Weekend Mathematics／問題／問題51
５１．牧草の問題
２エーカーの牧場に９頭の牛を放牧すると、１６日で牧草を食べ尽くします。 また、３エーカーの牧場に１８頭の牛を放牧すると、１０日で牧草を食べ尽くします。
では、５エーカーの牧場に３５頭の牛を放牧すると、何日で牧草を食べ尽くすでしょうか？
ただし、単位面積について、放牧前の牧草の量、１日に伸びる牧草の量は同じで、また、 どの牛も１日に同じ量の牧草を食べるものとします。
数学パズル／沖田浩／中経出版
（ペンネ−ム：海坊主）
牧草の長さ：Ｘ、１日の伸び：Ｙ、食べる量：Ｚ
２（Ｘ＋１６Ｙ）−９×１６×Ｚ＝０ @ ２Ｘ＋３２Ｙ−１４４Ｚ＝０
３（Ｘ＋１０Ｙ）−１８×１０×Ｚ＝０ A ３Ｘ＋３０Ｙ−１８０Ｚ＝０
Ｘ＋１６Ｙ−７２Ｚ＝０ @’
Ｘ＋１０Ｙ−６０Ｚ＝０ A’
@’、A’より Ｘ＝２０Ｙ Ｚ＝(1/2)Ｙとなる
５（Ｘ＋αＹ）−３５×α×Ｚ＝０ 上記の答えを代入する
４０Ｙ＋２αＹ−７αＹ＝０
Ｙは共通で消去する。
５α＝４０
α＝８
よって８日で食べ尽くす。
（ペンネ−ム：阿津志）
条件１：２エーカーに牛９頭…１６日
条件２：３エーカーに牛１８頭…１０日
１エーカー当たりで考えると、
初めの量を ａ
１日の伸びを ｂ
牛１頭当たり１日で食べる量を ｃ
として、条件１から
ａ＋１６（日）×ｂ ＝ ４．５（頭／エーカー）×１６（日）×ｃ
条件２から
ａ＋１０（日）×ｂ ＝ ６（頭／エーカー）×１０（日）×ｃ
ａ＋１６ｂ＝７２ｃ …式１
ａ＋１０ｂ＝６０ｃ …式２
式１，２より
ａ＝４０ｃ …式３
ｂ＝ ２ｃ …式４
問題は ５エーカーに牛３５頭で食べ尽くす日数だから
食べ尽くす日数をＤとすると、
ａ×５（エーカー）＋Ｄ（日）×ｂ×５（エーカー）＝３５（頭）×Ｄ（日）×ｃ
５ａ＋５ｂＤ＝３５ｃＤ …式５
を満足するＤが求める日数になる。ここで、式５に、式３，４を代入すると
５×４０ｃ＋５×２ｃ×Ｄ＝３５ｃＤ
２００ｃ＋１０ｃＤ＝３５ｃＤ …式６
ここで、ｃ≠０は題意より自明であるため、式６の両辺をｃで割る
２００＋１０Ｄ＝３５Ｄ
Ｄ＝８
以上より、「８日で、食べ尽くす」 …答
（ペンネ−ム：judas）
1エーカーあたりに一日で生えてくる量をa、
牛1頭が1日で食べる量をb、
放牧する前に１エーカーあたりに生えている牧草の量をcとします。
すると、
2×16×a+2×c=16×9×b ・・・@
3×10×a+3×c=18×10×b ・・・A
が得られます。@の式を3/2倍してAを引きます。（2×@-A）
すると、
18a=36b ∴a=2b
これを@に代入して
64a+2c=144b ∴c=40b
問題の日数をdとすると、
5×d×a+5×c=d×35×b
これに代入すると
5×d×2b+5×40b=d×35×b 10bd+200b=35bd 25bd=200b ∴d=8
したがって、８日で牛は牧草を食べ尽くします。
（ペンネ−ム：ねこ）
日数をｄとすると、牧草の量（Ｇ(ｄ)）は
面積（Ｓ）に比例して増え（比例定数Ｐ[牧草の量／ac・day]）、
牛の頭数（Ｃ）に比例して減る（比例定数Ｑ[牧草の量／頭・day]）。
最初の牧草の量（Ｇ(０)）は面積（Ｓ）に比例する（比例定数Ｒ[牧草の量／ac]）。
上の条件より立式すると
Ｇ(ｄ)＝ＲＳ＋ＰＳｄ−ＱＣｄ
問題より、
０＝２Ｒ＋３２Ｐ−１４４Ｑ
０＝３Ｒ＋３０Ｐ−１８０Ｑ
