Weekend Mathematics／問題／問題49

４９．２１世紀の問題

２００１^２１を８で割った余りをだしてください。

解答・その１

（ペンネ−ム：ＳＨＯ）

2001×2001=4,004,001
2001×2001×2001=8,012,006,001　というようにまぁ小学校のときの筆算を考えればわかることですが かならず下３桁は"001"になることがわかります。
1000は8で割り切れるので、答えは1です。

解答・その２

（ペンネ−ム：mhayashi）

2001²¹の下 3 桁は 001 となることは自明です。
（つまり 2001²¹ = ……001 ）

そこで、2001²¹=1000×a+1 と表す。
1000×a は 8 で割り切れることより、 2001²¹ の 千以上の位の数字は無視できる。

即ち 2001²¹ を 8 で割った余りは、 1 を 8 で割った余りと同値である。
ゆえに、2001²¹ を 8 で割った余りは 1 となる。

解答・その３

（ペンネ−ム：Ｍ）

２００１は８で割ると１あまるので、何乗してもやっぱり１あまる。
というわけで、
答　１

解答・その４

（ペンネ−ム：計算鑑定人）

答えは１．
２００１の２１乗は（２５０×８＋１）の２１乗となるが、 この式を展開すると、１の２１乗以外の項はすべて ８で割り切れるから、答えは１となりました。

解答・その５

（ペンネ−ム：ユウ次郎）

2001²¹=(250×8+1)²¹だから、
二項定理で展開すると、最後の項以外はすべて８の倍数であるので、余りは１である。

解答・その６

（ペンネ−ム：Oitan）

2001 = 8・250 + 1

Therefore, the residual is 1.

解答・その７

（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん ）

答えは １ です。
なぜなら、二項定理から

	200121
=	(8×250+1)21
=	(8×250)21+21C1(8×250)20+21C2(8×250)19+・・・・・・+21C20(8×250)+1
=	8×N+1　　　　　（Ｎは 200121 を ８ で割った商）

となります。

解答・その８

（ペンネ−ム：judas）

2001²¹ということはすなわち(2000+1)²¹ということ。
これを展開すると、
(2000+1)²¹= 2000²¹ +₂₁C₁×2000²⁰×1¹ +₂₁C₂×2000¹⁹×1² +･･･････ +₂₁C₂₀×2000¹×1²⁰ +₂₁C₂₁×1²¹
となる。
最後の1項以外はすべて2000の倍数となり、すなわち8の倍数となる。
したがって、8で割った余りは1の21乗、つまり1となる。

解答・その９

（ペンネ−ム：kiyo）

2001=250×8+1
2001==1 (mod 8)
2001²¹==1 (mod 8)
答え １。

解答・その１０

（ペンネ−ム：水の流れ）

整数　ｘ、ｙを自然数ｐで割った余りが等しいとき、 つまり、ｘ−ｙがｐの倍数であることを ｘ≡ｙ（ｍｏｄ　ｐ）とします。
すると、容易に、次の性質が導かれます。

1. ｘ≡ｙ（ｍｏｄ　ｐ）、ｚ≡ｕ（ｍｏｄ　ｐ）ならば
   ｘ＋ｚ≡ｙ＋ｕ（ｍｏｄ　ｐ）、ｘ−ｚ≡ｙ−ｕ（ｍｏｄ　ｐ）、ｘｚ≡ｙｕ（ｍｏｄ　ｐ） が成り立つ。
   
   
2. ｘ≡ｙ（ｍｏｄ　ｐ）ならば　ｘ^ｎ≡ｙ^ｎ（ｍｏｄ　ｐ）が成り立つ
   ただし、ｎ≡ｍ（ｍｏｄ　ｐ）ならばａ^ｎ≡ａ^ｍ（ｍｏｄ　ｐ）は不成立です。
   反例　４≡１（ｍｏｄ　３）ですが、２^４≡１（ｍｏｄ　３）、 ２^１≡２（ｍｏｄ　３）であって、２^４≠２^１（ｍｏｄ　３）となります。

さあー、問題を解いてみます。
まず、２０００を８で割って見ると ２０００≡０（ｍｏｄ　８）、１≡１（ｍｏｄ　８）より、両辺を加えて ２０００＋１≡０＋１（ｍｏｄ　８）すなわち２００１≡１（ｍｏｄ　８）
さらに、両辺を２１乗して、
２００１^２１≡１^２１≡１（ｍｏｄ　８）
以上から、答は　１　となります。

解答・その１１

（ペンネ−ム：齊藤　利仁）

２００１は，８を法として１と合同，すなわち，
２００１≡１（mod ８）　…　（１）
が成り立ちます。
式（１）の両辺を２１乗すると，
２００１²¹≡１²¹　　（mod ８）
すなわち ２００１²¹≡１　（mod ８）
が成り立つので，求めるあまりは　１　…　答

