さが等しくはないが、空
の情況で、つりあっていると仮定して解きました。
問題１
肉の重さをＸとすると、X:1152=1250:X より Ｘ=1200
今回の問題は相乗平均の例になりますね。相乗平均の例では
「ある企業の売上が、1年目は前年比2倍、2年目は前年比8倍、では平均は？」などと
いうものがありますね。
調和平均は、「ある区間を行きは時速60km,帰りは時速40km 平均は
?」かなあ。
並列の抵抗の式やレンズの焦点距離の式1/f=1/a+1/bも調和平均のにおいがします
が、この辺のいい例はないでしょうか。
ところで、天秤は、確か、分銅を載せるほうが決まっているはずですね。
なぜでしょう。錆びるから？？
問題２
解１
1250:1200=25:24より左に2000ｇを置くと、右には、2000*24/25=1920gの分銅を置くとつりあうので
1920ｇの分銅を右においてつりあうように肉を置くといいようです。
解２
25:24=2100:2016から、左に2100ｇの分銅、右に2000ｇの肉と16ｇの分銅をおくと
つりあいますね。としたらたくさんの方法がありますね。
解3
解１から肉屋さんで3920gの肉を買い,不釣合いな天秤でつりあうように分け
る。これは、最初から肉屋さんで、2000ｇを買えばいいではないか。m(__)m
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん ）
問題１
正しい重さは、１２００ｇです。
肉の重さをＸｇ、左の腕の長さをＬ、右の腕の長さをＲとすると、モーメントを考えるて、
ＸＬ＝１１５２Ｒ
１２５０Ｌ＝ＸＲ
それぞれの辺で上の式を下の式で割り（Ｘ、Ｌ、Ｒは０でない）、整理すると、
Ｘ2＝１１５２・１２５０．
∴Ｘ＝１２００ｇ（＞０）
なお、Ｌ：Ｒ＝２４：２５です。
問題２
（ペンネ−ム：Idaho Potate）
問題1
これは「相乗平均」というやつですね(^^)。
左右の腕の長さの比を r : 1 、肉塊の質量を M とします。
左に肉塊、右に質量 m1の分銅を置いてつりあったとすると、
M * r = m1 より M = m1 / r
です。また、右に肉塊、左に質量 m2の分銅でつりあったら、
m2 * r = M
となります。これら2式より、
M2 = m1 * m2
すなわち
M = sqrt( m1 * m2 )
となります。問題では m1 = 1152 、 m2 = 1250 (g) なので、
M = sqrt( 1152 * 1250 ) = 1200 (g)
が答え。
問題2
左の皿に 2kg の分銅をのせ、右の皿に分銅を置いてつりあわせる。
そして、左の皿の分銅を肉塊に置き換える。
結局、 r の値はわからなくても答えは出る、というところがミソですね。
ちなみに、問題1の結果から、 r = 0.96 であることがわかります。
| kiyo | 浜田 明巳 | 夜ふかしのつらいおじさん |
| DDT | けんたん | sho |
| shino | 海坊主 | 高橋 道広 |
| ねこ | パコ | TAKAYA |
| 阿津志 | 水の流れの申し子 | Idaho Potate |
むずかしくいうとモーメント、小学校時代に習ったてこの原理(というかシーソーの原理)、
天秤の腕の長さとおもりの重さの積が一定ということです。
左に乗せた場合と右に乗せた場合の平均をとればいい、この場合の平均は相乗平均というわけです。
平均と言ってもいろいろあります。
２つの数 a、b に対して、
相加平均・・・(a+b)/2
相乗平均・・・
調和平均・・・2ab/(a+b) [2/c=1/a+1/b] (訂正、7/7)
このあたりのことについて、
高橋 道広さんがコメントしてくださいました。
２番については、Idaho Potateさん、
夜ふかしのつらいおじさんがお答えくださった方法ですと、
使う分銅の重さを知る必要はありません！！
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