Weekend Mathematics／問題／問題38
３８．魔法の切り株の問題
ひとりの農夫が、森の中で見知らぬ老人に会いました。
２人は話し合いました。
老人は注意深く農夫を見て言いました。
「この森には不思議な切り株があるのをわしは知っている。貧乏な人を助けるのじゃ。」
「どのようにして助けるのですか。病気を治療してくれるのですか。」
「治療はしないが、お金を２倍にしてくれるのじゃ。お金の入った財布を、その根もとにおいて百まで数える。
するとちゃんと、財布の中のお金が２倍になっとるのじゃ。」
「わたしも、やってみられるかい」と夢見るように農夫はいいました。
「もちろん、やれるとも。ただ、お金を払わにゃならんのじゃ。」
「誰に？ いくら？」
「お前さんに切り株のある道を教える人にな、つまりわしにじゃよ。
いくら払うかということは、また別の話じゃ。」
２人は取引を始めました。
農夫の財布に中にお金が少ししかないことを知って、老人はお金が２倍になるたびに１２００円ずつ受け取る
ことに同意し、話は決まりました。
老人は森の奥へ農夫を連れて行きました。
２人は長い時間さまよい歩き、ついに、茂みの中にあるこけにおおわれた古いもみの木の切り株
を探し出しました。
農夫の手から財布を取ると、老人は木の切り株の根っこの間にそれを押し込みました。
２人は百まで数えました。
老人は、また、切り株の根もとを手探りでかきまわしたあげく、財布を引っぱり出して農夫に与えました。
農夫が財布をのぞいて見るとどうでしょう。お金が本当に２倍になっていました。
そのうちから約束の１２００円勘定して老人に与え、また奇跡を行う切り株の下に財布を押し込むことを頼みました。
また百まで数え、切り株の茂みの中をかきまわし始めました。
するとまた奇跡が起こりました。
財布の中のお金がまた２倍になっていたのです。
老人はまた財布の中から約束の１２００円受け取りました。
３度、２人は財布を切り株の下にかくしました。
お金は今度も２倍になりました。
しかし、農夫が老人に約束の礼金を払ったら、もはや１円のお金も残っていませんでした。
あわれな農夫は、この共同作業で自分のすべてのお金を失ってしまいました。
２倍にしようにも、もはや手元には何もなく、農夫はすっかり意気消沈して森からとぼとぼ
歩いて立ち去りました。
お金を２倍にする魔法の秘密はもちろん、あなたがたにはおわかりでしょう。
老人が財布を探しながら、茂みの中でぐずぐずしているのはわけのあることです。
しかし、このとは別として、あなたがたはつぎの質問に答えることができますか。
魔法の切り株で不幸な取引をする前に、農夫はいくらのお金を持っていたでしょうか。
数学のはなし
ペレリマン
東京図書
（ペンネ−ム：ゆうじ）
｛（２ｘ-1200）2-1200｝2-1200＝0
これをｘについて解くと
ｘ＝１０５０
だから1050円持っていた
（ペンネ−ム：SUDOU）
はじめにもっていたおかねをｘとすると
８ｘ−８４００＝０になればよいから
ｘ＝１０５０
したがって農夫は始め１０５０円持っていた
（ペンネ−ム：HASEGAWA）
最後に老人にお金を渡して０円になるということは３回目に２倍にした時点の農夫の所持金は１２００円。
２倍になる前が６００円。
２回目に２倍にして１２００円払って６００円ということは２回目に２倍にした時点で１８００円。
２倍にする前で９００円。
同様に１回目に２倍にして１２００円払って９００円ということは１回目に２倍にした時点で２１００円。
２倍にする前で１０５０円。よって最初の農夫の所持金は１０５０円。
（ペンネ−ム：かつ）
３回でなくなるということなので、簡単な方法で戻って見ることにしました。
最後に０円になるから・・・
切り株に入れる前は→６００円あったはず。
その前は６００円になるから・・・
切り株に入れる前は→１２００円をひいて６００円だから→１８００円さらにその半分だから
→９００円
一番最初にもってたのは・・・
１２００円ひいて９００円だから２１００円の半分で１０５０円！