解答・その１２

（ペンネ−ム：かつ ）

Nを法とする合同というので解きます。
まず、同値についておさらいしておきます。 ある関係≡が「同値」であるとは、以下の

反射a≡a

対称a≡b　→　b≡a

推移a≡b　かつ　b≡c　→　b≡c

が成り立つことです。
図形の合同・相似などは同値の関係にあることもわかります。
今回はＮを法として合同という関係≡を使います。
これは整数をＮで割って出たあまりで分類する方法です。
つまりa≡b(mod N)のときa=Nc+bになります。
この関係は「同値」になります。
a≡aは明らか
a≡bのとき定義よりa=Nc+bである。これをbについて解くと b=-Nc+aとなりbはNで割るとaあまる。よってb≡a
a≡bよりa=Nx+b　同様にb≡cよりb=Ny+cであり、代入すると、 a=Nx+Ny+c=N(x+y)+cとなりa≡cとなる。
さらに性質として以下のようなものがあります。
a≡b(mod N)かつc≡d(mod　N)ならば

和a+c≡b+d(mod　N)

積ac≡bd(mod　N)

これについての証明は以下のようにする。（(mod　N)は省略。）

和について
a≡b, c≡dより、a=Nx+b,c=Ny+dとなる。 よって、

a+c	=(Nx+b)+(Ny+d)
	=N(x+y)+(b+d)

となり、a+c≡b+dである。

積について
a=Nx+b,c=Ny+dであるから、

ac	=(Nx+b)(Ny+d)
	=N(Nxy+dx+by)+bd

となり、ac≡bdである。
つまり普通の等式と同じようにあつかうことができるという利点があります。

ここで今回の問題の解答は、「８を法とする合同」で解きます。
明らかに2001≡1（2001を8で割ると１あまる）であるので

200121	=121
	=1

となり、2001²¹を８でわると１あまる。

解答・その１３

（ペンネ−ム：高橋　道広 ）

解１
2001≡１（mod８）　より　2001²¹≡1²¹≡1　(mod8）
あまり１　
では、ちょっとつまらないかなあ

解２

200121	＝（2000+1）21
	＝21C21×200021＋21C20×200020+21C19×200019＋…＋21C1×20001+1

より　あまり１

解3
2001²¹-1＝（2001-1）（2001²⁰＋2001¹⁹+2001¹⁸+…+2001+1)
左辺は2001-1＝2000が８で割り切れることから、 2001²¹は８で割ると、１余る

解答・その１４

（ペンネ−ム：中数の基本）

幅広く読まれているようですので、いくつかの答案を作成しました.

［高卒以上理系向き］
　2001≡1(mod 8)　だから　2001²¹≡1(mod 8)・・・（答）

［高校生向き］
　2001＝8M＋1
　（8M+1）を二項定理を用いて展開すると，M=250として

　2001^ｎ＝1＋_ｎC₁(8M)＋_ｎC₂（8M）²＋_ｎC₃（8M）³・・・＋_ｎC_ｎ（8M）^ｎ

　_ｎC₁(8M)＋_ｎC₂（8M）²＋_ｎC₃（8M）³・・・＋_ｎC_ｎ（8M）^ｎ＝8Nとおける.

［小中学生向き］
掛け算においては，上の桁相互の積は下の位に影響しない.
例
　　　　2001
　　×)2001
-----------
         2001
       0000
     0000
   4002
----------
   4004001
2001の百十一の位は001で，1は何回かけても1となるから
2001^ｎは1000N＋1となる.
ゆえに，8で割った余りは1・・・(答)

今回寄せられた解答は、大きく３つの解法に分類されるかと思います。
中数の基本さんが上手にまとめてくださいました。
唯一ユニークだなあと思ったのが、高橋　道広さんの解３です。鮮やか！って感じですね。

もう１つ別解を紹介します。
今回の問題は、奇数^(偶数)≡１(mod 8)、 従ってある奇数をＮとすると、Ｎ^(奇数)≡Ｎ(mod 8)という性質を使いました。
これを証明します。
ある奇数Ｎ＝２ｎ＋１とおきます。

Ｎ２	＝(２ｎ＋１)２
	＝４ｎ２＋４ｎ＋１
	＝４ｎ(ｎ＋１)＋１
	＝８Ｍ＋１・・・(連続する２つの数のどちらかは必ず偶数だから)
	≡１(mod 8）

従って、ある偶数Ｋ＝２ｋとおくと

ＮＫ	＝Ｎ２ｋ
	＝(Ｎ２)ｋ
	≡１ｋ(mod 8）
	≡１(mod 8）

ということで、 奇数^(偶数)≡１(mod 8)が示されました。

さらに、奇数＝偶数＋１ですから

Ｎ(奇数)	＝Ｎ２ｋ＋１
	＝(Ｎ２)ｋ・Ｎ
	≡１ｋ・Ｎ(mod 8）
	≡Ｎ(mod 8）

さて問題に戻りますが、これによると

２００１２１	≡２００１(mod 8）
	≡１(mod 8）

というわけです。
実は問題を作るときに、２００１^２１にしようか、２１^２００１にしようか迷ったのですが、 答えが１の方が２１世紀のスタートとしてはいいかなと思ってこちらにしました。
２１^２００１、もちろん暗算で答えがでますよね？

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