上の式より
Ｐ＝２Ｑ
Ｒ＝２０Ｐ＝４０Ｑ
と分かる。最初の式を書き直して、
| Ｇ(ｄ) | ＝４０ＱＳ＋２ＱＳｄ−ＱＣｄ |
| ＝Ｑ（４０Ｓ＋２Ｓｄ−Ｃｄ） |
（ペンネ−ム：水の流れ ）
＊ １エーカー当たり最初に、牧草が ｃ の量 だけ生えていたとする。
＊ １エーカー当たり毎日、牧草が ｈの量 だけ伸びてくるとします。
＊ 牛１頭が毎日、牧草を ｖの量 だけ食べるとします。
ここで、求める日数を ｘ日 として、方程式を作ると、
２ｃ＋２×１６ｈ＝９×１６ｖ ……@
３ｃ＋３×１０ｈ＝１８×１０ｖ ……A
５ｃ＋５×ｘｈ＝３５×ｘｖ ……B
@，A から ｈ＝２ｖ 、ｃ＝４０ｖ
これをBに代入して ｘ＝８ よって、 ８日（答）
（ペンネ−ム：temutin）
| 放牧時の、牧草の収穫可能量 | Ｘ(kg/ac) |
| 一日当たりの牧草増加量 | △Ｘ(kg/ac/d) |
| １頭の牛が消費する牧草の量 | Ｙ(kg/h/d) h=頭(牛１頭のこと) |
| 求める日数 | Ｚ(d) |
題意から、放牧された牛が食べ尽くした牧草の量は、
２・Ｘ＋２・△Ｘ・１６＝９・Ｙ・１６･･･(1)
３・Ｘ＋３・△Ｘ・１０＝１８・Ｙ・１０･･･(2)
５・Ｘ＋５・△Ｘ・Ｚ＝３５・Ｙ・Ｚ･･･(3)
(1)式と(2)式からＸを消去すると、△Ｘ＝２Ｙ･･･(4)
また(1)式と(3)式からＸを消去すると
(１６０−１０Ｚ)△Ｘ＝(７２０−７０Ｚ)Ｙ･･･(5)
ここで△Ｘ＝２Ｙであるから
(5)式は、(１６０−１０Ｚ)２Ｙ＝(７２０−７０Ｚ)Ｙ となる。
これを解くと Ｚ＝８
従って、５acの土地に３５頭放牧すると８日間で食べ尽くすことになる。
考察
専門家ではないので、憶測のお話です。
北海道では、チモシーが多く、収穫量は７(t/ha/45d)位。（もう少し多いかも）
換算すると約６３(kg/ac/d)となる。すなわち△Ｘ＝６３
(4)式から、１頭あたりの牧草消費量は３１．５(kg/h/d)
乳牛ですと、乳量を多くするため牧草は８(kg/h/d)に押さえ、
他は濃厚飼料を給餌するようです。
従って、放牧されている牛はホルスタインではないようですね！
勿論、気象条件等で、憶測が正しいとは思えませんのでどなたか、酪農または畜産関係の方が
おられましたら、感想を！
”酪農王国北海道”ならではの考察？でした。
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん ）
答えは、８日です。
放牧前の牧草の量と伸びる牧草の量の和が、牛が食べる牧草の量と等しい考えます。
放牧前の単位面積当たりの牧草の量をａ、１日に伸びる単位面積当たりの牧草の量をｂ、
１日当たりに牛が食べる牧草の量をｃ、問題の日数をｄとすると、次の式ができます。
２×ａ＋２×１６×ｂ＝ ９×１６×ｃ ・・・・・・(1)
３×ａ＋３×１０×ｂ＝１８×１０×ｃ ・・・・・・(2)
５×ａ＋５× ｄ×ｂ＝３５× ｄ×ｃ ・・・・・・(3)．
(3)よりｄ＝ａ／(７ｃ−ｂ) となるので、(1)・(2)を連立させてｂとｃについて解いた
ｂ＝ａ／２０、ｃ＝ａ／４０
を代入するとｄ＝８(日)となります。
未知数が４つある方程式ですが解が出ます。
これは定数項がないことと、ｄが１つの式にしかないためです。逆にａ、ｂ、ｃは決定できません。
(1)・(2)からａとｂについてｃで表してみると、ａ＝４０ｃ、ｂ＝２ｃとなります。