答え１０５０円
これって絶対に１２００円を超えることはないんですよね。
だって１２００円持ってると絶対に０になることはないんだもんね。
結局何回やってみても１２００円に限りなく近づくだけで超えることはないです。
なんかわかりにくくなってしまったので、数式にしてみます。
はじめの操作でできるのはｚ円とすると
２Ｚ−１２００＝０だからＺ＝６００
次の操作でできるのはＹ円とすると
２Ｙ−１２００＝６００よりＹ＝９００
最後に求めるお金をＸ円とすると
２Ｘ−１２００＝９００よってＸ＝１０５０
となります。
（ペンネ−ム：かに）
農夫が x 円持っていたとすると、
最初に２倍になったときは 2x-1200円、
次に２倍になったときは (2x-1200)・2-1200円、
３度目に２倍になったときは ｛(2x-1200)・2-1200｝・2-1200円
をそれぞれの時点で所持しているが、最後は 0 円なので
最後の式＝０より x=1050 円
（ペンネ−ム：夜ふかしのつらいおじさん）
答えは1050円です。答えは1050円です。
では、あわれな農夫といっしょに、だまされないよう落ち着いて考えてみましょ
う。初めの農夫の持ち金をp円としましょう。
| 切り株に置く前 | 取り出した後 | お礼を払った後 | |
| 1回目 | p | 2p | 2p−1200 |
| 2回目 | 2p−1200 | 4p−2400 | 4p−3600 |
| 3回目 | 4p−3600 | 8p−7200 | 8p−8400 |
（ペンネ−ム：青光）
若者がｘ円持っていたとすると、
１回目…２ｘ−１２００
２回目…２(２ｘ−１２００)−１２００
３回目…２{２(２ｘ−１２００)−１２００}−１２００
３回目でお金が無くなってしまったので、
２{２(２ｘ−１２００)−１２００} −１２００＝ ０ を解くと、
ｘ ＝ １０５０
となるので、若者が最初に持っていた金額は１０５０円。
持ち金を２倍して１２００円払うので、関数ｆ(ｘ) ＝ ２ｘ−１２００について考える。
逆関数を ｇ(ｘ) とすると、
ｇ(ｘ) ＝ (ｘ＋１２００)／２ となる。
求めるのは ｆ(ｆ(ｆ(ｘ))) ＝ ０ なるｘだが、これは、
ｆ(ｆ(ｆ(ｘ))) ＝ ０
ｆ(ｆ(ｘ)) ＝ ｇ(０) ＝ ６００
ｆ(ｘ) ＝ ｇ(６００) ＝ ９００
ｘ ＝ ｇ(９００) ＝ １０５０
（ペンネ−ム：マサボー）
最初の所持金をA0とし、n回目の所持金をAnとすると、
An+1 = 2An - 1200
An+1-1200 = 2(An-1200)
An-1200 = 2n(A0-1200)
An = 1200 + 2n(A0-1200)
いま、３回目で所持金が0円より
0 = 1200 + 8(A0-1200) ---> A0 = 1050 答え 1050 円
式から明らかなように、儲けるか損をするかは、
最初に1200円より多く持っているか、少ないかによります。
文中に「老人」が 「農夫の財布に中にお金が少ししかない
ことを知って」とありますから問題ありませんが、もし「農夫」が1200円以上持って
いたら「老人」は大赤字になるところです。
（ペンネ−ム：kiyo）
農夫の最初の所持金 Ｘ円。手数料をＹ円とする。
１回目 ２Ｘ−Ｙ
２回目 ４Ｘ−３Ｙ
３回目 ８Ｘ−７Ｙ
８Ｘ−７Ｙ＝０
Ｙ＝１２００
Ｘ＝１０５０
答え １０５０円。
Ｎを回数とすると、
Ｙ＝（２Ｎ）・Ｘ／（２Ｎ−１）の関係式が成り立つ。
Ｘ＝１０５０＝２×３×５×５×７
Ｙが整数となるＮは、
Ｎ＝１ Ｙ＝２１００ これでは、取引は成立しない。すぐばれる。
Ｎ＝２ Ｙ＝１４００
Ｎ＝３ Ｙ＝１２００（今回のもの）
Ｎ＝４ Ｙ＝１１２０
この方が手数料が最も安くていいと思います。
（ペンネ−ム：ch3cooh）
これは詐欺の話ですね。
老人は、農夫の財布にある金額以上を手数料として要求すると
常に得することになりますね？
金額の算出は最終結果から逆方向に追っていくことが可能です。
また、一般項も計算できました。