これは、ａ＋ｂ＝４２ｃなので、１日なら１エーカーで４２頭の牛が飼えることを意味します。
また、１エーカーで２頭までなら牧草が減らないことを意味します。
さて、上の方程式を整理すると、
ａ＋１６ｂ＝７２ｃ ・・・・・・(1)’
ａ＋１０ｂ＝６０ｃ ・・・・・・(2)’
ａ＋ ｄｂ＝７ｄｃ ・・・・・・(3)’．
ここで、(2)’−(1)’を整理して、ｂ＝２ｃとなります。
(3)’のｂとｃの係数の比は、１：７です。(2)’のｂとｃの係数の比が、１：６なので
（(1)’の場合は２：９）、
２ｂ＝４ｃを(2)’から引くと、
ａ＋８ｂ＝５６ｃとなり、ｂとｃの係数の比を１：７にできます。これを５倍すると
５ａ＋４０ｂ＝２８０ｃ
５×ａ＋５×８×ｂ＝３５×８×ｃ．
これを(3)と比較して８日と考えることもできます。
（ペンネ−ム：柿本 浩）
※１頭の牛が１日に食べる牧草の量を １頭・日 と表現します。
２エーカーに９頭の牛 → １エーカーあたり４．５頭
３エーカーに１８頭の牛 → １エーカーあたり６頭
５エーカーに３５頭の牛 → １エーカーあたり７頭
まず、このように１エーカーあたりに換算して考えると
面積の差による影響を考慮する必要がなくなります。
（もともと生えていた牧草の量も同じで、単純に牛の数だけで考えればよい、と）
注：４．５頭のうちの０．５頭の牛は、産まれつき胃袋が２つしかなく少食であり、
１日に食べる牧草の量は他の牛の半分とします（笑）
４．５頭の牛が１６日間に食べる牧草の量は
→ ４．５×１６＝７２頭・日
６頭の牛が１０日間に食べる牧草の量は
→ ６×１０＝６０頭・日
もともと生えていた牧草の量は同じだったはずなので
この差の ７２−６０＝１２頭・日 分は
１０日〜１６日の６日間に伸びた牧草の量という事になります。
つまり、１日に伸びる牧草の量は １２÷６ で
１エーカーあたり ２頭・日 である事が分かります。
これより
１６日間で伸びる牧草の量 → ２×１６＝３２頭・日
１０日間で伸びる牧草の量 → ２×１０＝２０頭・日
７２−３２＝６０−２０＝４０頭・日 の牧草が
最初に生えていたという事になります。
さて、７頭の場合になりますが
１日に食べる牧草の量は当然 ７頭・日、
そして１日に伸びる牧草の量が ２頭・日 なので
正味１日に ５頭・日 分ずつ牧草は減っていくとみなす事ができ
最初に生えている牧草は ４０頭・日 なので
全部なくなるまで ４０÷５＝８日間 である事が分かります。
結論として、１エーカーの土地に７頭の牛を放とうと
５エーカーの土地に３５頭の牛を放とうと
８日間で牧草は食い尽くされてしまう事となる訳です。
（ペンネ−ム：高橋 道広 ）
2エーカーの...を3倍すると、6エーカーを27頭では16日かかります
3エーカーの...を2倍すると、6エーカーを36頭では10日かかります
日数は2倍 3倍にはなりませんね。
で、1頭で1日に食べる量を１とすると、前者は24×16=432
後者は36×10=360で、差の72が、6日間で、伸びた牧草の量になります。
1日間では72/6×10=120伸びていますから、放牧前は360-120=240ありました。
1エーカーでは、240/6=40あり、1日に72/6日＝12 12/6エーカー=2伸びます。
よって、５エーカーでは、はじめに40×5＝200あり、一日に2×5＝10伸びるものを
1日に35づつ消費していくので、1日に35-10=25消費していきます。
そこで、200/25=8日で食べ尽くす事になります。
連立方程式を使わないと、変化の状況が見えるので、結構好きになりました。
（ペンネ−ム：少年Ｈ）
答え8日
２エーカー、９頭の牛、１６日
３エーカー、１８頭の牛、１０日
５エーカー、３５頭の牛、？日 という与えられた条件を
１エーカー、4.5頭の牛、１６日
１エーカー、６頭の牛、１０日
１エーカー、７頭の牛、？日 と変えます。
それぞれの場合の、牛が食べた総量は、4.5:6:7の割合になり、
グラフにすると以下のようになります。
また、育った牧草の量は、育つ量は一定なので、条件より、点P、Qを通る直線になります。
従って、求める答えは、点Rの日数 8日となります。
（ペンネ−ム：中数の基本）
(第一印象)
単位面積について，放牧前の牧草の量をｘ，1日に伸びる牧草の量をｙとおく.また，1頭の牛が1日に食べる牧草の量をｚとおくと，
2(x+16y)＝16・9ｚ・・・(1)
3(x+10y)＝10・18z・・・(2)
より
5(x+ny)＝ｎ・35z・・・(3)
となるｎを求めます.
(1)より，x+16y=72z・・・(4)x/z=ｓ,y/z=tとおくと
(2)よりx+10y=60z・・・(5)
(3)よりx+ny=7nz・・・(6)
(7)(8)よりs=40,t=2-----------------------------------------------------------------------------
これらを(9)に代入して,
40+2n=7n
ゆえにn=8(日)・・・(暫定的な答)
x/z=ｓ,y/z=tとおくと(7)(8)を満たす領域内での(9)を満たすｎの値の範囲を求めることとなります.
15・9/2＜s+16t≦72・・・(7)
54＜s+10t≦60・・・(8)
(3)よりs+nt=7ｎ・・・(9)
だから
| 高橋 道広 | 柿本 浩 | 阿津志 |
| 夜ふかしのつらいおじさん | judas | 少年Ｈ |
| ねこ | 中数の基本 | 海坊主 |
| 水の流れ | temutin |
これはニュートン(1642〜1727)が考えたパズルだそうです。
ニュートンの時代の牛と、北海道で育つ牛と･･･と考えると何だかおもしろいですね。
今回の問題を方程式にすると、未知数４つの３本ということになります。
この状態だと一般的には解を求めることができませんですが、
NO.7 夜ふかしのつらいおじさんの解答にあるように、
定数項がないことと、ｄが１つの式にしかないために、これを解くことができます。
さて方程式をたてることの意味は、それが客観的に扱える、機械的に解くことができるということだと思います。
しかしながら、あえて客観的にせずに、あくまでも牧草にこだわって考えるのもいいもんですね。
（方程式を知らない小学生に説明するにはこうせざるをえない！
逆に、方程式に頼らないで解くというのも大事かもしれません。）
NO.10 少年Ｈさんの解答は鮮やか！ グラフを使った素晴らしい解答ですね。
私も含めてみなさん等式で解く中で、NO.11 中数の基本さんは不等式で解いてくださいました。
実際には、牧草の成長は連続的に起きるでしょうから、厳密にいえばこう考えるべきなのでしょう。
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