１）結果の逆算
最終結果：０円
老人に３回目の手数料を払う前：１２００
３回目の増額前の金額：６００
老人に２回目の手数料を払う前：１８００
２回目の増額前の金額：９００
老人に１回目の手数料を払う前：２１００
１回目の増額前の金額：１０５０
２）一般項
増額、手数料の支払いを行った後の金額をg(n)とする。
すると、漸化式として
g(n+1)=2・g(n)-1200となる。
g(n)= 2n・f(n)とすると
2n+1f(n+1)=2・2n f(n)-1200
f(n+1)= f(n)-1200/2n+1
上記の差の数式は解くことが可能で…
f(n)-f(0)= -1200・(2n-1)/2n
f(n)= f(0) -1200・(2n-1)/2n
| g(n) | = 2n・f(n) |
| = 2n・(f(0) -1200・(2n-1)/2n) | |
| = 2n・f(0)-1200・(2n-1) | |
| = 2n・{f(0)-1200}+1200 |
（ペンネ−ム：Idaho Potato）
直接計算してもできなくはないですが、問題を一般化して、 次の仮定のもとで考えてみましょう。
問題に示された状況を漸化式で表現すると、次のようになります。
an+1 = 2an-b
これを変形すると、
an+1-b = 2(an-b)
となり、(an-b) が公比2の等比数列をなすことがわかります。 すなわち、 一般の自然数nについて、次の式が成り立ちます。
an-b = 2n(a0-b)
ちょうどn回操作後に所持金が0になる(すなわち an=0)とすると、 上の式を a0 について解くことにより、最初の所持金は
a0 = (1-1/2n)b
と表されます。
オリジナルの問題の答えは、n=3, b=1200(円) を代入して、 a0=1050(円) と求められます。
逆に、農夫の最初の所持金が a0 であれば、 指南料を (2n/(2n-1))a0 に設定すれば、 n回の操作で農夫を文無しにできるわけですね。
| かに | kiyo | ch3cooh |
| 青光 | ゆうじ | 水の流れ |
| 夜ふかしのつらいおじさん | SUDOU | マサボー |
| HASEGAWA | Idaho Potato | かつ |
この問題を解く際に、農夫の最初の所持金をｘとして方程式をたてる人と、
最後の０円から時間を逆にたどっていく人と大きく２つの方法に分かれました。
後者のケ−スは青光さんの解答にあるように逆関数の発想ですね。
老人の立場にたつと、最初に契約を交わす段階で農夫の最初の所持金を知る必要があります。
農夫の最初の所持金より多い手数料を設定しなければならないからです。
これはマサボーさん、Idaho Potatoさんの解答に詳しくあります。
また農夫の最初の所持金１０５０円を１円も残さずきっちり巻き上げるには、
手数料を１１２０円にした方がいいというのがkiyoの提案です。
しかし手数料を安くすれば、当然魔法を使う回数が増えてしまい、この詐欺行為がばれやすい（？）
ということでしょうか。
もっともこれに気づかなかった農夫も？ですよね。
農夫の立場に立てば、
夜ふかしのつらいおじさんのおっしゃるように、最初の所持金より多い手数料を
設定されればされれば、いつか必ず損をするわけです。
１回目に気づかなかったとしても、途中でやめればいいわけで・・・。
（もっとも途中でやめられてしまうと問題が成立しなくなってしまうわけで・・・。
そこは話術のお得意な老人の腕のみせどころ、プロの詐欺師？）
ch3coohさんは、「借金地獄:=ローン地獄 の方程式」とおっしゃっています。
私は株の売買のようだ、と思いました。
株で得をしても、その売買にかかる手数料を取られる、その繰り返し・・・。
危険なにおいを感じながらも、２倍になったうれしさが忘れられずにまた手を出してしまう・・・。
この農夫を満更笑えないところもあるかな？
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